Órgãos de Máquinas I
CAPITULO II
DINÂMICA DE MÁQUINAS
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Órgãos de Máquinas I
SUMÁRIO DO CAPITULO 2
DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO: FORÇA E ACELERAÇÃO
 Objectivos
 Introdução
 Momentos de inércia de massa
 Teorema dos eixos paralelos
 Equações do movimento de translação e rotação de um corpo rígido
 Equações do movimento plano geral
DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO:TRABALHO E ENERGIA
 Objectivos
 Introdução
 Energia cinética de um corpo rígido
 Trabalho de uma força e de um binário
 Princípio do trabalho e energia
 Conservação da energia
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Órgãos de Máquinas I
DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO: FORÇA E ACELERAÇÃO
OBJECTIVOS:
 Apresentar os procedimento utilizados para determinar o momento de inércia de massa de um
corpo
 Desenvolver as equações de movimento da dinâmica no plano de um corpo rígido.
 Discutir as aplicações dessas equações a corpos em translação, em rotação em torno de um
eixo fixo e com movimento plano geral.
 Associar as forças envolvidas com possíveis falhas das máquinas e métodos de manutenção
aplicados.
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Órgãos de Máquinas I
INTRODUÇÃO
A máquina é um conjunto de elementos utilizados nas mais diversas funções, nomeadamente para
suportar componentes rotativos e/ou transmitir potência, movimento rotativo ou axial. Os
elementos constituintes da máquinas trabalham em condições extremamente variáveis de
ambiente e carregamento. Assim o conhecimento do comportamento dinâmico, individual ou em
conjunto dos elementos da máquina (mecanismo) é essencial a projectistas e/ou responsáveis
pela manutenção.
As possíveis falhas dos elementos de máquinas solicitados por carregamentos dinâmicos são:
 Desgaste na região dos mancais
 Falha por fadiga
 Falha devido a sobre tensões originadas por esforços de:
Tracção
Compressão
Torção
Flexão
Esforços combinados
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MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA
• A aceleração angular da massa infinitesimal Δm em torno do eixo AA`
devido à aplicação de um momento, é proporcional a r2 Δm.
r2 Δm =
momento da inércia da massa Δm relativamente ao eixo
AA’
• Para um corpo de massa m a resistência à rotação em torno do
eixo AA' é:
I  r12 m  r22 m  r32 m  
  r 2 dm  Momento de Inércia de uma massa
• Raio de giração, k :
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I  k 2m
k
I
m
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MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA
• Momento de inércia relativamente ao eixo coordenado y é:
Iy 
r
2
dm 
 z
2

 x 2 dm
• Similarmente, para o momento da inércia relativamente aos
eixos x e z:
Ix 
Iz 
 y
2
 x
2
 y2
• Em unidades SI:
I   r 2dm [kg  m2 ]
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
 dm
 z 2 dm
Órgãos de Máquinas I
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
• Para eixos rectangulares com origem em O e eixos centroidais
paralelos,
Ix 

2
2
2
2
 y  z  dm    y  y   z   z  dm
2
2
2
 y  z   dm  2 y  ydm  2 z  z dm  y


I y  I y  mz 2  x 2 
I z  I z  mx 2  y 2 
I x  I x  m y 2  z 2
• Generalizando para um eixo qualquer AA ':
I  I  md 2
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 z2
  dm
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MOMENTOS DE INÉRCIA DE PLACAS FINAS
• Para uma placa fina com espessura uniforme t e material homogéneo
de densidade ρ, o momento de inércia da sua massa relativamente ao
eixo AA ' da placa é:
I AA   r 2 dm  t  r 2 dA
  t I AA, area
• Similarmente, para o eixo perpendicular BB ' da placa:
I BB  t I BB,area
• Para o eixo CC’ perpendicular à placa:
I CC    t J C ,area   t I AA,area  I BB,area 
 I AA  I BB
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MOMENTOS DE INÉRCIA DE MASSA PARA PLACAS FINAS
• Para eixos centroidais principais em uma placa
rectangular:
I AA   t I AA, area   t


