Capı́tulo 5
Retas Tangentes
5.1
Conceituação
No Capı́tulo Alguns Problemas do Cálculo, vimos que a reta tangente tem um importante significado fı́sico e geométrico
e que portanto, é necessário saber defini-la e determinar a sua equação.
O problema que temos é o seguinte: considere uma função f e P0 = (x0 , f(x0 )) um ponto qualquer do seu gráfico.
Em primeiro lugar, desejamos definir sem ambigüidades o que entendemos por reta tangente ao gráfico de f, passando
por P0 .
Como já discutimos, embora a idéia geométrica de reta tangente seja bastante intuitiva, existem dificuldades
para chegarmos a uma definição conceitual. Procurando atingir este objetivo, vamos usar o Maple para observar o
comportamento da curva, nas proximidades do ponto de tangência, numa escala microscópica. Nesse sentido, vamos
traçar vários gráficos de uma mesma função dando “zooms” sucessivos em torno do ponto de tangência, isto é, vamos
usar o Maple como um microscópio para observar a região do gráfico marcada pelo quadradinho, aumentando, a cada
passo, a potência da lente usada.
16
6
14
12
5
10
8
4
6
4
3
2
–4
–3
–2
–1
0
1
2
x
3
4
–4
–3
–2
–1
2
5
4.8
4.4
4.6
4.4
4.2
4.2
4
4
3.8
3.6
3.8
3.4
3.2
3 –3
3.6
–2.6
–2.2 –2–1.8
–1.4
–2.4
–1
–2.2
–2
–1.8
–1.6
Os gráficos a seguir mostram esta mesma técnica usada com a função cúbica f (x) = x3 , nas proximidades do ponto
(0, 0).
–2
–1
2
0.2
y1
y 0.1
0
1
x
2
–0.2
–0.1
0
–1
–0.1
–2
–0.2
0.1
x
0.2
58
Cap. 5. Retas Tangentes
Pela análise dos exemplos acima, parece razoável, e vamos definir reta tangente a uma curva em um ponto dado
como a reta que se confunde com a curva próximo ao ponto de tangência. Levando em conta esta definição é possı́vel
garantir a existência da reta tangente em qualquer ponto de uma dada curva?
Para responder a esta pergunta, observe o que acontece com a função f(x) = | x |, para valores de x próximos de
x0 = 0.
1
0.3
0.8
0.2
0.6
0.4
0.1
0.2
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
–0.3
–0.2
–0.1
0.1
x
0.2
0.3
–0.2
–0.1
–0.4
Veja que por mais que aumentemos a escala usada para traçar este gráfico, a figura continua sempre a mesma, isto
é, sempre conseguiremos distinguir qualquer reta que passe pela origem do gráfico da função módulo. Neste caso, e de
acordo com a definição a que chegamos acima, não existe reta tangente à curva y = | x | no ponto (0, 0). O problema
surge porque, neste ponto, a curva forma um “bico”, o que torna impossı́vel a existência de uma reta que se confunda
com o gráfico da função neste ponto. De um modo geral, existe uma única reta tangente a uma dada curva em todos
os pontos onde esta curva é “suave”, ou seja, onde não existam “bicos”.
5.2
Declividade
Uma vez que chegamos a uma definição aceitável de reta tangente, o problema que se põe agora é: conhecendo-se o
ponto de tangência, P0 = (x0 , y0 ), como determinar a equação da reta tangente à curva nesse ponto?
Em primeiro lugar, qualquer que seja a equação da reta tangente, ela deve conter o ponto P0 . Veja o gráfico a
seguir.
4
2
x
–2
–4
Como qualquer reta não vertical passando por P0 tem uma equação da forma y − y0 = m (x − x0 ), a equação da
reta tangente que passa por ( xo , f(xo )) é y − f (x0 ) = m (x − x0 ) onde m é a sua declividade. O problema, portanto,
se resume em determinar o coeficiente angular dessa reta. Como não temos dados para calcular tal coeficiente, a idéia
é aproximar o seu valor pelo coeficiente angular de uma reta que podemos determinar e que está próxima da reta
tangente. Neste caso, a reta secante que passa por P0 = (x0 , f (x0 )) e por P1 = (x0 + h, f (x0 + h)), um outro ponto
qualquer da curva.
Observe a animação abaixo, para concluir que à medida que o ponto P1 se aproxima do ponto P0 , a reta secante
que passa por estes dois pontos se aproxima da reta tangente.
5.
0
10.
2.
4.
0
2.75
10.
0
10.
2.
2.60
4.
10.
2.
2.43
4.
10.
0
3.
3.50
10.
0
4.
0
2.
2.50
4.
2.
2.33
4.
2.
4.
10.
2.
2.38
4.
10.
2.
0
0
10.
2.
4.
0
W.Bianchini, A.R.Santos
59
Portanto, podemos aproximar a declividade da reta tangente pela declividade da reta secante, e esta aproximação
pode ser melhorada cada vez mais, bastando para isso considerarmos o ponto P1 cada vez mais próximo do ponto P0 .
Repare que a declividade da reta secante que passa por P1 e por P0 é dada por
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
Logo, para h suficientemente pequeno (se h é pequeno, o ponto P1 estará bastante próximo de P0 ), podemos tomar
a razão acima como uma aproximação para a declividade m da reta tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto
P0 .
Essa idéia foi usada por Fermat em 1629, quando, desse modo, ele encontrou uma maneira de construir tangentes
a uma parábola. Embora Fermat tenha deduzido o seu método para parábolas, ele pode ser aplicado a outras curvas
planas.
Para ilustrar como funciona o Método de Fermat, vamos executá-lo, passo a passo, com a ajuda do Maple, no caso
particular em que f (x) = −x2 + 5 x e P0 é o ponto ( 1, 4 ).
1. Primeiro, defina a função y = f (x) e o ponto P0 :
>
f:=x -> -x^2 + 5*x;
f := x → −x2 + 5 x
>
p0 := [ x0, f(x0) ];
p0 := [1, 4]
2. Determine um outro ponto qualquer do gráfico. Chame este ponto, por exemplo de P1 :
>
x1:=x0+h;
>
p1 := [ x1, f(x1) ];
x1 := 1 + h
p1 := [1 + h, −(1 + h)2 + 5 + 5 h]
3. Determine o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos P0 e P1 . Para isso, podemos usar o
comando slope do pacote student:
>
m := slope( p0, p1 );
−1 + (1 + h)2 − 5 h
h
Repare que no quociente acima temos necessariamente h ̸= 0. Esta restrição algébrica se traduz geometricamente
pelo fato de serem necessários dois pontos distintos para se determinar uma reta (se h = 0 o ponto P1 coincidiria
com o ponto P0 !).
m := −
4. Agora, basta estudar o comportamento de m quando h tende a zero, isto é, quando o ponto P1 se aproxima
do ponto P0 . Para isso definimos uma seqüência de valores positivos de h que se aproximam de zero (dessa
maneira estamos escolhendo o ponto P1 à direita de P0 e fazendo este ponto se aproximar cada vez mais de P0 )
e calculamos, para cada h, os respectivos valores de m.
>
valores_h := evalf([seq( 1/10^i, i=0..5)]);
valores h := [1., .1000000000, .01000000000, .001000000000, .0001000000000,
.00001000000000]
seq( evalf (m), h=valores_h );
2.000000000, 2.900000000, 2.990000000, 2.999000000, 2.999900000, 3.000000000
>
A lista de valores acima sugere que quando h → 0 o coeficiente angular m parece se aproximar de 3.
5. Repita o procedimento acima para h negativo, isto é, tome agora pontos à esquerda de P0 .
>
valores_h := evalf([seq( -1/10^i,i=0..5)]);
60
Cap. 5. Retas Tangentes
valores h := [−1., −.1000000000, −.01000000000, −.001000000000, −.0001000000000,
−.00001000000000]
seq( evalf (m), h=valores_h );
4.000000000, 3.100000000, 3.010000000, 3.001000000, 3.000100000, 3.000010000
>
Nesse caso é possı́vel afirmar que à medida que h se aproxima de zero, quer por valores maiores que zero, quer por
valores menores que zero, os valores do quociente m, isto é, a declividade da reta secante à curva que passa por P1
e P0 , se aproximam de 3. Além disso, esses valores podem se aproximar arbitrariamente de 3, bastando para isso
que escolhamos h suficientemente próximo de zero. Esta última afirmação equivale a dizer que podemos tornar a reta
secante arbitrariamente próxima da reta tangente, bastando para isso escolher o ponto P1 suficientemente próximo
do ponto de tangência P0 . Para ilustrar essa situação, traçamos abaixo o gráfico da reta secante em conjunto com o
gráfico da função, para valores de h cada vez mais próximos de zero.
5
4.8
4.6
4.4
4.2
4
3.8
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
8
6
4
2
0.6
0.8
1
1.2
x
1.4
1.6
1.8
2
0.8
0.9
1
1.1
x
1.2
1.3
1.4
No exemplo acima, vimos que a declividade da reta secante que passa pelos pontos P0 = (x0 , f(x0 )) e P1 =
(x0 + h, f (x0 + h)) é dada por
f (x0 + h) − f (x0 )
,
h
para h ̸= 0, ou equivalentemente,
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
onde x = x0 + h e x ̸= x0 . Quando o ponto P1 se aproxima do ponto P0 , a declividade da secante se aproxima da
declividade da reta tangente. É claro que, quando o ponto P1 se aproxima de P0 , x se aproxima de x0 . O problema
(x0 )
então é descobrir o que acontece com o quociente f (x)−f
quando x se aproxima de x0 . Na seção abaixo estudaremos
x−x0
este problema para o caso de uma parábola geral.
