Calculo e Instrumentos
Financeiros
Parte 1
Pedro Cosme Costa Vieira
Faculdade de Economia da
Universidade do Porto
2015/2016
Actualizado no dia 08 de Outubro de 2015
1
Sexta Aula
2
Pagamento da dívida
Rendas / amortizações
3
Rendas
• Já consideramos duas possibilidades para
o pagamento da dívida.
• 1) Os juros são pagos periodicamente e o
capital é pago no fim do prazo contrato.
• 2) O capital mais os juros são pagos no
fim do prazo contrato.
4
Rendas
• Vamos explorar uma outra possibilidade
• É paga uma prestação em cada período
• No final do prazo não há mais nada a
pagar
– Cada prestação contêm juros e amortização do
capital
• Denominamos este plano como uma
Renda
5
Rendas
• Uma renda transforma uma determinada
soma de dinheiro num rendimento.
• Um stock num fluxo
6
Rendas
• As prestações podem ser
– regulares ou irregulares no tempo
– constantes ou variáveis no valor
– haver ou não diferimento de alguns
períodos
– terem duração limitada ou serem
perpétua
7
Rendas
• Emprestamos
um
capital
que
recuperamos na forma de uma renda
– e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um
rendimento mensal
• Pedimos um capital que pagamos na
forma de uma renda
– e.g., um crédito à habitação que amortizamos
mensalmente
8
Rendas
• Pagamos uma renda que recebemos no
final na forma de um capital
– e.g., depositamos uma quantia mensal para
comprar um barco a pronto no futuro
• Recebemos uma renda que pagamos no
fim na forma de um capital
– e.g., termos um rendimento mensal à custa
de uma herança que vamos receber no futuro
9
Rendas
• Receber uma renda que pagamos na
forma de renda
– e.g., pagamos os estudos com um
financiamento mensal que amortizamos no
futuro com uma prestação mensal.
10
Rendas
• Obtemos o valor actual da renda
descontando todos os recebimentos ao
instante de tempo presente.
• Para efeito de comparação, podemos usar
outro instante de tempo qualquer mas tem
que ser o mesmo para todas as
prestações
11
Rendas
• Temos que clarificar o que é
– um instante de tempo e
– um período de tempo
• O tempo é uma linha contínua
12
Rendas
• Cada ponto é um instante de tempo
– e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010.
• Um intervalo de tempo é o segmento que
medeia dois instantes de tempo,
– e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia
15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julho
de 2010.
• O instante final de um período é sempre o
instante inicial do período seguinte.
– e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011.
13
Rendas
• Ex.1.21. No sentido de se licenciar, um
estudante necessita uma renda antecipada cuja
prestação mensal é de 300€/mês e a duração
de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de
5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor
actual dessa renda
14
Rendas
B4: =B$2
C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava
C40: =SUM(C2:C37).
Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes
fraccionadas nos anos, (A4-1)/12.
15
Rendas
• Ex.1.22. O Jardel, aos 26 anos de idade,
ganhava 300mil€ por mês.
• Poderia ter constituído um depósito de 1.5
milhões de euros e
• Receber, a partir dos 35 anos, 600
prestações mensais de 5000€ cada.
• Determine a taxa de juro implícita.
16
Rendas
•
•
•
•
F2: =(1+F1)^(1/12)-1
C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602;
F3: =Sum(C2:C602).
Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da
célula F1.
17
Rendas
• Ex.1.23. Uma família adquiriu uma
habitação mediante um empréstimo
bancário de 150mil€ à taxa de juro de
5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação
mensal a pagar?
720.29€ / mês
18
Rendas
19
Rendas
• Na coluna A estão os meses, na B as
quantias recebidas, na C as quantias
descontadas ao presente
• B3: =E$3; C3: =B3/(1+$E$1)^A3 e depois
copiamos ambas em coluna.
• C603: =Sum(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.
• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo
C603 para 0 por alteração de E3.
20
Rendas
• Fazer em casa os dois exercícios
anteriores com uma conta corrente
21
Conta corrente
•
Ex.1.25. Uns comerciantes de frutas e legumes numas
alturas podem poupar e noutras não. Como, em média,
conseguem poupar 325€/mês, quando o filho fez 15
anos, pensando que precisará de 750€/mês quando for
para a universidade, decidiram constituir uma conta
poupança.
• Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos
(colunas A e B).
• A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juro
activa) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxa
de juro passiva) é de 2%/ano.
22
Conta corrente
C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1)
F2: =C2+E2
C3: =B3+F2 e copiava em coluna
B84=-F83
23
Sétima Aula
8 Out
24
Expressão analítica de uma
renda
25
Renda perpétua
• Numa renda perpétua,
prestação para sempre.
recebe-se
uma
• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim
de cada período (i.e., postecipada), é uma
situação idêntica a um depósito em que no fim
de cada período, são pagos apenas os juros
26
Renda perpétua postecipada
1
2
3
V  P  (1  i)  P  (1  i)  P  (1  i)  ...
V  P  (1  i )
1
 P  (1  i )  P  (1  i )  ...  (1  i )
1
1
V  P  (1  i)  V  (1  i)
2
1
1
V  (1  i )  P  V  V  V  i  P  V
P
V
i
27
Renda perpétua
• Como os juros de cada período valeriam
J = Vi
Com P e i podemos determinar o valor da renda
(ou da taxa de juro implícita com P e V)
P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda
P
P  V i  V 
i
P
 i
V
28
Renda perpétua
• Ex.1.26. Um agricultor arrendou um
terreno por 50€/mês para sempre.
Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano,
qual será o valor presente do terreno?
29
Renda perpétua
• Primeiro, calculo a taxa de juro mensal
• i.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%
• Depois, aplico a expressão
• V = 50 / 0.407% = 12278.58€
30
Renda perpétua
• Ex.1.27. Um eucaliptal produz, a cada 10
anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um
preço de 0.03€/kg de madeira e uma taxa
de juro de 3%/ano, qual será o valor
actual do eucaliptal?
31
Renda perpétua
• R. Calculo a taxa de juro por 10 anos,
(1+3%)^10–1= 34.392%, e aplico essa
taxa na expressão da renda perpétua
postecipada:
• V = (120.03)/34.392% = 1.05€/m2.
32
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada (a prestação é
paga no princípio do período), teremos
que somar uma prestação inicial
P
V  P
i
P
 V  (1  i )
i
33
Renda perpétua
• Se houver deferimento de 2 períodos
(tempo em que não é paga prestação), a
renda terá que ser descontada ao
presente:
34
Renda perpétua
• Se houver diferimento de n períodos
(tempo em que não é paga prestação), a
renda terá que ser descontada n períodos
ao presente:
P
n
V  (1  i )
i
• Só se começa a receber daqui a n+1
períodos (a expressão p/i é a renda
postecipada)
35
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada, aplica-se a
correcção:
P
n
V   (1  i )  (1  i )
i
• Começa-se a receber daqui a n períodos
– A renda antecipada diferida 5 anos é uma
renda postecipada diferida 4 anos (estava errado, Daniel)
36
Renda de duração limitada
37
Renda de duração limitada
• Com o conhecimento da expressão da
renda perpétua
– Também se chama perpetuidade
• Podemos calcular o valor de uma renda
de duração limitada
• Compondo duas rendas perpétuas: uma a
somar e outra a subtrair
38
Renda de duração limitada
• Recebemos a prestação R entre o presente e o
período N (postecipada).
• É equivalente a receber uma renda perpétua a
começar agora e
• pagar uma renda perpétua a começar no
período N,
• Descontado tudo ao presente.
39
Renda de duração limitada
P P
P
N
N
V   (1  i )  [1  (1  i ) ]
i
i
i
Se a renda for paga no princípio do
período (i.e., antecipada)?
Teremos que somar uma parcela.
Descontar menos um período
40
Renda de duração limitada


