O problema de Poiseuille para uma mistura
de gases descrito pelo modelo de
McCormack
Anderson Tres ∗
Rosenei Felippe Knackfuss
†
19 de março de 2010
Resumo: No estudo de Fenômenos de Transporte, o transporte de massa e de calor no escoamento
de gases rarefeitos em um canal impulsionado por gradientes de pressão, temperatura e densidade tem
sido muito estudado quando se refere a um único gás. Em relação a uma mistura gasosa binária a
literatura apresenta poucos trabalhos relacionados ao mesmo dentro de um amplo intervalo do número
de Knudsen. Na Dinâmica de Gases Rarefeitos o número de Knudsen é um parâmetro que caracteriza
a rarefação de um gás, e pode ser dividido em três regimes. Quando o número de Knudsen é muito
pequeno, é denominado como regime hidrodinâmico, neste caso a mistura é considerada como um meio
contı́nuo. Quando o número de Knudsen é muito grande, denominamos como o regime de moléculas
livres e nestas condições podemos desprezar as colisões intermoleculares e considerar somente as colisões
das moléculas com uma superfı́cie sólida. Quando o número de Knudsen não é muito pequeno e nem
muito grande, denominamos como regime de transição, no qual o livre caminho médio e o tamanho
caracterı́stico do escoamento possuem a mesma ordem de grandeza. Uma função de distribuição contém
informação sobre a distribuição espacial e a velocidade das partı́culas gasosas de um gás monoatômico
num determinado instante de tempo, possibilitando-se a determinação de propriedades macroscópicas
(pressão, temperatura, densidade, etc) desse gás. A função de distribuição satisfaz um sistema de equações
acopladas baseadas na equação de Boltzmann, que é a base da teoria cinética dos gases, estabelecida
em 1872 por Ludwig Boltzmann. Para facilitar cálculos numéricos simplifica-se a integral de colisões
presente na equação de Boltzmann, que é uma função das freqüências de colisões entre os constituintes
e uma função de distribuição de referência. Essa simplificação resulta nas chamadas equações modelo,
ou cinética. Neste trabalho estuda-se uma mistura gasosa binária confinada entre duas placas infinitas
paralelas com constituições quı́micas diferentes impulsionadas pelo gradiente de pressão (Problema de
Poiseuille), cuja solução baseia-se no modelo de McCormack, que é linearizado em torno de uma função
de distribuição Maxwelliana local. A equação ı́ntegro-diferencial resultante depende de momentos da
função de distribuição e da velocidade das partı́culas. A metodologia utilizada para a solução é a versão
analı́tica do método de ordenadas discretas (ADO). A interação gás-superfı́cie é baseada no modelo de
Maxwell que por sua vez, possui apenas um coeficiente de acomodação. Nos cálculos consideram-se três
misturas binárias de gases nobres: neônio - argônio, hélio - argônio e hélio - xenônio. Deseja-se calcular
as quantidades fı́sicas relacionadas à velocidade das partı́culas, fluxo de calor e tensão de cisalhamento. A
avaliação dos resultados numéricos é desenvolvida através da implementação computacional de programas
em linguagem FORTRAN.
Palavras chave: modelo de McCormack, método de ordenadas discretas, núcleo de Maxwell.
∗
Mestrando no Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada - UFSM
[email protected]
†
Professor permanente do Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada - UFSM
-
270
1
INTRODUÇÃO
O estudo dos fenômenos de transporte é indispensável para projeto, operação e
otimização de processos e equipamentos em várias áreas. Sendo que o mesmo estuda o
transporte de calor, transporte de quantidade de movimento, e transporte de massa.
Na Dinâmica de Gases Rarefeitos, todos os trabalhos relacionados ao mesmo consistem na resolução da equação de transporte de Boltzmann [11] ou na simulação direta de
