Índice
Introdução ............................................................................................................................................... 9
Unidade 1
Probabilidades e Cálculo Combinatório
Probabilidades
Introdução ao cálculo das probabilidades .................................................................................................................................................... 12
Experiência................................................................................................................................................................................................... 13
Classificação para os acontecimentos. Espaço de acontecimentos ............................................................................................................ 14
Operações com acontecimentos .................................................................................................................................................................. 15
Propriedades dos acontecimentos ............................................................................................................................................................... 17
Produto cartesiano ....................................................................................................................................................................................... 19
Propriedades – Produto Cartesiano ............................................................................................................................................................. 21
Probabilidade – Definição frequencista e definição clássica........................................................................................................................ 22
Diferenças entre as duas definições apresentadas...................................................................................................................................... 23
Axiomas da Teoria das Probabilidades. Propriedades ................................................................................................................................ 24
Probabilidade condicionada ......................................................................................................................................................................... 29
Acontecimentos independentes ................................................................................................................................................................... 30
Cálculo Combinatório
Arranjos com repetição ou arranjos completos ............................................................................................................................................32
Arranjos sem repetição ou arranjos simples ................................................................................................................................................33
Permutações.................................................................................................................................................................................................34
Permutações com repetições .......................................................................................................................................................................35
Combinações................................................................................................................................................................................................36
Noção de factorial.........................................................................................................................................................................................37
Os jogos e o Cálculo Combinatório. Diferenças entre arranjos e combinações – Exemplo ........................................................................39
Triângulo de Pascal. Propriedades ..............................................................................................................................................................40
Binómio de Newton. Propriedades ...............................................................................................................................................................42
Variável aleatória Discreta............................................................................................................................................................................44
Amostra versus População – Caso Discreto. Estatísticas versus parâmetros.............................................................................................46
Distribuição Binomial ....................................................................................................................................................................................47
Duas resoluções para um exemplo ..............................................................................................................................................................50
Amostra versus População – Caso Contínuo...............................................................................................................................................51
Distribuição Normal ......................................................................................................................................................................................52
Distribuição Binomial e Distribuição Normal.................................................................................................................................................53
Unidade 2
Cálculo Infinitesimal II
Potências de números reais ......................................................................................................................................................................... 56
Função exponencial com base superior a um. Função logarítmica ............................................................................................................. 57
Função exponencial com base entre zero e um, exclusive. Função logarítmica ......................................................................................... 58
Propriedades dos logaritmos........................................................................................................................................................................ 59
Condições com a exponencial e logarítmica ................................................................................................................................................ 60
Limites .......................................................................................................................................................................................................... 62
Modelos exponenciais e logarítmicos na realidade...................................................................................................................................... 64
Classificação de funções reais de variável real............................................................................................................................................ 65
Conceitos básicos sobre funções reais de variável real .............................................................................................................................. 67
Transformações do gráfico de uma função f. Operações com funções reais de variável real..................................................................... 72
Função composta ......................................................................................................................................................................................... 73
Função inversa ............................................................................................................................................................................................. 74
Polinómios numa variável real...................................................................................................................................................................... 75
Fracções algébricas ..................................................................................................................................................................................... 77
Equações e Inequações ............................................................................................................................................................................... 78
Sucessões de números reais – Funções reais de variável natural .............................................................................................................. 79
Progressões ................................................................................................................................................................................................. 81
Infinitamente grandes e infinitésimos. Sucessões convergentes ................................................................................................................. 83
Operações com sucessões .......................................................................................................................................................................... 84
Proposições falsas. Classificação de uma sucessão quanto à existência e natureza do limite .................................................................. 85
Estudos da sucessão n
an, a  IR .............................................................................................................................................................86
Número de Nepper – e .................................................................................................................................................................................87
Limites de F.R.V.R........................................................................................................................................................................................88
Limites de f.r.v.r. – Propriedades..................................................................................................................................................................90
Símbolos de Indeterminação ........................................................................................................................................................................91
Limite de uma função polinomial quando x   ........................................................................................................................................91
Limite de uma função racional quando x  ...........................................................................................................................................91
Limite de uma função racional f (x ) = P (x )/Q (x ) quando x  a .............................................................................................................91
Assímptotas ao gráfico de uma função ........................................................................................................................................................92
Funções contínuas .......................................................................................................................................................................................94
Propriedades das funções contínuas ...........................................................................................................................................................95
Teorema de Bolzano. Corolário do Teorema de Bolzano ............................................................................................................................97
Derivadas de F.R.V.R...................................................................................................................................................................................98
Derivadas laterias .......................................................................................................................................................................................100
Diferenciabilidade e continuidade. Função derivada..................................................................................................................................101
Função diferenciável num intervalo. Função segunda derivada ................................................................................................................102
Regras de derivação ..................................................................................................................................................................................103
Derivadas da função exponencial e da função logarítmica ........................................................................................................................104
Derivada da função composta ....................................................................................................................................................................105
Derivada da função inversa ........................................................................................................................................................................106
Aplicações das derivadas ...........................................................................................................................................................................107
Propriedades – Simetria, assímptotas, tangentes e variação ....................................................................................................................109
Passos a seguir para a representação gráfica de uma função f ................................................................................................................109
Exemplos – Representação gráfica de funções ......................................................................................................................................... 110
Modelo Logístico ........................................................................................................................................................................................ 111
Unidade 3
Trigonometria e Números complexos
Trigonometria
Razões trigonométricas de um ângulo agudo ............................................................................................................................................ 114
Sistemas: Sexagesimal e Circular.............................................................................................................................................................. 115
Razões trigonométricas. Fórmulas Trigonométricas .................................................................................................................................. 116
Equações Trigonométricas. Período positivo mínimo ................................................................................................................................ 116
Razões trigonométricas no círculo trigonométrico. Redução ao I Quadrante............................................................................................ 117
Função real de variável real – Função seno .............................................................................................................................................. 118
Função real de variável real – Função co-seno ......................................................................................................................................... 120
Função real de variável real – Função Tangente ....................................................................................................................................... 120
Função real de variável real – Função Co-tangente .................................................................................................................................. 121
Fórmulas Trigonométricas.......................................................................................................................................................................... 122
Limites ........................................................................................................................................................................................................ 124
Regras de derivação .................................................................................................................................................................................. 125
Exemplos – Representação gráfica de funções ......................................................................................................................................... 126
Modelos Trigonométricos na realidade ...................................................................................................................................................... 127
O Conjunto dos Números Complexos – ⺓
Forma algébrica de um complexo ..............................................................................................................................................................129
Operações com números complexos. Propriedades..................................................................................................................................130
Potências de i. Soma das potências de i. Produto das potências de i .......................................................................................................131
Propriedades ..............................................................................................................................................................................................132
Representação geométrica dos complexos – Plano d’Argand...................................................................................................................133
Forma trigonométrica de um complexo ......................................................................................................................................................135
Expressão geral de argumentos.................................................................................................................................................................136
Propriedades na forma trigonométrica. Fórmulas de Moivre .....................................................................................................................137
Condições envolvendo números complexos. Lugares geométricos ..........................................................................................................139
Exemplos – Condições em ⺓ .....................................................................................................................................................................141
Comparação entre IR e ⺓...........................................................................................................................................................................142
Gerais
Áreas de figuras planas ..............................................................................................................................................................................143
Áreas e volumes de sólidos........................................................................................................................................................................144
Limites notáveis – síntese ..........................................................................................................................................................................145
Regras de derivação – síntese ...................................................................................................................................................................146