UMA ABORDAGEM BASEADA EM FILTROS DE PARTÍCULAS PARA
PROGNÓSTICO DE FALHAS
Luciana B. Cosme∗, Marcos Flávio S. V. D’Angelo†, Walmir M. Caminhas‡, Murilo Cesar
O. Camargos Filho†, Alexandre R. Mesquita‡, Reinaldo M. Palhares‡
∗
IFNMG Campus Montes Claros
Rua Dois, 300, Village do Lago I, 39404-058, Montes Claros - MG
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica - Universidade Federal de Minas Gerais - Av.
Antônio Carlos 6627, 31270-901, Belo Horizonte, MG, Brasil
†
Departamento de Ciência da Computação
Universidade Estadual de Montes Claros
Av. Rui Braga, s/n, Vila Mauricéia, CEP: 39401-089
Montes Claros - MG
‡
Departamento de Engenharia Eletrônica
Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Antônio Carlos, 6627, 31270-901, Belo Horizonte - MG
Emails: [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected], [email protected],
[email protected]
Abstract— This paper addresses the problem of predicting faults and the tool wear condition of a computer
numerical control. To handle this problem, an approach based on a particle filter is used and compared with
traditional approaches for prediction. The contribution of the paper is to assess a particle filter robustness with
respect to noise and uncertainty in system and measurement models. The particle filter solution had superior
performance compared to traditional methods such as artificial neural networks and neuro-fuzzy systems when
the the validation dataset was used. The simulation results indicate the usefulness of the method and that it
may be easily converted into a real time application of fault prognosis.
Keywords—
Fault Prognostic, Particle Filters, Bayesian Inference
Resumo— Este artigo trata o problema de predição de falhas e de desgaste em máquinas CNC. Uma abordagem baseada em filtro de partı́culas é usada e comparada com abordagens clássicas de predição. A contribuição
do trabalho é avaliar a robustez do filtro de partı́culas no que diz respeito ao ruı́do e à incerteza em modelos
de sistemas e de medição em máquinas CNC. A solução encontrada usando o filtro de partı́culas mostrou-se
superior aos métodos tradicionais, como as redes neurais artificiais e os sistemas neuro-fuzzy, no conjunto de
dados utilizado na etapa de validação. Os resultados desse estudo indicam a utilidade do método e que este pode
ser facilmente convertido em uma aplicação em tempo real para prognóstico falha.
Palavras-chave—
1
Prognóstico de Falhas, Filtro de Partı́culas, Inferência Bayesiana
Introdução
Os conceitos de diagnóstico e prognóstico podem
ser aplicados na engenharia para prever o estado
de um sistema industrial, ou mesmo um componente, utilizando dados históricos de parâmetros
mensuráveis. Como resultado da crescente quantidade de máquinas interligadas no processo de
controle, as indústrias são forçadas a procurar novas maneiras de lidar com os riscos de uma falha
inesperada. As metodologias utilizadas no prognóstico já não podem depender apenas de operadores humanos, pois suas decisões em relação a
sistemas complexos não são suficientemente confiáveis (Venkatasubramanian et al., 2003). Portanto, é necessário que se busquem novas abordagens para a realização do prognóstico que consigam lidar com a grande quantidade de variáveis
presentes nestes sistemas.
Os modelos de prognóstico são divididos em
três categorias principais: baseado em modelos fı́sicos, baseado em dados e modelos hı́bridos (An
et al., 2013). As abordagens baseadas na fı́sica do processo utilizam modelos analı́ticos que
descrevem o comportamento de um sistema; esses modelos, geralmente, são altamente especı́ficos (Sikorska et al., 2011). Alguns exemplos bem
conhecidos foram discutidos em (Ray and Tangirala, 1996), (Li and Lee, 2005), (Oppenheimer and
Loparo, 2002), (Kacprzynski et al., 2004), (Yin
et al., 2008). As abordagens baseadas em dados encontram o modelo de sistema(s) através de
um histórico de dados previamente coletados (Sun
et al., 2012). Esta metodologia costuma utilizar
métodos estatı́sticos e/ou ferramentas de inteligência computacional. A análise de séries temporais, por exemplo, em dados de degradação foi
utilizada em (Wang et al., 2012) para previsão de
falhas em uma máquina elétrica. Em (Boškoski
et al., 2015), (Yan et al., 2004) são discutidas as
utilizações de modelos de processos Gaussianos
e modelos auto-regressivos na determinação da
vida útil remanescente (Remaining Useful Life RUL). Já os filtros de partı́culas, objeto de estudo
do presente trabalho, são utilizados em (Vasan
et al., 2013) onde é apresentada a classificação
de falhas no instante atual em circuitos analógicos e, posteriormente, adota o filtro para predizer
a RUL p passos a frente. De forma semelhante,
(Liao, 2014) também emprega o filtro para prever
a RUL em rolamentos após identificar o estágio
atual da falha com Programação Genética. Também em conjunto com os métodos de inteligência computacional, os filtros de partı́culas foram
usados recentemente em (Pang et al., 2015) e em
(Pang et al., 2013) onde os autores representam o
espaço de estados como um modelo ARMA e como
uma rede neural recorrente, respectivamente. Um
tutorial com aplicação do filtro de partı́culas para
prognóstico é proposto em (An et al., 2013) para
estimar os parâmetros de um modelo de degradação da vida útil de baterias.