5.3
O problema da tangente à parábola
Na seção anterior calculamos a inclinação da reta tangente à parábola y = −x2 + 5 x num ponto particular. Vamos
tentar resolver este problema no caso geral.
Considere a parábola y = a x2 + b x + c e um ponto (x0 , f (x0 )) do seu gráfico. Como vimos na seção anterior, um
bom método para determinar a declividade da reta tangente a esta parábola no ponto dado é estudar o que acontece
com a declividade das secantes que passam pelos pontos (x0 , f (x0 )) e (x, f (x)) à medida que x se aproxima de x0 ,
isto é, precisamos estudar o comportamento do quociente
mx =
f (x) − f (xo )
x − x0
quando x se aproxima de x0 . Repare mais uma vez que este quociente não está definido em x = x0 e que, portanto, não
adianta substituirmos, na expressão acima, x por x0 , porque isso resultaria numa expressão sem significado. Devemos
pensar que x chega muito perto de x0 , mas permanece distinto dele.
No exemplo particular da seção anterior, vimos que é fácil usar o Maple para gerar uma seqüencia de valores para
esse quociente e então, a partir desses valores, tentar tirar conclusões sobre o seu comportamento. Nesse caso geral,
vamos tentar encontrar para esse problema uma solução que se aplique quaisquer que sejam os valores de a, b e c dos
coeficientes da parábola e qualquer que seja o ponto (x0 , f (x0 )) dado.
W.Bianchini, A.R.Santos
61
Assim, calculando e simplificando a razão acima, temos que
>
mx:=(a*x^2+b*x+c-(a*x0^2+b*x0+c))/(x-x0);
mx :=
>
a x2 + b x − a x0 2 − b x0
x − x0
mx:=collect(mx,[a,b]);
mx :=
>
mx:=simplify(mx);
>
mx:=collect(mx,a);
(x2 − x0 2 ) a
+b
x − x0
mx := a x0 + b + a x
mx := (x0 + x) a + b
Repare que, conhecidos os valores de a, b e x0 , a expressão acima depende somente de x, definindo mx como função
de x. Vamos, então, estudar o comportamento da função mx à medida que x se aproxima de x0 . (Repare, mais uma
vez, que todos os cálculos que foram feitos valem somente para x ̸= x0 e que, portanto, esta função não está definida
para x = x0 ).
Primeiro definimos a função mx , como se segue
>
mx:=x->a*(x+x0)+b;
mx := x → a (x + x0 ) + b
e a seguir, fazemos x se aproximar de x0 :
>
x_valores:=[seq(x0+h,h=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001])];
x valores := [x0 + .1, x0 + .01, x0 + .001, x0 + .0001, x0 + .00001]
Nesta primeira sequência que geramos, x se aproxima de x0 pela direita, isto é, por valores maiores que x0 . Observe,
agora, o que acontece com os correspondentes valores de mx .
>
map(mx,x_valores);
[a (2 x0 + .1) + b, a (2 x0 + .01) + b, a (2 x0 + .001) + b, a (2 x0 + .0001) + b,
a (2 x0 + .00001) + b]
Na sequência a seguir, x se aproxima de x0 pela esquerda, isto é, por valores menores que x0 .
x_valores:=[seq(x0-h,h=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001])];
>
x valores := [x0 − .1, x0 − .01, x0 − .001, x0 − .0001, x0 − .00001]
Observe, novamente, o que acontece com os correspondentes valores de mx .
>
map(mx,x_valores);
[a (2 x0 − .1) + b, a (2 x0 − .01) + b, a (2 x0 − .001) + b, a (2 x0 − .0001) + b,
a (2 x0 − .00001) + b]
Notamos que, à medida que x se aproxima de x0 , quer pela direita, quer pela esquerda, os valores de mx se
aproximam de 2 a x0 + b; mais do que isso, os valores de mx podem ficar tão próximos de 2 a x0 + b quanto quisermos,
bastando para isso que x esteja suficientemente próximo de x0 . (Veja este resultado animado graficamente na versão
eletrônica.)
Matematicamente, esse comportamento se traduz pela expressão,
lim mx = 2 ax 0 + b.
x→x0
(Lê-se: limite de mx quando x tende a x0 é 2 a x0 + b.)
