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Seis forças de mesmo módulo F atuam sobre um sólido segundo
os lados de um hexágono regular de lado L. Calcule o momento destas
forças em relação ao eixo que passa pelo centro e perpendicular ao
sólido.
Dados do problema
•
•
comprimento do lado do sólido:
módulo da força que atua no sólido:
L;
F.
Esquema do problema
Adotamos um sistema de referência no eixo que passa pelo centro do sólido e
perpendicular a este com sentido positivo anti-horário (figura 1-A).
Como o sólido é um hexágono regular ele pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros
de lados L e ângulos θ (figura 1-B).
figura 1
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, então um ângulo mede
o
180
θθθ = 180 o ⇒ 3 θ = 180 o ⇒ θ =
⇒ θ = 60 o (figura 1-C).
3
Solução
O momento de uma força é dado por
MF=Fd
(I)
 aplicada a um vértice do
Consideremos a força F
hexágono, está força pode ser decomposta em duas, uma
 P ) ao segmento L que vai do centro do
componente paralela ( F
hexágono ao vértice considerado e outra componente
 N ao segmento (forma um ângulo de
perpendicular ou normal F
o
90 ), apenas esta componente contribui para o momento do sólido.
 P ) é 60o, é
 )e a componente paralela ( F
O ângulo entre a força ( F
figura 2
o mesmo ângulo do triângulo no interior do hexágono (figura 2),
estes ângulos são opostos pelo vértice. Então a componente normal pode ser escrita como
F N = F sen 60
o
lembrando da Trigonometria que sen 60 =
3
, temos
2
FN=
o
3
2
1
F
(II)
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O momento da componente normal da força será dado pela expressão (I)
M F = F Nd
(III)
N
substituindo (II) em (III) e sendo a distância da força ao eixo central igual a L, temos
3
MF =
2
N
FL
(IV)
Sendo que o momento total é dado pela somatória dos momentos de todas as seis
forças que atuam no corpo, obtemos
6
M =∑MF
k =1
N
k
M = M F 1 M F 2M F 3 M F 4 M F 5M F
N
N
N
N
N
N
6
como o sólido é simétrico e todas as forças são de igual módulo seus momento também são
iguais
M =6MF
N
substituindo (IV) em (V), temos finalmente
M = 6.
3
2
FL
M =3  3 FL
2
(V)