METAHEURO TECNOLOGIA
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Prof. José Roberto Marques
APLICAÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER EM ELETRÔNICA DE POTÊNCIA
Especificação de fator de ondulação da corrente em retificadores
monofásicos em ponte
1-Projetar um retificador monofásico com ponte de Graetz que, a partir da rede
elétrica de 220V/60Hz, alimente diretamente uma carga de 3,5Ω, na qual o
fator de ondulação (ripple) seja menor que 10%. A filtragem deve ser realizada
por um indutor em série com a carga e no qual se admite que a resistência
interna é muito menor que 3,5Ω. Qual é o valor da indutância necessária para
que a especificação seja minimamente realizada?
Transformador
de isolação
D1
L
D2
220V/60Hz
D3
D4
3,5 Ohms
Retificador do projeto
v(t)=311,12cos(377t)
Tensão retificada
+T/4
-T/4
t
Tensão de fase
Forma de onda da rede e da carga.
A tensão média na carga pode ser calculada por:
2
/
2√2 220
√2 cos
/
A corrente média na carga é:
_
99,034
3,5
A corrente média nos diodos é 14,14 A.
A tensão eficaz na carga é:
1
56,59
198,07
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/
2
√2 cos
220
/
Desenvolvendo o expressão do conteúdo harmônico na carga utilizando as séries de
Fourier:
Conforme mostra a figura, a função representativa da tensão na carga tem simetria par,
portanto somente tem termos em cosenos, assim:
Forma trigonométrica:
/
2
/2
cos 2
√2
/
Forma exponencial:
1
√2
2
Nos dois casos trabalhamos com uma freqüência dobrada com relação a freqüência da
tensão de entrada em função do efeito de retificação que gera uma onda com duas vezes
a freqüência de alimentação.
2√2
2
√2
/
√2
1
√2
2
2√2
2
/
2 1
2
2
cos
cos
/
2
/
2√2
2
2
/
2 1
2
1
/
/
2
/
2
2
1
1
2
2
2
2
2
cos
1
2
/2
2
cos
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
/2
METAHEURO TECNOLOGIA
√2
cos
1 2
√2
cos
1 2
cos
2
1
2
cos
1 2
2
2√2 cos
1 4
Tabela 1 - Valores de F(n)
5
2√2
4
2√2
3
2√2
2
2√2
1
2√2
0
2√2
1
2√2
2
2√2
3
2√2
4
2√2
5
2√2
2√2
cos 5
1 4 5
cos 4
1 4 4
cos 3
1 4 3
cos 2
1 4 2
cos 1
1 4 1
cos 0
1 4 0
cos 1
1 4 1
cos 2
1 4 2
cos 3
1 4 3
cos 4
1 4 4
cos 5
1 4 5
2√2
2√2
2√2
2√2
1
99
1
63
1
35
1
15
1
3
2√2
2√2 1
3
2√2 1
15
2√2 1
35
2√2 1
63
2√2 1
99
A expressão da tensão retificada na carga pela série exponencial de Fourier é:
5
4
1
3
3
0
1
4
2
2
5
Admita que F(-1) = F(1), F(-2) = F(2), F(-3) = F(3) e assim por diante, como se verifica
nas expressões acima. Separando os termos semelhantes com sinais de expoentes
diferentes temos:
3
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0
1 2
2
2 2
3 2
2
5 2
4 2
2
2
2
Utilizando as relações de Euler temos:
0
2
1 2 cos 2
4 cos 8
2 F 2 cos 4
2 5 cos 10
2
3 cos 6
Substituindo os termos obtidos na tabela 1 obtemos:
2√2
2
cos 2
3
1
2
cos 4
15
2
cos 8
63
2
cos 6
35
2
cos 10
99
A corrente que circula na carga pode ser obtida da expressão:
2√2
1
2
cos 2
3
2
cos 4
15
2
cos 6
35
2
cos 8
63
2
99
cos 10
Onde:
e
O valor eficaz da corrente harmônica é obtido da expressão:
1
2
1 2√2
√2
2
2
2
2
√2
2
3
2
2
15
2
4
35
6
Podemos observar desta expressão que a fundamental da tensão na carga, com duas
vezes a freqüência é muito superior ao resto do conteúdo harmônico, assim podemos
aproximar:
4
METAHEURO TECNOLOGIA
2
2
3
2
O fator de ondulação da corrente é definido côo a razão entre a corrente eficaz
harmônica na carga e a corrente média na mesma, ou:
2
2
3
2
4
2√2
√2 9
2
3√2
4
0,471
4
Voltando ao problema da ondulação:
0,471
0,1
4
4
1
4
0,471
0,01
4
0,471
0,1
1
2 377
0,471 3,5
0,01
Passamos em seguida para a simulação do circuito:
Esquema de simulação:
Formas de onda obtidas:
5
0,471
0,1
4
3,5
21,4
METAHEURO TECNOLOGIA
A forma de onda superior corresponde a tensão na carga RL e a inferior a corrente na
mesma. Pode-se observar o transitório da corrente antes de atingir o patamar médio de
56,6 A. Podemos atentar para o detalhe da ondulação da corrente mostrado na figura
abaixo, onde se observa que a ondulação da corrente ocorre entre 48 A e 64 A, ou seja
Δ
64 48 16
Como esta variação é do tipo pico a pico, vamos aproximá-la para valor senoidal exato
calculando seu valor eficaz:
16
5,65
_
2√2
Voltado ao fator de ondulação temos:
5,65
0,1
56,6
Conforme o especificado.
No próximo projeto veremos como especificar os diodos e os dissipadores para manter
a temperatura da junção dentro de sua região de especificação operacional.
6