CENTRO DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA E ENERGIA
Física Teórica e Experimental I – Professora Erica Monteiro Diogo
Métodos gráficos
1. Introdução
Freqüentemente, em experiências de Física, medimos os valores de uma dada grandeza em função da variação
nos valores de outra grandeza. O resultado é uma série de medidas que relaciona a variação de uma grandeza
com outra. Se precisarmos conhecer o comportamento de outros valores que não foram medidos, podemos utilizar
o método gráfico para estimar como será este comportamento.
Um gráfico, freqüentemente, nos permite determinar a dependência funcional entre as variáveis envolvidas e
assim poder estimar por interpolação ou extrapolação outros valores que não tenham sido dados pela série de
medidas. Para tal fim, ligamos os pontos experimentais por uma curva suave e através da análise gráfica
(análise do gráfico) obtemos a relação matemática entre as variáveis. Trata-se de uma poderosa ferramenta de
análise de dados experimentais, que tem levado à formulação de novas leis físicas. Além disso, o método gráfico
é extremamente útil na comparação de dados teóricos e experimentais, pois qualquer discrepância entre a teoria e
o experimento é facilmente observada.
2. Construção de gráficos numa escala linear
Uma escala linear é construída de tal modo que a distância entre marcas sucessivas das escalas, ao longo de
cada eixo, é constante (o papel milimetrado é um exemplo).
Etapas na construção de um gráfico numa escala linear:
1. Em geral, num gráfico, a grandeza representada em cada eixo recebe o nome de variável. O primeiro passo é
identificar as variáveis (grandezas) que serão lançadas em cada eixo do gráfico. Portanto, os eixos devem ser
identificados com a grandeza e sua unidade (indicada por vírgula ou parênteses). O eixo horizontal é
chamado de abscissa e nele lança-se os valores numéricos da variável independente. No eixo vertical, também
denominada ordenada, lança-se os valores numéricos da variável dependente.
2. A seguir devemos escolher escalas apropriadas para cada eixo, de acordo com o número de
algarismos significativos dos dados. Na seção 2.1 será discutido o procedimento a ser seguido na escolha de
uma boa escala. Como a escolha da escala para cada eixo vai depender dos algarismos significativos dos
valores numéricos da variável correspondente, as escalas adotadas para cada eixo, em geral, serão diferentes.
No entanto, uma boa escolha das escalas deve permitir que todos os pontos experimentais fiquem contidos na
região do papel delimitada pelos dois eixos, de forma que o gráfico não fique limitado a uma pequena região da
folha. As escalas devem ser marcadas nos eixos a intervalos iguais e com o número correto de
algarismos significativos. Não se deve marcar nada entre os intervalos, nem mesmo os valores dos pontos
experimentais, pois os intervalos irão nos auxiliar na visualização da ordem de grandeza dos valores.
3. Lançar os valores numéricos dos pares de valores contidos na tabela de dados. Cada par de valores da
tabela gera um ponto no gráfico (ponto experimental), é costume indicá-los por um pequeno círculo ou asterisco.
Para tal fim devemos determinar o ponto de interseção entre as retas paralelas aos eixos traçadas a partir dos
valores numéricos nos eixos correspondentes. Também, é recomendável colocar nos pontos experimentais as
chamadas barras de incerteza que representam os erros na medida dos dados.
4. A última etapa compreende a análise gráfica da seqüência dos pontos experimentais, procedimento a ser
discutido posteriormente na seção 3.
Espaço percorrido (m)
500
400
300
200
100
0
0
2
4
6
8
10
Tempo (s)
Figura 1 - Modo de se indicar os intervalos e os pontos experimentais num gráfico.
2.1. Escala
Ao construir um gráfico numa escala linear, devemos escolher escalas apropriadas para cada eixo. Assim, por
exemplo, numa folha de papel quadriculado ou milimetrado (exemplos de escalas lineares) cada unidade de
comprimento passará a corresponder a um dado valor da grandeza. O parâmetro de correspondência chama-se
de fator de escala m.
Seja x a grandeza cujos valores numéricos serão lançados num dos eixos do gráfico. Primeiro identificamos, na
tabela de dados, o menor valor de x (x0), que é tomado como o referencial no eixo (em alguns casos é
conveniente considerar x0 igual a zero). A distância l em relação ao referencial escolhido, que representa em
unidades de comprimento um dado valor de x é obtida pela relação:
l  m(x - x0 )
onde m é o fator de escala e x0 é o menor valor da grandeza (ou zero). O fator de escala m é obtido através de
uma regra de três:
m
l max
x max  x0
onde lmax é o comprimento total do eixo e xmax é o máximo valor da grandeza.
É aconselhável, para facilitar as contas, utilizar-se sempre um fator de escala arredondado múltiplo de 2 ou 5
(sempre para menos). Caso m seja menor do que 1 deixá-lo com apenas um algarismo significativo múltiplo de 5.
É importante observar que muitas vezes o procedimento acima não é o mais recomendado pois resulta em fatores
de escala que dificultam a marcação dos pontos experimentais no gráfico. Não é necessário que o primeiro e/ou
que o último ponto da tabela correspondam ao início e/ou ao final do eixo, respectivamente.
2.2. Análise gráfica
A análise gráfica consiste em descobrir a dependência funcional entre as variáveis estudadas; isto é, achar a
equação matemática que descreve a sua inter-relação. A análise gráfica permite, em muitos casos, descobrir a lei
que rege um fenômeno físico. O conhecimento dessas leis é muito importante para a elaboração de modelos
teóricos que expliquem o fenômeno.
Uma relação linear entre as variáveis x e y obedece à seguinte equação:
y=ax+b
onde a e b são constantes e o gráfico resultante é uma reta. A interseção da reta com o eixo y fornece o valor do
coeficiente linear da reta, b, pois quando x = 0, y = b. Já o coeficiente angular a exprime a taxa de variação da
variável dependente em relação à variável independente, a 
y
.
x
O coeficiente angular a não deve ser confundido com a tangente do ângulo formado pela reta com o eixo
horizontal. Observe que se você mudar as escalas, o ângulo mudará também, entretanto o coeficiente angular
não muda. No exemplo ilustrado na Figura 2, a escala no eixo Y foi mudada do caso (a) para (b). Compare o valor
do coeficiente angular com a tangente dos ângulos  e ´. São iguais?
Figura 2 - Gráficos do espaço percorrido x tempo transcorrido num movimento com velocidade constante. Ambas
as Figuras têm o mesmo coeficiente angular, a=e/t, que neste caso corresponde ao valor da velocidade do
móvel. Entretanto, note que as tangentes são diferentes (tg  tg ´).
No gráfico, a seqüência dos pontos experimentais sugerirão uma reta. Por se tratar de dados experimentais,
podemos esperar uma pequena dispersão em torno de uma reta representativa (reta média). Estas dispersões
refletem o grau de incerteza associado a cada ponto e é costume indicá-las através de barras de incertezas. Neste
caso, o objetivo da análise gráfica é determinar a equação da reta média (ou também denominada reta mais
provável) cujos parâmetros a e b devem ser calculados através do método de mínimos quadrados (método de
regressão linear).
2.3. Método de regressão linear
Aplicaremos o método de regressão linear para obter a expressão analítica da relação linear entre as variáveis x e
y. Buscamos então uma relação da seguinte forma:
y = a x + b,
(1)
que é a equação da reta média. O método consiste em minimizar os desvios (dispersões) em torno da reta média.
Portanto, devemos minimizar a seguinte quantidade:
n
S    yi  axi  b 2 .
(2)
i 1
onde n é o número de medidas (número de pares de valores na tabela de dados). Neste caso, os coeficientes da
reta valem:
a
n xi yi  (  xi )(  yi )
(5)
n xi2  (  xi ) 2
e
b
(  yi )(  xi2 )  (  xi yi )(  xi )
n xi2  (  xi ) 2
.