Neste artigo, uma abordagem baseada em filtro de partı́culas é testada em dados extraı́dos de
uma máquina de comando numérico (Computer
Numerical Control - CNC )(PHM Society Conference Data Challenge, 2010). Um modelo empı́rico
da progressão do nı́vel de desgaste é aplicado na
predição do estado de vida útil do equipamento.
Porém, de forma diferente de (An et al., 2013),
a medição do nı́vel de desgaste não é obtida diretamente e os resultados foram comparados com
métodos clássicos da literatura.
O restante do artigo está organizado da seguinte maneira: a Seção 2 trata dos filtros de partı́culas, na Seção 3 apresenta-se a base de dados
utilizada, na Seção 4 é proposta a metodologia, os
resultados e as discussões e finalmente na Seção 5
as conclusões do artigo.
2
Filtro de Partı́culas
Na literatura existem diversos tipos de filtros recursivos para lidar com a inferência/extração de
alguma informação não conhecida a partir de observações. Em especial, os filtros de partı́culas, como mencionado em (Doucet and Johansen, 2009), se tornaram uma classe popular e importante para resolver problemas dessa natureza.
Os Filtros de Partı́culas (FP) usam simulação de Monte Carlo para gerar trajetórias em um
espaço de estados e então incorporar a informação da medição utilizando inferência Bayesiana.
São métodos normalmente indicados para problemas não-lineares e não-Gaussianos (Arulampalam
et al., 2002).
Muitas variações de filtros de partı́culas estão
disponı́veis. Porém, para o presente trabalho, foi
utilizado o filtro do tipo bootstrap, que consiste em
sua versão mais simples (Chen, 2003).
A Equação 1 modela a evolução da sequência
de estados, (xk , k ∈ N), dada por:
xk = fk (xk-1 , Wk-1 ) , k ≥ 1
(1)
onde xk representa o vetor de estados, fk é uma
função não-linear do estado xk-1 , Wk-1 , k ∈ N, é
uma sequência i.i.d do ruı́do de processo. O objetivo é estimar recursivamente o estado xk a partir
das medições yk . O modelo de medição pode ser
descrito como:
yk = hk (xk , vk ) ,
(2)
onde hk é um função possivelmente não-linear que
representa a relação entre a medição e os estados
e vk , k ∈ N, é uma sequência i.i.d do ruı́do de
medição. Além disto, x0 , vk e wk são mutualmente
independentes.
A Equação 1 caracteriza a probabilidade de
transição dos estados, p(xk |xk-1 ), enquanto a
Equação 2 descreve a probabilidade p(yk |xk ) que
está relacionada ao modelo de medição. Buscamse então estimativas de xk baseadas no conjunto
de medições disponı́veis y1:k = yi , i = 1, ..., k até
o instante k. A partir da distribuição a priori
p(x0 ), a distribuição a posteriori p(xk |y1:k ) é obtida recursivamente em duas etapas: predição e
atualização.
Dada a probabilidade p(xk-1 |y1:k-1 ) em um
instante k, o passo de predição aplica a equação de
Chapman-Kolmogorov ao modelo de estado para
obter a probabilidade a priori no instante k:
Z
p(xk |y1:k-1 ) =
p(xk |xk-1 )p(xk-1 |y1:k-1 )dxk-1 .
(3)
O passo de atualização é alcançado pela aplicação do teorema de Bayes:
p(xk |y1:k ) =
p(yk |xk )p(xk |y1:k-1 )
,
p(yk |y1:k-1 )
(4)
onde p(xk |y1:k−1 ) define a probabilidade a priori,
p(yk |xk ) é a verosimilhança dada pelo modelo de
medição (Equação 2) e o denominador refere-se a
constante de normalização que representa a evidência.
