Lista de Exercı́cios de SMA-332- Cálculo II - Diferenciabilidade; Planos Tangentes; Regra da Cadeia
1. Prove que as funções dadas são diferenciáveis:
a) f (x, y) = x3 y 2
b) f (x, y) = x2 + xy
c) f (x, y) =
3
xy
d) f (x, y) = ln(1 + x4 + y 4 ) e) f (x, y) = x cos(xy + y x ) f ) f (x, y) = arctg x2 y
2. Verifique se f é diferenciável em (0, 0). Justifique.
x2 − y 2
se (x, y) 6= (0, 0) e f (0, 0) = 0.
x2 + y 2
x4
b) f (x, y) = 2
se (x, y) =
6 (0, 0) e f (0, 0) = 0.
x + y2
a) f (x, y) =
2 −y 2
3. Seja z = x ex
.
a) Calcule um valor aproximado para a variação ∆z em z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para
x = 1, 01 e y = 1, 002.
b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e y = 1, 002.
4. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
a) f (x, y) = x2 + y 2 em (0, 1, f (0, 1))
b) f (x, y) = xex
2 −y 2
em (2, 2, f (2, 2))
c) f (x, y) = ln(cos(sec(xy + y x ))) em (0, 0, f (0, 0)).
5.
a) Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfico de
f (x, y) = xy.
b) Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x+y e tangente ao gráfico de f (x, y) = x2 +y 2 .
¶
µ
n! π
2
, onde n > 5 é um número natural, a equação do plano tangente ao gráfico
6. Seja z = 2x + y cos
6
∂f
∂f
de f (x, y) no ponto (1, 1, 3). Calcule
(1, 1) e
(1, 1) e determine a equação da reta normal no
∂x
∂y
ponto (1, 1, 3).
7. Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de f (x, y) = x2 +y 2 e que contenham a intersecção
dos planos x + y + z = 3 e z = 0.
8. Considere a função f (x, y) = xg(x2 − y 2 ), onde g(u) é uma função derivável de uma variável. Mostre
que o plano tangente ao gráfico de f no ponto (a, a, f (a, a)) passa pela origem.
9. Calcule ∇f (x, y) sendo f dada por:
a) x2 y 3
b) ecos(ln
√
x2 +y 3 )
p
c) arctg(arccos 6 ex + sen(y + x) )
10. Calcule ∇f (x, y, z), para f (x, y, z) =
p
3
x2 + y 2 + z 2 .
11. Seja f (x, y) = x2 − y 2 . Represente geometricamente ∇f (x0 , y0 ), sendo (x0 , y0 ) dado por
a) (1, 1)
b) (−1, 1)
c) (−1, −1)
d) (1, −1)
1
x
12. Seja f (x, y) = arctg . Represente geometricamente ∇f (x0 , y0 ), sendo (x0 , y0 ) um ponto da circuny
ferência x2 + y 2 = 1.
13. Seja f (x, y) = x2 + y 2 e γ(t) = (x(t), y(t)) uma curva diferenciável cuja imagem está contida na
0
curva de nı́vel f (x, y) = 1. Seja γ(t0 ) = (x0 , y0 ). Prove que γ (t0 ) · ∇f (x0 , y0 ) = 0. Interprete
geometricamente.
14. Considere a função f (x, y, z) = x2 + 4y 2 + 9z 2 e seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diferenciável
qualquer, com imagem contida na superfı́cie de nı́vel x2 + 4y 2 + 9z 2 = 1, e tal que γ(t0 ) = (x0 , y0 , z0 ).
0
a) Prove que ∇f (x0 , y0 , z0 ) · γ (t0 ) = 0.
b) Determine a equação do plano tangente à superfı́cie de nı́vel dada, no ponto (x0 , y0 , z0 ).
c) Determine a equação do plano tangente à superfı́cie de nı́vel x2 + 4y 2 + 9z 2 = 14, no ponto
(1, 1, 1).
15. Calcule
dz
:
dt
a) z = sen xy, x = 3t e y = t2
b) z = x2 + 3y 2 , x = sen t e y = cos t.
c) z = ln(1 + x2 + y 2 ), x = sen 3t e y = cos 3t
16. Seja g(t) = f (3t, 2t2 − 1). Expresse g 0 (t) em termos das derivadas parciais de f . Calcule g 0 (0)
∂f
1
admitindo
(0, −1) = .
∂x
3
dz
em termos das derivadas parciais de f , sendo z = f (x, y) e:
dt
a) x = t2 e y = 3t;
17. Expresse
b) x = sen 3t e y = cos 3t.
18. Suponha que, para todo t, f (t2 , 2t) = t3 − 3t. Mostre que
∂f
∂f
(1, 2) = − (1, 2).
∂x
∂y
∂f
∂f
(3, 1) admitindo
(3, 1) = 2. Depois,
∂x
∂y
determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (3, 1, f (3, 1)).
19. Suponha que, para todo x, f (3x, x3 ) = arctg x. Calcule
∂f
∂f
(x, y)−x (x, y) = 2. Calcule g 0 (t), sendo g(t) = f (2 cos t, sent).
∂x
∂y
∂f
∂f
b) Admita que, para todo (x, y), 4y (x, y) − x (x, y) = 0. Prove que f é constante sobre a elipse
∂x
∂y
x2
+ y 2 = 1.
4
µ
¶
∂f
∂f
1
c) Admita que, para todo (x, y), x (x, y) − y (x, y) = 0. Mostre que g(t) = f t,
,
∂x
∂y
t
t > 0, é constante.
20. a) Admita que, para todo (x, y), 4y
21. Sejam f (x, y, z) e g(x, y) funções diferenciáveis tais que, para todo (x, y) no domı́nio de g,
∂f
∂f
∂f
f (x, y, g(x, y)) = 0. Suponha que g(1, 1) = 3,
(1, 1, 3) = 2,
(1, 1, 3) = 5 e
(1, 1, 3) = 10.
∂x
∂y
∂z
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1, 3).
2