Assim, para calcular a declividade da reta tangente a uma curva y = f (x) em um ponto (x0 , f (x0 )) do seu
(x0 )
gráfico, basta estudar o comportamento do quociente mx = f (x)−f
quando x se aproxima de x0 , ou, em linguagem
x−x0
matemática, é preciso calcular o valor de
m = lim mx .
x→x0
62
Cap. 5. Retas Tangentes
O valor desse limite que representa, geometricamente, a declividade da reta tangente à curva y = f (x) no ponto
(x0 , f (x0 )), é usualmente denotado por f ′ (x0 ) (lê-se: f linha de x0 ) para enfatizar a sua dependência da função f e do
ponto x0 e define, como veremos adiante, a partir da função f , uma nova função, chamada derivada de f . Portanto,
para calcularmos a declividade de retas tangentes a curvas e, conseqüentemente, estudarmos a derivada de uma função,
é preciso conhecer um pouco mais sobre a teoria dos limites, o que faremos no próximo capı́tulo.
Exercı́cio
(a) Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto (a, f (a)). (Observe algumas destas retas traçadas
no gráfico a seguir.)
2
y1
–2
–1
0
1
x
2
–1
–2
(b) Os gráficos traçados no item anterior parecem sugerir que cada reta tangente intercepta o gráfico da parábola em
um único ponto. Prove, analiticamente, este fato, isto é, mostre que a reta tangente à parábola y = x2 , cuja
equação você achou no item anterior, intercepta o gráfico desta curva no ponto (a, a2 ), sendo este o único ponto
de interseção destas duas curvas.
Observação: Neste sentido, a parábola é uma curva muito especial. Em geral, a reta tangente a uma curva
intercepta o seu gráfico em mais de um ponto, como mostra o gráfico seguinte.
10
8
6
y
4
2
–4
–2
0
–2
2 x
4
–4
–6
–8
–10
5.4
Uma nota histórica: A falha lógica no raciocı́nio de Fermat ou o
porquê de limites
Vamos calcular a declividade da reta tangente à curva y = x5 − 9 x3 no ponto (1, −8), da mesma forma como Fermat
fazia este cálculo no inı́cio do século XVII.
Em primeiro lugar, vamos definir a função f e calcular o quociente mx , como se segue:
>
f:=x->x^5-9*x^3;
f := x → x5 − 9 x3
f (x + h) − f (x)
(1 + h)5 − 9 (1 + h)3 + 8
=
h
h
A seguir, Fermat simplificava a expressão acima:
>
simplify(m[x]);
mx =
−22 − 17 h + h2 + 5 h3 + h4
Essa expressão fornece a inclinação da reta que corta a curva nos pontos (1, f (1)) e (1 + h, f (1 + h)). Para Fermat,
a declividade da reta tangente à curva y = f (x) era o resultado do cálculo do valor dessa última expressão em h = 0.
Seguindo os passos de Fermat terı́amos:
>
subs(h=0,%);
W.Bianchini, A.R.Santos
63
−22
Esse processo pode ser generalizado para obter a declividade da reta tangente à curva y = f (x) em um ponto
(x0 , f (x0 )) arbitrário. Seguindo os mesmos passos anteriores, temos:
>
m:=(f(x[0]+h)-f(x[0]))/h;
m :=
>
(x0 + h)5 − 9 (x0 + h)3 − x0 5 + 9 x0 3
h
simplify(m);
5 x0 4 + 10 x0 3 h + 10 x0 2 h2 + 5 x0 h3 + h4 − 27 x0 2 − 27 x0 h − 9 h2
>
subs(h=0,%);
5 x0 4 − 27 x0 2
Durante toda a sua vida e por um século e meio após a sua morte, o raciocı́nio de Fermat foi atacado por todos
os matemáticos por conter uma falha lógica. A dificuldade era e continua sendo real. A falha do raciocı́nio de Fermat
estava na substituição de h por zero somente após uma simplificação do quociente das diferenças. Qualquer tentativa
de se fazer tal substituição antes de se cancelar o h que aparece no denominador da fração resulta numa expressão
sem sentido matemático, do tipo 00 . Da maneira como Fermat fazia a conta, h valia zero quando ele queria que assim
o fosse, mas não era zero quando este valor atrapalhava a prova. Mais especificamente, a igualdade
(x + h)5 − 9 (x + h)3 − x5 + 9 x3
= 5 x4 + 10 x3 h + 10 x2 h2 + 5 x h3 + h4 − 27 x2 − 27 x h − 9 h2
h
só é verdadeira para valores de h ̸= 0 . Fermat não permitia que h fosse zero no lado esquerdo da igualdade, mas,
ainda assim, substituı́a h por zero no lado direito da mesma igualdade, o que consistia em uma clara contradição
matemática no seu raciocı́nio!
Com o desenvolvimento da Teoria dos Limites esse impasse lógico foi superado. No entanto, isso só veio a acontecer
no final do século XIX, quando a idéia de limite deixou de ser obscura e nebulosa e foi definida com rigor e precisão
pelo matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897). (Veja o próximo capı́tulo).