P
 ( N 1)
V  P  1  (1  i)
i
 ( N 1)
(1  i)  (1  i)
P
i
P
N
  1  (1  i)  (1  i)
i


41
Renda de duração limitada
• Ex.1.30. Um agricultor arrendou um
terreno por 50€/mês, pago no fim do mês,
até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e.,
daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de
juro anual de 5%, qual será o valor
presente do terreno?
42
Renda de duração limitada
• Já não preciso do Excel
r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%
V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300)
= 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€
• Mas podemos usá-lo para verificar
43
Renda de duração limitada
• Verificar em casa o resultado com o uso
do Excel
44
Renda de duração limitada
C2: =B2*(1+$D$2)^-A2
C302=sum(C2:C301)
45
Renda de duração limitada
• Ex.1.29. Uma obrigação com o valor
nominal de 100€ paga trimestralmente 1€
de cupão e o par (i.e., os 100€) mais o
cupão do trimestre final ao fim de 10 anos.
Determine a taxa de juro desta obrigação.
46
Renda de duração limitada
R. No trimestre final recebemos não só o
cupão mas também o par, logo
1
 40
 40
100  [1  (1  i ) ]  100 (1  i )
i
Simplificando a expressão

100 1  (1  i )
 40

1
 40
 [1  (1  i ) ]
i
47
Renda de duração limitada
R. Resulta
i.t = 1%/trim
i.a = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano
48
Oitava Aula
13 Out
49
Renda de duração limitada
• Ex.1.31. o Figo, entre os 25 e os 35 anos,
depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações).
• Com essa poupança vai receber uma renda de
valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600
prestações).
• Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai
receber por mês?
50
Renda de duração limitada
• Vamos usar como instante de referência os 25
anos (acabados de fazer)
• Vamos somar
– Duas rendas de duração limitada
– Ou quadro rendas perpétuas
Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e
meses para a renda
51
Renda de duração limitada
100m il
1  (1  0.247%)^120(1  0.247%)^120 
0.247%
x
1  (1  0.247%)^600

0.247%
100m il1  (1  0.247%)^120(1  0.247%)^120
x

1  (1  0.247%)^600
 44603€ / m ês(44555€)
52
Obrigações de taxa fixa
53
Obrigações a taxa fixa
• Já foi referido que uma obrigação consiste
num activo que condensa uma entrega
inicial e recebimentos futuro.
• Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e
uma soma no final (o valor de remissão)
• O valor da obrigação é o valor actual dos
recebimentos futuros
– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr
de mercado
54
Obrigações a taxa fixa
• Como valor da obrigação é o valor actual
dos recebimentos futuros,
• O seu valor altera-se com o decorrer do
tempo
– Porque se aproxima a data de remissão
– Porque a taxa de juro de mercado altera-se
55
Obrigações a taxa fixa
56
Obrigações a taxa fixa
• Ex.1.33. Uma obrigação a 10 anos de
valor nominal de 100€ reembolsável ao
par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10
anos) cupão zero, vai ser vendida em
leilão.
• 1) Para uma remunerado a uma taxa
média de 7.5%/ano, qual o preço máximo
que o investidor está disponível a pagar?
57
Obrigações a taxa fixa
• 1) Vamos descontar os 100€ ao presente:
10
V  1001.075
 48.52€
58
Obrigações a taxa fixa
• 2) Passados 5 anos, qual será o valor da
obrigação?
• 3) Se o mercado justificar um aumento da
taxa de juro em um ponto percentual, qual
a desvalorização da obrigação?
59
Obrigações a taxa fixa
• 2) Já só faltam 5 anos para receber os
100€
5
V  1001.075  69.66€
• 3) O aumento da taxa de juro desvaloriza
a obrigação em 4.5%
5
V  1001.085  66.50€
60
Obrigações a taxa fixa
• 4) Se o investidor adquiriu a obrigação a
45€, qual a taxa de juro que pensava
receber?
• 5) E qual será se vender a obrigação
depois da desvalorização?
61
Obrigações a taxa fixa
• 4) A taxa de juro prevista era
V  100(1  i)
10
 45€  i  8.31%
• 5) E passou a ser
5
V  66.50(1  i )  45€
66.50 / 45  (1  i ) 
5
i  (66.50 / 45)
1/ 5
 1  8.13%
62
Obrigações a taxa fixa
• Ex.1.34. Uma obrigação soberana (i.e.,
emitida por um Estado) a 50 anos emitida
em 2010 cujo par é 1000€ paga um cupão
anual de 25€ postecipado e o par mais o
cupão no fim do prazo.
• Qual a taxa de juro da obrigação se for
adquirida ao par?
63
Obrigações a taxa fixa


