(10 pontos) Questão de Mecânica Estatı́stica
Considere um gás ideal de partı́culas quânticas não-relativı́sticas indistinguı́veis
de massa m a uma temperatura T . A densidade de partı́culas ρ – número de
partı́culas por unidade de volume – pode ser escrita como
ρ=g
Z
d3 k
n(k),
(2π)3
onde
n(k) =
1
eβ[E(k)−µ]
±1
(1)
,
(2)
com g sendo a degenerescência de cada estado de energia E(k) = k 2 /2m,
β = 1/T , e µ o potencial quı́mico. Aqui está-se usando unidades em que
h̄ = 1 e a constante de Boltzmann kB = 1. O sinal no denominador da
expressão da Eq. (??) depende do caso de se estar tratando de bósons ou
férmions.
(2.5 pontos) (a) Qual sinal no denominador corresponde a bósons e qual
sinal corresponde a férmions?
(2.5 pontos) (b) Mostre que para bósons, o potencial quı́mico µ é necessariamente não-positivo.
(2.5 pontos) (c) Em qual limite a expressão para n(k) na Eq. (??) leva à
distribuição de Boltzmann, dada por
nB (k) = eβ[µ−E(k)] ?
(3)
Explique por quê este limite está relacionado com o limite clássico e por quê
não distingue entre bósons e férmions.
(2.5 pontos) (d) Mostre usando a forma de n(k) quando a temperatura
T = 0 que, para férmions, o potencial quı́mico é igual à energia de Fermi.
Como fica a expressão de n(k) para férmions quando T = 0?
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