ESCOLA SECUNDÁRIA DE S. LOURENÇO Binómio de Newton (a+b)0 1 (a+b)1 1 a +1 b 1 a2 +2 ab +1 b2 1 a3 +3 a2b +3 ab2 +1 b3 1 a4 +4 a3b +6 a2b2 +4 ab3 +1 b4 … 5 … 10 … 10 … 5 … 1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 … 1 1 6 15 20 15 6 … 1 Notas: - O grau do polinómio do desenvolvimento de (a+b)n é n - Os coeficientes dos termos são os números do triângulo de Pascal Fórmula do binómio de Newton (a + b) n = n C 0 a n + n C1a n −1b + nC 2 a n − 2 b 2 + ...+ n C n −1ab n −1 + n C n b n ou seja (a + b) n = n ∑ nC p a n − p b p p =0 Propriedades do binómio de Newton - O desenvolvimento de (a+b)n tem n+1 termos - No desenvolvimento de (a+b)n os coeficientes dos termos igualmente afastados dos extremos são iguais. - O termo de ordem p+1 é Tp+1= nC p a n − p b p , esta expressão permite calcular qualquer termo, conhecida a sua ordem , sem que seja necessário escrever todo o desenvolvimento. Exemplos de aplicação Escrever o 4º termo do desenvolvimento de (x-4y)8 Temos então Tp+1= nC p a n − p b p ou seja T4= 8C3 x10 − 3 (−4 y ) 3 = −960 x 7 y 3 A soma dos 2 primeiros elementos de uma linha do triângulo de Pascal é 21. Qual é o 4º elemento da linha seguinte? R: O 1º elemento de uma linha é sempre 1 e o segundo é n logo n=20. Então o 4º elemento da linha seguinte é 21C3 = 1330 . a b c d e f g h representa uma linha completa do triângulo de Pascal onde os números estão substituídos por letras. Indique o valor de f e a soma dos elementos dessa linha. R: Como a linha tem 8 elementos então n=7, assim 7 C5 = 21 . A soma dos elementos da linha é então 27 = 128. A soma dos 3 últimos números de uma linha do triângulo de Pascal é 291. Determine o 3º elemento da linha seguinte. A linha será do tipo 1 x seguinte é 290. 1 x y 1 1+x x+y y em que x+y = 290, assim o 3º elemento da linha