Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)

Matéria:
– Lei 1/7 de velocidades;
– Expressões para a C.L. turbulenta com dpe/dx nulo sobre
placa plana;
– Origem virtual da CL turbulenta;
– Placas hidraulicamente lisas e completamente rugosas.
.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Introdução à camada limite
 Passagem
de regime laminar a turbulento:
forças inércia Ux
Re 

forças viscosas 
• Início da CL:
x – distância ao início da CL
x0
Re  0
Escoamento
laminar
 0   u yy0 muito elevado
• Placa suficientemente longa:
Passagem a
turbulento
2004
Re crítico
(5105)
Mecânica dos Fluidos II
Re aumenta
 0   u yy0 reduz-se
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Introdução à camada limite
 Regiões
da camada limite turbulenta:
– Sub-camada linear (não há turbulência);
– Camada de transição;
– Região central - zona de perfil logarítmico
(turbulência não afectada pela parede);
– Zona exterior (vórtices turbulentos misturados com
escoamento exterior não-turbulento).
Filmes 2
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
MECÂNICA DOS FLUIDOS II
u   0 
u
u 
u

y 
 Resultados
2004
u y

experimentais da lei da parede
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
MECÂNICA DOS FLUIDOS II

Lei da parede (continuação):
 Aproximações
2004
de u*=f(y*):
o
y 5
u*  y*
o
y  30
u  5.75log10 y  5.5 região central
o
30  y  5
*
*
*
*
Mecânica dos Fluidos II
sub-camada linear
*
camada de transição
Prof. António Sarmento - DEM/IST
MECÂNICA DOS FLUIDOS II
 Outras
o
o
2004
Tomar
Tomar
aproximações de u*=f(y*):
u  5.75log10 y  5.5 em todo o perfil
*
*
 
u  8.7 y
*
Mecânica dos Fluidos II
* 1/ 7
: aproximação menos fiel, mas
mais fácil de aplicar; não permite
calcular a tensão de corte na
parede.
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)
 Bases:
– Equação de von Kárman:
d
 m 
 0  U
dx
2
17
yu 
u

– Perfil de velocidades (empírico):
 8,7

u
(Placas lisas e ReL107)
  
Nota 1: o perfil de velocidades em parte da CL segue a lei da
parede, mas essa lei tem uma forma menos conveniente.
Nota 2: como vimos no caso laminar os parâmetros integrais da
CL são pouco afectados pela forma do perfil de velocidades.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)
 Tensão
de corte na parede
17
u
 yu 
 8,7

u
  
y 
  
 0  0,0227U 

 U 
14
2
0
u 

U
 u 
 8,7

u
  
17
  
u  0,1506U 

 U 
18
Nota: esta expressão faz 0 depender de  (ainda desconhecido).
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)
 Como
vimos:
17
u
 yu 
 8,7

u
  
y 
u  u  y

 m    1   d  
U U  
0
1
U
 u 
 8,7

u
  
17
17
u  y
 
U  
a=7/72
 Conclusão:
2004
 m  a
Mecânica dos Fluidos II
7/72=0,0972<0,133 (CL Laminar)
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)
 Por
outro lado:
 u   y
 d    1  d  
U   
0
1
17
u  y
 
U  
 Factor
de forma:
d 

 1,29
m 
d 1

 8
*
2004
CL laminar => 2,59
Quanto mais cheio o perfil de velocidades,
mais próximo de 1 é o Factor de Forma
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)
d
2 d
 m  U a
 Equação de von Kármàn:  0  U
dx
dx
2
  
Equação encontrada para 0:  0  0,0227U 

 U 
14
2
14 45
 54
 x  x0   
   0  0,0284
 
 a  U 




Nota: xo é o ponto onde =0. Em geral escolhe-se xo
coincidente com o início da CL turbulenta.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)
 Evolução
da CL sobre placa plana:
Zona de
transição
CL laminar c
0
CL turbulenta
xc x 0
xc 
2004

U
Re c
(Rec5,5105)
Mecânica dos Fluidos II
5
c 
xc
Re c
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)

Hipótese 1: a CL começa turbulenta desde o início da placa
(x0=0=0), válida se a secção de interesse for muito afastada
do fim da CL laminar.
 x  
  0,058   
 a  U 
45
15
 a 
 U 2
 0  0,0463
 Re x 
  
 0  0,0227U 

 U 
14
2
Válida se L>>xc (ou
ReL>>Rec). L é o
comprimento da placa
2004
15
15
 a 

CD 
 0,116
1
 Re L 
U 2 L
2
Mecânica dos Fluidos II
D
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)

Hipótese 2: a zona de transição é desprezável =>
m0mc e x0=xc.
x0
Dtrans
1
 U 2  c f  x dx
2
xc
Dtrans  U 2  m0   mc   0
 m0   mc
Pela equação de von Kármán
d m
cf  2
dx
2004
 m  a
aL=0,133 (Blasius)
aT=7/72
Mecânica dos Fluidos II
aL
0  c
aT
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)

Origem virtual da CL turbulenta: xv
xv x =x
c
o
 x  
  0,058   
 a  U 
45
15
14
xv  xc  35,1a 0
54
U 
 