Por enquanto, para entender como é poderosa a idéia de limite, tente calcular a declividade da reta tangente à
curva y = sen(x) no ponto x = 1 da mesma maneira como Fermat o fazia e depois calcule esta mesma declividade
empregando o método de aproximação do quociente de diferenças para pequenos valores de h que empregamos para
cálculos semelhantes por todo este capı́tulo. A que conclusões você pode chegar?
5.5
Atividades de laboratório
Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo Lab1 4.mws da versão eletrônica deste
texto.
5.6
Exercı́cios
1. (a) Encontre a equação da reta tangente à parábola y = 2 x2 + 4 x + 5 no ponto (−1, 3).
(b) Encontre os pontos onde a inclinação da reta tangente à parábola do item anterior é horizontal.
2. Nos itens abaixo, ache todos os pontos da curva y = f (x) nos quais a reta tangente é horizontal.
(a) f (x) = 10 − x2
(b) f (x) = x2 − 2 x + 1
(c) f (x) = 2 x2 − 3 x + 4
2
(d) f (x) = x − x10
(e) f (x) = 2 x (x + 3)
3. (a) Esboce vários gráficos de parábolas para comprovar que o seu vértice é o único ponto do gráfico onde a
tangente é horizontal.
(b) Use o fato acima e a fórmula da declividade da tangente a uma função quadrática, encontrada neste capı́tulo,
para demonstrar que o vértice da parábola y = a x2 + b x + c é o ponto de coordenadas (− 2ba , − 4∆a ).
4. Ache a equação da reta tangente à parábola y = 2 x2 + 1 que é paralela à reta 8 x + y − 2 = 0.
5. Seja f (x) = ax 2 + bx + c. Usando a fórmula f ′ (x0 ) = 2 a x0 + b, deduzida neste capı́tulo, calcule f ′ (x0 ) para
cada uma das funções dadas abaixo:
64
Cap. 5. Retas Tangentes
(a) f (x) = 2
(b) f (x) = 4 x − 5
(c) f (x) = 2 x2 − 3 x + 4
(d) f (x) = (2 x + 1)2 − 4 x
(e) f (x) = 2 x (x + 3)
(f) O valor encontrado nos itens (a) e (b) é coerente com o significado geométrico de f ′ (x0 )?
5.7
Problemas propostos
1. Ache as dimensões de um retângulo de perı́metro igual a 100 cm, de tal modo que a sua área seja máxima.
2. Dada uma curva no plano definida por uma função y = f (x) e um ponto (a, b) que não pertence a esta curva,
deve existir um ponto (x0 , f (x0 )) da curva que está mais perto do ponto (a, b). Veja a animação correspondente
ao caso da curva y = x2 e do ponto (3, 0), na versão eletrônica deste texto.
Intuitivamente, o segmento que une o ponto (a, b) ao ponto (x0 , f (x0 )) deve ser perpendicular ou normal ao
gráfico da curva neste ponto. Definimos reta normal ao gráfico de uma curva em um ponto (x0 , y0 ) como sendo
a reta perpendicular à reta tangente à curva naquele ponto.
(a) Qual a declividade da reta normal a uma curva y = f (x) no ponto (x0 , f (x0 ))?
(b) Escreva a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = x2 no ponto (1, 1).
(c) Escreva a equação da reta normal à curva y = x2 no ponto genérico (x0 , f (x0 )).
(d) Use o item anterior para determinar o ponto da curva y = x2 mais próximo do ponto (3, 0).
3. Considere a parábola y = ax 2 + bx + c e P (x0 , y0 ) um de seus pontos. Podemos traçar a reta tangente à parábola
que passa por P da seguinte forma:
Sejam P1 e P2 dois pontos da parábola com abscissas x0 − 1 e xo + 1, respectivamente. A tangente procurada é
a reta paralela à reta que passa por P1 e P2 e que contém P. Veja o gráfico:
xo
xo–1
xo+1
Use a fórmula deduzida neste capı́tulo para a declividade de tangentes a parábolas e demonstre que a construção
geométrica anterior é correta.
4. No gráfico seguinte, identifique:
(a) os pontos onde a declividade da reta tangente ao gráfico é zero.
(b) o ponto onde a reta tangente corta este gráfico.
(c) os intervalos onde a declividade da reta tangente é positiva e os intervalos onde ela é negativa.
20
y10
c
b
–4
a
–2
0
2 x
4
–10
–20
(d) O sinal da declividade da reta tangente nos fornece alguma informação a respeito do comportamento da
função f ? (Veja a resposta no capı́tulo sobre derivadas.)
5. (a) Ache as equações das duas retas que passam pelo ponto (0, − 14 ) e que são tangentes à parábola y = x2 .
(b) Prove analiticamente que não existe uma reta que passe pelo ponto ( 12 , 1) que seja tangente à parábola
y = x2 .