Essa abordagem define a solução Bayesiana.
No entanto, nem sempre é possı́vel determiná-la
analiticamente, exceto quando o sistema é linear
e as distribuições são Gaussianas, como é o caso
do filtro de Kalman. Por outro lado, os filtros de
partı́culas não requerem qualquer hipótese sobre
a forma da função de densidade de probabilidade
(pdf ) do vetor de estados.
Para ilustar os detalhes do algoritmo, sumaNp
rizado na Tabela 1, considere que {xi0:k , Wki }i=1
representam valores que caracterizam a função
de densidade de probabilidade (pdf ) p(x0:k |y1:k ),
Existem várias técnicas de reamostragem,
como apresentado em (Chen, 2003), cujo objetivo é gerar um novo conjunto de amostras substituindo as partı́culas com pesos triviais e duplicar
amostras com pesos maiores. Para o presente trabalho utilizou-se a técnica de reamostragem sistemática, cujo objetivo é minimizar a variância
das partı́culas replicadas. Essa abordagem também possui menor esforço computacional O(Np )
(Chen, 2003).
Tabela 1: Filtro Boostrap
(i)
(i)
Gere partı́culas x0 ∼ p(x0 ), W0 = N1p ,
i = 1, ..., Np .
Para os passos k = 0, 1, 2, ...
(i)
(i)
Gere partı́culas xk ∼ p(xk |xk−1 ),
i = 1, ..., Np , de acordo com a Eq. 1.
(i)
Calcule os pesos Wki = Wk−1 p(yk |xik )
de acordo com a Eq. 2.
(i)
Normalize os pesos Ŵk =
(i)
Wk
PNp
(j) .
j=1 Wk
Calcule uma medida de degeneração, N̂ef f ,
de acordo com a Eq. 7.
Se N̂ef f < NT , onde NT é um limiar.
Gere Np novas partı́culas por reamostragem a partir do conjunto atual
de partı́culas.
(i)
Faça Wk = N1p
Fim-se.
Fim-para.
onde Np é o número de partı́culas, xi0:k , i =
0, ..., Np é um conjunto de amostras com pesos associados Wki , i = 1, ..., Np e x0:k = xj , j = 0, ..., k
é o conjunto de estados até o instante k.
Conforme mostrado na Tabela 1, os pesos são
calculados pela Eq. 6(Arulampalam et al., 2002)
e normalizados. A densidade a posteriori no instante k pode ser aproximada por:
p(x0:k |y1:k ) ≈
Ns
X
Wki δ(x0:k − xi0:k ) ,
(5)
i=1
onde δ(.) é o delta de Dirac e os pesos Wki podem
ser atualizados usando a seguinte relação:
i
Wki = Wk-1
p(yk |xik ).
(6)
Um aspecto importante que ocorre com
frequência nos filtros de partı́culas é o efeito da
degeneração, onde a maioria das particulas possuem pesos insignificantes, devido ao aumento da
variância dos pesos ao longo do tempo. A desvantagem reside no grande esforço computacional para atualizar pesos com valores triviais. A
técnica de reamostragem pode ser feita para evitar a atualização de partı́culas que contribuem
pouco para p(xk |y1:k ). Ela pode ser realizada
sempre entre os passos de amostragem ou, conforme mencionado em (Arulampalam et al., 2002)
e (Chen, 2003), pode-se utilizar uma medida de
degeneração, N̂ef f , para nortear a reamostragem
quando o número efetivo de partı́culas se torna
menor que um limiar, NT , conforme apresentado
na Equação 7.
N̂ef f = PNs
1
i 2
i=1 (Wk )
3
O objetivo principal deste trabalho é a previsão da
condição de saúde de uma máquina de comando
numérico (CNC). Essas previsões podem ser utilizadas para diminuir os custos de manutenção e
aumentar a produtividade da máquina. Para alcançar este objetivo, é necessária a previsão do
desgaste da fresa antes que os cortadores atinjam
seu limite de desgaste (Tobon-Mejia et al., 2012).
A base de dados Prognostic Data Challenge
2010 (PHM Society Conference Data Challenge,
2010) foi disponibilizada pela Sociedade de Prognóstico e Gerenciamento de Saúde (PHM Society)
e contêm dados históricos de uma fresadora CNC
de alta velocidade com três cortadores (Röders
Tech RFM760) utilizados até um estágio de desgaste significante.