Monte Carlo, os quais abrangem todo intervalo do número de Knudsen [17,20]. O número
de Knudsen Kn é um parâmetro que caracteriza a rarefação de um gás, sendo representado pela razão entre o livre caminho médio e o tamanho caracterı́stico do escoamento, o
mesmo costuma-se caracterizar por três regimes:
• Regime de moléculas livres (Kn → ∞): o livre caminho médio molecular é muito
maior que o comprimento caracterı́stico do escoamento, logo ocorre-se poucas colisões
entre as partı́culas gasosas. Portanto, a interação entre as partı́culas pode ser desprezada,
a solução da equação cinética é obtida analiticamente.
• Regime hidrodinâmico (Kn → 0): o livre caminho médio molecular é muito menor
que o comprimento caracterı́stico do escoamento, logo o meio gasoso pode ser considerado
como um meio contı́nuo. Utiliza-se a equação de Navier-Stokes para encontrar a solução
da equação cinética.
• Regime de transição (Kn ∼ 1): o livre caminho médio e o tamanho caracterı́stico do
escoamento possuem a mesma ordem de grandeza. Não podemos desprezar a interação
entre as partı́culas e também não podemos considerar o meio como um contı́nuo. Nesse
regime a equação de Boltzmann deve ser resolvida.
A equação de Boltzmann é uma equação ı́ntegro-diferencial não linear muito complexa de ser resolvida até mesmo hoje com o grande avanço computacional, a sua dificuldade de resolução está na presença de uma integral de colisões. Logo surgiu a idéia
de simplificar a integral de colisões utilizando um modelo matemático. A equação de
Boltzmann é linearizada através de uma função de distribuição Maxwelliana local e logo
após é simplificada em equações modelo.
Referindo-se a um único gás, os modelos mais conhecidos são o modelo BGK (Bhatnagar, Gross e Krook) [14] e o modelo de Shakhov [7]. Para misturas gasosas, entre os
modelos propostos [2,12,16,19], o modelo de McCormack [8] é considerado como uma alternativa válida para a equação de Boltzmann linear para as misturas de gases, pois o
mesmo fornece corretamente todos os coeficientes de transporte.
O interesse pelo estudo de mistura de gases rarefeitos tem frequentemente aumentado pelo fato de terem poucos trabalhos relacionados ao mesmo dentro de um amplo
intervalo do número de Knudsen, o contrário do caso de um único gás, onde a literatura
apresenta vários [6,11,13,15].
Os problemas clássicos importantes em várias aplicações na fı́sica e engenharia para
271
misturas de gases rarefeitos causadas pelo gradiente de pressão, temperatura e densidade,
são respectivamente, Problema de Poiseuille, Creep-Térmico e Difuso.
Particularmente o presente trabalho está relacionado ao problema de Poiseuille,
onde os gases estão confinados entre duas placas paralelas infinitas com constituições
fı́sicas diferentes e separadas por uma distância 2a(y = ±a), sujeitos a um gradiente de
pressão. Considera-se que a temperatura da parede é constante. A interação gás-superfı́cie
é dada pelo modelo de Maxwell.
Objetiva-se determinar numericamente os fluxos de calor, difusão e massa no escoamento de uma mistura binária de gases rarefeitos através de um longo tubo sujeito ao
gradiente de pressão.
Será utilizado o Método de Ordenadas Discretas (ADO)[1] para resolver de uma
forma eficiente e precisa a equação do modelo de McCormack aplicado ao fluxo de misturas
gasosas no regime de transição. Utiliza-se as misturas Neônio-Argônio, Hélio-Argônio e
Hélio-Xenônio.
2
O PROBLEMA
Na teoria cinética dos gases, um gás ou n gases monoatômicos são descritos em termos de uma função de distribuição f (x, z, v) que contém informações sobre a distribuição
espacial e de velocidades das partı́culas gasosas num determinado instante de tempo, onde
satisfazem a equação de transporte de Boltzmann
onde
Z Z Z
Q(fα , fβ ) =
v∇r f (r, v) = Q(fα , fβ )
(1)