W.Bianchini, A.R.Santos
65
√
6. O ponto P (4, 2) pertence ao gráfico da curva y = x.
√
(a) Se Q é o ponto (x, x) e, portanto, também pertence
secante à curva que passa por P e Q, para os seguintes
i. 5
iii. 4,1
v. 4,001
vii.
ii. 4,5
iv. 4,01
vi. 3
viii.
ao gráfico desta curva, ache a declividade da reta
valores de x (use o Maple ou uma calculadora):
3,5
ix. 3,99
3,9
x. 3,999
(b) Usando
√ os resultados encontrados no item (a), deduza qual deve ser a declividade da reta tangente à curva
y = x no ponto P (4, 2).
√
(c) Usando o resultado obtido no item (b), ache a equação da reta tangente à curva y = (x) no ponto P (2, 4).
7. O ponto P ( 12 , 2) pertence ao gráfico da curva y = x1 .
(a) Se Q é o ponto (x, x1 ) e, portanto, também pertence ao gráfico desta curva, ache a declividade da reta
secante à curva que passa por P e Q, para os seguintes valores de x (use o Maple ou uma calculadora):
i. 2
iii. 0,8
v. 0,5
vii. 0,555
ix. 0,49
ii. 1
iv. 0,6
vi. 0,55
viii. 0,45
(b) Usando os resultados encontrados no item (a), deduza qual deve ser a declividade da reta tangente à curva
y = x1 no ponto P ( 12 , 2).
(c) Usando o resultado obtido no item (b), ache a equação da reta tangente à curva y = x1 no ponto P ( 12 , 2).
5.8
Para você meditar: Matemática, fı́sica, fórmula 1 e saber popular
É muito difı́cil (e perigoso!) fazer curvas dirigindo um automóvel em alta velocidade (pergunte ao seu professor de
fı́sica por que), por isso os pilotos de fórmula 1 procuram encontrar um traçado ótimo para cada circuito que consiste
em suavizar as curvas, isto é, procurar guiar mantendo o carro o maior tempo possı́vel em linha reta.
(a) O que esse percurso ótimo tem a ver com retas tangentes e traçados de gráficos?
(b) Por que um circuito de pista larga e curvas suaves é considerado de alta velocidade, enquanto que um circuito
de rua, como o de Mônaco, por exemplo, é de baixa velocidade?
O povo usa expressões e adota procedimentos comprovados empiricamente através de muitas gerações. Esse tipo de
conhecimento é mais evidente entre, por exemplo, ı́ndios e homens do campo, cuja cultura ainda não foi “contaminada”
pelo saber cientı́fico do homem moderno. Esses procedimentos podem ser explicados ou desmistificados à luz da Ciência.
(c) Explique matemática e fisicamente a expressão popular “sair pela tangente”.
5.9
5.9.1
Projetos
Programando o computador para traçar gráficos de funções
(a) Como o Maple traça gráficos
Assim como a maioria dos alunos preguiçosos e que nunca estudaram Cálculo, o Maple traça gráficos de funções
ligando pontos por segmentos de reta.
Como você já deve ter visto, o comando básico para o traçado de gráficos é plot( express~
ao, x=a..b), onde
[a,b] é o intervalo de variação de x. Veja a seguir como este comando funciona:
>
f:=x->-x^2+5*x:
>
plot(f(x),x=-2..6);
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
x
66
Cap. 5. Retas Tangentes
Ao receber esse comando, o Maple gera uma lista de pontos da forma (x, f (x)) e os liga por segmentos de reta. O
computador, ao contrário da maioria dos alunos, obtém com esse método uma boa aproximação do gráfico da função
desejada porque escolhe um número muito grande de pontos no intervalo [a, b].
O comando lprint mostra a lista de pontos usada pelo Maple para traçar o gráfico acima.