1
12
I BB   t I BB, area   t
1
12

a3b 

ab3 
I CC  I AA, mass  I BB, mass 
1
12
1
12
1
12
ma2
mb2

m a 2  b2

• Para os eixos centroidais em uma placa circular:
I AA  I BB   t I AA, area   t
I CC  I AA  I BB  12 mr 2
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
1
4

 r 4  14 mr 2
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Órgãos de Máquinas I
Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns
Barra esbelta
Placa rectangular fina
Disco delgado
Cilindro circular
Prisma rectangular
Cone circular
Esfera
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CENTRO DE GRAVIDADE PARA SÓLIDOS HOMOGÉNEOS
xG 
 (mi .xi )
i
yG 
 mi
i
 (mi . yi )
i
 mi
i
zG 
 (mi .zi )
i
 mi
i
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Órgãos de Máquinas I
EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO RECTILÍNEA
Na translação rectilínea, todas as partículas de um corpo se movem ao longo de trajectórias
rectilíneas paralelas.
d

F3

m aG
A

F4

M2
A

M1
G

Fg

F1
G


F2
Ponto de referência G
Ponto de referência A
 Fx
 m (a G ) x
 Fx
 m (a G ) x
 Fy
 m (a G ) y
 Fy
 m (a G ) y
 MG
0
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MA

 (M d ) A
 m(aG ) d
Órgãos de Máquinas I
EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA
Na translação curvilínea, todas as partículas de um corpo se movem ao longo de trajectórias
tˆ
curvas.
tˆ

F3

F4

M1
B

M2


F2
G

Fg

(maG )t
h

(maG ) n
G
B
nˆ
nˆ
e

F1
Ponto de referência G
Ponto de referência B
 Fn
 m (a G ) n
 Fn
 m (a G ) n
 Ft
 m (a G )t
 Ft
 m (a G )t
 MG
0
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 MB

 (M D ) B
 e [m (a G )t ]  h [m (a G ) n ]
Órgãos de Máquinas I
MOVIMENTO ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

F3


F3

F2

M2

F4
G

M1


Fg
O


rG

F1

F2

M2

(aG ) t

F4

w
G

M1

( aG ) n
O

FO
Ponto de referência G
 Fn  m (aG )n  m w2 rG
 Ft
 m (aG )t  m  rG
 M G  IG α

F1
Ponto de referência O
 Fn
 m (aG )n  m w2 rG
 Ft
 m (aG )t  m  rG
 MO
 ( M d )O  I O α
Teorema dos eixos paralelos: I O  I G  mrG2
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Órgãos de Máquinas I
EXEMPLO DE MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

F

m (a G ) t

G

M

Fg
ox o

m (a G ) n

IG 
G
O
oy
Ponto de referência G
 Fn
 m (aG )n  m w2 rG
 Ft
 m (aG )t  m  rG
 MG
A manivela da bomba de petróleo sofre uma
rotação em relação a um eixo fixo causada pelo
momento motriz M do motor.
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 IG α
Ponto de referência O
 Fn
 m (aG )n  m w2 rG
 Ft
 m (aG )t  m  rG
M
O
 ( M d ) O  I O α
Teorema dos eixos paralelos: I O  I G  md 2
Órgãos de Máquinas I
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO: PLANO GERAL

F3



F4

M2

F2

M1
G

F3
y

w
x


Fg
Ponto de referência G
 Fx  m (aG )x
M
 m (aG )y
G
 IG α
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
F2

m(aG ) y
G

IG 

F1
 Fy

F4

maG

m(aG ) x

F1
O
Ponto de referência O
 Fx
 m (aG )x
 Fy
 m (aG )y
M
o
  (M d ) o
Órgãos de Máquinas I
EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA
A placa fina de 8 kg de é mantida em equilíbrio estático através das barras de ligação AE, DF
e o fio BH como mostra a figura. Desprezando a massa das barras de ligação, determine
imediatamente após cortar o fio BH:
(a) aceleração da placa;
(b) a força em cada uma das barras de ligação.
Exemplo de aplicação
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Órgãos de Máquinas I
SOLUÇÃO
Depois do fio cortado, todas as partículas da placa se movem ao longo de trajectórias
circulares paralelas de raio 150 mm. A placa encontra-se em translação curvilínea.
 Ft