25
50
50
 1  (1  r )
 1000  1  r   1000
r
• Podemos simplificar a expressão obtendo
uma renda perpétua:




25
25
50
50
 1  (1  r )
 1000  1  (1  r )
r
r
1000
64
Obrigações a taxa fixa
• Decorridos 6 meses, no mercado
secundário a obrigação está a ser
transaccionada a 900€
• Para que taxa de juro aumentou a
remuneração desta obrigação?
– > De 2,500%/ano para 2,933%/ano
65
Obrigações a taxa fixa
• Usava a ferramenta Goal Seek do Excel
 25
50 
50
0,5




  1  (1  r )  1000 1  r   (1  r )  900
 r

B1. =(25/A1*(1-(1+A1)^-50)+1000*(1+A1)^50)*(1+A1)^0,5
Fazer B1 = 0 pela alteração de A1
66
Obrigações a taxa fixa
• Usava a ferramenta Goal Seek do Excel
E2: =D2*(1+A$1)^-C2 e copiava em coluna
E12: = Sum(E2:E52)
67
Nona Aula
21 Out
68
TAEG
Taxa Anual Efectiva Global
69
TAEG implícita no contrato
• TAEG – Taxa anual efectiva global
• Actualmente, é obrigatório nos anúncios
(de venda a crédito) que seja afixado o
preço a pronto pagamento e a taxa de juro
implícita efectiva calculada com todas as
despesas a incorrer pelo cliente (global)
– Também é referido o total de encargos do cliente
70
TAEG implícita no contrato
• A TAEG é a taxa de juro anual que faz a
soma do valor actual de todos os
pagamentos igual ao preço de pronto
pagamento.
71
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.35. Um televisor (ppp de 1190€), a
crédito “paga na entrega 119€ mais 12
prestações trimestrais de 100€. Tem que
pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.
• Determine a TAEG deste contrato de
crédito.
72
TAEG implícita no contrato
• Podemos indicar algebricamente o resultado
(1  (1  i) 12 )
1190 119 100
 50(1  i) 4  0
i
• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel
73
TAEG implícita no contrato
74
TAEG implícita no contrato
B2: = 1190-119; B3: 100; B6: -150
C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna.
C15: =Sum(C2:C14)
Definimos a célula C15 para o valor 0
alterando E2.
• Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a
probabilidade de incumprimento implícita
neste contrato de crédito?
75
TAEG implícita no contrato
1  10.386%  (1  5.5%) /(1  p)
 (1  p)  (1  5.5%) /(1  10.386%)
 p  4.426%
76
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.36. Um anúncio dizia
“Telefone que lhe emprestamos 5000€ por
apenas 150€ mensais (durante 60 meses,
TAEG=29.28%)”.
• Confirme a TAEG.
77
TAEG implícita no contrato
R
N
V  [1  (1  i ) ]
i
150
 60
 5000
[1  (1  i ) ]
i
150
 60
 5000
[1  (1  i ) ]  0
i
Tem que se determinar no Excel
78
TAEG implícita no contrato
i  2.175%  ianual  (1  i) 1  29.46%
12
79
Eercícios a dar caso haja tempo
80
Mistura de rendas
• No dia 1/1/2000, uma pessoa abriu uma
conta com 1000€ e, depois, no meio de
cada mês dos trimestres 1º, 2.º e 4.º
depositou 100€ e do 3º trimestre levantou
250€.
• Sabendo que isto aconteceu durante 10
anos, determine para uma TAE de 2,5%
por ano qual o saldo da conta.
81
Mistura de rendas
• Tenho 1000€
• Somo o VA de uma mensalidade de 100€
durante 10 anos
• rm =(1+2,5%)^(1/12)-1=0,205984%
• =100/0,205984% *(1-(1+0,205984%)^120)*(1+0,205984%)^0,5
• 10.633,22 €
82
Mistura de rendas
• Como somei todos os meses vou retirar 3
prestações anuais de 350€
