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Questão 2
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Um losango ABCD de lado 12cm e medida do ângulo BÂD igual a α é rotacionado por um eixo sobre AB, gerando um sólido de revolução denotado por S.
A
_
E
D
B
C
a) Calcule o volume de S, em cm3, quando α = 30º.
π
—
—
⬍ α ⬍ π. Seccionando S por um plano que contém ED e é perpendicular a AB, dividimos S em
2
dois sólidos, S1 e S2. Sendo R a razão entre o maior volume dentre os dois sólidos e o menor, determine R
em função de cosα.
b) Considere
Resolução
a)
A
A
30º
_
12
E
D
D
E
B
B
30º
F
C
12
C
Como os triângulos AED e BFC são congruentes, os volumes dos sólidos (cones) por eles gerados são iguais.
—
—
Logo, o volume do sólido S gerado pelo losango é igual ao volume do cilindro de geratriz CD e raio da base
ED.
ED
1 ED
=
ΔAED: sen30º =
∴
∴ ED = 6
AD
2 12
Portanto o volume do sólido S é:
V = π ⋅ 62 ⋅ 12, ou seja, V = 432π cm3
Resposta: 432π cm3
b)
E
D
180º – _
_
A
F
C
B
Note-se que:
—
—
—
—
1. Não existe um plano que contenha ED e seja perpendicular ao segmento AB.
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—
2. Supondo que o plano seja perpendicular à reta de suporte AB, ainda assim esse plano não divide S em
dois sólidos.
De (1) e (2), podemos concluir que é impossível determinar a razão R.