Lei de potência
Luís Eduardo E. de Araujo
O trabalho experimental em ciência freqüentemente envolve o estudo da relação entre
duas variáveis. Um exemplo seria como a distância s percorrida por uma esfera em
queda livre varia com o tempo t de queda. Em um experimento deste tipo, a variável
dependente (distância) é medida para vários valores da variável independente (tempo).
Os dados de tal experimento podem ser registrados no formato de uma tabela:
Tabela 1 – Distância percorrida durante a queda livre em função do tempo.
Tempo (s)
0,89
1,26
1,55
1,79
Distância (m)
4
8
12
16
2,00
20
2,19
24
2,37
28
2,53
32
Entretanto, números em uma tabela como a acima não transmitem facilmente a relação
entre as variáveis. Para facilitar a visualização dessa relação, lançamos os dados da
tabela em um gráfico. Vemos na Figura 1 que a relação entre distância e tempo não é
linear.
Figura 1 – Distância percorrida por uma esfera em queda livre
em função do tempo de queda em um gráfico de escala linear.
Quando uma das grandezas medidas (s) depende da outra (t) elevada a certa potência
(n), dizemos que s segue uma lei de potência (ou lei de escala):
‫ ݐ݇ = ݏ‬௡ .
(1)
É muito difícil olhar para uma curva como a da Figura 1 e dizer com confiança se a
dependência é quadrática, cúbica, etc. Entretanto, uma simples transformação de
variáveis pode converter a relação entre as grandezas para uma dependência linear.
Tirando o logaritmo da Equação (1) nos dois lados, obtemos:
logሺ‫ݏ‬ሻ = logሺ݇ሻ + ݊ log ሺ‫ݐ‬ሻ.
(2)
Podemos identificar a Equação (2) com a equação de uma reta: y = A + B x se fizermos
y = log(s) e x = log(t). O coeficiente angular
‫=ܤ‬
௬మ ି௬భ
௫మ ି௫భ
=
୪୭୥ሺ௦మ ሻି୪୭୥ ሺ௦భ ሻ
୪୭୥ሺ௧మ ሻି୪୭୥ ሺ௧భ ሻ
(3)
fornece o expoente n da lei de escala: n = B. O coeficiente linear A dá a constante de
proporcionalidade k da lei de escala: log(k) = A, ou k = 10A. O coeficiente linear
corresponde ao valor de y quando x = 0.
Tirando o logaritmo dos dados da Tabela 1 encontramos:
Tabela 2 – Logaritmo da distância percorrida s durante a
queda livre em função do logaritmo do tempo t.
Tempo (s)
-0,05
0,10
0,19
0,25
Distância (m)
0,60
0,90
1,08
1,20
0,30
1,30
0,34
1,38
0,37
1,45
0,40
1,51
Se fizermos um gráfico de log(s) em função de log(t) em um papel milimetrado (de
escala linear) com os dados da Tabela 2, obteremos a reta mostrada na Figura 2. O
coeficiente angular B é calculado a partir de dois pontos quaisquer da reta que melhor se
ajusta aos pontos experimentais; por exemplo, os pontos (0,10;0,90) e (0,40;1,51)
indicados pelas setas azuis. Substituindo esses valores na Equação (3):
ଵ,ହଵି଴,ଽ଴
‫ = ܤ‬଴,ସ଴ି଴,ଵ଴ ∴ ݊ = 2,0.
(4)
Para encontrarmos o coeficiente linear A, no gráfico, procuramos pelo valor de log(s)
para log(t) = 0; nesse caso, ‫ = ܣ‬0,70 ∴ ݇ = 10଴,଻଴ = 5,0 m/s 2 .
Figura 2 – Logaritmo da distância s percorrida por uma esfera em queda livre em
função do logaritmo do tempo de queda t em um gráfico de escala linear. Distância
é medida em metros e tempo em segundos. As linhas tracejadas indicam como
encontrar o coeficiente linear da reta.
Alternativamente, podemos trabalhar com um papel em escala logarítmica. Nesse caso,
não é necessário tirar o logaritmo dos valores da Tabela 1. O próprio papel se encarrega
de fazer isso. A Figura 3 mostra um gráfico log-log dos dados da Tabela 1. Aqui, o
coeficiente angular pode ser calculado a partir da Equação (3), novamente escolhendose dois pontos da reta (e não necessariamente dois pontos da tabela); ou com uma régua
medindo-se os catetos do triângulo retângulo.
Da Figura 3,
ସ,ସ cm
‫ = ܤ‬ଶ,ଶ cm ∴ ݊ = 2,0.
4,4 cm
2,2 cm
Figura 3 – Distância s percorrida por uma esfera em queda livre em
função do tempo de queda t em gráfico de escala logarítmica. As
linhas tracejadas indicam como encontrar o coeficiente linear da reta.
(5)
Já a constante de proporcionalidade k é encontrada no gráfico log-log pelo valor
numérico de s para t = 1 (pois log 1 = 0), mas com a unidade apropriada. Da Figura 3,
para t = 1,0, temos s = 5,0; logo, k = 5,0 m/s2.
Quando já conhecemos o expoente n da lei de escala, a transformação de variáveis que
lineariza a equação (1) é mais simples. Nesse caso, fazemos y = s e x = tn, de modo que
a constante k será agora o coeficiente angular da reta ‫ݔ݇ = ݕ‬. Ainda em relação ao
experimento de queda livre, para n = 2, se fizermos y = s e x = t2, então um gráfico
linear de y vs. x deverá mostrar os pontos experimentais dispostos ao longo de uma reta,
como mostrado na Figura 4. O coeficiente angular da reta é:
௦ ି௦
ଷଶିସ
݇ = ௫మ ି௫భ = ଺,ସ଴ି଴,ଽ଴ = 5,1 m/‫ ݏ‬ଶ .
మ
భ
Resumindo, para encontrar graficamente o expoente n da lei de escala ‫ ݐ݇ = ݏ‬௡ há duas
maneiras:
1. calcular o coeficiente angular da reta de log(s) vs. log(t) em um gráfico linear ou
2. calcular o coeficiente angular da reta de s vs. t em um gráfico log-log.
Para encontrar graficamente a constante de proporcionalidade k há três maneiras:
1. calcular o coeficiente linear da reta de log(s) vs. log(t) em um gráfico linear
determinando o valor de log(s) para log(t) = 0, ou
2. determinar na reta em um gráfico log-log de s vs. t o valor de s para t = 1, ou
3. calcular o coeficiente angular da reta de s vs. tn em um gráfico linear.
Figura 4 – Distância s percorrida por uma esfera em queda livre
em função do quadrado do tempo de queda t.