(6)
As incertezas em a e b, Δa eΔb, respectivamente, são dadas por:
a 
 2  xi2
b 
N  xi2   xi 2
N 2
N  xi2   xi 2
,
(7)
onde
 y 
2

i
e
N 2
yi  yi  b  axi .
(8)
Uma outra maneira de analisar os dados em um gráfico linear é traçar manualmente uma reta que visualmente
melhor se ajuste aos pontos do gráfico e calcular a inclinação desta reta utilizando a expressão a 
y
, onde os
x
valores de x e y são calculados utilizando pontos da reta traçada. É importante observar que não é necessário
que nenhum dos pontos do gráfico estejam sobre a reta traçada.
2.4. Linearização de gráficos
Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear, e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são
os parâmetros que a caracterizam. Sabe-se que numa relação linear é muito simples o processo de se determinar
os parâmetros envolvidos (neste caso o coeficiente linear e angular), portanto, quando se observa que o gráfico
obtido não é uma reta, pode-se linearizá-lo através de uma mudança de variáveis, transformando em retas mesmo
curvas aparentemente complexas. Este processo de transformar um gráfico curvo em uma reta denomina-se
linearização.
Para isso, um certo grau de familiaridade com as representações gráficas das principais funções matemáticas é
recomendável, pois deve-se ter uma noção sobre que tipo de função matemática poderia gerar uma curva igual à
indicada pela seqüência de pontos experimentais no gráfico. A seguir vamos analisar os dois casos mais
a
ax
freqüentes: a relação tipo potência (y = kx ) e do tipo exponencial (y = k.e ), onde k e a são constantes (ver
Figura 3).
(a) Seja um gráfico que sugere uma curva do tipo:
y = kx
a
.
(9)
Nesse caso, aplicando logaritmo à relação acima, tem-se:
log (y) = log (k) + a log (x) .
Fazendo:
log (y) = y, log (k) = b, e log (x) = x,
obtém-se:
y = b + a x,
(10)
(11)
que é a equação de uma reta. Ou seja, podemos transformar uma relação tipo potência (Eq.9) em uma relação
linear (Eq.11) aplicando o logaritmo. Além do mais, se em um papel milimetrado fizermos o gráfico não de y (x),
mas de log (y) e log (x), nós teremos uma reta, como ilustrado na Figura 4a. Observe que os valores dos
coeficientes linear e angular da reta devem ser calculados pelo método de regressão linear, nesse caso
considerando-se as novas variáveis log(y) e log(x).
80
1000
800
60
y = 3x
2
y = 3e
2x
600
y
40
400
20
200
(a)
0
0
1
2
3
4
(b)
5
0
0
1
2
3
4
5
x
a
Figura 3 - Representação gráfica de: (a) uma relação tipo potência: y=kx ,
ax
(b) tipo exponencial: y = k.e . Observe a diferença entre as escalas para y.
a
Figura 4 - Exemplos de mudança de variáveis na linearização de: (a) uma relação tipo potência: y=kx , e
(b) tipo exponencial: y = k.e
ax
Como indicado na Figura 4a, o coeficiente angular a exprime a taxa de variação de log(y) em relação a log(x) e o
coeficiente linear b = log(k) corresponde à interseção da reta com o eixo que passa pela origem de log(x) (pois
logk
quando log(x) = 0, log(y) = log(k)). Finalmente, achado log(k) segue que k = 10 .
ax
(b) Seja um gráfico que sugere uma curva do tipo: y = k.e .
(12)
Podemos linearizá-la através de uma mudança de variáveis. Nesse caso vamos aplicar logaritmo neperiano,
obtendo-se:
ln (y) = ln (k) + a x .
(13)
Note que, se fizermos ln (y) = Y e ln (k) = b, obteremos: Y = b + a X , que é a equação de uma reta. Em
conseqüência, como indicado na Figura 4b, o gráfico em escala linear de ln (y) em função de x gerará uma reta.
