Universidade de Brası́lia
Departamento de Matemática
Cálculo I
Prova 2 - 1.o /2003 - 02/06/2003
– Gabarito –
1) Em um experimento, um pequeno foguete é lançado por meio de motores que imprimem
uma aceleração positiva ao foguete. Pouco depois, os motores são desligados, o foguete
continua a subir até alcançar uma altura máxima para, em seguida, começar a cair em
queda livre. Instantes depois, abre-se um pára-quedas que reduz a velocidade de queda e
impede que o foguete se danifique ao pousar. A figura abaixo ilustra o gráfico da velocidade
do foguete, em m/s, a partir do lançamento.
Observação: os items dessa questão diferiam de prova para prova, e segue uma solução que
responde a todos eles.
a) Sobre o instante em que os motores foram
desligados.
150
100
Solução: os motores foram desligados no
instante em que a velocidade começou a diminuir, isto é, em t = 20.
PSfrag replacements
b) Sobre o instante em que o foguete alcançou
a altura máxima.
50
0
20
40
60
80
100 120
–50
Solução: o foguete alcançou a altura máxima em t = 80, pois é o instante em que a
velocidade se anula.
c) Sobre o instante em que o pára-quedas foi aberto.
Solução: foi no instante t = 100, em que a velocidade de queda do foguete muda
bruscamente de comportamento, passando de decrescente para crescente.
d) Sobre o intervalo de tempo entre o inı́cio da queda e a abertura do pára-quedas.
Solução: entre o inı́cio da queda em t = 80 e a abertura do pára-quedas em t = 100
decorreram 20 segundos.
e) Sobre o comportamento da função s(t), que descreve a posição do foguete no instante
t, em uma vizinhança do instante t0 = 20.
Solução: indicando por v(t) a velocidade do foguete no instante t, tem-se s0 (t) = v(t),
e portanto s00 (t) = v 0 (t) é a aceleração do foguete. Do gráfico percebe-se que, em uma
vizinhanção de t0 = 20, v 0 (t) > 0 para t à esquerda e v 0 (t) < 0 para t à direita desse
instante, e portanto t0 = 20 é um ponto de inflexão de s(t).
2) Suponha que um barco seja puxado para o cais por uma corda presa à sua proa, situada
6 m abaixo do apoio da corda no cais, conforme a figura abaixo. Suponha ainda que a corda
seja puxada com uma velocidade de 2 m/s. Nesse caso, o comprimento c(t) da corda entre
a proa e o apoio, a distância d(t) do barco ao cais e o ângulo θ(t) entre a corda e a vertical
são funções do tempo t. Denote por t0 o instante em que c(t0 ) = c0 m.
Observação: nessa questão, o comprimento c0 diferia de prova para prova, e segue uma
solução que responde a todos os casos.
a) Calcule o valor de d(t0 ).
c(t)
rag replacements
Resposta:
θ(t)
d(t)
6
d(t0 ) =
q
c20 − 62 m
Solução: basta utilizar o Teorema de
Pitágoras no triângulo retângulo de lados
d(t0 ), c(t0 ) e 6 m.
b) Calcule a derivada d0 (t0 ).
Resposta:
−2 c0
d0 (t0 ) = p
m/s
c20 − 62
Solução: novamente por Pitágoras, segue-se que as medidas c(t), d(t) e 6 estão relacionadas por
c2 (t) = d2 (t) + 62 .
Derivando implicitamente essa igualdade com relação ao tempo e isolando d0 (t), obtémse d0 (t) = c(t) c0 (t)/d(t). Observe agora que c0 (t) = −2, uma vez que a corda está sendo
puxada com uma velocidade de 2 m/s. Após esta observação, basta substituir t = t 0
na expressão de d0 (t), usar o resultado obtido no item a) e os valores de c(t0 ) = c0 e
c0 (t0 ) = −2.
c) Calcule o valor de tg(θ(t0 )).
p
c20 − 62
tg(θ(t0 )) =
6
p
Solução: a tangente de θ(t0 ) é igual à medida d(t0 ) = c20 − 62 do cateto oposto
dividida pela medida 6 do cateto adjacente.
Resposta:
d) Usando os itens anteriores e a regra da cadeia, calcule a taxa de variação de θ(t) no
instante t0 .
