Resolução das atividades complementares
Matemática
2
M6 — Função quadrática
p. 50
1 Dada f(x)  3x2  2x 2, obtenha:
a) f(2) 6
b)f(0)22
Resolução:
f(x) 5 3x2 1 2x 2 2
c) f(1) 3
d) x tal que f(x)  4x  7 23 e 1
a)f(22) 5 3 ∙ (22)2 1 2 ∙ (22) 2 2 5 6 → f(22) 5 6
b)f(0) 5 3 ∙ 0 1 2 ∙ 0 2 2 5 22 → f(0) 5 22
c)f(1) 5 3 ∙ 12 1 2 ∙ 1 2 2 5 3 → f(1) 5 3
d)f(x) 5 24x 1 7
3x2 1 2x 2 2 5 24x 1 7
3x2 1 6x 2 9 5 0
x2 1 2x 2 3 5 0
(x 2 1) ∙ (x 1 3) 5 0 → x9 5 1 e x0 5 23
2 Determine m, de modo que a função f de V em V, tal que f(x)  (mx  m)(2  x)  x(2x  1), seja
quadrática. m  2
Resolução:
f(x) 5 (mx 2 m) ∙ (2 2 x) 1 x ∙ (2x 2 1)
f(x) 5 2mx 2 mx2 2 2m 1 mx 1 2x2 2 x
f(x) 5 (2m 1 2)x2 1 (2m 1 m 2 1)x 2 2m
Para que a função seja quadrática, o coeficiente de x2 deve ser diferente de zero, ou seja:
2m 1 2  0 → m  2.
3 Obtenha os zeros da função f dada por:
a) f(x)  2x2  12  6 e 6
2
b) f(x)  27x2  2x 0 e
7
c) f(x)  x2  2x  15 25 e 3
d) f(x)  8x2  10x  3 1 e 3
2
4
Resolução:
a) f(x)  2x 2  12
2x 2  12  0 → 2x 2  12 → x9   6 e x0 
6
2
b) f(x)  7x  2x
7x 2  2x  0 → x  (7x  2)  0 → x9  0 e x0  2
7
c) f(x)  x 2  2x  15
x 2  2x  15  0
(x  5)  (x  3)  0 → x9   5 e x0  3
d) f(x)  8x 2  10x  3
8x 2  10x  3  0
10  100  4  8  3
10  2
x 

→ x9  3 e x0  1
16
16
4
2
4 A função f: V → V, dada por f(x)  (m  1)x2  2mx  (m  3), admite dois zeros distintos.
Determine m. m , 3 e m  1
2
Resolução:
f(x) 5 (m 2 1)x2 1 2mx 1 (m 1 3)
Condição para que a função seja quadrática: m 2 1  0, ou seja, m  1.
Condição para que existam dois zeros reais distintos: ∆ . 0.
Assim:
∆ 5 b2 2 4 ∙ a ∙ c . 0
(2m)2 2 4 ∙ (m 2 1) ∙ (m 1 3) . 0
4m2 2 4 ∙ (m2 1 3m 2 m 2 3) . 0
4m2  4m2  12m  4m  12 . 0
8m . 12 → m , 3
2
3
Portanto, m ,
e m  1.
2
5 A função f: V → V, dada por f(x)  x2  2mx  m2  1, admite dois zeros reais a e b tal que
1  1 4
1
a
b
3 . Determine m. 2 ou  2
Resolução:
f(x)  x 2  2mx  m2  1
S   b  2m e P  c  m2  1
a
a
1  1   4 → b  a   4 → S   4 → 2m   4 →
a
b
3
ab
3
P
3
3
m2  1
2
2
2
→ 4  (m  1)  6m → 4m  4  6m → 2m  3m  2  0 →
3  9  16
→ m
→ m  2 ou m   1
4
2
6 Um atleta arremessa um dardo em um campo plano de tal forma que a altura h que o dardo alcança
em cada instante é expressa pela função h(t)  t2  8t, em que h é medida em metros e t em segundos.
Após quanto tempo o dardo atingirá o solo? 8 s
Resolução:
h(t) 5 2t2 1 8t
O dardo atingirá o solo no tempo h(t) 5 0.
Então: t 2  8t  0 → t ( t  8)  0 → t9  0 (não convém) e t0  8.
Portanto, o dardo aingirá o solo no tempo t 5 8 s.
7 Sendo f(x)  x2  4 e g(x)  1  3x, determine os zeros da função h tal que h(x)  f(g(x)). 1 e  1
Resolução:
f(x)  x 2  4; g(x)  1  3x
h(x)  f (g(x))  f (1  3x)  (1  3x)2  4  1  6x  9x 2  4  9x 2  6x  3
h(x)  0
2  4  12
3x 2  2x  1  0 → x 
→ x9  1 e x0   1
6
3
3
8 Um menino soltou uma bola da janela de seu apartamento. A altura h da bola, em metros, em relação
à calçada onde a bola caiu, em cada instante, podia ser calculada por h(t)  45  5t2, em que t é expresso
em segundos. Calcule:
a)a altura que o menino soltou a bola; 45 m
b)o tempo que a bola levou para chegar à calçada. 3 s
Resolução:
h(t) 5 45 2 5t2
a)Instante em que o menino soltou a bola → t 5 0.
Então: h(0) 5 45 2 5t2 → h 5 45.
Portanto, a altura que o menino soltou a bola era 45 m.
b)Quando a bola tocou a calçada, h 5 0.
2
2
Então: 45  5t  0 → t  9 → t9  3 (não convém) e t0  3.
Portanto, o tempo que a bola levou para chegar à calçada foi 3 segundos.
p. 56
9 Esboce os seguintes gráficos:
a)f(x)  2x2  8x  10
b)f(x)  x2  10x  25
c)f(x)  x2  4x  5
Resolução:
a) f(x) 5 2x2 1 8x 2 10
a 5 2 . 0 → a parábola tem concavidade voltada para cima
intersecção com o eixo y: f(0) 5 210
intersecção com o eixo x:2x2 1 8x 2 10 5 0
∆ 5 64 1 80 5 144
8  12
x
→ x9  5 e x0  1
4
 x  8  2
 v
4
vértice: 