• =350/2,5% *(1-(1+2,5%)^-10)*(1+2,5%)^0,5
•
•
•
•
•
3098,09 €
Julho -3.101,28 € *(1+2,5%)^(5,5/12)
3139,80 €
Agosto -3.101,28 € *(1+2,5%)^(4,5/12)
3091,72 €
83
Mistura de rendas
• Como somei todos os meses vou retirar 3
prestações anuais de 350€
• Setembro -3101,28 € *(1+2,5%)^(3,5/12)
• 3085,36 €
84
Mistura de rendas
•
•
•
•
•
•
•
•
Somando tudo
1000€
10.633,22 €
- 3098,09 €
- 3091,72 €
- 3085,36 €
Resulta 2.347,11 que vou capitalizar
=2.347,11 *(1+2,5%)^10 =3004,50€
85
Obrigações perpétuas
• No caso da obrigação perpétua, existe
cupão, valor e remissão mas não existe
prazo para a remissão.
– Contam como capital próprio
=> Têm mais garantias que o capital social mas
menos que as obrigações “normais”
• Este instrumento é usado para
– Reforçar o capital próprio sem diluir os
direitos de voto
– Construir plano de pagamento flexíveis
86
Obrigações perpétuas
• O direitos de voto permitem aos
accionistas decidir a governação da
empresa
• Constroem-se planos de pagamento
flexíveis sorteando o pagamentos
87
Obrigações perpétuas
• Uma empresa com capital de 10000€
precisa reforçar o capital próprio para
25000€ para o qual o sócios não têm
disponibilidade.
• Emitiram 1500 obrigações perpétuas
(numeradas de 1 a 15000 ) com 10€ de
par e um cupão anual de 15%.
• Vão ser remidas 10% das obrigações por
ano por sorteio do número.
88
Cálculo da perpetuidade
• Se fosse uma perpetuidade, se a taxa de
juro de mercado para uma empresa deste
tipo fosse de 10%, teríamos
• VA = 1,5/10% = 15€.
• Mas a obrigação não vai durar tempo
infinito. No máximo, dura 10 anos.
• Temos que calcular o 10 casos e fazer a
média
89
Cálculo da perpetuidade
90
Cálculo da perpetuidade
• No caso, o valor médio é 11,93€
– O “prémio” de subscrição é de 1,93€
•
•
•
•
•
•
B5: =$B$2*$B$3
C5: =B5*(1+$B$1)^-A5
D5: =$B$2*(1+$B$1)^-A5
E5: =SUM(C5:$C$5)+D5
E copiava até à linha 14
E15: =AVERAGE(E5:E14)
91
Troca de obrigações
• Uma empresa emitiu em 1/1/2010
obrigações a 10 anos com par e 100€,
cupão semestral postecipado de 4€, data
em que a taxa de juro de mercado para
empresas semelhantes era de 10%/ano.
• i) Determine por quanto devem ter sido
vendidas as obrigações
92
Troca de obrigações
• B1 = (1+10%)^0,5-1 = 4,880885%
• B2 =4/B1*(1-(1+B1)^-20)+100*(1+B1)^-20
= 88,91 €
• São 20 semestres
93
Troca de obrigações
• No dia 1/7/2015 a empresa realizou uma
operação de troca em que deu uma
obrigação a 10 anos com cupão semestral
de 6€ em troca da obrigação que se vence
em 31/12/2020.
• ii) Supondo que nesse dia a taxa de juro
para empresas semelhantes era de
8%/ano, qual deve ter sido o valor de
remissão da nova obrigação
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Troca de obrigações
• Tenho que igualar o valor das duas
obrigações.
• Obrigação antiga
• B1: = (1+8%)^0,5-1 = 4,880885%
• Agora temos 11 semestres
• B2: = 4/rt*(1-(1+rt)^-11)+ 100*(1+B1)^-11
= 100,68 €
– Valorizou
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Troca de obrigações
• Obrigação nova
• Agora temos 20 semestres
• 6/rt*(1-(1+rt)^-20) + X*(1+B1)^-20 =
100,68 €
• X= (100,68 € - 6/rt*(1-(1+rt)^-20) )/
*(1+B1)^-20
• = 40,11 €
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