 (Ft )d
 Ft

 mat
2
mg cos 30  mat  at  8.66 m/s
 MG

 (M G ) d

 MG
0
 0.25 * FAE sen 30º  0.1 * FAE cos 30º 0.25 * FDF sen 30º 
 0.1 * FDF cos 30º  0  FDF  0.1815FAE
 Fn

 (Fn ) d

 Fn
0
FAE  FDF  80 sin 30  0  FAE  0.1815 FAE  80 sin 30  0
FAE  47.9 N
FAE  47.9 N T
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FDF  8.70 N C
a  8.66 m/s2
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Exercício de Aplicação
O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado do eixo de manivela de um motor a
combustão. Sabendo-se que LAB = 150 mm, LBC = 750 mm e que no instante mostrado = 60° a
barra AB possui uma velocidade angular wAB = 500 rpm no sentido anti-horário e as massas da
barra BC e do pistão são respectivamente iguais a: mBC = 10 kg, e mP = 15 kg, determine:
a) a velocidade angular da barra BC;
b) a velocidade do pistão C;
c) as acelerações do sistema;
d) as forças actuantes nas conexões B e C;
e) as tensões actuantes nos pinos (dP =10 mm) das articulações B e C.
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Órgãos de Máquinas I
Dinâmica plana de um corpo rígido: Trabalho e Energia (cinética)
OBJECTIVOS:
 Desenvolver e aplicar na resolução de problemas de dinâmica plana do corpo rígido:
Formulações matemáticas relacionadas com as diferentes formas de
manifestação da energia e do trabalho.
 Aplicar na resolução de problemas de dinâmica de máquinas o princípio do trabalho e
energia.
 Aplicar o principio da conservação da energia na solução de problemas de dinâmica plana
de corpos rígidos.
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Órgãos de Máquinas I
Energia cinética: movimento plano geral
 A energia cinética de um corpo rígido é constituída por energia cinética de
translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação
(determinada a partir do conhecimento do momento de inércia do corpo em
relação ao seu centro de massa) …
EC 
1
1
m vG2  I G w 2
2
2
w
Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na determinação
das variáveis vG e w ou para estabelecer relações entre estas duas variáveis.
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Órgãos de Máquinas I
Energia cinética: movimentos de translação e de rotação (eixo fixo)
Translação: Sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito a um movimento de
translação rectilínea ou curvilínea, a energia cinética de rotação é nula pois w = 0:
EC 
1
1
2
2
m vG2  m  vGx
 vGy

2
2


vG  v
G
Rotação em torno de um eixo fixo: Quando um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo,
o corpo apresenta energia cinética de translação (em G) e de rotação.

vG
EC 
pois
1
IO w 2
2
I O  I G  m rG2
G

EC 
1
1
m vG2  I G w 2
2
2
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
rG
Órgãos de Máquinas I
Energia cinética: movimento de rotação em relação a um eixo móvel
Ec   dEc 
vP  vO  w  r
m

1
vP  vP dm 

2m
1
  vO  vO  2vO  w  r  w  r  w  r dm 
2m
1
1
 mvO2  vO  w  rOG m  I Ow 2 
2
2
1
1
 mvO2  m  xOG vOy  yOG vOx  w  I Ow 2
2
2
Logo
Ec 
1 2 1
mvO  I Ow 2
2
2
(!)
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P
y
vO
r
x
Órgãos de Máquinas I
Trabalho de uma força
Introdução
 Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar o movimento plano de
corpos rígidos.

