Departamento de Matemática Pura e Aplicada
MAT 01353 – Cálculo e Geometria Analı́tica IA
Lista 7 – Antiderivadas e Integrais Básicas
√
1. Sabendo que F ′ (x) = x 4 − x2 , determine a função F que satisfaz F (1) = 4.
2. Determine y(x), sabendo que
x+1
dy
2
= √ , para todo x > 0 real, e que y(1) = .
dx
3
x
3. Calcule
a)
b)
c)
d)
Z
Z
Z
Z
√
x3
dx
2 + 5x4
e)
Z
f)
Z
g)
Z
√
x3 − 3x2
+ 4 x dx
2
5x
4x2 − 2x + 5
√
dx
x
√
√
sec( x) tg ( x)
√
dx
x
sen 5 (2x + 3) cos(2x + 3) dx
sen (ln x)
dx
x
sec2 (2 − t) dt
4. Um carro andando a uma velocidade de 84 m/s começa a diminuir sua velocidade a uma taxa
constante de 14 m/s2 . Depois de quantos segundos o carro para e qual a distância percorrida
antes de parar? Dica: Considere t = 0 o instante em que a velocidade é de 84 m/s e começa a
diminuir.
5. Em cada ponto (x, y) de uma curva, a inclinação da reta tangente é igual ao quadrado da
distância entre o ponto e o eixo y. Determine a equação da curva, sabendo ainda que o ponto
(−1, 2) está na curva.
6. Calcule as seguintes integrais:
Z 4 √
Z
2
a)
3x 25 − x dx;
b)
0
e2
e
ln x
dx;
x
c)
3x
dx;
25 − x2
Z
d)
Z
4
x3 ex dx.
7. O gráfico da função f, desenhado ao lado, é formado por um arco da função cosseno e por
segmentos de reta.
Z π
2
a) Calcule
f (x) dx.
y
− π2
b) Usando fórmulas de Geometria, calcule
Z 3π
2
f (x) dx.
c) A afirmação
3π
2
π
2
π
2
Z
x
π
−π
2
−1
3π
2
f (x) dx > 0 é verda-
− π2
deira? Justifique.
8. Considere a função f, definida para −2 ≤ x ≤ 6, cujo gráfico está ao lado.
Sabendo que
y
1
f (x) =
4 − x2 , para − 2 ≤ x ≤ 2
2
e que área (R) = 4, calcule
Z 2
a)
f (x) dx;
6
−2
R
−2
b)
Z
x
6
f (x) dx.
−2
9. Usando fórmulas apropriadas de geometria e considerando f a função cujo gráfico é dado ao
lado, calcule:
y
2
a)
b)
2
Z
1
f (x)dx
Z−24
f (x)dx
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1
-1
-2
f
x
10. Na figura ao lado, está desenhado o gráfico da função f, constituı́do por dois semi-cı́rculos de
raio 1 e um semi-cı́rculo de raio 2.
y
3
Com base nesta figura, responda (a) e (b) abaixo.
2
(a)Usando as propriedades das integrais
Z e fórmulas
6
apropriadas de geometria, determine
1
f (x) dx.
0
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
(b) É correto afirmar que
Z
6
f (x) dx = 0 ? Justifique sua resposta.
−2
11. Calcule o valor de
Z
3
2
x e(x −2) dx e
0
Z
27
1
x
x
dx.
5e + √
3
x
Z a
Z b
dt
dt
dt
=
+
, para a, b > 0. Conclua que ln(ab) = ln(a) + ln(b). Dica:
12. Mostre que
t
t
1
1 t
1
separe a integral nos intervalos de 1 até a e de a até ab, depois aplique uma substituição na
Z
ab
segunda integral.
y
13.
Para cada x ∈ [−3, 6], seja
G(x) =
Z
2
x
1
h(t)dt,
−2
onde h é a função cujo gráfico é dado ao lado.
x
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
−2
Em cada caso, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
(
) G(−3) < 0.
(
) G é decrescente no intervalo (−2, 1) .
(
) G ′ (2) = G ′ (4).
5
6
h