>
lprint(plot(f(x),x=-2..6));
PLOT(CURVES([[-2., -14.], [-1.825622766666667, -12.46101231950499],
[-1.673898068333333, -11.17142508483673], [-1.503267776666667,
-9.776152891697677], [-1.331506436666667, -8.430441574218097],
[-1.160561448333334, -7.149710117024233], [-1.002073561666667,
-6.014519231324652], [-.8379685350000001, -4.892033940650046],
[-.6682508816666668, -3.787813649181611], [-.4990775150000002,
-2.744465940978576], [-.3250619133333332, -1.730974814166593],
[-.1717888766666666, -.8884558014797285], [.7602599999998461e-3,
.3800722004731630e-2], [.1740178999999999, .8398072704795898],
[.3409837400000000, 1.588648789055612], [.4926047183333333,
2.220364183142404], [.6728967266666666, 2.911693628574618],
[.8256277066666664, 3.446477423317673], [1.003290145000000,
4.009859609945877], [1.160551506666666, 4.455877733707062],
[1.333092145000000, 4.888326057939299], [1.497391635000000,
5.244776466432026], [1.668820916666667, 5.559141331429160],
[1.826246511666667, 5.796056236958666], [1.996051283333333,
5.996035690970020], [2.172430718333333, 6.142698365708384],
[2.325969535000000, 6.219713397251883], [2.491795663333333,
6.249932688859860], [2.663110280000000, 6.223395036558322],
[2.830708209999999, 6.140632079838596], [2.992867824999999,
6.007081307079771], [3.172918429999999, 5.797180786566337],
[3.334701906666666, 5.553272727007032], [3.507440300000000,
5.235064041935910], [3.663966958333333, 4.895180919908249],
[3.835091940000000, 4.467529511747035], [3.996107211666666,
4.011663211198993], [4.164414565000000, 3.479724155815862],
[4.328965766666666, 2.904884224361414], [4.501235625000000,
2.245055973230862], [4.667151973333334, 1.553452324477437],
[4.836825403333333, .7892470343360038], [5.005093851666667,
-.2549520565813523e-1], [5.159715080000000, -.8240843067794081],
[5.336928456666667, -1.798163068245117], [5.495430213333333,
-2.722602162950178], [5.664426145000000, -3.763592827159563],
[5.826176815000000, -4.813452204643543], [6.,
-6.]],COLOUR(RGB,1.0,0,0)),AXESLABELS(x,‘‘),VIEW(-2. .. 6.,DEFAULT))
Para traçar este gráfico, o Maple usou 49 pontos!
Existe uma rotina interna que ajusta o número de pontos necessários para nos dar a ilusão de que o que vemos
na tela é uma curva. Isto é feito usando um número maior de pontos nas regiões onde o ângulo entre os segmentos
de reta que unem dois pontos consecutivos do gráfico é muito agudo. Observe este fato no exemplo dado traçando a
curva com o estilo point.
>
plot(f(x),x=-2..6,style=point);
6
4
2
x
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
Observe também, nos exemplos abaixo, o efeito conseguido pelo uso da opção adaptative=false. Essa opção faz com
que a rotina interna para “suavizar” as curvas não seja usada. Como padrão, o Maple usa a opção adaptative=true.
Essa opção tem prioridade sobre numpoints , isto é, se a opção adaptative=false não for especificada, a opção
numpoints, que define o número de pontos usados para traçar o gráfico, nem sempre será obedecida. Observe a
diferença nos seguintes exemplos.
>
plot(f(x),x=-2..6,numpoints=5,adaptive=false);
W.Bianchini, A.R.Santos
67
6
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
>
plot(f(x),x=-2..6,numpoints=5);
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
Na versão eletrônica, mude o estilo do traçado do gráfico acima para point e comprove que o Maple usou muito
mais que os cinco pontos especificados para traçar esse gráfico!
Observe também, nos exemplos a seguir, quantos pontos são necessários para obtermos uma “boa aproximação
visual” para o gráfico dessa função.
>
plot(f(x),x=-2..6,numpoints=8,adaptive=false);
6
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
>
plot(f(x),x=-2..6,numpoints=20,adaptive=false);
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
Por que o método acima funciona?
(b) Escrevendo o nosso próprio programa para o traçado de gráficos
Como vimos na seção anterior, o Maple e vários outros programas de computador traçam o gráfico de uma função
y = f (x) num determinado intervalo [a, b], aproximando-o por segmentos de reta que unem dois pontos consecutivos
do gráfico de f , isto é, dois pontos do tipo (xi , f (xi )), onde os xi ’s formam uma subdivisão do intervalo [a, b] com
x1 = a, xn = b e xi ∈ [ a, b ] para 1 ≤ i ≤ n. Vamos chamar uma aproximação deste tipo de uma aproximação poligonal
para o gráfico de f . A esta altura, você já deve saber porque à medida em que n cresce a aproximação poligonal
converge para o gráfico da função!
1. Usando o Maple, faça o seu próprio programa para traçar uma aproximação poligonal para o gráfico da função
y = x2 em [−4, 4], considerando uma subdivisão do intervalo com 3, 5, 9, 17 e 33 pontos, sucessivamente.
Sugestão: Defina os pontos da subdivisão do intervalo, calcule o valor da função em cada um deles e use o
comando plot([p1,p2,..pn]) para ligar por segmentos de reta os pontos pi = [xi , f (xi )] assim obtidos.
68
Cap. 5. Retas Tangentes
2. Modifique o seu programa para traçar o gráfico de uma função qualquer y = f (x), em um intervalo [a, b] via
aproximação poligonal, com o número de pontos na subdivisão de [a, b] determinado pelo usuário.
3. Teste o seu programa com as funções y = x3 , y = sen(x) e y =
1
x
no intervalo [−1, 1].