w(vα , vβ ; vα0 , vβ0 )(fα0 fβ0 − fα fβ )dvα0 dvβ0 dvb eta
(2)
Como a grande dificuldade em resolver a equação de Boltzmann está na presença da
integral de colisões Q(fα , fβ ), é conveniente linearizar a equação em torno de uma função
de distribuição Maxwelliana para uma mistura binária de gases escrita como:
fα (x, v) = fα,0 (v)[1 + hα (x, v)],
(3)
onde
fα,0 (v) = nα
λ 3/2
α
π
e−λα v
2
e λα =
mα
.
2KT0
(4)
Aqui K é a constante de Boltzmann, mα e mβ são as massas de equilı́brio, nα
representa a densidade de equilı́brio, z é a variável espacial no sentido longitudinal, v é a
velocidade das partı́culas e To é a temperatura de referência.
272
O modelo cinético de McCormack [8] é usado, neste trabalho, para definir a formulação do problema de Poiseuille para uma mistura de dois gases.
A função perturbação hα , seguindo a Ref.[8], obedece duas equações de Boltzman
acopladas, e escreve-se como
Sα (c) + cx
∂
hα (x∗ , c) + ωα γα hα (x∗ , c) = ωα γα Lα {h1 , h2 }(x∗ , c).
∂x∗
(5)
Aqui, α = 1, 2 representa os gases 1 e 2, o vetor c, com componentes cx , cy , cz e
magnitude c, é uma variável adimencional. Introduz-se esta velocidade adimencional c
diferentemente nas duas equações, segundo [4], para o caso α = 1 usa-se a transformação
c = ω1 v, e para o caso α = 2 usa-se a transformação c = ω2 v. Ainda,
h m i1/2
α
,
ωα =
2kT0
α = 1, 2
(6)
e a frequência de colisão γα deve ser definida. O operador de colisão L correspondente ao
modelo de McCormack é escrito como
∗
Lα {h1 , h2 }(x , c) =
2 Z
1 X
π 3/2
β=1
∞
−∞
Z
∞
−∞
Z
∞
02
e−c hβ (x∗ , c0 )K β,α (c0 , c)dc0x dc0y dc0z ,
(7)
−∞
onde os núcleos K β,α (c0 , c) são listados no Apêndice A da Ref.[4]
Para o termo não-homogêneo da Eq. (3) temos:
Sα (c) = cz
(8)
Seguindo a Ref.[4], reescreve-se a Eq. (5) em termos da variável τ como
∂
hα (τ, c) + σα hα (τ, c) = σα Lα {h1 , h2 }(τ, c),
∂τ
Sα (c) + cx
(9)
onde
y=
y∗
l0
e
σ α = γα
n1 /γ1 + n2 /γ2 mα 1/2
.
n1 + n2
m
(10)
Aqui, l0 representa o livre caminho médio e γα ,ωα são expressões definidas na Ref.
[4].
Associado ao problema, tem-se que o fluxo do gás no canal definido por τ ∈ | − a, a|
é simétrico na linha central, logo a Eq. (9) satisfaz
hα (−τ, −cx , cy , cz ) = hα (τ, cx , cy , cz )
(11)
Além da Eq. (11), as soluções devem satisfazer a condição de contorno de Maxwell.
273
Logo deve-se considerar apenas
hα (−a, cx , cy , cz ) = (1 − aα )hα (−a, −cx , cy , cz ) + aα I{hα }(−a),
(12)
onde aα é o nosso coeficiente de acomodação e
Z
2
I{hα }(τ ) =
π
∞
Z
∞
Z
−∞
−∞
∞
02
e−c hα (τ, c0x , c0y , c0z )dc0x dc0y dc0z
(13)
−∞
denota o termo de difusidade.
As quantidades fı́sicas de interesse para cada gás (α = 1, 2), é definida segundo [5]
como:
Perfil de velocidade:
Z ∞Z ∞Z ∞
02
−3/2
e−c hα (y, cx , cy , cz )cx dcx dcy dcz ,
(14)
vα (y) = π
−∞
−∞
−∞
Perfil de tensão de cisalhamento:
Z ∞Z ∞Z
−3/2
pα (y) = π
−∞
Perfil de fluxo de calor:
Z ∞Z
−3/2
qα (y) = π
−∞
∞
−∞
∞
(15)
e−c hα (y, cx , cy , cz )(c2 − 5/2)cx dcx dcy dcz .
(16)
−∞
−∞
∞
Z
02
e−c hα (y, cx , cy , cz )cx cz dcx dcy dcz
02
−∞
Conhecendo-se a definição das quantidades fı́sicas de interesse em termos de momentos da função h, multiplica-se a Eq. (9), respectivamente, por
φ1 (cx , cz ) =
1 −(cx 2 +cz 2 )
e
cz
π
e
φ2 (cx , cz ) =
1 2
2
2
(cx + cz 2 − 2)cz e−(cx +cz ) .
π
(17)
logo em seguida, integra-se sobre todo cy e cz . Considera-se a nova variável ξ = cx e
define-se
Z ∞Z ∞
g2α−1 (τ, ξ) =
φ1 (cy , cz )hα (τ, c)dcy dcz
(18)
e
Z
−∞
−∞
∞
∞
Z
g2α (τ, ξ) =
φ1 (cy , cz )hα (τ, c)dcx dcz ,
−∞
(19)
−∞
para α = 1, 2. Assim, obtem-se quatro equações balanço, que são escritas na forma
vetorial G(τ, ξ) como
∂
S(ξ) + ξ G(τ, ξ) + ΣG(τ, ξ) = Σ
∂τ
Z
∞
ψ(ξ 0 )K s (ξ 0 , ξ)G(τ, ξ 0 )dξ 0 ,
(20)
−∞
274
com
2
Σ = diag{σ1 , σ1 , σ2 , σ2 } e ψ(ξ) = π −1/2 e−ξ .
(21)
Para a parte não homogênea tem-se:
 1
 2
 0