Resposta:
θ 0 (t0 ) =
−12
p
rad/s
c0 c20 − 62
Solução: em um instante genérico t, tem-se tg(θ(t)) = d(t)/6. Derivando esta igualdade em relação a t, obtém-se que ( 1 + tg2 (θ(t)) ) θ 0 (t) = d0 (t)/6. Bastaqagora isolar
θ 0 (t), susbtituir t = t0 e usar os valores já calculados de tg(θ(t0 )) =
q
0
d (t0 ) = −2 c0 / c20 − 62 .
c20 − 62 /6 e
3) Conforme ilustra a figura ao lado, as áreas dos retângulos inscritos
na circunferência
√
2
2
x + y = 16 podem ser calculadas por meio da função A(x) = 4 x 16 − x2 , com x ∈ [0, 4].
a) Calcule os pontos crı́ticos da função A(x) no intervalo (0, 4).
y
Solução: para x ∈ (0, 4), a derivada A0 (x) é
dada por
8 − x2
A0 (x) = 8 √
.
16 − x2 PSfrag replacements
x
Assim,
√ o único ponto crı́tico da função A(x) é
x = 8.
b) Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento da função A(x).
Solução: o sinal de A0 (x) é igual ao sinal do polinômio 8 − x2 , que é positivo no
√
√
8)
e
negativo
no
intervalo
(
8, 4). Daı́ segue-se que A(x) é cerscente em
intervalo
(0,
√
√
(0, 8) e decrescente em ( 8, 4).
c) Determine os intervalos em que a concavidade do gráfico de A(x) é voltada para baixo
e os intervalos em que concavidade é voltada para cima.
Solução: a derivada segunda da função é igual a
A00 (x) = 8
x (x2 − 24)
.
(16 − x2 )3/2
e o sinal de A00 (x) é igual ao sinal do polinômio x (x2 − 24). Ora, este polinômio
é negativo para x ∈ (0, 4), e portanto A00 (x) < 0 em todo o intevalo aberto (0, 4).
Segue-se que A(x) tem sempre concavidade voltada para baixo.
d) Esboce o gráfico de A(x).
Solução: utilizando as informações obtidas nos itens anteriores e os valores A(0) = 0
e A(4) = 0, obtém-se que o gráfico de A(x) é como ilustrado abaixo.
PSfrag replacements
√
8
4
4) Suponha que, na produção de uma lata de refrigerante, o custo do material da lateral
e do fundo é de uma unidade monetária por centı́metro quadrado, mas para o material da
tampa esse custo é de 98/27 unidades monetárias. Suponha ainda que a lata seja cilı́ndrica
de raio r cm, altura h cm e que o volume seja constante e igual a 53 π cm3 , conforme ilustra
a figura abaixo.
r
a) Obtenha a expressão da altura h em função do raio r e
do volume da lata.
Solução: o volume V da lata é dado pela área da base
π r 2 vezes a altura h, isto é, V = π r 2 h. Usando que
V = 53 π cm3 e isolando h na igualdade anterior, obtémse h = h(r) = 53 /r 2 cm.
h
PSfrag replacements
b) Calcule a área lateral L(r) da lata em função do raio r.
Solução: substituindo h = h(r) na expressão da área
lateral L = 2 π r h, obtém-se L(r) = 2 π 53 /r.
c) Determine a função C(r) que, a cada r, associa o custo de produção de uma lata de
raio r.
Solução: a soma das áreas lateral e do fundo é igual a L(r) + π r 2 , enquanto que a
área da tampa é π r 2 . Considerando o custo destes materiais e a expressão de L(r),
segue-se que C(r) é dada por
53
98 2
C(r) = 2 π
+ π r2 +
πr .
r
27
d) Calcule o valor r0 que minimiza o custo de produção, justificando a sua resposta.
Solução: é claro que C(r) > 0 e, estudando o comportamento desta função com r → 0 +
e r → ∞, obtém-se
lim+ C(r) = lim C(r) = ∞.
r→0
r→∞
Assim, C(r) possui um ponto de mı́nimo r0 no intervalo aberto (0, ∞), e portanto r0
é um ponto crı́tico de C(r).
A derivada C 0 (r) é dada por
C 0 (r) = −2 π
53
98
+2πr +
2 π r.
2
r
27
e os pontos crı́ticos são as soluções da equação C 0 (r) = 0. Calculando, obtém-se que o
único ponto crı́tico é r = 3.
Como r0 é necessariamente um ponto crı́tico da função, segue-se que r0 = 3.