Princípio de Conservação do Momento Angular
A variação com o tempo do momento angular total de um sistema de partículas
em relação a um ponto qualquer é igual à soma dos torques associados às forças
externas que atuam sobre o sistema.
∆L
= Σ τ EXT
∆t
Caso a soma dos torques associados às forças externas que atuam sobre o
sistema seja nula, ficamos com:
∆L
=0
∆t
ou
L = constante
Podemos, assim, enunciar o princípio de conservação do momento angular:
para um sistema isolado, isto é, quando o torque resultante das forças externas sobre
o sistema é nulo, o momento angular total do sistema é constante. Os (vetores)
momentos angulares individuais das partículas que constituem o sistema podem
variar, porém sua soma (vetorial) permanece constante.
Exemplo 1
Consideremos uma bailarina que, para girar rapidamente ao redor do eixo do
corpo, que é mantido na vertical, abre os braços, dá um impulso para girar e,
simultaneamente, para se elevar acima do solo, e, ainda no ar, aproxima os braços do
eixo do corpo (Fig.36).
A variação do módulo da velocidade de rotação é causada pela alteração da
distribuição da massa ao redor do eixo do corpo, ou seja, pela alteração do momento
de inércia. O momento de inércia depende da massa do corpo e de como ela se
distribui em torno do eixo de rotação.
A única força externa que age sobre a bailarina quando ela está no ar é a força
peso. Como essa força atua no centro de massa, o torque associado a ela, em relação
ao eixo do corpo, onde também se encontra o centro de massa, é, por isso mesmo,
nulo. Assim, o momento angular da bailarina é conservado enquanto ela está no ar.
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Com a diminuição do momento de inércia, pela aproximação dos braços ao
eixo do corpo, a conservação do momento angular, aqui representada pela expressão
matemática L = ℑω = constante, garante o aumento do módulo da velocidade angular
da bailarina.
Uma discussão análoga pode ser feita para o caso de um mergulhador que
salta de um trampolim (Fig.37).
Exemplo 2
Vamos considerar a segunda lei de Kepler: se o movimento de um planeta é
observado em um referencial fixo no Sol, a linha imaginária que liga o planeta ao Sol
varre áreas iguais em tempos iguais. Para mostrar que esta lei é a expressão, no
contexto da Mecânica Celeste, do princípio de conservação do momento angular,
sejam os pontos P1 e P2 da órbita do planeta (Fig.38). Nesta figura, exageramos a
excentricidade da órbita.
Considerando o movimento do planeta no entorno desses pontos num intervalo
de tempo ∆t muito pequeno, podemos considerar as respectivas áreas varridas pela
linha imaginária que liga o planeta ao Sol como triangulares e escrever:
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A 1 = 21 r1d1
e
A 2 = 21 r2 d 2
em que d1 e d2 são as distâncias percorridas. Além disso, como o intervalo de tempo
∆t é muito pequeno, podemos considerar os módulos das velocidades do planeta no
entorno dos pontos P1 e P2 como constantes e escrever:
v1 =
d1
∆t
v2 =
d2
∆t
e
de modo que as expressões para as áreas ficam:
A 1 = 21 r1v 1∆t
e
A 2 = 21 r2 v 2 ∆t
Agora, usando a segunda lei de Kepler e multiplicando os dois lados da
igualdade resultante por m, a massa do planeta, ficamos com:
mr1v1 = mr2v2
Por outro lado, no entorno de P1 e P2, as velocidades do planeta são
perpendiculares às respectivas linhas que ligam esses pontos ao Sol. Então, os
respectivos momentos angulares em relação ao Sol têm módulos:
j1 = mr1v 1
e
j 2 = mr2 v 2
e pela expressão acima, segue-se que j1 = j2.
Os pontos P1 e P2 foram escolhidos por conveniência didática. Um argumento
mais geral pode demonstrar esse resultado para quaisquer outros pontos. Isto significa
a conservação do momento angular do planeta.
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Exemplo 3
Um corpo é amarrado a um fio que passa pelo interior de um tubo oco (Fig.39).
Segurando o tubo com uma das mãos e o fio com a outra, colocamos o corpo a girar
num plano horizontal. Ao puxarmos o fio, encurtando o raio da órbita do corpo, esse
passa a girar com velocidade de módulo maior num referencial fixo no tubo.
O aumento do módulo da velocidade não pode ser atribuído ao trabalho que a
força do fio exerce sobre o corpo porque essa força é perpendicular à direção do
movimento do corpo em qualquer instante de tempo. O aumento do módulo da
velocidade deve ser atribuído à conservação do momento angular.
Exercício 1
Um homem está de pé, de braços abertos, com um tijolo em cada mão, sobre
uma plataforma sem atrito, que gira com velocidade angular de módulo ω = π rad/s
num referencial fixo no solo. O momento de inércia do sistema é de 6 kg m2. Quando o
homem aproxima os tijolos do corpo, este momento de inércia fica reduzido a 4 kg m2.
Calcule o módulo da nova velocidade angular da plataforma.
Exercício 2
O Sol, com um raio médio de 7,0 x 108 m, dá uma volta em torno de si próprio a
cada 25 dias. Pode acontecer que, daqui a muitos e muitos anos, o Sol se transforme
numa estrela anã branca do tamanho da Terra, com um raio médio de 6,4 x 106 m.
Calcule o novo período de rotação do Sol no caso em que sua massa não muda.
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