 y v  144  18

8
b) f(x) 5 x2 2 10x 1 25
a 5 1 . 0 → a parábola tem concavidade voltada para cima
intersecção com o eixo y: f(0) 5 25
intersecção com o eixo x:x2 2 10x 1 25 5 0
∆ 5 100 2 100 5 0
10  0
x
5
2
 x   10  5
vértice:  v
2
 y v  0
y
20
�5
�20
�2 1
0
20
�10
�18
y
25
�20
0 5
�20
20
x
x
6
c) f(x) 5 2x2 2 4x 2 5
a 5 21 , 0 → a parábola tem concavidade voltada para baixo
intersecção com o eixo y: f(0) 5 25
intersecção com o eixo x:2x2 2 4x 2 5 5 0
∆ 5 16 2 20 5 24 (não há raízes reais)
 x   4  2
 v
2
vértice: 

 y v   4  1

4
y
5
�5
�2 0
�1
5
x
�5
10 Determine a sentença que define f(x) de uma função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos
(0, 4), (21, 10) e (1, 0). f(x) 5 x2 2 5x  4
Resolução:
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a  0
(0, 4); (21, 10); (1, 0) são pontos pertencentes ao gráfico, então:
4 5 a ∙ 02 1 b ∙ 0 1 c → c 5 4
10 5 a ∙ (21)2 1 b ∙ (21) 1 4 → a 2 b 5 6 (I)
0 5 a ∙ 12 1 b ∙ 1 1 4 → a 1 b 5 24 (II)
De (I) e (II), temos: a 5 1 e b 5 25.
Portanto, f(x) 5 x2 2 5x 1 4.
11 O gráfico da função f(x)  x2  (3p  1)x  6 é uma parábola cujo vértice apresenta abscissa 2.
Determine
p. p  5
p 1 4 →
3p  5 →
3
Resolução:
f(x)  x 2  (3p  1) x  6
3p  1
xv  2 
→ 3p  1  4 → 3p  5 → p  5
2
3
12 Determine m, de modo que o gráfico da função f(x)  (m 1 1)x2  (1  2m)x  m não intercepte o
eixo das abscissas. m  1
8
Resolução:
Para que o gráfico não intercepte o eixo das abscissas, ∆ , 0.
∆ 5 1 2 4m 1 4m2 2 4 ∙ (m 1 1)m
1  8m , 0 → m . 1
8
13 O gráfico da função f(x)  (p  1)x2  8px  2p  6 tangencia o eixo das abscissas. Determine o
( )
ponto onde ele intercepta o eixo das ordenadas.
36
(0, 8) ou 0,
7
Resolução:
2
Para que o gráfico da função f(x) 5 (p 1 1)x 2 8px 1 2p 1 6 tangencie o eixo das abscissas, ∆ 5 0.
∆ 5 64p2 2 4 ∙ (p 1 1) ∙ (2p 1 6)
∆ 5 64p2 2 8p2 2 32p 2 24 5 0
7p2 2 4p 2 3 5 0
4  16  84
→ p9  1 e p0   3
14
7
No eixo das ordenadas, x 5 0.
Portanto, f(x) 5 (p 1 1)x2 2 8px 1 2p 1 6.
Para p 5 1 → f(0) 5 0 2 0 1 8 5 8
Para p   3 → f(0)  0  0  2  3  6  36
7
7
7
36
Então, os pontos são: (0,8) e 0,
.
7
p
(
)
p. 60
14 Determine o conjunto imagem da função f(x)  x2  2x  8. Im(f)  {y  V | y  9}
Resolução:
f(x) 5 2x2 1 2x 1 8
a 5 21 → a concavidade está voltada para baixo; portanto, a parábola tem ponto de máximo.
∆ 5 4 2 4 ∙ (21) ∙ 8 5 36
y v      36  9
4a
4
Im(f) 5 {y  Vy < 9}
15 A função definida por f(x)  (k  1)x2  kx  2 admite um ponto de mínimo para x  3. Determine k.
Resolução:
f(x) 5 (k 2 1)x2 1 kx 2 2
b
k
xv 
 3 
→ 6  (k  1)  k → k  6
2a
2(k  1)
7
6
7
16 Um menino chutou uma bola para cima em um campo de futebol. A altura h da bola, em metros, em
relação ao campo, podia ser calculada por h(t)  12t  3t2, em que t é expresso em segundos. Calcule:
a) o tempo que a bola levou para cair de volta no campo; 4 s
b) a altura máxima atingida pela bola. 12 m
Resolução:
h(t) 5 12t 2 3t2
a)Quando a bola volta ao campo, h 5 0.
Então: 12t  3t 2  0 → 3t (4  t)  0 → t9  0 (não convém) e t0  4
Portanto, a bola levou 4 segundos para voltar ao campo.
b)altura máxima  y v   
4a
  144
y v   144  12 m
12
A bola atingiu altura máxima de 12 metros.
17 Considere a função f definida no intervalo I  [1, p] por f(x)  x2  12x  32. Qual é o maior valor
de p para que f seja decrescente em todo o seu domínio? 6
Resolução:
f(x) 5 x2 2 12x 1 32
a 5 1 . 0; portanto, a concavidade da parábola está voltada para cima.
A função é decrescente para x < xv.
x v   b  12  6
2a
2
A função é decrescente para x < 6.
Como a função está definida no intervalo I 5 [1, p], o maior valor de p para que f seja decrescente é
p 5 6.
18 Em um determinado dia do ano a temperatura de uma cidade variou de acordo com a função
f(t)  t2  pt  140, em que t indica um instante do dia medido em horas no intervalo das 8 h às 20 h.
Nesse dia, a temperatura atingiu seu valor máximo às 13 h. Obtenha o valor de p. 26
Resolução:
f(t) 5 2t2 1 pt 2 140
A temperatura atingiu o valor máximo às 13 h → xv.
b
p
xv 