Nesse caso também os coeficientes linear (b = ln(k)) e angular (a) da reta média devem ser obtidos pelo método
de regressão linear.
3. Gráficos numa escala logarítmica
Uma limitação dos gráficos em escala linear é em relação às escalas escolhidas. Se escolhermos uma escala que
contenha valores muito grandes, não conseguiremos representar valores muito pequenos. Se escolhermos uma
escala em que 0,001 s possa ser marcado com facilidade, provavelmente os dados maiores (1 s) não caberão
sobre o papel. No entanto, o problema dos dados que não cabem no gráfico pode ser resolvido por escalas
logarítmicas. Pode-se usar a escala logarítmica em um dos eixos ou em ambos os eixos. No primeiro caso o seu
gráfico será chamado mono-log e no segundo di-log ou log-log.
Numa escala logarítmica as distâncias entre marcas sucessivas não é constante (como numa escala linear), isto é,
esta escala é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (log 2 - log 1); a distância entre 2 e 3
é proporcional a (log 3 - log 2); e assim por diante (como tarefa observe as escalas numa folha impressa de papel
mono-log ou log-log). Sendo assim fica evidente que tanto no gráfico mono-log como no log-log o aspecto do
gráfico será diferente de quando você usa escalas lineares. Nessa escala, ao colocarmos diretamente os valores
de x e y nós estamos fazendo com que as distâncias entre sucessivos valores de x e y sejam proporcionais a log
(x ) e log (y), porque as escalas foram construídas assim. A Figura 4 ilustra o uso de escala logarítmica num caso
típico no qual as variáveis valem várias ordens de grandeza.
R (desintegrações/s)
1000
100
10
1
0
50
100
150
200
250
Tempo (min)
128
Figura 4 - Gráfico em papel mono-log da taxa de decaimento radioativo (R) de uma amostra de I. A análise
-t
gráfica mostra que R obedece uma lei exponencial do tipo R=R0e , sendo  a constante de desintegração
radioativo. Os dados correspondem à tabela mostrada na seção 47-3 do livro Fundamentos de Física, vol. 4, de
Halliday, Resnick e Walker.
4. Exercícios
1. Construa uma escala linear em um segmento de reta de 150 mm, para representar os tempos x listados na
tabela abaixo. Considere intervalos de 10 segundos.
x (s)
2
4
8
14
22
30
2. Determine uma escala linear para a temperatura de -15,0C a 40,0C distribuída ao longo de um eixo de 90
mm. Depois marque as temperaturas de -8,0C e de 26,0C no eixo.
3. Considere os pontos da tabela abaixo:
X(s)
2,30
4,00
6,35
10,6
14,0
17,1
18,7
Deseja-se marcar estes pontos sobre um eixo em um papel milimetrado com 10 divisões, como mostrado abaixo:
4. A partir da seguinte tabela de dados obter y como uma função linear de x usando o método de regressão linear.
xi
1,0
1,6
2,0
3,0
3,4
4,0
5,0
5,5
6,0
7,0
yi
1,4
1,6
2,0
2,3
2,6
3,1
3,4
3,8
4,1
4,6
 xi  38,5
 yi  28,9
5. Numa experiência sobre o movimento de um projétil, no plano (x,y), o gráfico em escala linear dos dados
correspondentes gerou uma curva indicada na Figura abaixo:
1.2
y (m)
0.9
y=kx
0.6
a
0.3
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
x (m)
0.8
1.0
1.2
Observando o gráfico podemos inferir que a relação matemática entre as variáveis, altura percorrida (y) e
a
deslocamento na horizontal (x), é do tipo potência: y = kx . Determine os parâmetros k e a.
5. Referências bibliográficas
Método Gráfico. Adaptado do Roteiro para as práticas de Física 224, Departamento de Física, Universidade
Federal de Viçosa.