EC239 - MATEMÁTICA
Lista de Exercı́cios 4
Prof. Gustavo Ramos Sampaio
Entrega no dia 02/09 (Segunda-Feira) no inı́cio da aula - Turma da Noite
Entrega no dia 03/09 (Terça-Feira) no inı́cio da aula - Turma da Manhã
1. a) Estime a área sob o gráfico de f (x) = x1 de x = 1 até x = 5 usando quatro
retângulos aproximantes pelos extremos direitos. Esboce o gráfico e os retângulos.
Sua estimativa é uma subestimativa ou uma superestimativa?
b) Repita a estimativa da parte a) usando os extremos esquerdos.
c) Repita a estimativa da parte b), agora utilizando oito retângulos aproximantes.
O que acontece com a sua aproximação? Melhora ou piora?
2.
Definição:
A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contı́nua f é o limite
das somas das áreas dos retângulos aproximantes:
A = lim Rn = lim [f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + · · · + f (xn )∆x]
n→∞
n→∞
(1)
Use a definição para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um
limite.
√
a) f (x) = 3 x, 0 ≤ x ≤ 8
√
b) f (x) = 5 + 3 x, 1 ≤ x ≤ 8
c) f (x) = x + ln x,
2≤x≤6
3. Interprete qual a região com área igual ao limite dado:
r
n
X
3i
3
1+
lim
n→∞
n
n
i=1
(2)
4. Calcule a soma de Riemann para f (x) = 2 − x2 , 0 ≤ x ≤ 2, com quatro
subintervalos, tomando os pontos amostrais como os extremos direitos. Explique,
com a ajuda de um diagrama, o que representa a soma de Riemann.
5. Expresse o limite como uma integral definida no itervalo dado.
P
a) limn→∞ ni=1 xi senxi ∆x, [0, π]
P
exi
b) limn→∞ ni=1 1+x
∆x, [1, 5]
i
Pn √
c) limn→∞ i=1 xi ∆x, [1, 4]
1
6.
Definição:
b
Z
f (x)dx = lim
n→∞
a
n
X
f (xi )∆x
(3)
i=1
Use a definição da integral definida acima para computar as seguintes integrais:
a)
5
Z
(1 + 3x)dx
−1
b)
2
Z
(2 − x2 )dx
0
c)
Z
5
(2 + 3x − x2 )dx
1
7. Calcule a integral interpretando-a em termos das áreas.
a)
3
Z
(1 + 2x)dx
1
b)
Z
2
√
4 − x2 dx
−2
8. Dado que
R9√
4
xdx =
38
,
3
R4√
quanto é
9
tdt? Por que?
9. Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da
função:
a)
Z
√
x
g(x) =
1 + 2t dt
0
b)
x
Z
g(x) =
ln t dt
1
c)
Z
1
y=
1−3x
u3
du
1 + u2
2
10. Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral,
ou explique por que ela não existe:
a)
3
Z
x5 dx
−1
b)
2
Z
x−2 dx
1
c)
8
Z
(4x + 3) dx
2
d)
1
Z
−1
3
dt
t4
e)
4
Z
1
1
√ dx
x
f)
Z
ln 6
8ex dx
ln 3
g)
Z
2
f (x) dx onde f (x) =
0
3
x4
x5
se 0 ≤ x < 1
se 1 ≤ x ≤ 2