O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de problemas de movimento
plano de corpos rígidos que envolvam forças, deslocamentos e velocidades.
 Pontos de análise do trabalho de uma força:
- O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos que
realizam trabalho ao longo da trajectória do corpo rígido.
- Uma força realiza trabalho quando se move segundo a sua linha de acção.
- Graficamente o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento.
- O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos dos
vectores força/momento e deslocamento.
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Órgãos de Máquinas I
Forças que actuam em corpos rígidos sem realizar trabalho
 Forças aplicadas a pontos fixos ou perpendiculares à direcção do deslocamento:
- Reacções em pinos de dimensões desprezáveis, em relação aos quais o corpo se move.
- Reacção normal quando actua sobre um corpo que se move sobre uma superfície fixa.
- Força gravítica quando o seu centro de gravidade se move num plano horizontal.
- Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando rola sem deslizar sobre
uma superfície rugosa (isto porque a força actua em um ponto do corpo com
velocidade nula (C.I)).
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Órgãos de Máquinas I
Simpificações:
Seja Fi uma qualquer força relevante p/a o funcionamento do sistema e aGi a
aceleração do centro de massa do componente i
mi aGi
aGi
Fi
g  10 m/s2

análise estática

o peso do componente é irrelevante
Os esforços de atrito em articulações são usualmente desprezados (quando se
trata da determinação de reacções e esforços internos)
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Órgãos de Máquinas I
Trabalho realizado por diferentes forças
Trabalho realizado
Força variável
Formulação Matemática
WF   Ft ds
Observações
(F)t representa
tangencial de F.
a
componente
s
Força constante
Força gravítica
Força exercida por uma mola
Binário de momento variável
Binário de momento constante
WFC   FC t s
(FC)t representa a componente
tangencial da força (segundo a
direcção do movimento).
WFg  Fg h
O sinal para W é definido pelos
sentidos dos vectores força e
deslocamento.
Wk  (
1
1
k d 22  k d12 )
2
2
WM 
2
 M d
1
WM  M 
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d1: deformação inicial da mola
d2: deformação final da mola
Órgãos de Máquinas I
Princípio do trabalho e energia
 O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de problemas que envolvam
mecanismos constituídos por diversos elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser
aplicado a cada um dos elementos isoladamente.
 Quando vários corpos são interligados por pinos, conectados por cabos indeformáveis ou
interligados entre si sem a utilização de elementos flexíveis o principio do trabalho e energia
pode ser aplicado a todo o sistema de corpos interligados.
EC 1  W12  EC 2
Esta equação estabelece que a variação da energia cinética do corpo (de translação e de
rotação), entre os instantes inicial e final, é igual ao trabalho realizado por todas as forças e
momentos externos que nele actuam.
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Órgãos de Máquinas I
Potência
A potência mecânica (P) de uma máquina quantifica a sua capacidade de trabalho
por unidade de tempo.
Assim, se uma máquina é capaz de aplicar a um corpo rígido:
• uma força Ft sobre um ponto com velocidade v,
P
dW Ft ds

 Ft v
dt
dt
[w]
• um momento M à velocidade angular w,
P
dW
M d

 Mw [w]
dt
dt
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7000N.m @ 2700rpm
Órgãos de Máquinas I
Conceito de potência
SD80MAC (USA, 1994)
potência disponível p/a tracção
Para realizar o mesmo trabalho
sobre o comboio, a locomotiva mais
recente precisará de mais tempo do
que o que a outra máquina porque é
menos potente.
Mas…
PRR S1 (USA, 1938)
Alfred Bruce, The Steam Locomotive in America [p.386], Bonanza Books, New York 1952.
Diesel-Electric Locomotive SD80MAC with Three-Phase Drive, Siemens Technical Information, Transportation Systems Group, Siemens AG
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Órgãos de Máquinas I
Exemplo de aplicação
Estime a) o declive que o camião pode vencer
à velocidade constante de 60km/h, na última
relação de transmissão, e b) o seu consumo,
em patamar, para uma velocidade de 80 km/h.
i) w=1400 rpm  v=85 km/h
m
v2
ii) FR 