S(ξ) =  1

 2
0







(22)
As componentes Ki,j (ξ 0 , ξ) do núcleo Ks (ξ 0 , ξ) são definidas no Apêndice B na
Ref.[4].
A metodologia usada na obtenção da Eq. (20) é também aplicada nas condições de
contorno Eq. (12), obtendo-se
G(−a, ξ) = SG(−a, −ξ) onde S = diag{1 − a11 , 1 − a12 , 1 − a21 , 1 − a22 }
(23)
Baseado na notação vetorial, expressa-se as grandezas fı́sicas de interesse para cada
gás (α = 1, 2) como
Z
∞
vα (y) =
ψ(ξ)g2α−1 (y, ξ)dξ,
(24)
ψ(ξ)g2α−1 (y, ξ)ξdξ
(25)
ψ(ξ)[(ξ 2 − 1/2)g2α−1 (y, ξ) + g2α (y, ξ)]dξ.
(26)
−∞
Z
∞
pα (y) =
−∞
e
Z
∞
qα (y) =
−∞
Para definir as relações das grandezas fı́sicas da mistura de gases, segue-se [9,10,18].
Além das grandezas fı́sicas desejadas, podemos encontrar também a taxa do fluxo
de partı́culas e a taxa do fluxo de calor para cada gás (α = 1, 2), onde são dadas respectivamente pela integral
1
Uα = 2
2a
3
Z
a
uα (τ )dτ
−a
1
e Qα = 2
2a
Z
a
qα (τ )dτ
(27)
−a
Solução do Problema
A solução para o problema é dada pela soma da solução do problema homogêneo e
a solução do problema particular, ou seja
G(τ, ξ) = Gp (τ, ξ) + Gh (τ, ξ)
(28)
275
Para a solução particular tem-se
Gp (τ, ξ) = Aτ 2 + Bτ ξ + Cξ 2 + D
(29)
onde



A=


a1 σ12
0
λa1 σ22
0









, B=


−2a1 σ1
0
−2λa1 σ2
0









, C=


As constantes estão definidas no sistema linear

 
a1
1/σ1

 
 c1   1/σ2
 
M
 c = 0
 3  
d1
0
c1
0
c2
0









e D=


d1
2c1 − 4a1
0
2c3 − 4λa1



 (30)








(31)
sendo
r = (m1 /m2 )1/2
, s = (m2 /m1 )1/2
(32)
O valor das variáveis σα , λ e a matriz M encontra-se na Ref.[4].
Para a solução homogênea utilizou-se o Método de Ordnadas Discretas (ADO), que
tem como base a aproximação da integral angular do termo de espalhamento da equação
de transporte por uma fórmula de quadratura numérica, e em resolver analiticamente o
sistema de equações diferenciais ordinárias resultante para a função de distribuição de
partı́culas nos pontos de quadratura. Propõe-se como solução
Gh (τ, ξ) = Φ(ν, ξ)e−τ /ν
(33)
onde ν é a constante de separação.
Substitui-se a Eq. (33) na Eq. (20), soma-se e subtrai-se as equações resultantes
e aproxima-se o termo integral pela fórmula de quadratura de Legendre, reescreve-se as
equações como um problema de autovalores e autovetores
N
i
X
1h 2
Σ V (νj , ξi ) −
ωk Ψ(ξk )K(ξk , ξi )V (νj , ξk ) = λj V (νj , ξi )
ξi2
k=1
e
U (νj , ξi ) =
N
i
X
νj h
Σ V (νj , ξi ) −
ωk Ψ(ξk )K− (ξK , ξi )V (νj , )
ξi
k=1
(34)
(35)
276
onde
U (νj , ξi ) = Φ(νj , ξi ) + Φ(νj , −ξi ) e V (νj , ξi ) = Φ(νj , ξi ) − Φ(νj , −ξi )
(36)
para i = 1, 2, ..., N e j = 1, 2, ..., 4N .
Os valores para K(ξk , ξi ) são encontrados no Apêndice B da Ref. [4].
Tem-se como solução geral em ordenadas discretas para a Eq. (20)
G(τ, ±ξi ) =
4N
X
[Aj Φ(νj , ±ξi )e−(a+τ )/νj + Bj Φ(νj , ∓ξi )e−(a−τ )/νj ]
(37)
j=1
para i = 1, 2, . . . , N . As constantes arbitrárias Aj e Bj são determinadas a partir da
substituição da Eq. (36) nas condições de contorno dadas pela Eq. (23). No problema
de autovalores temos que um dos mesmos tende a zero, logo uma constante de separação
(ν) tende para o infinito, levando em conta este fato temos como solução
G(τ, ±ξi ) = A1 G+ + B1 G− (τ, ±ξi ) +
4N
X
[Aj Φ(νj , ±ξi )e−(a+τ )/νj + Bj Φ(νj , ∓ξi )e−(a−τ )/νj ],
j=2
(38)
para i = 1, 2, . . . , N . Aqui