4. Quantas subdivisões foram necessárias, em cada caso, para se obter uma “boa aproximação”? Que problema
acontece com a última dessas funções? Você é capaz de resolvê-lo?
5. Aponte algumas deficiências desse método.
A idéia acima de aproximar curvas planas por segmentos de reta de comprimento cada vez menor é usada para definir
e calcular comprimentos de arcos de curvas. Um comprimento aproximado para este arco pode ser obtido somando-se
os comprimentos de cada um dos segmentos de retas usados para aproximar o arco de curva. O comprimento desses
segmentos são calculados a partir da fórmula para a distância entre dois pontos quaisquer do plano.
1. Usando a técnica descrita acima, calcule um valor aproximado para o comprimento do arco de parábola y = x2
para 0 ≤ x ≤ 1. Como essa aproximação pode ser melhorada? Você é capaz de chegar ao resultado com 4 casas
decimais exatas?
2. Deduza uma fórmula para aproximar o comprimento de uma curva y = f (x) em um intervalo [a, b] subdividindo-o
em n subintervalos de igual comprimento.
3. Qual o valor exato para o comprimento de uma curva y = f (x) em um intervalo [a, b] qualquer? Se você não é
capaz de responder a esta pergunta, estude o capı́tulo sobre limites.
5.9.2
O refletor parabólico
Quando a luz é refletida por um espelho plano, o ângulo entre o raio incidente e o espelho é igual ao ângulo entre
o raio refletido e o espelho. Quando o espelho é curvo, a reta tangente determina como o raio é refletido. Próximo
ao ponto de reflexão, o espelho, embora curvo, se parece muito com uma reta que é, como já vimos, a reta tangente
à curva naquele ponto, e a luz é refletida de tal maneira que os ângulos entre os raios incidente e refletido e a reta
tangente são iguais. Esta é a chamada propriedade de reflexão das curvas. O objetivo desse projeto é determinar a
propriedade de reflexão das parábolas.
Seja p uma constante positiva e considere a parábola x2 = 4 py com vértice na origem e o foco no ponto (0, p),
como é mostrado na figura abaixo. Seja (x0 , y0 ) um ponto dessa parábola, diferente do vértice.
1. Mostre que a tangente em (x0 , y0 ) tem coeficiente linear −y0 .
2. Mostre que o triângulo com vértices (x0 , y0 ), (0, y0 ) e (0, p) é isósceles. Sugestão: Use a fórmula de distância
entre dois pontos do plano.
3. Suponha que uma fonte de luz seja colocada no
foco e que cada raio de luz que deixa o foco seja refletido pela parábola de tal modo que forme ângulos
iguais com a reta tangente. Use o item anterior para
mostrar que, após a reflexão, cada raio aponta verticalmente para cima e portanto é paralelo ao eixo da
parábola. Esta é a chamada propriedade de reflexão
das parábolas. Veja figura ao lado. Para formar
uma idéia tridimensional da maneira como essa propriedade é usada na construção de holofotes e faróis
de automóveis, temos apenas de imaginar um espelho
construı́do prateando-se a parte interna da superfı́cie
obtida a partir da rotação de uma parábola ao redor do seu eixo. A superfı́cie obtida é chamada um
parabolóide de revolução e o foco da parábola será
também o foco do parabolóide. Veja a figura ao lado.
(x0,y0)
(0,p)
(0,-y0)
W.Bianchini, A.R.Santos
69
Esse refletor parabólico pode ser usado ao contrário, isto é, para juntar raios fracos que chegam paralelos ao eixo
e concentrá-los no foco. Assim, por exemplo, se o espelho é apontado para o sol, todos os raios serão refletidos
para o mesmo ponto , o foco do parabolóide, e uma grande quantidade de calor pode ser aı́ produzida (a palavra
latina “focus” significa fogo). Esse é o princı́pio básico das antenas de radar, radiotelescópios e telescópios ópticos
refletores. O grande telescópio do Monte Palomar, na Califórnia, tem um refletor de vidro de 15 toneladas que mede
aproximadamente 510 cm de diâmetro e levou 11 anos para ser polido.
1. Um raio de luz penetra em uma parábola seguindo a direção da reta x = x0 e é refletido no ponto P (x0 , y0 ).
Passa pelo foco (0, p) e é refletido pelo outro lado da parábola. Qual a direção seguida pelo raio refletido?
2. Suponha que um raio de luz, paralelo ao eixo de uma parábola, é refletido pelo exterior da mesma. Qual a
direção seguida pelo raio refletido?
a2
3. O gráfico de y =
é uma hipérbole com focos (a, a) e (−a, −a). Mostre que se um raio de luz emana do
2x
primeiro foco e é refletido pela hipérbole, então o raio refletido segue a direção de uma reta que passa pelo
segundo foco.
70
Cap. 5. Retas Tangentes