[kN]
14 2460
FR = resistência ao movimento do conjunto (expressão empírica):
[v]=[km/h]; [m]=[ton]
iii) O consumo específico do motor é de 190 g/kwh.
iv) A eficiência da transmissão é de ~88%.
TM - Transporte Mundial, Motorpress-Ibérica, nº 45, [p.39], 07/1999.
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Potência e Binário do motor
Órgãos de Máquinas I
Caso de estudo: Rolamento de um corpo rígido
Um corpo roliço (com uma forma qualquer) rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal,
acabando por imobilizar-se ao fim de algum tempo. A força responsável pela desaceleração do
corpo é naturalmente a força de atrito de rolamento Fa.
No entanto, de acordo com o princípio do trabalho e energia, já enunciado,
EC 1  W12  EC 2
como justifica a imobilização do corpo se nenhuma das forças representadas realiza trabalho
nesse período (note que Fa actua no C.I.R. e que o peso e a normal são perpendiculares a v)?
mg
v = wR
Procure a resposta, estudando o mecanismo
de rolamento de um corpo rígido…
Fa
N
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Órgãos de Máquinas I
O método dos trabalhos virtuais baseia-se no princípio da conservação da energia.
Permite conhecer as condições de equilíbrio de um sistema mecânico sem que seja
necessário estudar cada corpo do sistema.
O trabalho de uma força (F) correspondente um deslocamento infinitesimal (dr), ou
deslocamento virtual, é definido como a quantidade
 
dW  F  dr  Ft ds
e designa-se de trabalho virtual. Analogamente, para o movimento de rotação, tem-se
dW  M d
Assim, para um sistema articulado de corpos rígidos, sendo desprezável o atrito, pelo
princípio do trabalho e energia tem-se que
dW  dEc 
dW dEc

dt
dt
ou
 M w F  v  m a  v  I
i
i
t i i
i
Gt i Gi
Gi
iwi
Forças (tangenciais) e momentos exteriores aplicados ao corpo i
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Órgãos de Máquinas I
Exemplo de aplicação
Um compressor volumétrico usa o mecanismo biela - manivela representado para accionamento do
pistão D (com diâmetro nominal DP e massa mP). Determine para uma velocidade angular de
1500rpm (constante e com sentido anti-horário), e para o ângulo  = 45º, o momento aplicado ao
braço AB da cambota. Considere ainda: aP  877 m/s2 vP  6.55 m/s wBD  28.2 rad/s BD  4289 rad/s2
p = 2,5 bar
Dados:
DP = 70mm
R = 50mm
L = 200mm
mP = 500g (incluindo a massa da cavilha D)
mB = 800g
L
Nota: Despreze o atrito e os pesos próprios
do pistão e da biela.
R
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Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns
Barra esbelta
Placa rectangular fina
Disco delgado
Cilindro circular
Prisma rectangular
Cone circular
Esfera
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Órgãos de Máquinas I
DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO:TRABALHO E ENERGIA
OBJECTIVOS:
 Desenvolver e aplicar na resolução de problemas de dinâmica plana do corpo
rígido:
Formulações matemáticas relacionadas com as diferentes formas de
manifestação da energia e do trabalho.
 Aplicar na resolução de problemas de dinâmica de máquinas o princípio do
trabalho e energia.
 Aplicar o principio da conservação da energia na solução de problemas de dinâmica
plana de corpos rígidos.
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Órgãos de Máquinas I
ENERGIA CINÉTICA
INTRODUÇÃO
 A energia cinética está relacionada com o movimento dos corpos.
 A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes: energia cinética de
translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação (determinada a partir do
conhecimento do momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa)
 A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes: energia cinética de
translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação (determinada a partir do
conhecimento do momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa)
 Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na determinação das variáveis
vG e w ou para estabelecer entre estas duas variáveis.
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Órgãos de Máquinas I
ENERGIA CINÉTICA
TRANSLAÇÃO: sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito a um movimento de
translação rectilínea ou curvilínea, a energia cinética de rotação é nula pois w = 0:
EC
1
 m vG2
2


vG  v
G
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO: quando um corpo rígido roda em torno de
um eixo fixo, o corpo apresenta energia cinética de translação e rotação.

vG
EC 
1
1
m vG2  I G w2
2
2
G
EC 
1
I O w2
2
IO  IG  m d 2
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
rG
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ENERGIA CINÉTICA
MOVIMENTO PLANO GERAL: quando um corpo rígido está sujeito a um movimento plano
geral, encontra-se animado de uma velocidade angular w e o seu centro de massa tem uma
velocidade angular vG. Assim, o corpo possui energia cinética de translação e energia
cinética de rotação em torno do seu centro de massa.
EC 
1
1
m vG2  I G w2
2
2
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
w
Órgãos de Máquinas I
TRABALHO DE UMA FORÇA
INTRODUÇÃO
 Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar o movimento plano de
corpos rígidos.