G+ = 


1
0
s
0









G− (τ, ±ξ) = 


e
σ1 τ ∓ ξ
0
σ1 s(τ ∓ ξ/σ2 )
0






(39)
Para completar a solução substitui-se a Eq. (38) nas condições de contorno da Eq.
(23), com isso, obtém-se um sistema com 8N equações algébricas lineares e 8N incógnitas,
encontra-se então os valores para Aj e Bj com j = 1, 2, ..., 4N .
Como o objetivo é encontrar as grandezas desejadas, reescreve-se na versão de
ordenadas discretas para os dois gases (α = 1, 2), o perfil de velocidade, respectivamente,
4N
X
1
[Aj e−(a+τ )/νj + Bj e−(a−τ )/νj ]Nu,1 (νj ) (40)
u1 (τ ) = A1 + B1 σ1 τ + a1 (σ1 τ ) + c1 + d1 +
2
j=2
2
4N
X
1
u2 (τ ) = A1 s + B1 sσ1 τ + λa1 (σ2 τ ) + c3 +
[Aj e−(a+τ )/νj + Bj e−(a−τ )/νj ]Nu,2 (νj ) (41)
2
j=2
2
277
o perfil de tensão de cisalhamento
4N
X
1
[Aj e−(a+τ )/νj − Bj e−(a−τ )/νj ]Np,1 (νj )
p1 (τ ) = −a1 σ1 τ − B1 +
2
j=2
(42)
4N
p2 (τ ) = −λa1 σ2 τ − B1
sσ1 X
+
[Aj e−(a+τ )/νj − Bj e−(a−τ )/νj ]Np,2 (νj )
2σ2 j=2
(43)
e o pefil do fluxo de calor
4N
X
5
q1 (τ ) = −4a1 + c1 +
[Aj e−(a+τ )/νj + Bj e−(a−τ )/νj ]Nq,1 (νj )
2
j=2
(44)
4N
X
5
[Aj e−(a+τ )/νj + Bj e−(a−τ )/νj ]Nq,2 (νj )
q2 (τ ) = −4a1 λ + c3 +
2
j=2
(45)
Nas Eq.(40)-(45) usa-se as integrais de normalização
Nv,α (νj ) =
FTα
N
X
ωk ψ(ξk )[Φ(νj , ξk ) + Φ(νj , −ξk )],
(46)
ωk ψ(ξk )ξk [Φ(νj , ξk ) + Φ(νj , −ξk )]
(47)
k=1
Np,α (νj ) = FTα
N
X
k=1
e
Nq,α (νj ) =
N
X
ωk ψ(ξk )FTq,α (ξk )[Φ(νj , ξk ) + Φ(νj , −ξk )],
(48)
k=1
onde o sobrescrito T significa a operação transposta,



F1 = 


1
0
0
0









, F2 = 


e
0
0
1
0









=



Fq,2


=


, Fq,1
0
0
2
ξ − 1/2
1
ξ 2 − 1/2
1
0
0






(49)



.


