UFJF – MÓDULO I DO PISM – TRIÊNIO 2011-2013 – GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Questão 1 – Sejam ABCD e BCEF dois quadrados, de lado 1cm, justapostos pelo lado comum BC . Considere
Q um ponto sobre o lado BF e P o ponto de intersecção dos segmentos DQ e BC . Sabendo que o segmento
2
CP mede cm, responda ao que se pede.
3
A
B
Q
F
P
D
C
E
a) Qual é a medida da área do triângulo DQE ?
Note que a altura h do triângulo
DQE relativa à base DE é EF . Assim,
S = área do triângulo DQE =
DE × EF
= 1 cm2.
2
b) Quais são as medidas dos segmentos BQ e QE ?
Os triângulos
BQP e DPC são semelhantes. Logo,
PB BQ
1 / 3 BQ
1
=
⇒
=
⇒ BQ = .
CP DC
2/3
1
2
Pelo Teorema de Pitágoras,
QE 2 = QF 2 + FE 2 ⇒ QE 2 =
1
5
5
+ 1 = ⇒ QE =
cm.
4
4
2
c) Qual é a medida da altura do triângulo DQE relativa à base QE ?
h como a altura do triângulo DQE relativa à base QE .
Sabemos que a área S do triângulo DQE é dada por
QE × h
1= S =
.
2
Defina
Portanto,
2=
5
4 5
×h ⇒ h =
cm.
2
5
1
UFJF – MÓDULO I DO PISM – TRIÊNIO 2011-2013 – GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Questão 2 – A figura a seguir representa, no plano cartesiano, o gráfico da função f :[0, +∞ [ → ℝ que descreve
x medido, em meses, a partir de uma certa
o crescimento de uma cultura de microrganismos em função do tempo
data.
(População em potências de base 4)
y
411
45
0
12
x (meses)
a) Qual o número inicial de microrganismos nessa cultura?
Primeiramente observamos que quando o tempo é x = 0 , temos
microrganismos, nessa cultura, é igual a
f (0) = 45 . Logo, o número inicial de
45 .
b) Admitindo que a lei de formação da função que descreve o crescimento dessa cultura é dada por
f ( x) = ka x , a, k ∈ ℝ , determine os valores de a e k .
Observamos, inicialmente, que
Assim,
a ≠ 0 . Pelo item (a), sabemos que f (0) = 45 . Portanto 45 = f (0) = ka 0 .
45 = k ⋅1 , logo k = 45 .
De acordo com o gráfico, aos 12 meses ( x = 12 ), temos
f (12) = 411 ⇒ 411 = f (12) = 45 a12
Como
411 microrganismos nessa cultura. Assim,
411
⇒ a12 = 5 ⇒ a12 = 411−5 = 46 .
4
46 = (22 )6 = 212 , temos a12 = 212 . Logo, a = 2 .
Portanto, f ( x) = 45 ⋅ 2 x .
r
c) Se 4 representa o número de microrganismos após seis meses, determine o valor de r , considerando a
lei de formação da função obtida no item b desta questão.
z ≥ 6 o número de meses. Como 4r representa o número de microrganismos após seis meses,
r
r
5 z
temos f ( z ) = 4 . Pela lei de formação da função obtida no item (b) desta questão temos, 4 = f ( z ) = 4 2 .
Considere
Assim,
z
4r = 45 2 z ⇒ 22 r = 210 ⋅ 2 z ⇒ 22 r = 210 + z ⇒ 2r = 10 + z ⇒ r = 5 + .
2
z
Portanto, r = 5 + .
2
2