Momento Angular e
Conservação
ç do
Momento Angular
Sergio Scarano Jr
04/08/2013
Análogos entre Grandezas Lineares e Angulares
Grandeza Linear
Grandeza Angular
Fórmula (módulos)
S = posição linear
 = posição angular
S = ·r
v = velocidade linear
 = velocidade angular
v = ·r
a = aceleração linear
 = aceleração angular
a = 2·r
F = força
 = torque
 = F·r
p = momento linear
L= momento angular
?
m = massa
I = momento de inércia
?
W = trabalho
W = trabalho
?
K = energia cinética
K = energia cinética
?
Momento angular
O conceito de momento angular está para quantidade de movimento
assim como o de força está para o conceito de torque.
Conceito de força:
pmv
dp
F=
=ma
dt
Lrp
Analogamente:
g
=
L = r  ( mv )
dL
= rF
dt
L
L=m(rv)
L = r . (m.v) . sen 
L = r . m . v . sen 
v
O

r
m
Unidades:
kg
kg.m
m2/s
= r  ma
Momento Angular na Natureza
A conservação da quantidade de movimento pode ser visto em diversos
fenômenos.
Remoinhos ou Furacões
As três leis de Kepler
A
B
1ª. Lei: As órbitas dos planetas são elipses.
2ª. O raio vetor que liga o Sol aos planetas varrem
áreas iguais em tempos iguais.
3ª. Os quadrados dos períodos orbitais são
proporcionais aos cubos dos raios médios
orbitais.
Atletas e Bailarinas
Análogos entre Grandezas Lineares e Angulares
Grandeza Linear
Grandeza Angular
Fórmula (módulos)
S = posição linear
 = posição angular
S = ·r
v = velocidade linear
 = velocidade angular
v = ·r
a = aceleração linear
 = aceleração angular
a = 2·r
F = força
 = torque
 = F·r·sen()
p = momento linear
L= momento angular
L=p
p·r·sen()
r sen()
m = massa
I = momento de inércia
?
W = trabalho
W = trabalho
?
K = energia cinética
K = energia cinética
?
Exercícios
Ache o momento angular
g
da Terra em sua translação
ç
em torno do p
próprio
p
eixo sabendo que sua distância ao Sol é raio 149600000 km e sua massa é
5,98.1024 kg .
Exercício
Energia Cinética de Rotação
Um corpo rígido girando é constituído por massas em movimento,
logo ele possui K.
 Consideremos um corpo constituído por um grande número de
partículas com massas m1, m2, ...,mn situados a uma distância r1, r2,...rn
d eixo
do
i de
d rotação.
t ã
K 
 Como v =
1
1
1
m1v12  m2v22  m3v32  ... 
2
2
2
r
n
K 

i
1
2
mi wiri 
2

1
 
2

n

i
n

i
1
mivi2
2


miri2 w2


 chamando
h
d I = miri2 de
d momento
t de
d inércia,
i é i que está
tá relacionado
l i
d de
d
como a massa está distribuída no espaço.
Energia Cinética de Rotação
logo
g
K 
onde
1 2
I
2
n
I

miri2
i 1
Portanto quando maior for o momento de inércia maior será a
energia cinética do corpo girando.
U id d I = kg
Unidades
k m2.
Análogos entre Grandezas Lineares e Angulares
O conceito de momento angular está para quantidade de movimento
assim como o de força está para o conceito de torque.
Grandeza Linear
Grandeza Angular
Fórmula (módulos)
S = posição linear
 = posição angular
S = ·r
v = velocidade linear
 = velocidade angular
v = ·r
a = aceleração linear
 = aceleração angular
a = 2·r
F = força
 = torque
 = F·r·sen()
p = momento linear
L= momento angular
L=p
p·r·sen()
r sen()
m = massa
I = momento de inércia
I=m·r2
W = trabalho
W = trabalho
W = ·
K = energia cinética
K = energia cinética
K = ½·I2
Cálculo do Momento de Inércia
Se um corpo rígido compõe de poucas partículas, podemos calcular o
momento de inércia
n
I

miri2
i 1
No entanto se o corpo rígido constituir de um grande número de
partícula (meio contínuo) para encontrarmos I temos que integrar
I

r 2dm
Exemplo: Haste fina uniforme de massa M e comprimento L. Qual o
momento de inércia?
Cálculo do Momento de Inércia
Haste é uniforme de massa M e comprimento L: CM é o seu centro.
massa de um elemento dm
massa da haste M

compriment o de um elemento dx compriment o da haste L
eixo de rotação
ç
dx
dm
1
L
2
r =x
CM
dm M

dx
L
1
L
2
I

M 3
I
x
3L
 dm 
x f L / 2
r 2dm

I

M
x2
dx
L


xi L / 2
x f  L / 2
x  L / 2
M
I
3L
i
I
1
ML2
12
 L 3  L 3 
      
 2   2  
M
dx
L
Exercícios
Uma roldana q
que p
pode ser aproximada
p
pela figura
p
g
abaixo tem uma massa
de 6 kg e um raio de 40 cm. Qual é o seu momento de inércia e sabendo que
ela pode girar a 300 rpm, qual vai ser a energia cinética despendida na
roldana?
Sabendo que a energia cinética é dada por I = I2/2:
Exercícios
Ache o momento angular
g
da Terra em sua rotação
ç
em
torno do próprio eixo utilizando os dados de momento de
inércia apresentados anteriormente. Suponha que a Terra
seja uma esfera uniforme e tenha raio 6,37.106 m e
5,98.1024 kg .
Grandeza Linear
Grandeza Angular
p = momento linear L= momento angular
m = massa
Fórmula (módulos)
L = p·r·sen()
I = momento de inércia I=m·r2
Precessão
PN
PN
PN
Hoje
PN
Daqui a
13 mil anos