Os dados foram obtidos através de um cartão
de aquisição de dados do dinamômetro, para medir a força dos cortes nas três dimensões X, Y e Z;
dos acelerômetros, que mediram a vibração também em três dimensões, e do sensor de emissão
acústica para monitorar o estresse de alta frequência gerado pelo processo de corte (Li et al., 2009).
O conjunto de dados do desafio contém seis
experimentos, nomeados de c1 , c2 , ..., c6 , com 315
cortes individuais cada. No entanto, apenas três
experimentos (c1 , c4 e c6 ) contém a medição do
nı́vel de desgaste. Para compor esses registros,
as três fresas disponı́veis na máquina realizaram
os cortes em peças idênticas. Em cada corte, os
dados obtidos pelo dinamômetro, acelerômetros e
sensor acústico foram gravados.
3.1
onde Wki pode ser calculado pela Equação 6.
(7)
Extração de caracterı́sticas
Os dados dos sensores foram processados para verificar se eles podem representar a informação de
desgaste, que não pode ser obtida diretamente
em funcionamento normal. Dos dados brutos foram extraı́das caracterı́sticas, da seguinte forma
(Tobon-Mejia et al., 2012):
ˆ
,
Base de Dados
Dinamômetro: valor quadrático médio (Root
Mean Square - RMS ), pico (valor máximo)
e desvio padrão (std). Cada medida foi extraı́da para cada eixo, totalizando 9 colunas.
ˆ
Acelerômetro: RMS e curtose. Cada medida
foi extraı́da para cada eixo, totalizando 6 colunas.
ˆ
Emissão acústica: média e desvio padrão, totalizando 2 colunas.
Para as 17 caracterı́sticas extraı́das foi calculado o coeficiente de correlação com relação ao nı́vel de desgaste. Para melhorar a confiabilidade da
predição, optou-se por comparar com o valor máximo de desgaste entre as três fresas, visto que o
objetivo é interromper a máquina para manutenção preditiva ao se atingir um limiar. A Tabela 2
apresenta o resultado do cálculo do coeficiente.
RMS
Pico
std
Média
Curtose
X
0.79
0.89
0.97
Força
Y
Z
0.98 0.97
0.95 0.96
0.98 0.97
X
0.96
Vibração
Y
Z
0.96 0.96
Emissão
acústica
0.36
0.59
0.71
0.44
0.84
Tabela 2: Coeficiente de correlação de cada caracterı́stica em relação ao nı́vel de desgaste.
Os maiores valores na Tabela 2 significam
maior correlação com o nı́vel de desgaste. A Figura 1 mostra a caracterı́stica 10 (RMS da vibração no eixo X) com relação ao nı́vel de desgaste.
0.22
0.2
RMS da vibração no eixo Y
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
40
60
80
100
120
Nı́vel de desgaste
140
160
180
Figura 1: Caracterı́stica 10 versus o nı́vel de desgaste
Neste artigo foram testadas as caracterı́sticas
que apresentaram os maiores valores de correlação
com o desgaste. A caracterı́stica 10 (RMS da Vibração no eixo X) obteve os melhores resultados,
como será mostrado na seção 4.2.
4
Resultados e Discussão
Para avaliar o comportamento do filtro de partı́culas utilizou-se a base de dados apresentada na
seção 3. O objetivo do trabalho é então inferir
o valor do desgaste, com base apenas no RMS da
vibração extraı́do das medições dos sensores, visto
que a medida de desgaste não pode ser obtida diretamente.
4.1
Modelo
O modelo empı́rico adotado de transição de estados com estimação de estados e de parâmetros é
dado por:
xk = exp (ck-1 )xk-1 + w1(k)
ck = ck-1 + w2(k) ,
(8)
onde xk é o nı́vel de desgaste, ck-1 é parâmetro do
modelo a ser encontrado e w(k) representa o ruı́do
gaussiano branco do modelo.
Assumiu-se que a caracterı́stica possui valor
proporcional ao desgaste, conforme Equação 9.
log(yk ) = b0 + log(xk )b1 + vk ,
(9)
onde yk é a medição obtida no instante k (RMS
da vibração no eixo X), b0 = −7.62385 e b1 =
1.16725, obtidos por regressão linear dos dados, e
vk é o ruı́do de medição com variância 0.013.
