Estudo do efeito de uma perturbação dependente do tempo
numa partícula não-relativista
André Henriques nº 62833 Pedro Velez nº 62819
Física Quântica da Matéria
Instituto Superior Técnico
Maio, 2010
Resumo
Neste trabalho calculamos o valor do número quântico n que define a energia da partícula e sua respectiva
degenerescência. Calculamos ainda sem aproximações as probabilidades de transição para os diferentes
estados com a mesma energia após o sistema sofrer a acção de um campo eléctrico uniforme no espaço
mas que varia no tempo. O problema foi analisado recorrendo à teoria das perturbações dependentes do
tempo. Os resultados obtidos são n=2 e degenerescência 4. As probabilidades obtidas são dependentes do
tempo. Concluímos que apenas são possíveis transições para dois estados (s e p(ml=0)).
Introdução
Desenvolvimento do Problema
Uma partícula não-relativista e sem spin situada
num campo de forças central é preparada no estado
s degenerado, sendo que os outros estados com a
mesma energia são estados p. Esta partícula, no
instante t=0, é exposta à acção de um campo
eléctrico uniforme no espaço mas que varia no
tempo da seguinte forma:
A primeira parte do problema consiste em calcular
o valor do número quântico n que define a energia
e sua respectiva degenerescência. No nosso
problema, sabemos que a partícula se encontra no
estado s, e que os outros estados possíveis com a
mesma energia são estados p. Quer isto dizer que o
número quântico l máximo existente no sistema é
1. Como l máximo é dado por l=n-1, vem que o
valor do número quântico n é igual a 2. A
degenerescência, dado que l pode tomar os valores
-1,0,1, é obviamente 4. (|0,0>; |1,0>; |1,-1>; |1,1>).
𝐸 𝑡 = 𝐸0 sin 𝑤𝑡
(1)
Atendendo à teoria das perturbações dependentes
no tempo, vem que a função de onda de uma dada
partícula pode ser descrita como a combinação
linear dos n estados possíveis.
𝜓 𝑡 = 𝑐1 𝑡 𝜑1 𝑒 −𝑖𝐸1𝑡/ħ +. . . +𝑐𝑛 𝑡 𝜑𝑛 𝑒 −𝑖𝐸𝑛𝑡 /ħ (2)
Em que |cn|2 é a probabilidade de a partícula se
encontrar no estado φn. Isto é, a probabilidade que
uma medição do valor da energia tome o valor de
En. Para se achar os valores dos vários c’s, torna-se
necessário resolver a equação de Schrödinger:
𝛿𝜓
𝐻𝜓 = 𝑖ħ 𝛿𝑡 ,
(3)
𝐻′ =
em que 𝐻 = 𝐻0 + 𝐻′ (𝑡).
H0 representa o Hamiltoniano não perturbado, ou
seja, quando t <0, e H’(t) o Hamiltoniano da
perturbação.
Sabemos também que antes da perturbação do
sistema, para os estados próprios do Hamiltoniano
vem:
𝐻0 𝜑𝑛 = 𝐸𝑛 𝜑𝑛
Para calcularmos as probabilidades de transição
para cada um dos estados em função do tempo,
após a perturbação, tivemos que analisar a matriz
do Hamiltoniano da perturbação. Devido à
paridade dos estados e também devido às
projecções em ml, vemos que as únicas transições
possíveis são de |0,0> para |1,0> e a transição
contrária.
(4)
∗ (𝐸0 < 00 𝑧 10 > sin 𝑤𝑡)
A partir de (5) vemos que após a perturbação
apenas os estados |00> e |10> são possíveis.
(5)
Assim, a função de onda a partir da equação (2)
fica:
𝜓 𝑡 = 𝑐1 𝑡 𝜑1 𝑒
−𝑖𝐸1𝑡/ħ
+ 𝑐2 𝑡 𝜑2 𝑒
−𝑖𝐸2𝑡/ħ
para t=0 vem então que:
𝑎
Ψ=
=
𝑏
, (6)
em que o estado 1 é o estado s e o estado 2 é o
estado p com número quântico ml de valor 0.
Resolvendo agora a equação (3) com apenas estes
dois estados vem:
𝑖𝐸1𝑡
𝑖𝐸2𝑡
𝑐1 𝐻0 𝜑1 𝑒 − ħ + 𝑐2 𝐻0 𝜑2 𝑒 − ħ +
𝑖𝐸1𝑡
𝑖𝐸2𝑡
+ 𝑐1 𝐻′ 𝜑 1 𝑒 − ħ + 𝑐2 𝐻′𝜑2 𝑒 − ħ =
devido à equação (4), a equação simplifica uma
vez que os dois primeiros termos do lado esquerdo
cancelam os dois últimos do lado direito e assim
fica:
𝑖𝐸2𝑡
𝑐1 𝐻′ 𝜑 1 𝑒 − ħ + 𝑐2 𝐻′ 𝜑 2 𝑒 − ħ =
𝑖𝐸1𝑡
𝑖𝐸2𝑡
𝛿𝑐1
𝛿𝑐2
= 𝑖ħ[
𝜑 𝑒− ħ +
𝜑 𝑒− ħ ]
𝛿𝑡 1
𝛿𝑡 2
𝑖ħ 𝑑𝑡
1
0
(10)
𝑥1
Ψ= 𝑥 =
2
1
2
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
(11)
𝑥1 =
𝑥2 =
1
𝑖𝜆
𝑖𝜆
𝑒 𝜔ħ(1−cos 𝜔𝑡 ) + 𝑒 −𝜔ħ(1−cos 𝜔𝑡 )
2
1𝑖
2
𝑖𝜆
𝑒 𝜔ħ(1−cos 𝜔𝑡 )
2
−
𝑖𝜆
𝑒 −𝜔ħ(1−cos 𝜔𝑡 )
(12)
2𝑖
Sabendo que:
cos 𝜃 =
Para resolver esta equação, pode-se simplificar
assumindo que 𝑥1 = 𝑐1 𝜑1 𝑒 −𝑖𝐸1𝑡/ħ e que 𝑥2 =
= 𝑐2 𝜑2 𝑒 −𝑖𝐸2𝑡/ħ .