 13
2a
2
Portanto, p 5 26.
19 Determine o valor de m para que o número 8 não pertença ao conjunto imagem da função f de V em
V, definida por f(x) 5 22x2 2 4x 1 m. m  6
Resolução:
f(x) 5 22x2 2 4x 1 m
a 5 22 , 0 → a concavidade está voltada para baixo; portanto, a parábola tem ponto de máximo.
Im(f) 5 {y  Vy < yv}
Para que m não pertença ao conjunto imagem:
yv    , 8
4a
  16  8m
16  8m
yv 
,8 → m,6
8
20 Sabe-se que o volume de uma caixa-d’água é o produto da área de sua base por sua altura. Qual deve
ser o valor de x para que uma caixa com 2 m de altura, e tendo como base um retângulo de lados x e 16  x,
tenha volume máximo? (As dimensões da base são expressas em metros.) 8
Resolução:
Pelos dados, temos:
Sb 5 x ∙ (16 2 x)
h52
V 5 22x2 1 32x é uma função quadrática.
a 5 22 , 0 → a concavidade está voltada para baixo; portanto, a parábola tem ponto de máximo.
O valor de x para que a caixa tenha volume máximo é xv.
b
xv 
 32 → x v  8
2a
4
O valor de x deve ser 8 metros.
21 Um empresário determinou que o custo de certo produto de sua empresa é função do número de
unidades produzidas desse produto. Essa função é definida por c  2 510  100n  n2, em que n é o número
de unidades produzidas e c é o custo. Qual deve ser o número de unidades produzidas para que o custo seja
mínimo? 50
Resolução:
c 5 2 510 2 100n 1 n2 é uma função quadrática.
a 5 1 . 0 → a concavidade está voltada para cima; portanto, a parábola tem ponto de mínimo.
O custo mínimo é yv, e o número de unidades produzidas para que o custo seja mínimo é xv.
b
xv 
 100 → x v  50
2a
2
Para que o custo seja mínimo, a empresa deve produzir 50 unidades do produto.
22 O número 2 é um zero da função f: V → V, definida por f(x)  kx2  4x  k  3. Em que intervalo
de valores de x a função f é crescente? [2, [
Resolução:
f(x) 5 kx2 2 4x 1 k 1 3
Se 2 é zero da função, temos: f(2) 5 0.
f(2) 5 4k 2 8 1 k 1 3 5 0 → k 5 1
Portanto, f(x) 5 x2 2 4x 1 4.
a 5 1 . 0 → a concavidade está voltada para cima; portanto, a parábola tem ponto de mínimo.
A função é crescente para x > xv.
b
xv 
 4 2
2a
2
Logo, a função é crescente para x > 2.
S 5 {x  Vx > 2} ou [2, 1∞[
23 Determine o maior valor de a para que a função f(x)  x2  (1  a)x  3 seja decrescente para todo
x  3. 7
Resolução:
f(x) 5 x2 1 (1 2 a)x 1 3 é uma função quadrática.
a 5 1 . 0 → a concavidade está voltada para cima; portanto, a parábola tem ponto de mínimo.
A função é decrescente para x < xv.
b
(1  a)
xv 

, 3 → 1  a , 6 → a , 7
2a
2
Portanto, o maior valor para que a função seja decrescente, para todo x , 3, é 7.