Ficha de Apoio n.º3
Geometria no Plano e no Espaço II
Trigonometria
As Funções Trigonométricas no Círculo Trigonométrico
No círculo trigonométrico, a medida do comprimento do arco é igual à medida, em radianos, do ângulo ao
centro correspondente. Se considerarmos α expresso em radianos, sen α , cos α e tg α pode ser
considerado como seno, cosseno ou tangente de um comprimento, ou seja, de um número real. Assim, a
cada número real x (comprimento do arco) corresponde um e um só número real y tal que y = sen x ,
y = cos x ou y = tg x podem ser consideradas como funções reais de variável real (f.r.v.r).
Estas três funções são chamadas funções trigonométricas ou funções circulares. Este tipo de funções é
usado para modelar situações reais que envolvem fenómenos periódicos, como por exemplo, as ondas
sonoras, movimento de um pêndulo, marés, fases da lua, pulsações cardíacas, etc. Estes fenómenos são
caracterizados por repetirem as mesmas características em intervalos de tempo sucessivos e de
extensões iguais.
Situação Real
Considera um aerogerador e a sua representação
no plano com o respetivo sistema de pás num
referencial o.n. esquematizado na figura do lado
direito.
Seja A o ponto que representa a extremidade de
uma das pás, O centro de rotação e OA a unidade
do referencial.
No movimento das pás do aerogerador em torno do ponto O, seja x a
amplitude em radianos, do arco descrito pelo ponto A. Considera a função
f que a cada amplitude x faz corresponder a ordenada do ponto A.
Atividades
1. Indica a ordenada do ponto A quando:
( A0 ) x = 0; .......
( A3 ) x =
π
2
; .......
( A6 ) x = π ; .......
( A9 ) x =
3π
; .......
2
( A1 ) x =
π
; .......
6
2π
( A4 ) x =
; .......
3
7π
( A7 ) x =
; .......
6
5π
( A10 ) x =
; .......
3
( A2 ) x =
π
; .......
3
5π
( A5 ) x =
; .......
6
4π
( A8 ) x =
;.......
3
11π
( A11 ) x =
; .......
6
( A12 ) x = 2π ; .......
2. Indica uma expressão que define a função f.
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3. Representa no referencial os pontos definidos anteriormente.
FUNÇÃO SENO
Se num referencial consideramos θ a abcissa e y a ordenada obtém-se o gráfico de função y = sen x .
Observando o gráfico da função f: x → y = sen x tiram-se as seguintes conclusões:
• Domínio: D f =
• Contradomínio: D 'f =
• Periodicidade: sen ( x ) = sen ( x + ___ ) , ∀x ∈ ℝ , ou seja, a função seno é ______________
_____________________________________________________________
• Paridade: A função seno é uma função ________
_________________________)
(o seu gráfico é simétrico em relação
sen(− x) = ______, ∀x ∈ ℝ
• Monotonia e extremos:
A função seno é estritamente crescente, por exemplo, em:
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A função seno é estritamente decrescente, por exemplo, em:
A função seno tem máximos relativos para:
A função seno tem mínimos relativos para:
• Zeros: A função seno tem zeros para:
• Injectividade: A função seno __________________________________________________
FUNÇÃO COSSENO
Observando o gráfico da função f: x → y = cos x tiram-se as seguintes conclusões:
• Domínio: D f =
• Contradomínio: D 'f =
• Periodicidade: cos ( x ) = cos ( x + ___ ) , ∀x ∈ ℝ , ou seja, a função cosseno é _____________
_____________________________________________________________
• Paridade: A função cosseno é uma função ________
( o seu gráfico é simétrico em relação
_________________________)
cos(− x) = ______, ∀x ∈ ℝ
• Monotonia e extremos:
A função cosseno é estritamente crescente, por exemplo, em:
A função cosseno é estritamente decrescente, por exemplo, em:
A função cosseno tem máximos relativos para:
A função cosseno tem mínimos relativos para:
• Zeros: A função cosseno tem zeros para:
• Injectividade: A função cosseno ________________________________________________
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FUNÇÃO TANGENTE
Se num referencial se considerar θ a abcissa e
y
a ordenada obtém-se o gráfico de função y = tg x .
x
Acerca da função tangente, temos:
• Domínio: D f =
• Contradomínio: D 'f =
• Periodicidade: tg ( x ) = tg ( x + ___ ) , ∀x ∈ D f , ou seja, a função tangente é _____________
_____________________________________________________________
• Paridade: A função tangente é uma função ________
(o seu gráfico é simétrico em relação
_________________________)
tg (− x) = ______, ∀x ∈ D f
• Monotonia:
A função tangente é _______________________________________________________
• Zeros: A função tangente tem zeros para:
• Injectividade: A função tangente _______________________________________________
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Atividades
1.
Considera a função f ( x) = 2 cos( x) .
1.1.
Representa graficamente a função f.
y
2.5
2
1.5
1
0.5
x
-3π/2-4π/3-7π/6 -π -5π/6-2π/3 -π/2 -π/3 -π/6
-0.5
π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π
7π/6 4π/3 3π/2
-1
-1.5
-2
-2.5
1.2.
2.
Indica o domínio, contradomínio e período mínimo da função.
Considera a função f ( x) = cos(2 x) .
2.1.
Representa graficamente a função f.
y
2.5
2
1.5
1
0.5
-3π/2-4π/3-7π/6 -π -5π/6-2π/3 -π/2 -π/3 -π/6
-0.5
x
π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π
7π/6 4π/3 3π/2
-1
-1.5
-2
-2.5
2.2.
Indica o domínio, contradomínio e período mínimo da função.
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3.
Indica o domínio e contradomínio das seguintes funções:
3.1.
f ( x) = 3sen( x)
3.2.
f ( x) = 2 cos( x) − 6
3.3.
f ( x) = −5sen(2 x) + 2
3.4.
f ( x) = 2 sen 2 (4 x) − 7
3.5.
f ( x) = 4 − 2cos 2 (π x)
3.6.
f ( x) = 4 − 2 cos(π + x)
3.7.
f ( x) = 6tg ( x) − 5
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