A equação de Shrödinger fica então:
𝑥1
0
𝑥2 = −λsin 𝑤𝑡 1
𝑖𝜆
𝑒 −𝜔 ħ(1−cos 𝜔𝑡 )
Logo,
𝑖𝐸1𝑡
𝑖𝐸2𝑡
𝛿𝑐1
𝛿𝑐2
𝜑1 𝑒 − ħ +
𝜑2 𝑒 − ħ +
𝛿𝑡
𝛿𝑡
𝑖𝐸1 −𝑖𝐸1𝑡
𝑖𝐸2 −𝑖𝐸2𝑡
+ 𝑐1 𝜑1 −
𝑒 ħ + 𝑐2 𝜑2 −
𝑒 ħ ]
ħ
ħ
𝑑
2
Para se obter a função de onda nos vectores
próprios dos estados originais x1 e x2 temos:
= 𝑖ħ[
𝑖𝐸1𝑡
𝑖𝜆
𝑒 𝜔 ħ(1−cos 𝜔𝑡 )
1
𝑥1
𝑥2
(7)
𝑒 𝜃𝑖 + 𝑒 −𝜃𝑖
2
𝑒 𝜃𝑖 − 𝑒 −𝜃𝑖
sen 𝜃 =
2𝑖
(13)
Obtemos os seguintes resultados, que serão úteis
no cálculo das probabilidades:
𝜆
(1 − cos 𝜔𝑡)
𝜔ħ
em que λ= E0<00|z|10> é um número real.
𝑥1 = cos
Para resolver a relação anterior é necessário
diagonalizar a matriz:
𝜆
𝑥2 = isen
(1 − cos 𝜔𝑡)
𝜔ħ
(14)
λ 1
= 0 ⇔ λ2 − 1 = 0 ⇔ λ = ±1
1 λ
fazendo uma mudança de variável e normalizando,
temos que
𝑎
1 𝑥 +𝑥
Ψ = 2 𝑥1 − 𝑥2 ≡
(8)
𝑏
1
2
substituindo na Equação de Shrödinger (matriz
valor próprios da mudança de variável):
𝑖ħ
𝑑 𝑎
1
= −λsin 𝑤𝑡
0
𝑑𝑡 𝑏
0
−1
𝑎
𝑏
da condição inicial, de estado s, sabemos que
𝑥1 = 1 e 𝑥2 = 0 , pelo que:
𝑎
𝑏
𝑡=0
=
1
2
1
1
(9)
A probabilidade de a partícula se encontrar no
estado 𝑥1 ou 𝑥2 é dado pelo quadrado do seu
módulo.
Resultados:
A probabilidade de a partícula se encontrar no
estado 𝑥1 (estado de orbital s) é:
𝑃 Ψ1 = 𝑥1 |𝜓1 2 = 𝑥1
𝜆
= cos 2
(1 − cos 𝜔𝑡)
2
(15)
𝜔ħ
A probabilidade de a partícula se encontrar no
estado 𝑥2 (estados de orbital p e ml=0) é:
𝑃 Ψ2 = 𝑥2 |𝜓2 2 = 𝑥2
𝜆
= sen2 𝜔ħ (1 − cos 𝜔𝑡)
2
(16)
Como sabemos das relações trigonométricas,
cos 2 + sen2 = 1
(17)
Pelo que
𝑃 Ψ1 + 𝑃 Ψ2 =
cos 2
𝜆
𝜆
(1 − cos 𝜔𝑡) + sen2
(1 − cos 𝜔𝑡)
𝜔ħ
𝜔ħ
=1
Conclusões:
O resultado permite-nos concluir que:
[1] Estes estados são os únicos possíveis
(probabilidade total 1);
[2] Que o método utilizado para resolver o
problema não recorreu a qualquer aproximação,
pois nesse caso não teríamos uma probabilidade
total 1, mas ligeiramente inferior.
Referências:
[1]Quantum Physics, Stephen Gasiorowicz, 3rd
Edition, 2003,editor or John Wiley & Sons.
[2]Introduction to Quantum Mechanics, 2nd
Edition, David Griffiths, 2005, Pearson
International Edition, Pearson Prentice Hall.
[3]Problems and Solutions of Quantum Mechanics,
1998, Singapore: World Scientific Pub. Co., Ed.
Yung-Kuo Lim.