O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de problemas de movimento plano
de corpos rígidos que envolvam forças, deslocamentos e velocidades.
 Pontos de análise do trabalho de uma força:
- O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos que
realizam trabalho ao longo da trajectória do corpo rígido.
- Uma força realiza trabalho quando se move na sua direcção.
- Graficamente, o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento.
- O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos dos
vectores força/momento e deslocamento.
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Forças que actuam nos corpos rígidos e não realizam trabalho
 Forças aplicadas a pontos fixos:
- Reacções em pinos de apoio em relação aos quais o corpo se move.
 Forças que actuam numa direcção perpendicular ao seu deslocamento:
- Reacção normal quando actua sobre um corpo que se move sobre uma superfície fixa.
- Força gravítica quando o seu centro de gravidade se move num plano horizontal.
- Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando rola sem deslizar sobre
uma superfície rugosa. Isto ocorre, porque durante qualquer intervalo de tem a força
actua em um ponto do corpo com velocidade nula (C.I). Isto é, o ponto de contacto
não é deslocado na direcção da força durante esse instante.
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Tabela resumo da formulação matemática do trabalho realizado por diferentes forças
Trabalho realizado
Força variável
Força constante
Formulação Matemática
WF  s F cos  ds
, representa o ângulo entre a
extremidade do vector força e e o
deslocamento diferencial
WFC  FC cos  S
FC COS , representa o módulo da
componente da força na direcção da
força.
Força gravítica
WFg  Fg ∆h
Força de uma mola
1
1
Ws  ( k s22  k s12 )
2
2
Binário de momento variável
Binário de momento constante
Observações
WM 
2
 M d
1
WM  M (  2  1 )
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O sinal para W é definido pelos
sentidos dos vectores força e
deslocamento.
O sinal para W é definido pelos
sentidos dos vectores força e
deslocamento.
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PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA
 O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de problemas que envolvam
mecanismos constituídos por diversos elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser
aplicado a cada um dos elementos isoladamente.
 Quando vários corpos são interligados por pinos , conectados por cabos indeformáveis ou
interligados entre si sem a utilização de elementos flexíveis o principio do trabalho e energia
pode ser aplicado a todo o sistema de corpos interligados.
EC 1  W12  EC 2
Esta equação estabelece que a energia cinética de translação e rotação inicial do corpo,
somada ao trabalho realizado por todas as forças e momentos externos que actuam no corpo
quando ele se move da sua posição inicial até à sua posição final, é igual à energia cinética de
translação e rotação final do corpo.
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CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
 Quando sobre um sistema actuam apenas forças conservativas o princípio do trabalho e
energia pode ser substituído na resolução de problemas pelo teorema da conservação da
energia.
Energia potencial gravitacional
EPg  m g yG
A convenção de sinais utilizada para a energia potencial gravitacional é a mesma que a
apresentada para o trabalho realizado pela força gravítica.
Energia potencial elástica
EPe 
1 2
ks
2
A energia potencial elástica é considerada positiva quando os vectores força elástica e
deslocamento têm o mesmo sentido. É negativa quando os sentidos dos vectores referidos é
oposto.
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ENERGIA MECÂNICA
(1) Em  EC  EP com:

EC  ECT  EC R
EP  EPg  EP e
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
(2) EC1  EP1  WFnão cons .  EC2  EP2
O termo da equação 2, WF não cons. representa o trabalho realizado pelas forças não
conservativas como a força de atrito. Se este termo for nulo então a equação 2, vem:
EC1  EP1  EC2  EP2  Em1  Em2
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Teorema da conservação da energia mecânica
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POTÊNCIA
Potência: é o trabalho realizado num determinado intervalo de tempo
• Para um corpo rígido sujeito a uma força F e se move com velocidade v:
P
dW
F ds

 F v [w]
dt
dt
• Para um corpo rígido submetido a um binário de momento M e se move
com velocidade angular w:
P
dW
M d

 Mw [w]
dt
dt
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