UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
UEMS – SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA
Função Composta e Função Inversa
NOVA ANDRADINA – MS
2010
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
UEMS – SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA
Bruno Regis do Nascimento
Carlos Diego Dantas
Elisangela Elisiane Novoli
Glaucia Patricia Bravin de Sá
Marcos Eduardo Carneiro
Regiane da Silva Macedo Lima
Ronyvaldo de Souza
Função Composta e Função Inversa
NOVA ANDRADINA – MS
2010
FUNÇÃO COMPOSTA
Consideremos duas funções f e g onde y=g(u) e u=f(x).
Para todo x tal que f(x) está no domínio de g, podemos escrever y= g(u) = g[f(x)], isto
é, podemos considerar a função composta (g f) (x).
Por exemplo, uma função tal como y = x 5x 2
pode ser vista como a
composta das funções y = u = g(u) e u = x 5x 2 fx
.
Neste tipo de função o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para
outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A.
FUNÇÃO INVERSA
Seja y = f(x) uma função de A em B ou f: A→B. Se, para cada y B, existir
exatamente um valor x A tal que y = f (x), então podemos definir uma função g: B → A tal
que x=g(y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por
f .
Domínio de f = Imagem de f
Imagem de f Domínio de f Exemplo:
A função f:R→R definida por y=2x-5 tem como função inversa f : R→R, definida
por x=(y+5).
Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico for cortado, no máximo, uma vez
por qualquer reta horizontal.
Se f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y = f (x) são reflexões um do
outro em relação à reta y=x; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação
àquela reta.
Para fazermos o gráfico da função inversa basta traçarmos a reta y=x e observarmos a
simetria.
Exemplo:
A função f[0,+∞)→[0,+∞), definida por f(x)=x2 tem como inversa a função g:
0,+∞)→[0,+∞) dada por g(x)=√x.
x^2, x^(1/2)
y
1
y=√x
0.75
y=x2
0.5
0.25
0
0
0.25
0.5
0.75
1
x
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
É impossível definir uma função inversa para cada uma das seis funções
trigonométricas básicas, pois todas elas repetem periodicamente; portanto, não passam no
teste da reta horizontal. Assim, para definir funções trigonométricas inversas, primeiro
devemos restringir os domínios das funções trigonométricas.
FUNÇÃO ARCO SENO
Seja f: [-π/2, π/2] → [-1,1] a função definida por f (x) = sen x. A função inversa de f
(x), será chamada arco seno, e denotada por
f-1: [-1,1]→ [-π/2, π/2], onde f-1(x)= arc sen x.
Simbolicamente, para - ≤ y ≤ , escrevemos a equivalência:
y= arc sen x sen y = x
arcsin(x)
y
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
-0.5
1
x
-1
-1.5
O gráfico desta função nos mostra uma função crescente.
FUNÇÃO ARCO COSSENO
Seja f: [0, π] → [-1,1] a função definida por f (x) = cos x. A função inversa de f (x),
será chamada arco cosseno, e denotada por
f-1: [-1,1]→ [0, π], onde f-1(x)= arc cos x.
Simbolicamente, para 0 ≤ y ≤ π , escrevemos:
y= arc cos x x = cos y
arccos(x)
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
O gráfico desta função nos mostra uma função decrescente.
FUNÇÃO ARCO TANGENTE
A função inversa da tangente é definida para todo número real.
Seja f: (-π/2, π/2) → R a função definida por f (x) = tg x. A função inversa de f, será
chamada arco tangente, e denotada por
f-1: R→ (-π/2, π/2), onde f-1(x)= arc tg x.
Simbolicamente, para - < y < , escrevemos:
y= arc tg x x = tg y
arctan(x)
y
0.75
0.5
0.25
0
-1
-0.5
0
-0.25
0.5
1
x
-0.5
-0.75
O gráfico nos mostra que quando x se torna muito grande, arc tg x aproxima-se de /2.
Quando x se torna muito pequeno, arc tg x se aproxima de - /2.
É uma função crescente.
OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Podemos definir a função inversa da cotangente como
y= arc cotg x = - arc tg x
onde 0 < y < π.
1/2*PI - arctan(x)
y
2.25
2
1.75
1.5
1.25
1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y=arc cotg x
As funções inversas da secante e da cossecante serão funções de x no domínio |x|≥ 1,
desde que adotemos as definições:
y= arc sec x = arc cos (1/x)
y = arc cosec x = arc sen (1/x).
arccos(1/x)
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
x
y=arc sec x
arcsin(1/x)
y
1.5
1
0.5
0
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
x
-0.5
-1
-1.5
y=arc cosec x
INVERSAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
As funções exponencial e logarítmica referem-se a movimentos inversos da
potenciação. Com a função logarítmica acontece um determinado movimento numérico; com
a função exponencial acontece um regresso deste movimento. Trata-se de uma estrada de mão
dupla.
Assim, o domínio de uma função é imagem da outra e vice-versa.
São portanto funções inversas. Isto explica por que, para resolver funções
exponenciais, temos de recorrer frequentemente aos logaritmos, ou às exponenciais, no caso
dos logaritmos.
Observaremos
o
gráfico
da
função
exponencial
exp2(x) = 2x, e o gráfico da função logarítmica y = log2x.
2^x
y
8
6
4
2
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
x
log(2, x)
y
3
2
1
0
2
4
6
8
10
x
-1
Portanto, podemos definir y = como a função inversa de y = , sempre que
b seja um número real, positivo e diferente de 1.
BIBLIOGRAFIA
FLEMMING,Diva Marília. Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração. 5ª
ed. São Paulo. Makron. 1992.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5ª Ed. Rio de Janeiro. LTC.
2008.
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. 6 ed. Porto Alegre. Bookman. 2000.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo I – Funções de uma variável. 6ª edição. Campinas. Livros
Técnicos e Científicos Editora. 1992.