4.2
Experimentos
Esta seção mostra os resultados experimentais obtidos e comparados com um sistema de inferência Fuzzy (Adaptive-Network-Based fuzzy Interface System - ANFIS ) (Jang and Sun, 1997) e
uma rede neural artificial (RNA) (Haykin, 1998),
modelos amplamentes estabelecidos na literatura
e que serão utilizados para comparação com o filtro de partı́culas.
Utilizou-se o ambiente Matlab 2013 com suas
funções para Redes Neurais, ANFIS e regressão
linear (obtenção dos parâmetros da Eq. 9). A arquitetura da rede neural, do tipo feedforward, consistiu em 3 neurônios na camada escondida e treinamento com algoritmo de Levenberg-Marquardt.
Para o sistema de inferência Fuzzy do tipo sugeno,
adotou-se 3 de funções de pertinência (gbellmf ) e
máximo de 100 épocas.
Para os resultados apresentados na Tabela
3, foram utilizados dois experimentos c1 (experimento 1) e c4 (experimento 4), no entanto, o
último foi fornecido aos métodos apenas como validação e, para este caso, o nı́vel de desgaste foi
considerado desconhecido.
Como critérios de comparação foram utilizados o erro quadrático médio (RMSE) e erro percentual médio (MAPE). Os resultados correspondem à média de cada critério em 30 execuções.
Os parâmetros de ajuste do FP consistem de
50 partı́culas; NT = 0.9; ruı́do de modelo estimado empiricamente, σw1 = 0.1 e σw2 = 0.001;
e ruı́do de medição estimado por regressão linear,
σv = 0.11. Além disto, foi utilizada a reamostragem sistemática(Chen, 2003). A estimativa da
mediana do valor predito se comportou melhor
como estimativa do estado xk que a média. Após
a simulação para c1 , o parâmetro c = 0.0043 foi
encontrado com base nos dados e então utilizado
para validação com c4 .
220
Desgaste real
Desgaste predito
200
IP 95%
180
160
FP
c1
11.25
7.49
c4
11.99
12.79
Tabela 3: Resultados comparativos.
Nível de desgaste
ANFIS
c1
c4
6.33 19.86
3.99 18.07
140
120
100
80
60
A Tabela 3 mostra que o filtro de partı́culas
obteve melhores resultados que os modelos RNA
e ANFIS para os critérios analisados no experimento c4 . Vale ressaltar que a formulação do modelo de predição levou em consideração somente
o experimento c1 , sendo o experimento c4 inteiramente utilizado para validação dos modelos.
A Figura 2 mostra o comportamento do modelo RNA para predição do desgaste na validação
c4 . A Figura 3 mostra o comportamento do modelo ANFIS para predição do desgaste na validação c4 . A Figura 4 mostra o comportamento do
modelo PF para predição do desgaste na validação c4 . Em todas as figuras também há o intervalo
de predição com 95% de confiança. Apesar de o
resultado do filtro de partı́culas tem-se mostrado
pior para a etapa de treinamento, ele ofereceu uma
melhor predição do desgaste para o experimento
de validação, com menos sensibilidade às oscilações dos dados dos sensores e dentro do intervalo
de predição.
40
20
0
0
50
100
150
200
250
300
350
300
350
Número do corte
Figura 3: Validação com ANFIS
220
Desgaste real
Desgaste predito
IP 95%
200
180
160
Nível de desgaste
RMSE
MAPE
RNA
c1
c4
6.67 22.49
4.30 18.20
140
120
100
80
60
40
20
0
50
100
150
200
250
Número do corte
220
Desgaste real
200
Desgaste predito
IP 95%
Figura 4: Validação com Filtro de Partı́culas
180
160
Nível de desgaste
140
equipamento a partir dos dados disponı́veis de sensores. Além disso, a abordagem pode ser aplicada
em modo on-line e em tempo real após o ajuste do
modelo, como pode ser visto no experimento c4 .
120
100
80
60
40
Agradecimentos
20
0
0
50
100
150
200
250
300
350
Número do corte
Os autores agradecem o suporte financeiro da FAPEMIG e CNPq (processo 157280/2014-4).
Figura 2: Validação com Redes Neurais
Referências
5
Considerações Finais
O presente trabalho apresentou o filtro de partı́culas como método capaz de fazer a predição das
condições de desgaste de uma máquina CNC. Os
resultados comparativos com uma rede neural artificial e um sistema de inferência Fuzzy mostraram a melhor capacidade do filtro de partı́culas
em prever um valor desconhecido de desgaste do
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