(50)
278
4
RESULTADOS NUMÉRICOS
A implementação computacional, para avaliar os resultados numéricos, foi desenvolvida através do programa FORTRAN. Para implementar as soluções, inicialmente
define-se o esquema de quadratura utilizado no método de ordenadas discretas analı́tico
(ADO). Logo após, objetivando-se calcular integrais no intervalo [0, ∞), usa-se a transformação não-linear
u(ξ) = e−ξ
(51)
e,logo após, usa-se então o esquema de quadratura de Gauss-Legendre.
O próximo passo é a determinação dos autovalores (constantes de separação) e
autovetores. Em seguida, encontra-se as constantes arbitrárias Aj , Bj resolvendo-se os
sistemas lineares, e portanto as quantidades fı́sicas de interesse são encontradas.
Os resultados numéricos encontrados foram comparados aos do trabalho do Siewert
Ref. [4] com os coeficientes de acomodação de cada gás da placa 2 iguais aos da placa
1. Nas tabelas abaixo os resultados são encontrados com os coeficientes de acomodação
de cada gás da placa 2 diferentes aos da placa 1, onde por sua vez a literatura não
apresenta trabalhos relacionados ao mesmo. Apresenta-se nas tabelas, duas misturas de
gases nobres, obtidos com N = 60 pontos de quadratura e em termos da concentração
molar, é definida em relação a primeira partı́cula como
C=
n1 /n2
.
1 + n1 /n2
(52)
Nas tabelas a seguir os resultados numéricos foram obtidos considerando-se as
misturas:
• Tabela 1 e Tabela 2- Neônio (Ne) e Argônio (Ar), onde m1 = 20.183, m2 = 39.948
e d2 /d1 = 1.406.
• Tabela 3 - Hélio (He) e Xenônio (Xe), onde m1 = 4.0026, m2 = 131.30 e d2 /d1 =
2.226.
Tabela 1: Taxa do fluxo de partı́culas e Taxa do fluxo de calor para o caso 2a = 1.0,
a11 = 0.3, a12 = 0.9, a21 = 0.7, a22 = 0.4 e C = 0.8.
τ /a
−U1 (τ )
−U2 (τ )
Q1 (τ )
Q2 (τ )
1.0(-2)
1.0(-1)
5.0(-1)
1.0
2.0
5.0
1.0(1)
1.0(2)
11.88741
6.98654
4.88587
4.38943
4.18780
4.43776
5.14448
18.81164
5.14351
4.17865
4.35829
4.63091
5.02864
5.88261
7.05646
26.44742
4.32011
1.82197
7.62406(-1)
4.88534(-1)
3.00224(-1)
1.46370(-1)
8.02267(-2)
8.78713(-3)
2.02746
1.26704
7.80008(-1)
5.71521(-1)
3.81246(-1)
1.91326(-1)
1.04016(-1)
1.12149(-2)
279
Tabela 2: Perfil de velocidade e fluxo de calor para o caso 2a = 1.0, a11 = 0.3, a12 = 0.9,
a21 = 0.7, a22 = 0.4 e C = 0.8.
τ /a
−u1 (τ )
−u2 (τ )
q1 (τ )
q2 (τ )
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2.26520
2.26328
2.25749
2.24777
2.23398
2.21590
2.19318
2.16523
2.13094
2.09771
2.02137
2.51459
2.50949
2.49409
2.46803
2.43069
2.38103
2.31744
2.23728
2.13579
2.00252
1.78521
2.72066(-1)
2.71367(-1)
2.69255(-1)
2.65676(-1)
2.60534(-1)
2.53674(-1)
2.44845(-1)
2.33641(-1)
2.19313(-1)
2.00178(-1)
1.67352(-1)
3.35292(-1)
3.34193(-1)
3.30847(-1)
3.25107(-1)
3.16703(-1)
3.05192(-1)
2.89865(-1)
2.69538(-1)
2.42039(-1)
2.02464(-1)
1.25561(-1)
Tabela 3: Perfil de velocidade e fluxo de calor para o caso 2a = 1.0, a11 = 0.5, a12 = 0.8,
a21 = 0.7, a22 = 1.0 e C = 0.5.
5
τ /a
−u1 (τ )
−u2 (τ )
q1 (τ )
q2 (τ )
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
9.47842(-1)
9.40865(-1)
9.43673(-1)
9.38385(-1)
9.30827(-1)
9.20817(-1)
9.08067(-1)
8.92105(-1)
8.72087(-1)
8.46145(-1)
8.04972(-1)
1.89408
1.89037
1.87919
1.86035
1.83350
1.79810
1.75327
1.69754
1.62827
1.53953
1.40080
2.55575(-1)
2.55087(-1)
2.53610(-1)
2.51101(-1)
2.47483(-1)
2.42627(-1)
2.36337(-1)
2.28284(-1)
2.17884(-1)
2.03845(-1)
1.79745(-1)
3.51241(-1)
3.53039(-1)
3.49484(-1)
3.43450(-1)
3.34759(-1)
3.23121(-1)
3.08077(-1)
2.88869(-1)
2.64126(-1)
2.30774(-1)
1.73068(-1)
Referências
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