 
Seria como se a CL começasse turbulenta a partir de xv de modo a atingir 0 em x0.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)

Hipótese 2: cálculo da resistência da placa.
1
U 2 xc CD Blasius
2
xv x =x
c
o
D  DL  DT
L
xc
xv
xv
   0  x dx    0  x dx
2004
Mecânica dos Fluidos II

 a
1
2

 U xc  xv  0,116
 Re x  x
2

c
v



 a
1
2

 U L  xv  0,116
 Re L  x
2

v


Prof. António Sarmento - DEM/IST
15








15








Camada limite turbulenta sobre placa lisa
(dpe/dx=0)

Correlações para Re mais elevados:
CD 
CD 
2004
0,455
log10 Re L 2,58
0,0776
60

log10 Re L   1,882 Re L
Mecânica dos Fluidos II
para Re109
para 3106  Re109
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta
 Placas
hidraulicamente lisas se
 s u
5

Toda a matéria exposta anteriormente é para placas lisas
 Placas
hidraulicamente rugosas se  s u  80

 
CD  0,024 
 L
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
0,167
Camada limite turbulenta sobre
placa lisa (dpe/dx=0)

Matéria:
– Lei 1/7 de velocidades;
– Expressões para a C.L. turbulenta com dpe/dx nulo sobre
placa plana;
– Origem virtual da CL turbulenta;
– Placas hidraulicamente lisas e completamente rugosas.
.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Camada limite turbulenta sobre
placa lisa (dpe/dx=0)

Bibliografia:
– Sabersky – Fluid Flow: 8.9
– White – Fluid Mechanics: 7.4
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Problema

Uma placa tem 6 m de comprimento e 3 m de largura, está
imersa num escoamento de água (=1000 kg/m3, =1,1310-6
m2/s) com uma velocidade de 6 m/s paralela à placa. Rec=106.




2004
a) Espessura da CL na secção x=0,25 m?
b) Espessura da CL na secção x=1,9 m?
c) Resistência total da placa?
d) Rugosidade máxima da placa para ser hidraulicamente lisa?
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Problema: resposta

L= 6 m; b=3 m; =1000 kg/m3; =1,1310-6 m2/s; U= 6 m/s;
Rec=106.

Re c 
a) Espessura da CL na secção x=0,25 m?
xcU

 10 6
xc  x0  0,188m
 c  5xc
Re c  0,00094m
45
0  c
14
 54
 x1  x0    
1   0  0,0284
    0,0027m
 a  U  

aL
0,133
 c
 0,00129m
aT
7 72
Se tivéssemos admitindo que a CL crescia turbulenta desde o início:
 x1    
  
 a  U 
45
1  0,058
2004
Mecânica dos Fluidos II
15
 0,0056m
O que neste caso dava
uma diferença grosseira
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Problema: resposta

L= 6 m; b=3 m; =1000 kg/m3; =1,1310-6 m2/s; U= 6 m/s;
Rec=106.

Re c 
b) Espessura da CL na secção x2=1,9 m?
xcU

 10 6
xc  x0  0,188m
 c  5xc
Re c  0,00094m
45
0  c
14
 54
 x2  x0    
 2   0  0,0284
    0,0264m
 a  U  

aL
0,133
 c
 0,00129m
aT
7 72
Se tivéssemos admitindo que a CL crescia turbulenta desde o início:
 x2    
  
 a  U 
45
1  0,058
2004
Mecânica dos Fluidos II
15
 0,0283m
O que neste caso dá uma
diferença aceitável
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Problema: resposta

L= 6 m; b=3 m; =1000 kg/m3; =1,1310-6 m2/s; U= 6 m/s;
Rec=106.

c) Resistência da placa?


 a
1
1,328

2
D  U  xc
 0,116L  xv 
 Re L  x
2
Re c

v



1
5


  xc  xv  a

 Re x  x
c
v






1
5


 b  1452,5 N
 

14
Admitindo perfil 1/7 => a=7/72 =>
5 4U 
xv  xc  35,1a 0    0,161m
 
Se tivéssemos admitindo que a CL crescia turbulenta desde o início:
1
5
 a 
1
 b  1489,2 N
D  0,116 U 2 L
2
 Re L 
2004
Mecânica dos Fluidos II
Diferença de 2,5%
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Problema: resposta

L= 6 m; b=3 m; =1000 kg/m3; =1,1310-6 m2/s; U= 6 m/s;
Rec=106.

c) Resistência da placa?
L
2
3
4
5
6
10
100
% dif.
8,2
5,1
3,8
3
2,5
1,5
0,16
Diferença entre cálculo de D completo e
admitindo CL turbulenta desde o início
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Problema: resposta

L= 6 m; b=3 m; =1000 kg/m3; =1,1310-6 m2/s; U= 6 m/s;
Rec=106.

d) Rugosidade máxima da placa para ser hidraulicamente lisa?
u
É necessário que: s   5 com

u 
0

 0,3 m/s
Onde é maior 0? No início da CL turbulenta
14
  

 U 0 
 0  0,0227U 2 
 89,86 Pa
5
 0,0188mm

u
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST