1
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
INPE
Divisão de Mecânica Espacial e Controle
Cinemática e dinâmica da
atitude de satélites artificiais.
Valdemir Carrara
3
Índice
1 – Introdução
2 – Cinemática
2.1 – Notação de vetores e matrizes
2.2 – Vetrizes
2.3 – Transformações de coordenadas
2.4 – Operações entre vetores e entre vetrizes
2.5 – Diádicas
2.6 – Representação da atitude
Matriz de co-senos diretores
Ângulo e eixo de Euler
Ângulos de Euler
Parâmetros simétricos de Euler
Movimento com ângulos infinitesimais
2.7 – Cinemática
Velocidade angular
Cinemática em ângulo-eixo de Euler
Cinemática em ângulos de Euler
Cinemática em parâmetros simétricos de Euler
Cinemática em deslocamentos infinitesimais
3 – Dinâmica da atitude
3.1 – Centro de massa e momento de inércia
3.2 – Dinâmica de um sistema de pequenas massas
Equação vetorial para o momento angular
Momento angular num sistema girante
Energia cinética do sistema de massas
Equações escalares do movimento
3.3 – Dinâmica de um corpo rígido
Equações vetoriais do movimento
Equações escalares do movimento
Equações em relação ao centro de massa
3.4 – Corpo rígido acoplado a rotores
Equações vetoriais do movimento
Equações escalares do movimento
Equações em relação ao centro de massa
3.5 – Corpo rígido com amortecedor de nutação
Equações vetoriais do movimento
Equações escalares do movimento para amortecedor translacional
Equações em relação ao centro de massa com amortecedor translacional
Equações escalares do movimento para amortecedor rotacional
3.6 – Corpo rígido acoplado a apêndices articulados
Equações vetoriais do movimento
Equações escalares do movimento
Equações vetoriais do movimento em relação ao centro de massa
Equações escalares do movimento em relação ao centro de massa
Equações vetoriais com velocidades explícitas no tempo
Referências bibliográficas
4
5
1 – Introdução
Um satélite artificial em órbita da Terra ou vagando pelo espaço pode ser considerado
fisicamente como um corpo livre de forças e torques, no sentido de que as ações
remanescentes, isto é, as forças e torques que ainda restam neste ambiente são de pequena
intensidade e, portanto, produzem pouco ou nenhum efeito em seu movimento. Mais
especificamente, as forças alteram a velocidade do satélite, e, como conseqüência, modificam
sua órbita. Por outro lado os torques são responsáveis pelo movimento do satélite ao redor de
si, ou seja, alteram a velocidade de rotação dele. Este movimento muda a orientação com o
tempo, e permite que o satélite aponte um dado instrumento para uma direção escolhida,
desde que se consiga dosar o torque convenientemente. A direção que o satélite aponta é
conhecida como atitude, e o movimento é dito movimento de atitude. A atitude é sempre
relacionada a um sistema de referência, isto é, um sistema de coordenadas em relação ao qual
a atitude é referida ou medida. Para que o movimento do próprio sistema de coordenadas de
referência não afete ou influencie a atitude, é desejável que este sistema seja inercial, que, por
definição, indica um sistema fixo (sem movimento) em relação ao espaço. Na prática não
existe um sistema inercial perfeito, pois até mesmo as estrelas mais distantes movem-se com
relação à Terra. Contudo, este movimento pode ser ignorado para finalidades analisadas aqui.
O estudo do movimento de atitude pode ser feito de forma independente às suas
causas, ao que se chama cinemática, ou então levando em conta o movimento ao longo do
tempo, conhecido como dinâmica. Na verdade ambos são importantes no projeto de satélites,
e serão abordados nos próximos capítulos.
A modelagem apresentada neste documento visa atender a um objetivo estabelecido já
há alguns anos, de dotar o INPE com um sistema de simulação computacional de atitude, que
pudesse ajudar no desenvolvimento das diversas fases de uma missão espacial, desde a análise
da missão, passando pelo projeto e definição do sistema de controle de atitude, e chegando até
a fase de simulação em tempo real com equipamentos dentro da malha de controle, para
finalidades de qualificação do subsistema. Enquanto que este documento relata o modelo
físico-matemático a ser empregado neste simulador, um outro documento (Carrara, 2007)
apresenta toda a estrutura e o uso do pacote computacional.
6
2 – Cinemática
O movimento de um corpo rígido no espaço é usualmente representado por um
conjunto de equações vetoriais. Livros e artigos empregam notações distintas, por vezes
conflitantes, ao apresentar tais modelos. Um vetor pode, por exemplo, ser denotado em
negrito, como em u, com seta acima ou abaixo do símbolo ( u , u ), ou ainda em itálico com
ou sem negrito ( u , u ), e, finalmente, até mesmo em itálico e sem negrito como em u. Diante
de tantas variações, é natural que surja um pouco de confusão, ainda mais se for considerado
que um vetor necessita ser expresso em uma base ou sistema de coordenadas, e, novamente,
novas alternativas se abrem: u = [u x , u y , u z ] , ou u = (u x u y u z )T , ou u = u x ˆi + u y ˆj + u z kˆ , e
muitas outras.
Além disso, vetores unitários como k̂ aparecem, às vezes, com seta ou, como foi
grafado, com um circunflexo superior ou ainda sem qualquer ênfase. A indicação de
transposição de uma matriz ou vetor sofre de ambigüidade: por vezes é o sobrescrito T (itálico
ou não), e por vezes basta uma apóstrofe como em u’. A representação dos componentes do
vetor na forma matricial tampouco é exclusiva: usam-se igualmente parêntesis ou colchetes
para indicá-los. Outro problema típico é a possibilidade de se representar um mesmo vetor em
bases distintas. Uma vez que não se pode escrever: u = (u x , u y , u z ) e u = (vx , v y , vz ) sem que
inevitavelmente se conclua que ux = vx, uy = vy e uz = vz, então uma indicação clara do sistema
de coordenadas no qual o vetor é representado torna-se obrigatória. Para isso emprega-se
tanto sobrescritos quanto sub-escritos: u o , u o , ou u = (u x , u y , u z )o . Infelizmente esta técnica
introduz um outro problema, já que notações diferentes passam a representar um mesmo
vetor, ou seja, parece haver um paradoxo ao se efetuar uma simples soma vetorial como esta:
u o = v a + w b , pois os vetores seriam representados em bases distintas.
Embora seja perfeitamente possível trabalhar exclusivamente com uma representação
vetorial-matricial dependente da base, esta forma exige cuidados especiais sempre que for
necessário efetuar mudanças de base. As referências bibliográficas nesta área freqüentemente
cometem imprecisões matemáticas para o bem da visualização. A própria representação
matricial de um vetor é uma incoerência, pois vetores são entidades que possuem módulo,
direção e sentido, o que certamente não se enquadra na definição de matrizes, muito embora
seja possível atribuir ou deduzir estas qualidades a partir dos componentes expressos numa
base qualquer. Além disso, certas operações como o produto escalar e vetorial são definidos
para vetores, mas não para matrizes, ainda que seu resultado também possa ser obtido, em
última instância, por operações ordinárias entre matrizes.
Na busca por uma notação que, mais do que resolver o problema, pudesse oferecer um
pouco mais de rigor matemático e físico, decidiu-se utilizar o conceito de vetrizes, que, como
a mistura do nome indica, permite passar de uma representação para a outra, mantidos os
devidos conceitos de cada uma, aliado a um maior rigor matemático. Este conceito não é de
fácil assimilação, embora suas vantagens tornem-se evidentes com seu uso intensivo. A
formalização de vetrizes pode ser encontrada em diversos livros, e, em particular, em Hughes
(Hughes, 1986). Será apresentado aqui, nas próximas seções, a definição de vetrizes, suas
principais propriedades, e um resumo acerca da representação da atitude.
7
2.1 – Notação de vetores e matrizes
Vetores serão representados em negrito, em minúsculo, com seta abaixo do símbolo:
u , w
ou a . Matrizes de uma ou mais colunas são apresentadas com símbolos em negrito,
como u, v ou J. Em geral símbolos em minúsculo representarão os vetores ou matrizes de
uma coluna. Símbolos em itálicos serão usados para representar escalares.
As principais operações utilizadas aqui e que envolvem vetores são o produto escalar
entre dois vetores:
a = u ⋅ v ≜ u v cos θ ,
2.1
que resulta num escalar igual ao produto do módulo dos dois vetores e o co-seno do ângulo θ
entre ambos, e o produto vetorial:
w
= u × v .
2.2
que resulta um vetor w
perpendicular a ambos, e cujo módulo é dado pelo produto dos
módulos dos vetores e o seno do ângulo θ entre eles:
w
= u × v ≜ u v sen θ
2.3
Quando os vetores u e v são expressos em termos de combinação linear de versores
unitários â1 , â 2 , â 3 de uma base ortonormal, tal que u = u1 aˆ 1 + u2 aˆ 2 + u3 aˆ 3 e
v = v1 aˆ 1 + v2 aˆ 2 + v3 aˆ 3 , então o produto escalar é facilmente obtido por meio de:
a = u ⋅ v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 ,
2.4
enquanto que o produto vetorial resulta:
w
= u × v = (u2 v3 − u3v2 ) aˆ 1 + (u3v1 − u1v3 ) aˆ 2 + (u1v2 − u2 v1 ) aˆ 3
2.5
O módulo de um vetor pode ser obtido com base nas componentes referidas à base
ortonormal:
u = u = u ⋅ u = u1 u1 + u2 u2 + u3 u3
2.6
A representação matricial de um vetor é feita na forma de uma matriz coluna:
v = (v1 v2
 v1 
 
v3 ) =  v2  ,
v 
 3
T
2.7
onde o sobrescrito “T” indica a transposição da matriz. As operações equivalentes ao produto
escalar e vetorial na representação matricial são efetuadas por:
8
a = vT w ,
2.8
u = v× w ,
2.9
e
respectivamente, no qual o sobrescrito “×” indica a composição da matriz anti-simétrica
equivalente ao produto vetorial:
 0

v ≜  v3
 −v
 2
×
−v3
0
v1
v2 

−v1  ,
0 
dado que se conheça as componentes de v numa dada base: v = (v1 v2
2.10
v3 )T .
Assim como no produto vetorial vale a regra v × w
= −w
× v , segue também que
T
T
v× w = − w × v . Igualmente, como v ⋅ w
=w
⋅ v , também v w = w v .
Duas propriedades dos vetores são importantes do ponto de vista da análise dinâmica
do movimento de um sólido: o duplo produto vetorial e o produto misto. Ambas são de fácil
demonstração e, portanto, serão apresentadas sem maiores detalhes. O duplo produto vetorial
resulta:
u × ( v × w
) = (u ⋅ w
) v − (u ⋅ v )w
,
2.11
enquanto que o produto misto permite escrever:
u ⋅ v × w
= u × v ⋅ w
2.12
As representações matriciais destas duas propriedades são, respectivamente:
u× v× w = (uT w ) v − (uT v )w
2.13
uT v× w = (u× v )T w = vT w ×u
2.14
e
A combinação das propriedades acima indicadas com aquelas da permutação dos
operadores permite estender ainda mais o número de igualdades. Este desenvolvimento será
deixado a cargo do leitor.
2.2 - Vetrizes
Uma vez estabelecido que vetores são diferentes de matrizes, introduz-se agora uma
transformação que permite passar de uma representação para outra. Já que a forma matricial
9
será usada exclusivamente para a notação dos componentes de um vetor numa dada base, seja
então a base Fa de um sistema de coordenadas retangulares na qual o vetor v é expresso por:
v = v1 aˆ 1 + v2 aˆ 2 + v3 aˆ 3 ,
2.15
e tal que os versores aˆ i , (i = 1, 2, 3) que constituem a base de Fa são unitários. Uma vetriz Fa
é então definida como a matriz coluna que armazena, em seus componentes, os versores
relativos a esta base:
 aˆ 1 
 
Fa ≜  aˆ 2 
 aˆ 
 3 
2.16
Não há conflito em utilizar o mesmo símbolo Fa para denotar a base e a vetriz, pois
esta última fornece justamente os versores da base. Nota-se que a vetriz é tanto uma matriz
quanto um vetor, de onde provém o nome de vetriz. Se for definida agora a matriz coluna dos
componentes do vetor v na mesma base, isto é, sendo v dado por:
 v1 
 
v ≜  v2  ,
v 
 3
2.17
segue então imediatamente que se pode perfeitamente passar da representação matricial para a
vetorial (e vice-versa) por meio de simples operações de produto escalar entre vetores ou
produto de matrizes:
v = vT Fa = Fa T v ,
2.18
e similarmente
 v ⋅ aˆ 1 


v = v ⋅ Fa = Fa ⋅ v =  v ⋅ aˆ 2 
 v ⋅ aˆ 
 3 
2.19
Estas equações, embora simples, sintetizam ao mesmo tempo o poder e a flexibilidade
das vetrizes, pois permitem passar de uma representação para outra. É claro que desta última
pode-se também inferir que
vT = v ⋅ Fa T = Fa T ⋅ v ,
2.20
de onde se percebe que, ao contrário de um vetor, uma vetriz pode ser transposta.
É importante notar que as vetrizes comportam-se tanto como vetores quanto como
matrizes. De fato, percebe-se que:
10
 0

Fa × Fa T =  −aˆ 3
 aˆ
 2
−aˆ 2 

aˆ 1  ≜ − Fa × ,
0 
aˆ 3
0
−aˆ 1
2.21
enquanto que:
Fa ⋅ Fa T = 1
2.22
no qual 1 é a matriz identidade de ordem 3.
O produto escalar entre os vetores u e v expressos na base Fa pode agora ser posto na
forma de vetrizes, resultando:
u ⋅ v = uT Fa ⋅ Fa T v = uT v ,
2.23
já definido anteriormente. O produto vetorial entre u e v é realizado de forma similar:
u × v = uT Fa × Fa T v = −uT Fa × v = Fa T u× v ,
2.24
cuja prova será deixada a cargo do leitor.
A principal distinção entre as representações é evidenciar que um vetor, ao contrário
de seu equivalente matricial, não necessita de uma base. De fato, dados dois sistemas de
coordenadas Fa e Fb, se va e vb representarem respectivamente o vetor v nestas bases, então
pode-se escrever:
v = Fa T v a = Fb T v b ,
2.25
e, analogamente,
v a = Fa ⋅ v , v b = Fb ⋅ v
2.26
2.3 – Transformações de coordenadas
(
)
T
Se um sistema de referência Fb cuja base é dada pela vetriz Fb = bˆ 1 bˆ 2 bˆ 3
possuir uma dada orientação relativa a um outro sistema Fa, então conhecendo-se os co-senos
diretores dos versores de Fb em relação a Fa (Figura 2.1) pode-se relacionar os sistemas por
meio de:
bˆ 1 = c11 aˆ 1 + c12 aˆ 2 + c13 aˆ 3
bˆ = c aˆ + c aˆ + c aˆ
2
21
1
22
2
23
3
bˆ 3 = c31 aˆ 1 + c32 aˆ 2 + c33 aˆ 3 ,
que leva à expressão:
2.27
11
Fb = Cba Fa ,
2.28
no qual a matriz Cba fornece os co-senos diretores da transformação:
c13   bˆ 1 ⋅ aˆ 1 bˆ 1 ⋅ aˆ 2
 
c23  =  bˆ 2 ⋅ aˆ 1 bˆ 2 ⋅ aˆ 2

c33   bˆ 3 ⋅ aˆ 1 bˆ 3 ⋅ aˆ 2

 c11 c12

Cba =  c21 c22
c
 31 c32
bˆ 1 ⋅ aˆ 3 

bˆ 2 ⋅ aˆ 3  = Fb ⋅ Fa T

bˆ 3 ⋅ aˆ 3 
2.29
b̂ 3
â 3
Fb
Fa
â 2
b̂ 2
b̂1
â1
Fig. 2.1 – Os sistemas de coordenadas Fa e Fb.
Uma vez que toda matriz de transformação entre sistemas de coordenadas retangulares
é ortogonal própria, então vale a propriedade:
−1
Cba
= CTba = Cab ,
2.30
de onde se conclui que:
−1
Fa = Cab Fb = Cba
Fb = CTba Fb .
2.31
Multiplicando à direita pela transposta da vetriz Fb, tem-se igualmente que:
Cab = Fa ⋅ Fb T .
2.32
Em particular, quando a transformação envolvendo os sistemas é uma rotação pura
efetuada ao redor de um dos eixos cartesianos (1, 2 ou 3), então as matrizes que relacionam os
sistemas resultam em (Hughes, 1986; Wertz, 1978):
0
0 
1


C1 (θ) ≜  0 cos θ sen θ  ,
 0 − sen θ cos θ 


 cos θ 0 − sen θ 


C2 (θ) ≜  0
1
0 
 sen θ 0 cos θ 


2.33
Incluir uma figura de uma
rotação no eixo z do sistema
1 até o sistema 2, e com isso
Cx = C21
2.34
12
 cos θ sen θ 0 


C3 (θ) ≜  − sen θ cos θ 0 
 0
0
1 

2.35
Estas matrizes são denominadas básicas, pois operam em direções específicas. Para
inverter qualquer uma delas, basta trocar o sinal do ângulo de rotação, o que leva ao resultado:
Ci−1 (θ) = CTi (θ) = Ci (−θ) .
2.36
Se va e vb representarem a matriz coluna dos componentes do vetor v nas bases Fa e
Fb, respectivamente, então por definição tem-se que:
v a = Fa ⋅ v ,
v b = Fb ⋅ v ,
2.37
mas, da inversão desta última, v = Fb T v b , que resulta, após a substituição em va:
v a = Fa ⋅ Fb T v b = Cab v b ,
2.38
um resultado já bastante conhecido. Cab representa a matriz, portanto, dos co-senos diretores
da base Fa na base Fb, ou a matriz de rotação que gira o sistema b em direção ao sistema a.
2.4 – Operações entre vetores e entre vetrizes
Com base nas definições de vetrizes e matrizes de mudança de base, pode-se
estabelecer as principais propriedades das operações entre vetores. Seja então três vetores u ,
v e w
, cujas representações matriciais u = Fa ⋅ u , v = Fb ⋅ v e w = Fc ⋅ w
são conhecidas em
bases distintas Fa, Fb e Fc, respectivamente, e tal que Cab e Cac são as matrizes de mudança de
base entre os sistemas Fa e Fb, e entre Fa e Fc, ou seja:
Cab = Fa ⋅ Fb T , Cac = Fa ⋅ Fc T .
2.39
Neste caso, a soma, o produto escalar e o produto vetorial resultam:
u + v + w
=
= Fa T (u + Cab v + Cac w )
= Fb T (CTab u + v + CTab Cac w )
,
2.40
= Fc T (CTac u + CTac Cab v + w )
u ⋅ v = uT Fa ⋅ Fb T v = uT Cab v = (CTab u)T v ,
2.41
u × v =
= uT Fa × Fb T v = uT Fa × Fa T Cab v = Fa T u× Cab v ,
2.42
= uT Fa × Fb T v = uT Cab Fb × Fb T v = Fb T (CTab u)× v
13
Mas, substituindo Fa T = Fb T CTab nesta última expressão chega-se à identidade:
(CTab u)× = CTab u× Cab .
2.43
Considerando que Fa = ( aˆ 1 aˆ 2
operações para as vetrizes:
(
T
aˆ 3 ) e Fb = bˆ 1 bˆ 2
bˆ 3
)
T
, define-se as seguintes
a) Produto escalar de um vetor por uma vetriz, resultando uma matriz coluna:
v ⋅ Fa = Fa ⋅ v = v
2.44
b) Produto vetorial entre um vetor e uma vetriz, resultando uma vetriz Fc:
 v × aˆ 1 


v × Fa ≜  v × aˆ 2  = − v× Fa = Fa× v = Fc
 v × aˆ 
 3 
2.45
c) Produto escalar entre vetrizes, resultando numa matriz ou num escalar:
 aˆ 1 ⋅ bˆ 1 aˆ 1 ⋅ bˆ 2

Fa ⋅ Fb T ≜  aˆ 2 ⋅ bˆ 1 aˆ 2 ⋅ bˆ 2

 aˆ 3 ⋅ bˆ 1 aˆ 3 ⋅ bˆ 2

aˆ 1 ⋅ bˆ 3 

aˆ 2 ⋅ bˆ 3  = Cab

aˆ 3 ⋅ bˆ 3 
Fa T ⋅ Fb ≜ aˆ 1 ⋅ bˆ 1 + aˆ 2 ⋅ bˆ 2 + aˆ 3 ⋅ bˆ 3
2.46
2.47
d) Produto vetorial entre vetrizes, que resulta no produto de uma vetriz vetorial por uma
matriz:
 aˆ 1 × bˆ 1 aˆ 1 × bˆ 2

Fa × Fb T ≜  aˆ 2 × bˆ 1 aˆ 2 × bˆ 2

 aˆ 3 × bˆ 1 aˆ 3 × bˆ 2

aˆ 1 × bˆ 3 

aˆ 2 × bˆ 3  = − Fa × Cab

aˆ 3 × bˆ 3 
2.48
e) Produto de uma vetriz por uma matriz coluna, resultando num vetor:
vT Fa = Fa T v = v ,
2.5 – Diádicas
Uma diádica é definida como o produto entre dois vetores. Representa-se este produto
por uma justaposição dos vetores u e v , resultando numa diádica D
:
D
= u v ,
2.49
14
sendo que este produto, em geral, não é comutativo, isto é, u v ≠ v u . A adição das diádicas I
e J é também uma diádica D
= I + J . O produto interno entre um vetor e uma diádica,
diferentemente do produto escalar, resulta num vetor:
u = v ⋅ D
,
2.50
e que também não é comutativo, uma vez que v ⋅ D
≠D
⋅ v . Embora uma diádica seja
representada por uma seta sob o símbolo, ela possui propriedades diferentes dos vetores e,
rigorosamente, não pode ser considerada como um vetor. Por sua vez, se for considerado que
um dos vetores da diádica origina-se do produto vetorial entre dois vetores, define-se então:
J = (w
,
× u ) v = w
× u v ≜ w
×D
2.51
que é também uma diádica. Contudo, percebe-se novamente que este produto não é
comutativo e nem recíproco como o produto vetorial entre dois vetores:
K
= u ( v × w
×w
) = u v × w
≜D
2.52
O duplo produto vetorial na forma u × ( v × w
) resulta num vetor que se encontra no
plano de v e w
, e assim pode ser posto como uma combinação linear destes dois vetores, o
que leva a:
u × ( v × w
) = (u ⋅ w
) v − (u ⋅ v )w
2.53
Porém, uma vez que os parêntesis do segundo membro são desnecessários, pois há
somente uma forma de se calculá-lo, então esta propriedade fica:
u × ( v × w
wv − u ⋅ D
vw = u ⋅ (D
wv − D
vw )
) = u ⋅ w
v − u ⋅ v w
= u ⋅ D
2.54
Decorre daí que as diádicas surgem sempre em decorrência de um produto interno, e
considerando a igualdade u ⋅ v w
=w
u ⋅ v = w
v ⋅ u , tem-se igualmente que
u ⋅ D
vw = D
wv ⋅ u
2.55
Substituindo esta propriedade no duplo produto, chega-se a
u × ( v × w
wv − D
wv ⋅ u = D
vw ⋅ u − u ⋅ D
vw ,
) = u ⋅ D
2.56
que mostra que o produto interno entre uma diádica e um vetor não é comutativo.
Considera-se novamente a diádica D
= u v , tal que os vetores são conhecidos numa
base Fa. Aplicando o conceito de vetrizes, tem-se que
T
T
T
D
= Fa u v Fa = Fa D Fa ,
2.57
15
de onde se conclui que a representação matricial de uma diádica é uma matriz quadrada de
ordem 3, tal que D = u vT . À semelhança dos vetores, uma diádica é também expressa em
relação a uma base de coordenadas. Inversamente, a representação matricial pode ser obtida a
partir da sua diádica:
T
D = Fa ⋅ D
⋅ Fa
2.58
Nota-se ainda que o duplo produto interno de vetores por uma diádica resulta num
escalar, ou seja:
T
u ⋅ D
⋅ v = u D v ,
2.59
caso os dois vetores e a diádica sejam todos expressos na mesma base.
Uma diádica nula ( D
= 0 ) é uma diádica cuja representação matricial é uma matriz
nula. Uma diádica unitária ( D
= 1 ) é uma diádica cuja representação matricial é uma matriz
identidade ( D = 1 ) de ordem 3. O produto interno de uma diádica unitária por um vetor
qualquer não altera este vetor:
u = u ⋅ 1 = 1 ⋅ u .
2.60
Uma diádica, à semelhança de um vetor, pode ser expressa em bases distintas.
Considera-se então a diádica D
e suas representações Da e Db nas bases Fa e Fb. Como, da
T
definição, Da = Fa ⋅ D
⋅ Fa , segue imediatamente que:
Da = Fa ⋅ FbT Db Fb ⋅ FaT = Cab Db Cba = C ab Db CTab .
2.61
Este resultado indica que a transformação de uma diádica é realizada multiplicando-se
a matriz da diádica pela matriz de rotação à esquerda e pela transposta desta à direita.
Um caso particularmente interessante é o de uma diádica cujos vetores u e v que a
formam são conhecidos em bases distintas, Fa e Fb, respectivamente. Pela definição da
diádica tem-se
T
T
T
D
= u v = Fa u v Fb = Fa Dab Fb ,
2.62
que, inversamente, fornece:
T
T
Dab = u vT = D
= Fa ⋅ u v ⋅ Fb = Fa ⋅ D
⋅ Fb .
2.63
Porém, pode-se, igualmente, representar esta diádica integralmente em qualquer uma
das bases, como D a na base Fa e Db na base Fb, que resultam:
T
T
T
T
Da = Fa ⋅ D
⋅ Fa = Fa ⋅ Fa D ab Fb ⋅ Fa = D ab Cab .
e
2.64
16
T
T
T
Db = Fb ⋅ D
⋅ Fb = Fb ⋅ Fa Dab Fb ⋅ Fb = Cab Dab .
2.65
As diádicas representam um papel importante na dinâmica de corpos rígidos. Será
mostrado que a inércia de um corpo é de fato uma diádica, ou seja, uma matriz. A diádica
permite, portanto, que as equações da dinâmica possam ser obtidas consistentemente na forma
vetorial.
2.6 – Representação da atitude
A atitude ou orientação de um corpo no espaço é definida por um conjunto de
parâmetros que permitem, de forma unívoca, correlacionar num instante de tempo qualquer
um sistema de coordenadas fixo ao corpo a um outro sistema supostamente fixado a uma
base. Em geral assume-se que este último seja inercial ou quase inercial, que significa que seu
movimento, em relação a um sistema verdadeiramente inercial, seja desprezível quando
comparado com o movimento próprio do corpo. Por outro lado, a compreensão do que se
denomina sistema inercial requer que faça concessões ao rigor matemático. De fato,
considera-se que um sistema inercial seja aquele que não apresente movimento de rotação.
Porém, isto requer dois procedimentos: ser capaz de diferir entre movimentos angulares
ínfimos e nenhum movimento angular, e medir estes resultados em relação a um outro sistema
que, em essência, terá que ser ainda mais imóvel do que este que se está tentando medir. É
óbvio que, se existe um sistema “mais inercial” do que outro, então este sistema deva ser
adotado, pelo menos por enquanto. Como será visto adiante, pode-se mostrar que o momento
angular de um corpo em movimento de rotação e não sujeito a torques tende a permanecer
imóvel inercialmente. Este princípio permite que se estabeleçam direções inerciais baseadas
em eixos de rotação. Infelizmente é muito difícil encontrar corpos efetivamente livres de
torques. O eixo de rotação da Terra é comumente adotado como uma das direções inerciais,
porém sabe-se que este eixo efetua um movimento cônico ao redor de um eixo perpendicular
à órbita da Terra ao redor do Sol em um período de cerca de 20 mil anos. Mesmo este último
sofre influências das estrelas próximas e da galáxia como um todo e, portanto, não pode ser
considerado como verdadeiramente inercial. Outra solução consiste em definir um sistema
inercial com base na direção de determinadas estrelas. Sabe-se, contudo, que estas apresentam
movimento relativo ao sistema solar. Atualmente considera-se que a melhor estimativa de
sistema inercial seja aquela dada pelas direções de quasares distantes. Ainda assim, embora a
velocidade de afastamento deles possa ser medida, quase nada pode ser dito a respeito do
movimento angular transversal, exceto de que deve ser suficientemente pequeno para que
possa ser desprezado.
Para as finalidades abordadas aqui, é suficiente considerar como inercial o sistema
geocêntrico celeste, cujos eixos coincidem com o eixo de rotação da Terra e com a direção da
interseção do plano do equador com o plano da eclíptica.
Matriz de co-senos diretores
Uma matriz de mudança de base, como a matriz de co-senos diretores, constitui uma
representação da atitude, uma vez que permite estabelecer a orientação de um dado sistema de
coordenadas Fb em relação à base Fa. Em geral assume-se que o sistema Fb é móvel com
relação ao sistema Fa, mas a matriz não identifica qual dos sistemas é o móvel e qual é o fixo.
Matrizes de co-senos diretores são ortogonais próprias e isto quer dizer que o produto escalar
de uma linha (ou coluna) por outra resulta nulo, já que, por definição, as linhas (ou colunas)
17
constituem os componentes dos versores da base do sistema Fb em relação ao sistema Fa.
Além disso, como tais versores são unitários, então o módulo de cada linha (ou coluna) é
também unitário. Tem-se com isso 6 condições que relacionam entre si as 9 coordenadas dos
versores da base. Restam, portanto apenas 3 parâmetros realmente independentes numa
matriz. De fato, Euler enunciou que são necessários apenas 3 parâmetros para definir
univocamente a orientação espacial de um sistema de coordenadas em relação a qualquer
outro. Conclui-se, portanto, que uma matriz C de mudança de base não é a forma mais
apropriada para descrever a atitude de um corpo, porque apresenta alta redundância interna.
As matrizes de mudança de base foram vistas na seção anterior. Resta ainda analisar a
composição de movimentos neste tipo de representação. Assim, se Cab e Cbc forem as
matrizes que relacionam respectivamente as bases Fa com Fb e Fb com Fc, então pela
definição
v a = Cab v b ,
2.66
v b = Cbc v c
2.67
e
de onde decorre que:
v a = Cab Cbc v c = Cac v c ,
2.68
Cac = Cab Cbc ,
2.69
ou seja:
do qual se conclui que a matriz resultante de uma seqüência de duas ou mais transformações
entre sistemas é dada pelo produto das matrizes de transformações. Enfatiza-se novamente
que este resultado não é comutativo, pois a ordem das rotações influi na atitude atingida.
Ângulo e eixo de Euler
Euler também provou que qualquer orientação pode ser descrita como sendo
produzida por uma rotação de um dado ângulo θ ao redor de um dado eixo a. Durante a
rotação, a orientação do sistema móvel permanece fixa em relação ao eixo de rotação, o que
permite escrever que
Ca =a.
2.70
como visto na Figura 2.2. Pode-se mostrar, então, a partir das propriedades das matrizes de
mudança de base e seus autovalores e autovetores, que a matriz Cba é dada por:
Cba ≜ cos θ 1 + (1 − cos θ) a aT − sin θ a× ,
ou
2.71
18
 c θ + a12 (1 − c θ)
a1a2 (1 − c θ) + a3 s θ a1a3 (1 − c θ) − a2 s θ 


Cba =  a1a2 (1 − c θ) − a3 s θ
c θ + a22 (1 − c θ)
a2 a3 (1 − c θ) + a1 s θ  ,
 a1a3 (1 − c θ) + a2 s θ a2 a3 (1 − c θ) − a1 s θ
c θ + a32 (1 − c θ) 

2.72
condicionado a aTa = 1, onde 1 representa a matriz identidade de ordem 3 e a1, a2 e a3 são os
componentes do vetor a em qualquer um dos sistemas. Na equação acima cθ = cosθ e sθ =
senθ. Apesar da aparente redução no número de parâmetros para descrever a atitude, ainda
assim a condição de que o módulo de a seja unitário introduz uma condição a mais, e,
novamente, tem-se apenas 3 parâmetros realmente independentes nesta representação. Os
denominados ângulo e eixo de Euler, θ e a, podem ser obtidos a partir da constatação de que o
traço da matriz de transformação vale 2cosθ + 1, e, portanto,
cos θ =
1
(c11 + c22 + c33 − 1) .
2
2.73
a
Fa
Fb
Fig. 2.2 – Rotação efetuada com eixo e ângulo de Euler.
Embora θ possa assumir qualquer valor entre −π e π, costuma-se limitá-lo ao intervalo
0 ≤ θ ≤ π, uma vez que a rotação (a, θ) é totalmente equivalente a (−a, −θ). Admite-se,
portanto, que o seno de θ seja calculado a partir do co-seno, e com isso tira-se que
a1 =
c23 − c32
,
2 sen θ
a2 =
c31 − c13
,
2sen θ
a3 =
c12 − c21
,
2sen θ
2.74
desde que, obviamente, o seno de θ seja não nulo. Para o caso senθ = 0 e cosθ = 1, ou
equivalentemente quando o traço da matriz for igual a 3, nota-se que o eixo de rotação é
indefinido, porque não houve, na realidade, rotação alguma. Finalmente, se senθ = 0 e cosθ =
−1, ou se o traço da matriz for igual a −1, o ângulo deverá ser igual π, e as componentes do
eixo serão calculadas por:
19
a1 = ±
1 + c11
,
2
a2 = ±
1 + c22
,
2
a3 = ±
1 + c33
,
2
2.75
sujeitos às seguintes condições:
c12 = 2 a1 a2 , c13 = 2 a1 a3 ,
c23 = 2 a2 a3
2.76
Uma seqüência de transformações pode ser reduzida a um único ângulo-eixo de Euler.
Se (a1, θ1) e (a2, θ2) forem as rotações efetuadas num corpo, então pode-se mostrar que o
ângulo e o eixo resultante (a, θ) serão dados respectivamente por (Hughes, 1986):
cos
θ
θ
θ
θ
θ
= cos 1 cos 2 − sen 1 sen 2 a1T a 2
2
2
2
2
2
2.77
e
a sen
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
= a1 sen 1 cos 2 + a 2 cos 1 sen 2 + a1× a 2 sen 1 sen 2
2
2
2
2
2
2
2
2.78
Ângulos de Euler
Como foi visto, qualquer orientação no espaço pode ser descrita por meio de apenas
três parâmetros. Euler concluiu que três ângulos seriam suficientes para estabelecer a
correspondência entre os sistemas de coordenadas, caso as rotações fossem realizadas nos
eixos cartesianos. Além disso, qualquer que seja a orientação final, ela pode ser obtida a partir
de uma seqüência de rotações realizada ao redor de quaisquer eixos, 1, 2 ou 3, desde que a
primeira e a segunda, ou a segunda e a terceira rotação não sejam realizadas sobre o mesmo
eixo. São, portanto, válidas as seqüências de transformações: 1-2-3, 3-1-3, 2-1-3, 1-3-1, etc. A
atitude de corpos em rotação ao redor do eixo 3 é facilmente visualizada numa transformação
3-1-3, como visto na Figura 2.3, com ângulos θ1, θ2 e θ3, respectivamente. Neste caso, θ1 e θ2
permanecem fixos, enquanto que θ3(t) descreve o movimento de rotação ao redor de b̂ 3 . Esta
transformação é descrita por:
 c1c3 − s1c2 s3

Cba = C3 (θ3 ) C1 (θ2 ) C3 (θ1 ) =  −c1s3 − s1c2c3

s1s2

s1c3 + c1c2 s3
− s1s3 + c1c2c3
−c1s2
s2 s3 

s2c3 
c2 
2.79
onde ci = cos(θi) e si = sen(θi), com i = 1, 2, 3. Existem ao todo 12 combinações entre eixos e
ângulos, o que se traduz por um mesmo número de matrizes de transformação. Muitas delas
são pouco utilizadas, e as mais freqüentes em aplicações de determinação, navegação e
controle são a 1-2-3, 3-1-3, 2-1-3 e 3-2-1. Todas as matrizes, contudo apresentam
singularidades para certas situações, que surgem quando o ângulo intermediário assume
valores iguais a kπ/2, para k inteiro. Surge então dois conjuntos de transformações, das quais
6 delas são realizadas sobre 3 eixos distintos, em que a singularidade se dá para θ2 = k π, e 6
restantes nas quais o primeiro eixo é repetido na terceira rotação, e onde a singularidade
ocorre em θ2 = (2k +1) π/2 (Wertz. 1978). Nestas últimas os dois ângulos restantes ficam
20
indeterminados, e não há uma solução única para a atitude. Para a transformação 3-1-3, por
exemplo, a matriz de transformação na singularidade θ2 = 0 resulta:
 cos(θ1 + θ3 ) sen(θ1 + θ3 ) 0 


Cba =  − sen(θ1 + θ3 ) cos(θ1 + θ3 ) 0  ,

0
0
1 

2.80
que é equivalente a uma rotação ao redor do eixo 3 de um ângulo θ1 + θ3, tornando-se
impossível distinguir os valores individuais deles.
â 3
b̂ 3
θ2
b̂ 2
b̂ 1
θ3
Fb
â 2
â1
θ1
Fig. 2.3 – Rotação 3-1-3 com seqüência de ângulos θ1, θ2 e θ3.
Fa
Por sua vez, os ângulos da transformação 3-1-3 (ou outra qualquer) podem ser
calculados em função dos elementos da matriz. De fato, percebe-se facilmente que:
 c 
θ1 = arctan  31  ,
 −c32 
θ2 = arccos(c33 ),
c 
θ3 = arctan  13  ,
 c23 
2.81
desde que θ2 ≠ 0 e θ2 ≠ π. Para θ2 ≈ 0 ou θ2 ≈ π, os ângulos são calculados por:
θ1 = 0 ,
c 
θ3 = arctan  12  ,
 c11 
2.82
limitados a 0 ≤ θ1 < 360o, 0o ≤ θ2 ≤ 180o e 0 ≤ θ3 < 360o.
É importante salientar que a definição de matriz de atitude pode variar nas referências
sobre o assunto. Alguns autores adotam a postura de que a matriz relaciona o sistema fixo
com o móvel e outros adotam o contrário. Sabe-se que uma matriz é a inversa da outra, ou
seja, sua transposta, o que permite rapidamente expressar uma em função da outra. Contudo,
deve-se notar que a inversa de uma seqüência de transformações consiste na transformação
em ordem inversa:
Cab = CTba = C3 (−θ1 ) C1 (−θ2 ) C3 (−θ3 )
2.83
21
Em função das singularidades, ângulos de Euler são pouco utilizados para representar
a atitude em modelos numéricos, a menos que se garanta que a atitude estará distante dos
pontos singulares, pois caso contrário podem ocorrer erros numéricos significativos. Contudo,
deve-se reconhecer que os três ângulos de Euler são de fácil visualização quando comparados
com outras representações da atitude.
Da mesma forma que o produto de matrizes não é comutativo, uma seqüência de 3
rotações também não comuta. Isto significa que a simples troca da ordem das rotações
individuais leva a resultados e transformações diferentes.
Outro importante conjunto de ângulos, como mencionado anteriormente, é a seqüência
1-2-3, cuja matriz de transformação em função dos ângulos θ1, θ2 e θ3 é dada por:
 c3c2

Cba = C3 (θ3 ) C2 (θ2 ) C1 (θ1 ) =  − s3c2
 s
 2
s3c1 + c3 s2 s1
c3c1 − s3 s2 s1
−c2 s1
s3 s1 − c3 s2c1 

c3 s1 + s3 s2 c1  ,

c2 c1

2.84
com os limites 0 ≤ θ1 < 360o, –90o ≤ θ2 ≤ 90o e 0 ≤ θ3 < 360o. Segue imediatamente que as
relações inversas são:
 −c 
θ1 = arctan  32  ,
 c33 
θ2 = arcsen(c31 ),
 −c 
θ3 = arctan  21  ,
 c11 
2.85
sujeitas às mesmas restrições da transformação 3-1-3 nas situações nas quais θ2 ≅ ±90o.
Parâmetros simétricos de Euler
Uma das várias formas de se evitar os problemas numéricos advindos do uso de
ângulos de Euler consiste na representação por parâmetros de Euler. Os parâmetros baseiamse num eixo (vetor) e num ângulo de rotação, de forma análoga ao ângulo-eixo de Euler. O
ângulo adotado, contudo, é a metade do ângulo de rotação θ, e a direção do eixo é fornecida
pela matriz coluna a com módulo unitário. Os parâmetros simétricos são então definidos por:
ε = a sen
η = cos
θ
2
θ
2
2.86
2.87
e satisfazem a condição:
εT ε + η2 = ε12 + ε 22 + ε32 + η2 = 1 .
2.88
Sob tal circunstância, deve-se indagar qual a vantagem dos parâmetros de Euler em
relação ao ângulo-eixo de Euler, já que há pouca diferença entre eles. De fato, mostra-se sem
grandes dificuldades (Hughes, 1986) que se (ε1, η1) e (ε2, η2) forem duas transformações
efetuadas nesta ordem, então a transformação que resulta desta composição será dada por:
22
ε = η1 ε 2 + η2 ε1 + ε1× ε 2
2.89
η = η1 η2 − ε1T ε 2 ,
2.90
e
que, contrariamente às expressões análogas em ângulo-eixo de Euler, independem de
operações trigonométricas, o que facilita a computação numérica. Devido à simetria destas
equações, os parâmetros de Euler são igualmente denominados parâmetros simétricos de
Euler, e obedecem à álgebra de quatérnions (ou quaterniões) introduzida por Hamilton
(Hamilton, 1844). Quatérnions são números hiper-complexos compostos por um vetor q e um
escalar q, na forma:
Q = q + q = q x i + q y j + qz k + q
2.91
no qual o vetor q = (qx qy qz)T é hiper-complexo, tal que i2 = j2 = k2 = i j k = −1. Porém, o
produto das bases imaginárias é definido como:
i j = k,
j k = i,
ki=j
2.92
de onde decorre imediatamente que o produto de quatérnions não é comutativo. A partir desta
definição, fica fácil verificar que o produto entre dois quatérnions Q1 = η1 + ε1 e Q2 = η2 + ε2
resulta em:
Q1 Q 2 = η1 η2 − ε1T ε 2 + η1 ε 2 + η2 ε1 + ε1× ε 2 .
2.93
Pela comparação desta última equação com a composição de movimentos em
parâmetros de Euler, conclui-se que a transformação pode igualmente ser efetuada com o
produto de quatérnions. De fato, uma transformação na forma v b = Cba v a , na qual Cba é a
matriz que relaciona os sistemas Fa e Fb pode ser igualmente realizada por meio do produto
de quatérnions, desde que um vetor possa ser considerado como um quatérnion com o valor
escalar η nulo:
vb = Q va Q
2.94
onde Q = η − ε é o conjugado do quatérnion Q = η + ε.
Substituindo agora os parâmetros simétricos em função do ângulo-eixo de Euler
mostrados acima na matriz de transformação em termos destas variáveis, tem-se então que
Cba = (η2 − εT ε) 1 + 2 ε εT − 2η ε×
ou ainda na forma completa:
2.95
23
 η2 + ε12 − ε 22 − ε32

Cba =  2(ε1 ε 2 − ηε3 )
 2(ε1 ε3 + ηε 2 )

2(ε1 ε 2 + ηε3 )
η −ε +ε −ε
2(ε 2ε3 − ηε1 )
2
2
1
2
2
2
3
2(ε1 ε3 − ηε 2 ) 

2(ε 2ε3 + ηε1 ) 
η2 − ε12 − ε 22 + ε32 
2.96
Os parâmetros simétricos de Euler podem igualmente ser calculados em função dos
elementos da matriz de transformação entre os sistemas, bastando verificar que:
η=±
1
1+ σ
2
2.97
e
 c23 − c32 
1 

ε=
c31 − c13 

4η 

 c12 − c21 
2.98
onde σ = c11 + c22 + c33 é o traço da matriz Cba. A ambigüidade no sinal de η reflete o fato de
que uma transformação (ε, η) é idêntica a outra na qual o sentido do ângulo e do eixo são
trocados, ou seja, (−εε, −η).
Infelizmente, como aponta Klumpp (Klumpp, 1976), estas relações falham quando η
for próximo de zero, ou melhor, quando o ângulo θ estiver próximo ou for igual a π. Nesta
situação ele recomenda adotar um procedimento que permita obter inicialmente o módulo de
cada elemento do vetor ε por meio de:
| εi |=
cii 1 − σ
+
2
4
2.99
e, em seguida, determina-se o índice k do elemento com maior valor absoluto entre os três. O
sinal deste elemento é então corrigido por meio de:
ε k = sgn(cij − c ji )| ε k | ,
2.100
enquanto que os demais elementos são obtidos por:
ε j = sgn[ε k (c jk + ckj )]| ε j | ,
2.101
onde sgn(⋅) é a função que fornece o sinal do argumento:
−1, se x < 0

sgn( x) = 1, se x > 0

0, se x = 0
2.102
24
Movimento com ângulos infinitesimais
Dada uma representação de atitude qualquer, pode-se verificar qual seria sua forma se,
ao invés de relacionar um movimento amplo, fosse este movimento de pequena amplitude,
causado por pequenas variações dos parâmetros. Este estudo é particularmente importante em
sistemas do tipo “strapdown”, nos quais uma plataforma solidária ao corpo mede, a cada
instante, os deslocamentos angulares provocados pela mudança de atitude, em três eixos
ortogonais. Se for admitido que o movimento não provoque velocidades elevadas ou,
adicionalmente, que o intervalo de medidas seja suficientemente pequeno de forma a
assegurar medições de pequenos ângulos, então esta estratégia é beneficiada pelas
simplificações introduzidas na cinemática, tornando, assim, a atualização da atitude
computacionalmente simples e rápida.
Como apenas a representação por ângulos de Euler apresenta a característica de
possuir o conjunto mínimo exigido de parâmetros (apenas 3 ângulos), ela é a mais promissora
para esta análise. Qualquer uma das 12 diferentes configurações de seqüência entre os eixos é
igualmente válida para isso. Contudo, devem ser descartadas aquelas que apresentam
singularidades em θ2 ≈ 0, como a transformação 3-1-3, pois os demais ângulos são
indistinguíveis nesta posição, como foi mostrado anteriormente. Por outro lado, na
transformação 1-2-3 a singularidade ocorre em θ2 ≈ 90o, permitindo então que se obtenha a
matriz de atitude considerando a seqüência de ângulos infinitesimais θ1, θ2 e θ3:
 1

Cba ≅  −θ3
θ
 2
θ3
1
−θ1
−θ2 

θ1  = 1 − θ× ,
1 
2.103
caso sejam negligenciados os termos de segunda ordem, e tal que θ = ( θ1 θ2 θ3 ) . Pode-se
igualmente mostrar que todas as transformações que utilizam 3 eixos distintos (como 3-2-1 ou
2-1-3, por exemplo), geram uma matriz idêntica a esta. Este resultado pode também ser obtido
por meio da expressão para a matriz de atitude em termos do ângulo-eixo de Euler, bastando
expandi-la em série de Taylor, até a primeira ordem:
T
a3 θ − a2 θ 
 1


Cba =  − a3 θ
1
a1 θ  = 1 − θ a× .
 a θ −a θ
1 
1
 2
2.104
Nota-se, porém, que embora o ângulo θ seja infinitesimal, o eixo mantém-se com
magnitude unitária. Também não é difícil mostrar que um deslocamento angular infinitesimal
nos parâmetros simétricos de Euler leva ao seguinte resultado:
 1

Cba =  −2ε3
 2ε 2

2ε 3
1
−2ε1
−2ε 2 

2ε1  = 1 − 2ε×
1 
2.105
25
A combinação de dois movimentos pode agora ser realizado admitindo-se um vetor de
deslocamentos infinitesimais θab, entre os sistemas Fa e Fb, e o vetor θbc entre Fb e Fc. O
produto das matrizes resulta:
Cca = Ccb Cba ≅ 1 − θ×ab − θ×bc ,
2.106
desde que, novamente, sejam desprezados termos de ordem superior. Este resultado mostra
que a combinação de movimentos infinitesimais é comutativa, já que o mesmo resultado seria
obtido invertendo-se a ordem das transformações.
2.7 – Cinemática
O movimento de orientação de um corpo no espaço provoca mudanças nos parâmetros
que definem a atitude, de forma que a matriz de co-senos, ou os ângulos ou ainda os
parâmetros de Euler são todos funções do tempo. É então necessário obter a forma com que
tais parâmetros variam. Infelizmente, as equações oriundas deste movimento não são lineares,
o que impede que se conheça uma integral analítica para a solução, exceto em casos
particulares, como o do movimento rotacional puro, mostrado na Figura 2.3. Se o corpo não
estiver sujeito a forças ou torques externos, e possuir um eixo de simetria ao redor do qual ele
gira, então os ângulos θ1, θ2 permanecem fixos, enquanto que θ3 varia linearmente com o
tempo. Outros movimentos particulares também possuem solução analítica, mas este não é o
caso mais geral de corpos com assimetria de massa e sujeitos a torques. Diversas referências
estudam estes casos e apresentam soluções (analíticas ou oriundas de integração numérica) do
movimento de um sólido no espaço (Hughes, 1986; Wertz, 1978; Meirovitch, 1970; Crandall,
1968).
Velocidade angular
A velocidade angular de um corpo rígido é definida como sendo o vetor instantâneo ao
redor do qual o sólido gira. Devido à dinâmica do movimento este eixo pode movimentar-se
tanto num sistema de referência inercial quanto no próprio sistema de coordenadas fixado ao
corpo. Torna-se, portanto, importante definir a direção instantânea do eixo de giro, além da
taxa de rotação angular instantânea ao redor deste eixo. Fica então claro que a representação
da atitude por meio de rotações infinitesimais permite estabelecer a definição de velocidade
angular com base em:
ɺ
ω
≜θ
onde θ = ( θ1 θ2
2.107
θ3 )
T
são infinitesimais e medidos nos eixos cartesianos. Se for
considerado que o ângulo θ, na representação por ângulo-eixo de Euler, seja também
infinitesimal, então mostra-se que o vetor velocidade angular possui, em conseqüência, a
mesma direção do eixo de Euler instantâneo, e magnitude dada pela variação temporal do
ângulo.
A velocidade angular é uma medida do movimento de um corpo, ou um sistema de
referência, com relação a um outro sistema. Sejam então os sistemas ortonormais Fa e Fb,
como mostrado na Figura 2.4. As origens podem coincidir, e geralmente coincidem; na figura
a separação entre os sistemas é meramente pictórica, para facilitar a visualização. O vetor
26
velocidade angular ω
ba representa a medida da rotação do sistema Fb em relação a Fa, e é o
mesmo quer seja medido no sistema Fa, quer seja medido em Fb, embora, como já visto, suas
componentes ou equivalente matricial sejam diferentes nestes sistemas. Contudo, a velocidade
recíproca, isto é, a velocidade ω
ab do sistema Fa em relação a Fb tem mesmo módulo e
direção de ω
ba , porém com sentido contrário, ou seja:
ω
ba + ω
ab = 0
2.108
Analisa-se agora a composição de movimentos entre os sistemas. Considera-se
inicialmente um ponto material cuja posição é descrita pelo vetor u fixado ao sistema Fb,
como indicado na Figura 2.4, e deseja-se conhecer qual a velocidade deste ponto relativa ao
sistema Fa. Como este ponto gira ao redor de ω
ba , a velocidade é então perpendicular ao
vetor velocidade angular e tangente à trajetória circular, e portanto é dada por:
du
v u = = uɺ = ω
ba × u
dt
2.109
b̂ 3
â 3
u
Fb
Fa
â 2
v u
ω
ba
b̂ 2
b̂ 1
â1
Fig. 2.4 – Movimento de rotação entre dois sistemas de coordenadas
Contudo, se este ponto material mover-se no espaço, sua velocidade será interpretada
de forma distinta por observadores situados em cada um dos sistemas, já que existe
movimento relativo entre eles. Isto significa que a variação temporal do vetor u depende do
sistema de referência na qual é realizada. Por meio da composição de movimentos, sabe-se
que a velocidade de um ponto num sistema é igual à velocidade deste ponto com relação ao
segundo sistema adicionada da velocidade de arrasto entre os sistemas, o que leva a:
du
du
= +ω
ba × u ,
dt a dt b
2.110
onde o índice subescrito indica o sistema de coordenadas na qual a velocidade do ponto é
medida. Para facilitar a notação, as variações temporais realizadas no sistema Fb serão
representadas por um índice sobrescrito no vetor, enquanto que o ponto indica sua derivada
temporal:
du
uɺ a ≜ ,
dt a
du
uɺ b = ,
dt b
2.111
27
e assim a composição de velocidades fica:
uɺ a = uɺ b + ω
ba × u
2.112
Nota-se que o vetor u é o mesmo em ambos os sistemas. O índice sobrescrito
representa somente o sistema de referência no qual a variação temporal do vetor é avaliada.
Considera-se agora um terceiro sistema de coordenadas Fc cujas velocidades angulares ω
ca e
ω
cb são conhecidas em relação aos sistemas Fa e Fb, respectivamente. Decorre daí que as
b
c
velocidades do vetor u nestes sistemas valem uɺ a = uɺ c + ω
ca × u e uɺ = uɺ + ω
cb × u .
Substituindo esta última na expressão que relaciona as velocidades nos sistemas Fa e Fb
chega-se a:
uɺ a = uɺ c + (ω
cb + ω
ba ) × u
2.113
de onde se conclui, por comparação, que velocidades angulares são aditivas, isto é:
ω
ca = ω
cb + ω
ba
2.114
Este resultado permite obter a velocidade angular resultante da composição entre
sistemas de coordenadas distintos. A aceleração do ponto material pode agora ser obtida
aplicando-se novamente a variação temporal à velocidade do vetor u , ou seja:
ɺɺ a =
u
d b
(uɺ + ω
ba × u ) a
dt
2.115
Uma vez que não houve necessidade de particularizar qualquer um dos sistemas de
coordenadas, então os vetores podem ser tratados de forma semelhante, o que leva a
b
b
ɺɺ a = u
ɺɺ b + ω
u
ba × uɺ + (ω
ɺ ba + ω
ba × ω
ba ) × u + ω
ba × (uɺ + ω
ba × u )
2.116
onde se percebe que, da mesma forma que a velocidade angular, também a aceleração angular
ω
ɺ ba é idêntica quando avaliada em ambos os sistemas. Re-agrupando-se os termos, chega-se
a:
b
b
ɺɺ a = u
ɺɺ b + 2 ω
u
ba × uɺ + ω
ɺ ba × u + ω
ba × (ω
ba × u )
2.117
ɺɺ a de um ponto material num sistema de
que pode ser interpretada como: a aceleração u
ɺɺb ,
referência fixo é igual à aceleração deste mesmo ponto relativa ao sistema móvel u
b
acrescida da aceleração de Coriolis 2 ω
ba × uɺ , da aceleração angular do sistema móvel
b
ω
ɺ ba × u , e da aceleração centrípeta ω
ba × (ω
ba × u ) . Nota-se, além disso, que a aceleração do
sistema móvel deve ser avaliada no seu próprio sistema, ou seja, Fb.
A variação de uma vetriz no tempo também pode ser obtida já que os versores da base
podem ser considerados como vetores representados no próprio sistema de coordenadas. De
28
fato, considerando-se o versor bˆ i do sistema Fb e aplicando-se a composição de velocidades,
ɺ
então bˆ ia = ω
ba × bˆ i , pois este versor é estacionário no seu próprio sistema. Pode-se portanto
escrever:
Fbɺ a = ω
ba × Fb
2.118
O processo de variação de uma diádica D
= u v representada na base Fb leva ao
resultado:
a
b
D
ɺ = D
ɺ + ω
−D
×ω
ba × D
ba
2.119
Passa-se agora a considerar a relação da velocidade angular com as representações já
discutidas da atitude. Em outras palavras, deseja-se conhecer como os parâmetros da atitude
variam dado que o vetor velocidade angular seja conhecido. A matriz de atitude é definida
pelo produto de vetrizes, na forma Cba = Fb ⋅ Fa T , e considerando que Faɺ a = 0 , resulta que
ɺ = Fɺ a ⋅ F T = −ω× F ⋅ F T = −ω× C
C
ba
b
a
ba b
a
ba ba
2.120
Porém, como os elementos da matriz de atitude são correlacionados entre si, erros
oriundos da integração numérica desta equação fazem com que ela perca a condição de
ortogonalidade e de determinante unitário. Métodos para restabelecer tais condições devem
ser empregados sempre que necessário. A velocidade angular pode ser isolada desta última
relação, o que fornece:
ɺ CT
ω×ba = −C
ba
ba
2.121
que permite relacionar a velocidade angular com as variações dos parâmetros que definem a
atitude, quaisquer que sejam eles.
Cumpre ainda salientar que a distinção entre derivadas realizadas em diferentes
sistemas é aplicável exclusivamente a vetores (incluindo, é claro, diádicas e vetrizes).
Escalares, matrizes e representações matriciais de vetores, como aqueles analisados nas
seções seguintes, não necessitam de tais distinções.
Cinemática em ângulo-eixo de Euler
Para exprimir a cinemática em função dos parâmetros de ângulo-eixo de Euler, partese da relação acima e da equação que relaciona a matriz de atitude com estes parâmetros na
equação 2.71. Derivando-se esta última, tem-se:
ɺ ≜ −θɺ s θ 1 + θɺ s θ a aT + (1 − c θ) aɺ aT + (1 − c θ) a aɺ T − θɺ c θ a× − s θ aɺ ×
C
ba
2.122
ɺ CT , e na qual sθ e cθ representam o seno e o
que pode agora ser substituída em ω×ba = −C
ba ba
co-seno do ângulo θ, respectivamente. A simplificação desta relação é realizada
considerando-se as igualdades:
29
aT a = 1 ,
aT a× = 0 ,
aɺ ×a = −a× aɺ ,
aɺ T a = aT aɺ = 0 ,
a× a = 0 ,
a aT = 1 + a× a× ,
aɺ ×a× = a aɺ T ,
a×aɺ aT + a aɺ T a× = −aɺ × , aɺ aT − a aɺ T = (a×aɺ )× ,
2.123
e chega-se a
ω×ba = θɺ a× − (1 − cos θ) (a×aɺ )× + sin θ aɺ ×
2.124
Decorre imediatamente desta expressão que:
ω ba = θɺ a − (1 − cos θ) a×aɺ + sin θ aɺ ,
2.125
porém esta não fornece as equações na forma diferencial. Para isso multiplica-se à esquerda
por aT e empregando-se as igualdades relatadas acima, tem-se que:
θɺ = aT ωba
2.126
Para isolar aɺ recorre-se ao mesmo procedimento, ao multiplicar-se à esquerda por a× ,
e com isso
a×ω ba = −(1 − cos θ) (a aT − 1)aɺ + sin θ a×aɺ
2.127
a×ω ba = −(1 − cos θ) (a aT aɺ − aɺ ) + sin θ a×aɺ
2.128
a×ω ba = (1 − cos θ) aɺ + sin θ a×aɺ
2.129
Pré-multiplicando-se novamente por a× , tem-se que
a×a×ω ba = (1 − cos θ) a×aɺ − sin θ aɺ .
2.130
que pode ser compreendido como um sistema de duas equações nas incógnitas aɺ e a×aɺ .
Isolando agora o valor desta última na primeira equação e substituindo-se na segunda, chegase a:
aɺ =
1 ×
sin θ × × 
a a  ω ba
a −
2
1 − cos θ

2.131
que, junto com a expressão de θɺ permite integrar a atitude. Deve-se impor a condição de
normalidade aT a = 1 durante esta integração. Nota-se, contudo, que esta relação apresenta
singularidade em θ = 0, já que
cot
θ
sin θ
=
,
2 1 − cos θ
o que inviabiliza sua utilização em algumas situações.
2.132
30
Cinemática em ângulos de Euler
ɺ CT , e
Com relação a ângulos de Euler, parte-se novamente de ω×ba = −C
ba ba
considerando, por exemplo, uma seqüência 1-2-3, tem-se então que
ɺ +C C
ɺ C +C
ɺ C C ) CT CT CT
ω×ba = −(C3 C2 C
1
3
2
1
3
2
1
1
2
3
2.133
ɺ CT CT CT − C C
ɺ CT CT − C
ɺ CT
ω×ba = −C3 C2 C
1 1
2
3
3
2
2
3
3
3
2.134
ou
Mas
0
0
0 0


T
T
ɺ C = 0 0 θɺ , C
ɺ C = 0
C
1 1
1

 2 2 
 0 −θɺ
 θɺ 2
0 
1


θɺ 3
 0
0 −θɺ 2 

T
ɺ C =  −θɺ
0 0 , e C
3 3
 3

 0
0 0 

0
0
0

0 .
0 
2.135
Fazendo 11 = (1 0 0 ) , 12 = ( 0 1 0 ) e 13 = ( 0 0 1) , tem-se então que
ɺ CT = −(1 θɺ )× , C
ɺ CT = −(1 θɺ )× e C
ɺ CT = −(1 θɺ )× , de onde
C
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
T
T
ω×ba = C3 C2 (11 θɺ 1 )× CT2 CT3 + C3 (12 θɺ 2 )× CT3 + (13 θɺ 3 )×
T
2.136
que será igual a
ω×ba = (C3 C2 11 θɺ 1 )× + (C3 12 θɺ 2 )× + (13 θɺ 3 )×
2.137
de onde se conclui que
ω ba = C3 C2 11 θɺ 1 + C3 12 θɺ 2 + 13 θɺ 3 .
2.138
Fazendo as substituições, chega-se a
ωba = S(θ2 , θ3 ) θɺ ,
2.139
onde
 cos θ3 cos θ2

S(θ2 , θ3 ) =  − sen θ3 cos θ2

sen θ2

sen θ3
cos θ3
0
 θɺ 1 
0
 

0  , e θɺ =  θɺ 2  .
 θɺ 3 
1 
 
2.140
A matriz S necessita ser invertida para se chegar às equações diferenciais da
cinemática em termos dos ângulos de Euler, o que leva a
31
 cos θ3 sec θ2

θɺ = 
sen θ3
 − cos θ tan θ
3
2

− sen θ3 sec θ2
cos θ3
sen θ3 tan θ2
0

0  ωba .
1 
2.141
para a transformação 1-2-3. A matriz S depende da transformação realizada e, portanto, difere
desta no caso de se empregar uma outra seqüência de transformação.
Cinemática em parâmetros simétricos de Euler
A equação cinemática em função dos parâmetros de Euler pode ser obtida de forma
similar. Partindo da matriz de atitude em termos dos parâmetros de Euler:
Cba = (η2 − εT ε) 1 + 2 ε εT − 2η ε× ,
2.142
calcula-se sua variação temporal:
ɺ = (2ηηɺ − εɺ T ε − εT εɺ ) 1 + 2 (εɺ εT + ε εɺ T ) − 2ηɺ ε× − 2η εɺ × ,
C
ba
2.143
ɺ CT
ω×ba = −C
ba ba
2.144
tal que
A equação cinemática em função dos parâmetros de Euler pode ser obtida a partir da
relação entre estes parâmetros e o ângulo-eixo de Euler, ou seja:
ε = a sen
θ
,
2
θ
η = cos ,
2
2.145
de onde tira-se que:
εɺ = aɺ sen
θ
θɺ
θ
+ a cos ,
2
2
2
e
θɺ
θ
ηɺ = − sen ,
2
2
2.146
ou ainda
εɺ = aɺ aT ε + a
θɺ
η,
2
θɺ
ηɺ = − aT ε
2
2.147
Porém, substituindo as expressões de aɺ e θɺ já obtidas anteriormente, tem-se então
que:
εɺ =
e
(
)
1 ×
ε + η 1 ω ba
2
2.148
32
1
ηɺ = − εT ωba
2
2.149
Definindo agora o quatérnion Q = (εε η)T, as equações da cinemática obtidas acima
resultam em
ɺ = 1Ω Q
Q
ba
2
2.150
no qual a matriz anti-simétrica Ωba é definida por:
 0

ωba   −ω3
=
0   ω2

 −ω1
 −ω×
Ωba ≜  Tba
 −ωba
ω3
0
−ω1
−ω2
−ω2
ω1
0
−ω3
ω1 

ω2 
,
ω3 

0 
2.151
tal que ωba = (ω1 ω2 ω3)T.
Cinemática em deslocamentos infinitesimais
Partindo-se novamente da expressão que relaciona a matriz de atitude com os ângulos
infinitesimais, ou seja:
 1

Cba ≅  −θ3
θ
 2
θ3
1
−θ1
e tal que θ = ( θ1 θ2
se a:
−θ2 

θ1  = 1 − θ× ,
1 
2.152
θ3 ) . Então, ao aplicar-se a variação temporal nesta expressão chegaT
ɺ = −θɺ ×
C
ba
2.153
ɺ CT , o que leva a
Como visto anteriormente, ω×ba = −C
ba ba
ω×ba = θɺ × (1 + θ× ) = θɺ ×
2.154
de onde
θɺ = ω ba
2.155
Este resultado, embora simples, indica claramente que as velocidades angulares
medidas nos eixos cartesianos fornecem o vetor da velocidade angular do veículo. De fato,
pode-se igualmente definir o vetor velocidade angular por meio das suas componentes
medidas nos eixos cartesianos.
33
35
3 – Dinâmica da atitude
As equações da dinâmica permitem prever o comportamento de um corpo, isto é, seu
estado futuro, a partir do conhecimento do seu estado, ou posição, atual. Estas equações são
derivadas da segunda lei de Newton (F = m a), ou, mais precisamente, da variação do
momento de um corpo ( F = pɺ ), aplicadas ao movimento rotacional ao redor de um eixo. De
fato, considera-se que as equações da dinâmica rotacional, também denominadas de equações
de Euler, são extensões da aplicação das leis do movimento translacional para o movimento
rotacional. Na verdade a segunda lei é um caso particular do movimento translacional e
rotacional de um corpo, no qual supõe-se que a massa esteja concentrada num único ponto.
Da mesma forma que as equações da cinemática permitem prever a atitude a partir do
conhecimento do histórico da velocidade angular ( θɺ = F (ω, t ) ), as equações da dinâmica
permitem obter o comportamento desta velocidade conhecendo-se o histórico dos torques
ɺ = G ( τ, t ) ).
aplicados ao corpo ( ω
As equações dinâmicas dependem de características do corpo em consideração.
Podem, por exemplo, refletir o comportamento de um sistema de partículas (cada uma delas
considerada pontual), atreladas ou não por forças mútuas, ou exemplificar um corpo rígido
sob a ação de forças e torques externos. Embora na maior parte das vezes, e numa primeira
aproximação, um corpo possa ser considerado rígido, como um foguete, um satélite ou uma
aeronave, nem sempre este caminho pode ser adotado. A presença de líquidos combustíveis,
ou a vibração de placas e superfícies de controle, ou ainda a rotação de motores fazem com
que estes veículos não possam ser considerados exclusivamente rígidos, e, portanto, requerem
um equacionamento dinâmico capaz de levar em conta tais efeitos.
A dinâmica de corpos em rotação é derivada a partir das relações para o momento
angular aplicada a um sistema de partículas. Se as partículas permanecerem imóveis entre si
então se pode considerar este conjunto como um corpo rígido. Satélites artificiais,
particularmente, podem ser classificados como rígidos somente se não possuírem painéis,
líquidos, partes móveis ou qualquer tipo de movimento rotativo, como motores, a bordo.
Neste capítulo serão apresentadas as formulações da dinâmica de corpos livres (sem apoio),
considerando os casos particulares de motores (rodas de reação, volantes de inércia),
amortecedores de nutação e movimento de apêndices articulados (painéis solares). Dois casos
serão deixados sem estudo em virtude da aplicação requerida aqui: o movimento de líquidos
(tanques de combustível, por exemplo) e flexibilidade de painéis. Estes dois efeitos
introduzem, no satélite, perturbações de curto período, ou seja, sua dinâmica é mais rápida do
que a do movimento do próprio corpo. Contudo, seus efeitos na atitude e estabilidade devem
ser levados em conta, uma vez que podem ser importantes, principalmente em satélites com
tanques volumosos ou grandes painéis.
O movimento rotacional de um corpo é ditado pela generalização da lei de Newton
aplicada a corpos em movimento rotativo. Tem-se, assim, um conjunto de equações
diferenciais equivalentes àquelas do movimento translacional. A quantidade de movimento
traduz-se, no movimento rotacional, na quantidade de movimento angular, ou simplesmente
momento angular. Se, no movimento translacional, a derivada da quantidade de movimento é
equivalente à resultante das forças externas aplicadas ao corpo (na verdade, no centro de
massa do corpo), a derivada do momento angular é equivalente ao torque aplicado ao corpo,
no movimento rotacional. Um importante fator a ser levado em conta é que, no movimento
rotacional, deve-se definir um pólo ao redor do qual define-se o momento angular. Embora a
36
escolha deste pólo possa ser arbitrária, ela pode levar, e geralmente leva, a resultados distintos
com relação à dinâmica. Considera-se, como exemplo, um corpo no formato de halteres
assimétrico, com uma das massas menor do que a outra. Fica evidente que o comportamento
dinâmico deste corpo difere caso o eixo de rotação seja transferido do centro de uma das
massas para o centro da outra. No caso de sistemas mecânicos pode-se identificar facilmente o
pólo ou o eixo de rotação de cada peça numa máquina, por exemplo. Este não é o caso de
corpos livres no espaço, como os satélites, mísseis e aeronaves, uma vez que não há
necessariamente um eixo de rotação facilmente identificável neles. Isto é particularmente
importante quando se considera que, em geral, os torques externos quase sempre se originam
a partir de forças e que estas necessitam de um ponto de aplicação para se tornarem torques.
Pode ser mostrado que o centro de massa do corpo deve ser adotado como sendo pólo no
estudo da dinâmica de corpos livres, pois uma força alinhada ao centro de massa não produz
torque.
O movimento de um corpo ao redor do seu centro de massa é caracterizado pela
energia associada ao movimento rotacional, além do momento angular. É, portanto,
conveniente obter as relações da energia cinética do movimento tanto quanto as expressões
para a dinâmica, o que será feito nas próximas seções.
Antes de derivar as equações da dinâmica de atitude, é conveniente estabelecer alguns
conceitos que serão úteis neste desenvolvimento. A seção seguinte ilustra os conceitos
envolvidos na distribuição de massa de um corpo em relação a um pólo ou um eixo. As
demais introduzem, em grau crescente de generalidade, as relações dinâmicas na sua forma
vetorial e analítica.
3.1 – Centro de massa e momento de inércia
O movimento rotacional de um corpo no espaço é fortemente dependente da
distribuição de massa deste corpo. Em outras palavras, a orientação ou atitude de um corpo
depende de como sua massa é distribuída. Dois corpos de mesma massa podem ter
comportamentos totalmente diferentes se suas massas forem distribuídas de forma distinta.
Dois parâmetros são necessários para descrever a forma com que a massa se distribui por um
corpo: o seu centro de massa e o seu momento de inércia.
Considera-se inicialmente um sistema composto por N partículas de massa mn (n = 1,
..., N). cujas posições, rn, são conhecidas a cada instante em relação aos eixos coordenados Fa.
Define-se então como o centro de massa do sistema o vetor dado por:
rcm ≜
N
1
N
∑m
∑ r
n
mn .
3.1
n =1
n
n =1
Se m for a massa do conjunto de partículas, isto é, se
N
m = ∑ mn
n =1
então o centro de massa fica
3.2
37
rcm =
1 N
∑ rn mn
m n =1
3.3
Este conceito pode ser facilmente estendido para um corpo com massa não
concentrada, cuja posição seja conhecida a cada instante com relação a um sistema de eixos
cartesianos Fa. como mostrado na Figura 3.1. Neste caso deve-se considerar o corpo como
formado por elementos de massa infinitesimais, e efetuar a integração, ou seja:
rcm ≜
1
ra dm ,
m ∫M
3.4
onde a integral é realizada em toda a massa m do corpo.
dm
rb
ra
Fb
rcm
Fa
Fig. 3.1 – Centro de massa de um corpo rígido.
Se for fixado um sistema de coordenadas Fb preso ao corpo, e cuja origem coincida
com o centro de massa, isto é, na posição dada pelo vetor rcm , como mostra a Figura 3.1, e tal
que ra = rb + rcm , então, substituindo este resultado na definição do centro de massa chega-se à
conclusão que
∫
r dm = 0
m b
3.5
Define-se o primeiro momento de inércia de um corpo, c , como sendo o vetor dado
por
c ≜ m rcm
3.6
Caso o sistema de coordenadas seja fixado ao centro de massa, então o primeiro momento de
inércia é nulo.
O momento de inércia de um sistema de partículas (também chamado de segundo
momento de inércia) é uma diádica definida por:
N
J ≜ ∑ mn [(rn ⋅ rn ) 1 − rnrn ] ,
3.7
n =1
onde 1 representa a diádica unitária. No caso de um corpo com massa distribuída
continuamente no espaço o momento de inércia resulta:
38
J ≜ ∫ [(ra ⋅ ra ) 1 − ra ra ] dm .
m
3.8
Quando o corpo possuir distribuição uniforme de massa é mais conveniente efetuar
esta integral no seu volume, desde que a densidade ρ(ra ) do material seja conhecida:
J = ∫ [(ra ⋅ ra ) 1 − ra ra ] ρ dV .
V
3.9
O equivalente matricial desta expressão pode ser obtido pela substituição de
ra = r Fa = Fa T ra , o que leva a
T
a
J a = ∫ (raT ra 1 − ra raT ) dm .
m
3.10
Novamente, se for considerado um sistema Fb preso ao centro de massa do corpo,
define-se então o momento de inércia relativo a este centro como:
I ≜ ∫ [(rb ⋅ rb ) 1 − rb rb ] dm .
m
3.11
Porém, substituindo-se a relação ra = rb + c / m na expressão do momento de inércia, tem-se
que
J = I + (c ⋅ c 1 − cc
) / m = I + m (rcm ⋅ rcm 1 − rcm rcm ) ,
3.12
que é conhecida como a relação de translação do momento de inércia. A representação
matricial desta expressão é também bastante útil. Lembrando que o vetor rb é expresso no
sistema de coordenadas Fb, então ra = Fa ⋅ (rb + rcm ) = Cab rb + rcm , na qual Cab é a matriz de
transformação entre os sistemas Fa e Fb, e rcm é o vetor coluna das componentes do centro de
massa expresso no sistema Fa, tem-se que
T
T
J a = Cab I b CTab + m (rcm rcm
1 − rcm
rcm )
3.13
Conclui-se facilmente disto que a relação entre inércias referidas a dois sistemas com
mesma origem, mas com orientações distintas é dada por:
I a = Cab I b CTab
3.14
Uma vez que r rT = rT r1 + r× r× , então o momento de inércia pode também ser
colocado na forma
J a = − ∫ ra× ra× dm
m
3.15
As matrizes de momentos de inércia são simétricas e definidas positivas. São
igualmente chamadas de tensores de inércia. Além disso, apresentam ainda diversas
39
propriedades que podem ser encontradas em livros sobre o assunto (Crandall, 1968; Hughes,
1986).
Será mostrado agora que a integral do duplo produto vetorial r a × (ω
× r a ) no volume
do corpo, onde r a é o vetor de integração e ω
uma velocidade angular ou a composição de
velocidades angulares, irá resultar no produto da diádica de inércia pelo vetor velocidade
angular. Aplicando a propriedade do produto misto, tem-se que:
∫
R
r a × (ω
× r a ) dm = ∫ R [(r a ⋅ r a ) ω
− (r a ⋅ ω
) r a ] dm
3.16
que pode ser re-escrita como
∫
r × (ω
× ra ) dm = ∫ R [(ra ⋅ ra )1 ⋅ ω
− ra (ra ⋅ ω
)] dm ,
R a
3.17
na qual 1 representa a diádica unitária. Pode-se agora levar a velocidade angular para fora da
integral, o que resulta:
∫
r × (ω
× ra ) dm = ∫ R [(ra ⋅ ra )1 − ra ra ] dm ⋅ ω
= J ⋅ ω
,
R a
3.18
onde J é a diádica de inércia do corpo no sistema de coordenadas Fb.
3.2 – Dinâmica de um sistema de pequenas massas
O movimento de um corpo livre pode ser analisado a partir do seu momento. Assim
como a aplicação de uma força altera o momento linear de uma massa, a aplicação de um
torque irá afetar o momento angular de um corpo em rotação. Nesta seção será visto o
equacionamento básico que rege o movimento de um sistema de massas pontuais. As demais
seções cobrirão o movimento composto por um ou mais corpos rígidos sujeitos a um vínculo
de movimento entre eles.
Equação vetorial para o momento angular
Considera-se agora um sistema composto por N pontos materiais de dimensões
desprezíveis. Define-se o vetor momento angular deste sistema relativo ao ponto O como
sendo igual à resultante do produto vetorial entre a posição rn do ponto de massa em relação a
O e a quantidade de movimento p n de cada massa elementar (n = 1, ... N):
N
h o ≜ ∑ rn × p n .
3.19
n =1
Percebe-se, imediatamente, que o momento angular depende tanto do sistema de
referência escolhido quanto do ponto O selecionado, já que tanto a posição quanto a
velocidade dos pontos de massa variam entre sistemas distintos. De fato, se for considerado
que ρ n = ro + rn , como ilustrado na Figura 3.2, a quantidade de movimento linear do ponto de
massa fica então
40
p n = mn ρɺ n = mn (rɺo + rɺn )
3.20
e a quantidade de movimento total fica:
N
p = ∑ p n = m v o + cɺ
3.21
n =1
no qual v o = rɺo , e o primeiro momento de inércia c é definido pela Equação 3.6. O momento
angular resulta:
N
h o = c × v o + ∑ rn × mn rɺn .
3.22
n =1
N
O vetor h o é denominado momento angular total, enquanto que h c = ∑ rn × mn rɺn é o
n =1
momento angular absoluto, conforme Hughes (Hughes, 1986). Para não sobrecarregar a
notação suprimiu-se a identificação da base na qual foram realizadas as variações dos vetores,
já que todas se referem à base Fi, exceto se expressamente indicado.
O
rn
ro
ρn
mn
Fi
Fig. 3.2 – Momento angular relativo a um ponto O conhecido.
Se o ponto O for escolhido como o centro de massa do sistema ( c = 0 ) ou se O estiver
fixo ( v o = 0 ), então o momento angular total resulta igual ao momento absoluto. Caso a
origem do sistema de eixos seja escolhida como o ponto de referência para o momento
angular, então ro = 0 e assim:
N
h = ∑ ρ n × mnρɺ n
3.23
n =1
Por outro lado, substituindo a igualdade rn = ρ n − ro no momento angular relativo ao ponto O,
chega-se a:
h = h o + ro × p ,
N
onde p = ∑ p n . A Expressão 3.24 representa a mudança de pólo do momento angular.
n =1
3.24
41
Da segunda lei de Newton, tem-se que a resultante das forças aplicadas a uma massa
elementar deve ser igual à variação da quantidade de movimento medida na base Fi, ou seja:
fn = pɺ n
3.25
A resultante das forças pode ser separada em duas parcelas: a resultante das forças
externas aplicada ao ponto de massa, fne , e as forças internas ou entre as massas, fnm .
Somando as forças em todas as massas tem-se o conhecido resultado:
N
f = ∑ fne = pɺ ,
3.26
n =1
que indica que a variação do momento linear (quantidade de movimento) total do sistema de
pontos materiais é igual à resultante das forças externas aplicadas a ele. Nota-se que o
somatório das forças internas resulta nulo, pelo princípio da ação e reação de forças, ou seja:
∑∑ fnm = 0 , já que fnm = −fmn .
n
m
A variação do momento angular pode agora ser obtida por meio de
N
N
n =1
n =1
hɺ o = ∑ rɺn × p n + ∑ rn × pɺ n ,
3.27
mas lembrando que rɺn = ρɺ n − rɺo , chega-se ao resultado:
hɺ o = p × v o + g o
3.28
na qual g o é o somatório dos torques externos relativo ao ponto O, definido como:
N
g o ≜ ∑ rn × fne
3.29
n =1
Nota-se que a variação do momento angular será igual à resultante dos torques
externos hɺ o = g o quando o ponto O for fixo ( v o = 0 ), e também quando O for coincidente com
o centro de massa do sistema, pois v o = v c e p = m v c . De fato é mais conveniente, sempre
que possível, considerar O coincidente com o centro de massa, visto a simplificação nas
equações da dinâmica. Contudo, como salienta Hughes (Hughes, 1986), em certas situações,
como aquelas nas quais o ponto de referência não é nem fixo e nem coincidente com o centro
de massa, será mais produtivo conservar a forma mais geral. Esta situação ocorre, por
exemplo, em satélites compostos por vários corpos rígidos e sujeitos a vínculos (articulações)
entre eles.
42
Momento angular num sistema girante
Passa-se a considerar agora que o sistema de massas pontuais apresente um
movimento rotacional em torno de algum ponto conhecido. Adotando o ponto de referência O
como sendo coincidente com o ponto por onde passa o eixo de rotação, seguramente
consegue-se alguma simplificação, uma vez que o sistema de massas elementares permanece
com posições conhecidas em relação a ele. Este conceito leva à dinâmica de um sistema
rígido de massas, como descrito a seguir.
Admite-se, originalmente, que o corpo gira ao redor de O com velocidade angular
dada por ω
=ω
bi , ou seja, com velocidade angular da base Fb relativa à base Fi, como
apresentado na Figura 3.3. A quantidade de movimento da massa pontual fica então:
p n = mn (rɺoi + rɺni ) = mn ( v o + rɺnb + ω
× rn )
3.30
e, como a variação temporal depende do referencial, introduziu-se o sobrescrito para indicar o
sistema de coordenadas. Pode-se agora obter as relações para a quantidade de movimento e o
momento angular:
p = m v o + cɺ b + ω
× c
3.31
N
N
n =1
n =1
h o = c × v o + ∑ rn × mn rɺnb + ∑ mn rn × (ω
× rn )
3.32
Aplica-se agora a propriedade do duplo produto vetorial apresentado na Equação 2.11,
a propriedade da diádica unitária (2.60) e a definição de diádica de inércia (3.7) ao momento
angular, o que leva ao resultado:
N
h o = c × v o + ∑ rn × mn rɺnb + J ⋅ ω
3.33
n =1
ω
rn
Fb
O
rcm
mn
ro
Fi
Fig. 3.3 – Sistema girante de um conjunto de pequenas massas.
Nota-se que a diádica de inércia pode variar, uma vez que não foi exigido que o
sistema de massas permanecesse fixo com relação à base Fb. As variações da quantidade de
movimento linear e do momento angular ficam, empregando a composição de movimentos da
Relação 2.112:
43
pɺ b = fe − ω
× p
3.34
hɺ bo = p × v o + g o − ω
× h o ,
3.35
onde fe é a resultante das forças externas aplicadas ao conjunto de massas:
N
fe ≜ ∑ fne .
3.36
n =1
A integração das Equações 3.34 e 3.35 permite que o movimento do sistema de massas
seja conhecido, e tal que a quantidade de movimento linear e momento angular são dados
respectivamente pelas Relações 3.31 e 3.33.
Energia cinética do sistema de massas
A energia cinética desse sistema pode ser encontrada partindo-se inicialmente da sua
definição:
T≜
1 N
∑ mn v n ⋅ v n ,
2 n =1
3.37
que leva ao seguinte resultado, após efetuar as devidas substituições:
T=
1
1 N
m v o ⋅ v o + v o ⋅ cɺ i + ∑ mn rɺni ⋅ rɺni
2
2 n =1
3.38
Efetua-se agora a composição de movimentos em sistemas girantes, resultando para a
energia cinética:
T=
N
1
1 N
1
b
b
b
m v o ⋅ v o + v o ⋅ cɺ b + ω
⋅ c × v o + ∑ mn rɺn ⋅ rɺn + ω
⋅ ∑ mn rn × rɺn + ω
⋅ J ⋅ ω
2
2 n=1
2
n =1
3.39
É interessante constatar que a variação da energia cinética resulta em:
N
Tɺ = ∑ mn vɺ in ⋅ v n ,
3.40
n =1
mas, uma vez que a aceleração é causada pelas forças internas e externas aplicadas à massa,
então
N
N


Tɺ = ∑  fne + ∑ fnm  ⋅ v n ,
n =1 
m =1

3.41
mostrando com isso que a energia cinética pode crescer ou decrescer com o trabalho realizado
tanto pelas forças externas quanto internas, desde que haja movimento relativo entre os pontos
44
de massa. Ao contrário, se os pontos moverem-se rigidamente então novamente não haverá
contribuição das forças internas.
Equações escalares do movimento
Até agora todas as relações algébricas do movimento foram apresentadas na forma
vetorial. É claro que a análise do movimento e a integração numérica ou analítica das
equações diferenciais requerem que as equações sejam postas na forma matricial. Para isso
empregam-se as diversas propriedades das vetrizes, vistas na Seção 2.3. Porém, uma vez que
os vetores podem ser expressos em qualquer um dos dois sistemas de coordenadas, Fi e Fb,
deve-se adotar um critério de escolha. Usualmente os vetores são representados numa base na
qual eles estejam fixos ou cujo movimento possa ser medido. Assim, na base Fi representamse:
( vo
ro
(
ro
fe
pn
fne
f mn
p ) = Fi ⋅ v o
fe
p
)
3.42
e no sistema Fb:
( rn
ho
(
= Fb ⋅ rn
c ω rcm
h o
c ω
rcm
p n
fne
go ) =
fmn
g o
)
3.43
J = Fb ⋅ J ⋅ Fb T
3.44
C = Fb ⋅ Fi T
3.45
com
N
c = m rcm = ∑ mn rn
3.46
n =1
N
J = ∑ mn (rnT rn 1 − rn rnT ) ,
3.47
n =1
onde o momento linear e o momento angular são dados por:
p n = mn (C v o + rɺnb − rn× ω)
3.48
p = m v o + CT cɺ b − CT c× ω
3.49
N
h o = c× C v o + ∑ mn rn× rɺnb + J ω
n =1
O movimento é regido pelas equações da dinâmica a serem integradas, dadas por:
3.50
45
N
pɺ bn = f ne + ∑ f mn
3.51
m =1
N
pɺ i = fe = ∑ f ne
3.52
hɺ bo = g o − C v×o p − ω× h o
3.53
n =1
ou seja, um sistema de N + 2 equações diferenciais. Hughes (Hughes, 1986) introduz, neste
ponto, uma notação que permite escrever este sistema linear na forma matricial, usando, para
isso, os conceitos da mecânica. Pode-se então descrever o sistema como dado por:
P =MV ,
3.54
no qual:
P = ( p ho
V = ( vo
p1 ⋯ p N )
T
3.55
ω rɺ1b ⋯ rɺNb )
T
3.56
e
 m 1 −CT c×
 ×
J
c C
M =  m1 C −m1 r1×

⋮
 ⋮
 m C −m r×
 N
N N
m1 CT
m1 r1×
m1 1
⋮
0
⋯ mN CT 

⋯ mN rN× 
0 ,
⋯

⋱
⋮ 
⋯ mN 1 
3.57
que denominada de matriz de inércia do sistema, para diferencia-la da matriz de inércia do
corpo. Ela é simétrica, quadrada, de dimensão 3N + 6, porém não é constante, em virtude do
movimento das massas pontuais.
A energia cinética pode igualmente ser expressa na forma escalar, resultando em:
T=
1
1 N
1
m vTo v o + ∑ mn (rɺnb )T rɺnb + ωT J ω
+
2
2 n =1
2
+v C
T
o
T
N
∑m
n
T ×
rɺ + ω c C v o + ω
b
n
n =1
N
T
∑m
n
,
3.58
× b
n n
r rɺ
n =1
ou, por meio da matriz de inércia,
T=
1 T
V MV ,
2
3.59
46
3.3 – Dinâmica de um corpo rígido
O movimento de um sistema de massas pontuais, analisado na seção anterior, aplicase, na verdade, a poucos exemplos da mecânica. Quando o corpo possui dimensões que
ultrapassam as distâncias envolvidas no movimento, deve-se fazer uma abordagem de meios
contínuos. A massa, neste caso, já não é mais concentrada num ponto (ou numa região muito
pequena), mas distribui-se no espaço. Quando não houver movimento relativo entre quaisquer
partes do corpo, diz-se que ele é rígido. Particularmente em satélites artificiais, a modelagem
da dinâmica de corpo rígido é a mais utilizada e a que mais se aproxima do movimento real.
Contudo, a crescente complexidade dos sistemas espaciais, junto com o aumento do poder
computacional empregado em simulações, tem permitido a melhoria e a generalidade destes
modelos, tornando-os mais precisos. Nesta seção será abordada inicialmente a modelagem
dinâmica de um corpo rígido e, nas demais seções, esta modelagem será estendida para
acomodar a dinâmica de componentes, utilizados em satélites, que introduzem efeitos de não
rigidez. Exemplos de não rigidez são a presença de partes móveis (rotores, apêndices rotativos
ou articulados, braços robóticos), fluidos (tanques de combustível, líquidos refrigerantes) ou
ainda vibrações de painéis e apêndices.
De forma semelhante à realizada na seção anterior, define-se inicialmente o momento
angular para um corpo indeformável com distribuição contínua de massa, como aquele
apresentado na Figura 3.4, em relação à origem do sistema Fi, como dado por:
h i ≜ ∫ ρ × ρɺ i dm = ∫ ρ × v dm ,
m
m
3.60
na qual a integral é efetuada em toda a massa m do corpo. Por sua vez, o momento angular em
relação a um ponto O fixado ao corpo é definido por:
h o ≜ ∫ r × v dm ,
m
3.61
onde r é o vetor do elemento de massa infinitesimal em relação a O. Nota-se, nesta
expressão, que a velocidade do elemento continua sendo medida em relação a Fi, ainda que
sua posição seja relativa a O. Substituindo a composição de vetores ρ = ro + r no momento
em relação a Fi, chega-se facilmente ao resultado:
h o = h i − ro × p ,
3.62
pois o momento linear p do corpo é definido por:
p ≜ ∫ v dm .
m
3.63
47
O
r
dm
ro
ρ
Fi
Fig. 3.4 – Movimento de um corpo rígido ao redor do centro O.
A variação do momento angular em relação à origem de Fi pode agora ser calculada, o
que resulta:
hɺ ii ≜ ∫ ρ × vɺ i dm ,
m
3.64
mas vɺ i dm é a força df aplicada ao elemento dm, e, pelo princípio da ação e reação, haverá
uma força − df aplicada a um outro elemento de massa, com mesma linha de ação, o que
significa que a integral irá se anular para todas as forças elementares internas. Porém, as
forças externas não se equilibram, e com isso a variação do momento angular fica:
hɺ ii ≜ g i ,
3.65
onde g i é o torque resultante de todas as forças externas aplicadas ao corpo, incluindo forças
originárias de pressão e binários puros, ou seja:
g i ≜ ∫ ρ × df .
m
3.66
Caso o conjunto de forças externas fi possam ser consideradas como pontuais,
aplicadas a determinados pontos ρ i do corpo, então a expressão acima fica:
N
g i = ∑ ρ i × fi ,
3.67
i=1
Nota-se, nesta expressão, que o torque é dependente do ponto de referência adotado,
ou seja, depende da origem do sistema Fi. Contudo, este torque pode ser igualmente calculado
em relação ao ponto O, bastando para isso que se substitua ρ = ro + r na definição de g i , que
irá resultar:
g i = ro × f + g o ,
3.68
48
na qual f é a resultante das forças externas aplicadas ao corpo e g o é a resultante dos torques
externos, definidos respectivamente por:
N
f ≜ ∑ fi ,
3.69
i=1
N
g o ≜ ∫ r × df = ∑ ri × fi .
m
3.70
i =1
Pode-se igualmente mostrar, sem muito esforço, que a resultante dos torques externos
independe do ponto de referência adotado, sempre que houver exclusivamente binários
aplicados ao corpo, isto é, sempre que houver, para cada força fi , uma outra força igual e
oposta com linhas de ação distintas. Nesta situação vale a igualdade g i = g o .
A variação do momento linear é dada por:
pɺ i = ∫ df = f .
m
3.71
Por outro lado, a variação do momento angular relativa ao ponto O fica:
hɺ io = g o − v o × p ,
3.72
onde v o ≜ rɺoi é a velocidade do ponto O relativa a Fi. Para o corpo indeformável a energia
cinética fica definida por:
T≜
1
v ⋅ v dm .
2 ∫m
3.73
Equações vetoriais do movimento
De forma análoga ao realizado no movimento de um sistema de massas pontuais,
admite-se que o corpo rígido gire ao redor do ponto O, com velocidade angular ω
=ω
bi , da
base Fb relativa a Fi, como ilustrado na Figura 3.5. Se o corpo estiver livre no espaço, então o
ponto O coincide com o centro de massa Cm. Isto é válido, é claro, para satélites. Contudo,
Hughes (Hughes, 1986) mantém a distinção entre O e Cm para permitir a posterior aplicação
do método a corpos articulados, nos quais esta separação torna o equacionamento mais
simples. Não é difícil verificar que a coincidência de O com Cm acarreta simplificações na
modelagem, e isto será mostrado adiante. Uma vez que não existe movimento relativo entre
os elementos de massa de um corpo rígido, a quantidade de movimento linear passa a ser dada
simplesmente por:
p = m v o + ω
× c
3.74
na qual v o é a velocidade de O relativa à base Fi, m é a massa do corpo e c é o primeiro
momento de inércia. O momento angular em relação a O por sua vez é obtido a partir da
definição:
49
h o = c × v o + ∫ r × rɺ i dm ,
m
3.75
e, como a posição r do elemento de massa dm é conhecida no sistema girante, então
b
rɺ i = rɺ b + ω
× r , e, uma vez que não há movimento relativo na base Fb, rɺ = 0 e o momento
angular resulta, aplicando a relação do duplo produto vetorial:
h o = c × v o + ∫ (r ⋅ r 1 − rr
) dm ⋅ ω
.
m
3.76
A integral é agora facilmente reconhecível, e com isso tem-se que
h o = c × v o + J ⋅ ω
3.77
ω
Fb
O
rcm
ro
r
Cm
dm
ρ
Fi
Fig. 3.5 – Movimento de um corpo rígido ao redor do centro O.
Das relações 3.26 e 3.28 tem-se que a variação do momento linear e do momento
angular resultam, respectivamente:
pɺ i = f ,
3.78
hɺ io = p × v o + g o
3.79
onde f é a resultante das forças externas fk aplicadas ao sólido, ou seja
f = ∑ fk ,
3.80
k
e g o é a resultante de todos os torques aplicados ao corpo, inclusive aqueles provindos das
forças:
g o = ∑ rk × fk + ∑ g j
k
3.81
j
onde rk é o vetor do ponto de aplicação da força fk relativo ao ponto O e g j são binários
puros.
50
Quando escritas no sistema fixado ao corpo, Fb, as variações do momento linear e
angular resultam nas equações do movimento:
pɺ b = f − ω
× p ,
3.82
hɺ bo = g o + p × v o − ω
× h o
3.83
e
A energia cinética pode também ser calculada para o corpo rígido, resultando:
T=
1
1
m v o ⋅ v o + ω
⋅ c × v o + ω
⋅ J ⋅ ω
.
2
2
3.84
A maior parte da literatura que trata da dinâmica de corpos rígidos apresenta as
equações do momento angular e da energia cinética em relação ao centro de massa. De fato,
pode-se mostrar que quando O coincide com o centro de massa consegue-se simplificações
significativas nas relações da dinâmica. Além disso, um corpo livre, no espaço, gira ao redor
do seu centro de massa, mesmo que este ponto não esteja fixo no corpo em virtude do
movimento de apêndices articulados, fluidos, ou ainda partes móveis. É conveniente, pois,
derivar aqui as equações vetoriais do movimento na situação em que O coincide com o centro
de massa. O primeiro momento de inércia, neste caso, é nulo e ocorre um imediato
desacoplamento entre o movimento translacional e o rotacional:
p = m v cm ,
3.85
h cm = I ⋅ ω
3.86
no qual v cm é a velocidade do centro de massa e I a diádica de inércia em relação a este
centro. A energia cinética fica:
T=
1
1
m v cm ⋅ v cm + ω
⋅ I ⋅ ω
.
2
2
3.87
onde também se consegue identificar as parcelas devido ao movimento translacional e
rotacional. Esta separação permite que a análise do movimento seja efetuada em apenas um
deles, rotacional ou translacional, e, como seria de esperar, muitas referências sobre este
assunto abordam exclusivamente o movimento rotacional ao redor do centro de massa, como,
por exemplo, em Wertz (Wertz, 1978). Quando expressa no sistema fixado ao corpo a
variação do momento linear não é afetada, mas a variação do momento angular fica:
hɺ bcm = g cm − ω
× h cm ,
pois, neste caso, p e v cm possuem a mesma direção.
3.88
51
Equações escalares do movimento
De forma análoga àquela realizada na Seção 3.2, estabelece-se a base na qual cada
vetor será representado, ou seja, as relações que permitem passar da representação vetorial
para a matricial. Se todos os vetores forem expressos na base Fb, então
( ho
c ω rcm
(
= Fb ⋅ h o
go
c ω
rcm
vo
g o
ro
v o
p) =
f
ro
f p
)
,
J = Fb ⋅ J ⋅ Fb T ,
3.89
3.90
e tal que
C = Fb ⋅ Fi T
3.91
c = m rcm = ∫ r dm
m
3.92
J = ∫ (rT r 1 − r rT ) dm ,
3.93
m
O momento linear e o momento angular ficam então:
p = m v o − c× ω ,
3.94
h o = c× v o + J ω ,
3.95
enquanto que suas variações resultam:
pɺ b = f − ω×p ,
3.96
hɺ bo = g o − v×o p − ω× h o .
3.97
Na forma escalar a energia cinética fica:
T=
1
1
m vTo v o + ωT c× v o + ωT J ω .
2
2
3.98
Pode-se igualmente definir a matriz de inércia do sistema na forma:
 m 1 −c× 
M= ×
,
J 
c
3.99
e, com isso, exprime-se a quantidade de movimento linear e angular por:
P =MV ,
3.100
52
no qual:
P = ( p ho )
T
V = ( vo
3.101
ω)
T
3.102
A equação do movimento resume-se agora a:
Pɺ b = T − Ω× P ,
3.103
onde T é o vetor de forças e torques externos:
T = (f
go ) ,
T
3.104
e Ω× é a matriz definida por:
 ω×
Ω× =  ×
 vo
0 
.
ω× 
3.105
A energia cinética é dada simplesmente por:
T=
1 T
V MV .
2
3.106
Deve ser realçado que as equações dos movimentos são integradas nos momentos e
não nas velocidades. Isto significa que, embora ω e v o variem com o tempo, não são obtidas
diretamente a partir das equações do movimento. A vantagem de se trabalhar com a matriz de
inércia do sistema é agora evidente, se for considerado que
V = M −1 P ,
3.107
que indica ser necessário inverter a matriz do sistema. Nota-se que este cálculo é necessário,
pois as velocidades estão presentes tanto nas equações da dinâmica quanto da cinemática. A
inversa pode ser calculada por meio de inversões por blocos, o que leva ao resultado:


K
K c× J −1
M −1 =  −1 ×
,
−1
−1 ×
× −1 
 −J c K J − J c K c J 
3.108
K = ( m 1 + c× J −1 c× ) ,
3.109
onde
−1
mas, como todos os elementos de M são constantes, esta inversa poderá ser calculada uma
única vez.
53
Equações em relação ao centro de massa
Se a origem da base Fb fixada ao corpo coincidir com o centro de massa, as equações
da dinâmica podem ser simplificadas para
p = m v cm ,
h cm = I ω ,
pɺ b = f − ω×p ,
hɺ bcm = g cm − ω× h cm ,
3.110
3.111
o que realça a característica de separação entre o movimento rotacional e o translacional.
Nota-se que a inércia do corpo é representada por I quando referida ao centro de massa, e que
ɺb,
gcm indica o torque com relação a este mesmo ponto. Uma vez que pɺ b = m vɺ bcm e hɺ bcm = I ω
substituindo-se estes resultados nas equações anteriores chega-se a:
vɺ bcm = m −1 f − ω× v cm ,
3.112
ɺ b = I −1 (g cm − ω× I ω) ,
ω
3.113
que permite integrar a equação do movimento rotacional diretamente em termos da
velocidade angular do corpo. Embora os movimentos sejam independentes, Hughes (Hughes,
1986) esclarece que, em geral, os torques são causados por forças e estas provocam alterações
no momento linear. Contudo, como, em geral, as variações no momento linear imposto pelas
forças usadas no controle de atitude (como, por exemplo, em propulsores a jato) são
desprezíveis quando comparadas ao momento total, costuma-se ignorar seus efeitos e apenas
as equações do movimento rotacional são integradas.
Se a base Fb coincidir com o sistema de eixos principais do corpo, então a matriz de
inércia I resulta diagonal, e a equação do movimento angular pode ser separada nas suas
componentes:
ɺ 1b = g1 + ( I 2 − I 3 ) ω2 ω3
I1 ω
ɺ b2 = g 2 + ( I 3 − I1 ) ω3 ω1 .
I2 ω
3.114
ɺ 3b = g 3 + ( I1 − I 2 ) ω1 ω2
I3 ω
Este sistema de equações, embora simples, é não linear, e apresenta solução analítica
apenas em situações específicas, quando o torque é ausente ou possui comportamento
particular. Se o corpo apresentar um eixo de simetria, isto é, se dois dos três momentos de
inércia forem iguais, então um dos eixos torna-se independente dos demais, permitindo assim
uma possível solução analítica. Nesta situação, se a direção do momento angular não coincidir
com a direção da velocidade angular, tem-se o conhecido movimento de nutação, que provoca
oscilações nas velocidades angulares transversais ao eixo de simetria. Na ausência de torques
o momento angular permanece constante em módulo e direção quando observado a partir de
um sistema inercial. O movimento do momento angular causado pela ação de torques no
corpo é conhecido como precessão.
54
3.4 – Corpo rígido acoplado a rotores
Passa-se agora a estudar o movimento de um corpo no qual está presente uma inércia
rotativa, como, por exemplo, um motor, como ilustrado na Figura 3.6. Tais elementos são
usualmente empregados nos sistemas de controle de atitude de satélites, e são conhecidos
como rodas de reação ou volantes de inércia. Trata-se basicamente de motores elétricos
brushless dotados de rotores com uma inércia elevada. Com a aplicação de torque ao motor, a
reação deste torque é aplicada ao restante do satélite, e usa-se este torque para o controle de
atitude. Uma vez que o torque é interno ao satélite, ele não altera o momento angular.
ωn
ω
Fb O
R
rcm
ro
dmb
rb
bn
an
Wn
Cm
Fi
Fig. 3.6 – Movimento de um corpo rígido composto com uma inércia rotativa.
O sistema composto pelo corpo R e um conjunto de rotores Wn (n = 1, 2, ... N) fixados
ao primeiro já não pode ser considerado como totalmente rígido, devido à presença das
massas rotativas. Porém, pode-se assumir que cada um deles seja individualmente rígido, e
aplicar as definições das equações do movimento a cada um destes corpos. Seja então o corpo
R (rígido) de massa mb, com primeiro momento de inércia cb e diádica de inércia J b relativas
a um sistema de coordenadas Fb fixado a este corpo. O rotor Wn (n = 1, 2, ... N) fixado ao
corpo R tem posição do centro de massa dada por b n , massa mn, diádica de inércia relativa a
O igual a J n e direção do eixo de rotação dada pelo vetor unitário a n que passa pelo centro de
massa do rotor. A massa total m do conjunto é então calculada por:
N
m = mb + ∑ mn ,
3.115
n =1
e, como a diádica dos rotores pode ser posta na forma J n = I n + mn (b n ⋅ b n 1 − b n b n ) , o
primeiro e segundo momentos de inércia totais ficam:
N
c = cb + ∑ mn b n ,
3.116
n =1
N
N
n =1
n =1
J = J b + ∑ J n = J b + ∑ ( I n + J b ,n ) ,
onde a diádica J b ,n é definida por:
3.117
55
J b ,n ≜ mn (b n ⋅ b n 1 − b n b n ) .
3.118
Nota-se que o primeiro e segundo momentos de inércia são todos invariantes, pois foi
admitido que os centros de massa dos rotores coincidem com seus respectivos eixos de
rotação. Assumindo agora que os rotores possuam simetria cilíndrica (e usualmente possuem),
então se a direção do eixo de simetria for dada pelo vetor unitário a n , a diádica de inércia In
referida ao centro de massa do rotor pode ser posta na forma (Hughes, 1986):
In = I n,t 1 + ( I n , s − I n ,t ) a n a n ,
3.119
na qual In,s é o momento de inércia do rotor no eixo de simetria a n , e In,t é o momento de
inércia transversal, em qualquer direção perpendicular a este eixo.
Equações vetoriais do movimento
Passa-se agora a escrever as equações vetoriais do movimento, iniciando-se pelo
momento linear do corpo rígido e de cada rotor:
p b = mb v o + ω
× cb ,
3.120
p n = mn v o + ω
× mn b n .
3.121
O momento linear do conjunto é formado pelas parcelas dos momentos individuais do
corpo rígido e de cada um dos rotores, ou seja:
N
p = p b + ∑ p n = m v o + ω
× c .
3.122
n =1
Por outro lado, o momento angular relativo ao ponto O do corpo R fica:
h b = cb × v o + J b ⋅ ω
3.123
na qual v o é a velocidade de O relativa à base Fi, m é a massa do corpo e c é o primeiro
momento de inércia. O momento angular do rotor n, em relação a O, por sua vez, será obtido
a partir da definição:
h n = mn b n × v o + ∫ ρ n × ρɺ in dmn ,
m
3.124
onde ρ n = b n + rn representa a posição de um elemento de massa do rotor relativo a O. Notase que a variação de ρ n é dada por:
ρɺ in = bɺ in + rɺni = ω
× (b n + rn ) + ω
n × rn ,
3.125
56
pela propriedade de adição de velocidades angulares (Equação 2.114), no qual ω
n é a
velocidade angular de rotação do rotor relativo ao corpo R. O momento angular do rotor n
fica:
h n = mn b n × v o + J b ,n ⋅ ω
+ I n ⋅ (ω
+ω
n),
3.126
Este mesmo resultado poderia ser obtido a partir da mudança de pólo do momento
angular, dado pela Equação 3.62. De fato, observa-se que
h n = b n × p n + h w, n ,
3.127
onde h w,n é o momento angular do rotor n em relação ao seu próprio centro de massa,
calculado por:
h w,n = In ⋅ (ω
+ω
n) .
3.128
Pode-se agora calcular o momento angular total relativo a O pela soma de suas
parcelas, o que resulta:
N
(
)
N
h o = h b + ∑ b n × p n + h w,n = c × v o + J ⋅ ω
+ ∑ In ⋅ ω
n
n =1
3.129
n =1
Uma vez que a velocidade ω
n tem direção do eixo de rotação do rotor, isto é,
ω
n = ωn a n ,
3.130
substituindo na Relação 3.119, resulta para o momento angular
N
h o = c × v o + J ⋅ ω
+ ∑ I n , s ωn a n
3.131
n =1
O resultado acima indica claramente que o momento angular de um corpo
individualmente rígido com rotores fixados a ele é igual ao momento angular do conjunto,
acrescido pelo momento angular dos rotores. Considerando-se as Relações 3.119 e 3.130, a
componente do momento angular relativo dos rotores na direção do eixo de rotação fica:
hw,n = h w,n ⋅ a n = I n , s (a n ⋅ ω
+ ωn ) .
3.132
e cuja variação temporal é facilmente obtida, levando ao resultado:
b
ɺ n).
hɺw,n = I n , s (a n ⋅ ω
ɺ + ω
3.133
Escrevendo-se agora a variação do momento linear separadamente para o corpo R e o
rotor Wn tem-se que:
57
N
pɺ bi = f − ∑ fb ,n
3.134
pɺ in = fb ,n .
3.135
n =1
e, desde que todas as forças e torques internos são equilibrados, resulta que:
N
pɺ i = pɺ bi + ∑ pɺ in = f ,
3.136
n =1
onde f é a resultante das forças aplicadas ao corpo R e fb, n é a força interna que atua no
centro de massa do rotor Wn. Agindo da mesma forma e escrevendo-se a variação do momento
angular relativo a O para ambos os corpos separadamente, tem-se para o corpo R:
N
hɺ bi = p b × v o + g o − ∑ (g b ,n + b n × fb, n )
3.137
n =1
onde g b ,n é o torque interno no rotor Wn. Por sua vez, a variação do momento angular do rotor
n será dada pela variação da Relação 3.127, que fornece:
hɺ in = bɺ in × p n + b n × pɺ in + hɺ iw,n ,
3.138
i
e, como hɺ icm,n = g b,n , bɺ in = ω
× b n e pɺ n = fb ,n , tem-se
hɺ in = (ω
× b n ) × p n + b n × fb ,n + g b,n .
3.139
Somando-se as variações dos momentos angulares do corpo R e dos rotores Wn,
comprova-se o resultado já conhecido, após algumas manipulações algébricas:
N
hɺ io = hɺ bi + ∑ hɺ in = p × v o + g o
3.140
n =1
Este resultado mostra que o momento angular do conjunto é afetado apenas pelos
torques externos, como era previsto. Embora o torque entre o corpo e os rotores seja interno,
ele provoca alteração na velocidade de rotação do rotor, e, portanto, altera a relação de
momentos entre eles. Este torque pode ser separado na componente na direção do eixo do
rotor, e uma outra componente ortogonal a esta. A componente na direção do eixo pode ser
usada para controlar a velocidade ω
n de rotação do rotor. Como o torque no rotor é igual a
i
g n = g b,n ⋅ a n = hɺ w,n ⋅ a n , então o momento angular do rotor em relação ao seu centro de massa
nesta direção fica:
hw, n = a n ⋅ h w,n ,
e cuja variação resulta em
3.141
58
hɺw,n = aɺ in ⋅ h w, n + a n ⋅ hɺ iw,n = (ω
× a n ) ⋅ h w,n + a n ⋅ g b ,n .
3.142
Mostra-se, contudo, que (ω
× a ) ⋅ h w,n = 0 (Hughes, 1986), usando para isso a
propriedade do produto misto (Relação 2.12) e as Equações 3.128, 3.119 e 3.130. A variação
do momento angular do rotor resulta então
hɺw,n = g n .
3.143
A energia cinética do corpo, incluindo os rotores, fica então dada por:
T=
1
( v o + ω
× rb ) ⋅ ( v o + ω
× rb )dmb +
2 ∫m
1 N
+ ∑ ∫ [ v o + ω
× b n + (ω
+ω
n ) × rn ] ⋅ [ v o + ω
× b n + (ω
+ω
n ) × rn ]dmn
2 n =1 m
,
3.144
que resulta
T=
N
1
1
1 N
m v o ⋅ v o + v o ⋅ ω
×
c
+
ω
⋅
J
⋅
ω
+
ω
⋅
I
ω
a
+
I n, s ωn2 .
∑ n,s n n
∑
2
2
2 n=1
n =1
3.145
Equações escalares do movimento
Pode-se agora exprimir as grandezas vetoriais obtidas anteriormente usando a notação
matricial. Será utilizada a conversão:
( ho
c ω ωn
(
= Fb ⋅ h o
an
c ω
ω
n
bn
a n
J = Fb ⋅ J ⋅ Fb T ,
go
b n
vo
g o
ro
v o
rb
ro
p) =
f
rb
f p
)
,
3.146
3.147
além dos escalares gn, In,s e In,t respectivamente o torque no rotor n, o momento de inércia
deste rotor em relação ao eixo de rotação e transversalmente ao eixo. Nota-se que o momento
de inércia J inclui as inércias do dos rotores, além da inércia do corpo R. A matriz de atitude
e os momentos de inércia são calculados por:
C = Fb ⋅ Fi T
3.148
I n = ∫ (rnT rn 1 − rn rnT ) dmn
3.149
m
N
J = J b + ∑ (I n + J b , n )
n =1
onde
3.150
59
J b = ∫ (rbT rb 1 − rb rbT ) dmb ,
3.151
I n = ∫ (rnT rn 1 − rn rnT ) dmn = I n,t 1 + ( I n, s − I n,t ) a n aTn ,
3.152
J b ,n = mn (bTn b n 1 − b n bTn )
3.153
m
m
O momento linear e o momento angular ficam então:
p = m v o − c× ω .
3.154
N
h o = c× v o + J ω + ∑ I n , s ωn a n
3.155
n =1
enquanto que a componente do momento angular de cada rotor em relação ao seu centro de
massa na direção do eixo de rotação pode ser calculada com base nas Relações 3.141, 3.128,
3.119 e 3.130, resultando:
hw,n = I n , s aTn ω + I n , s ωn .
3.156
As equações do movimento ficam:
pɺ b = f − ω×p
3.157
hɺ bo = g o − v×o p − ω× h o
3.158
hɺw,n = g n .
3.159
Pode-se novamente definir a matriz de inércia do sistema, o que leva a uma substancial
simplificação das equações. Os vetores de momento e velocidade ficam:
P = ( p ho
V = ( vo
hw,1 ⋯ hw,n )
T
3.160
ω ω1 ⋯ ωn ) ,
T
3.161
enquanto que a matriz de inércia do sistema é dada por:
 m1
−c×
 ×
J
c
T
M= 0
I1, s a1T

⋮
 ⋮
T
0
I N , s aTN

0
⋯
I1, s a1 ⋯
I1, s
⋯
⋮
⋱
0
⋯


I N ,s a N 
0 ,

⋮ 
I N , s 
0
3.162
60
e, igualmente, tem-se
P =MV ,
3.163
A equação da dinâmica é agora dada por:
Pɺ = T − Ω× P ,
3.164
onde T é o vetor de forças e torques:
T = (f
go
g1 ⋯ g n ) ,
T
3.165
e a matriz Ω× é definida por:
 ω×
 ×
 vo
×
Ω =  0T

 ⋮
 0T

0
ω×
0T
⋮
0T
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
0
0
0
⋮
0
0

0
0 .

⋮
0 
3.166
Finalmente, a energia cinética fica, na forma escalar, igual a:
T=
N
1
1
1 N
m vTo v o − vTo c× ω + ωT J ω + ωT ∑ I n , s ωn a n + ∑ I n , s ωn2 .
2
2
2 n =1
n =1
3.167
ou, usando a matriz de inércia do sistema,
T=
1 T
V MV .
2
3.168
Nota-se ainda que é necessário inverter a matriz de inércia do sistema para que se
obtenha o vetor de velocidades V. Esta inversão não é complicada, pois M é uma matriz
esparsa, ou seja, contém diversas células nulas. Pode-se, por exemplo, utilizar a inversão por
blocos, como apresentado na seção anterior, aplicando-a duas vezes à matriz, o que leva ao
conjunto de matrizes:
A
M = T
B
−1
−1
B


−G B C−1
G
=
,
 −1 T

−1
−1 T
−1 
C
 −C B G C + C B G B C 
3.169
onde
G = (A − BC B
−1
T
)
−1
 K

K c× L
=
,
×
×
×
 −L c K L − L c K c L 
3.170
61
 m 1 −c× 
A= ×

J 
c
3.171
⋯
0 
 0
B=
,
 I1, s a1 ⋯ I N , s a N 
3.172
 I1, s ⋯ 0 


C= ⋮ ⋱ ⋮ ,
 0 ⋯ I 
N ,s 

3.173
K = ( m 1 + c× L c× ) ,
3.174
−1
N


L =  J − ∑ I n , s a n aTn 
n =1


−1
,
3.175
sendo que as três últimas podem ser facilmente invertidas com métodos usuais (as duas
últimas são matrizes quadradas de ordem 3).
Equações em relação ao centro de massa
Consegue-se significativa simplificação nas equações da dinâmica se o momento
angular for expresso com relação ao centro de massa do conjunto corpo R e rotores Wn. Da
mesma forma como ocorrido na seção anterior, o movimento do corpo pode então ser
separado no movimento translacional e rotacional. De particular interesse aqui são as
equações do movimento rotacional, já que as demais equações permanecem iguais às da
Seção 3.2. O momento angular e sua variação ficam então iguais a:
N
N


h cm =  I − ∑ I n, s a n aTn  ω + ∑ hw,n a n
n =1
n =1


3.176
N


 N

hɺ bcm = g cm − ω× h cm = g cm − ω×  I − ∑ I n, s a n aTn  ω − ω×  ∑ hw,n a n  ,
n =1


 n =1

3.177
onde I é a matriz da diádica do conjunto em relação ao centro de massa. O momento angular
dos rotores fica inalterado, portanto são válidas as Equações 3.156 e 3.159. Embora a matriz
de inércia do sistema sofra também uma simplificação, ela ainda deverá ser invertida para que
se possa determinar as velocidades angulares dos rotores e do corpo. Para evitar tais inversões
pode-se exprimir as equações da dinâmica do corpo diretamente em termos das velocidades
angulares, derivando-se hcm diretamente no sistema Fb, e igualando as duas relações para
obter:
N

 N
ɺ b = g cm − ω×  I b ω + ∑ hw, n a n  − ∑ g n a n
Ib ω
n =1

 n =1
3.178
62
com
hɺw,n = g n .
3.179
e tal que a matriz de inércia reduzida Ib é definida por:
N


I b ≜  I − ∑ I n, s a n aTn 
n =1


3.180
As velocidades angulares dos rotores podem agora ser calculadas por meio da Relação
3.156:
I n , s ωn = hw, n − I n, s aTn ω ,
3.181
e, embora este sistema aparente ser mais complexo do que as equações envolvendo o
momento angular, ainda assim deve-se notar que neste não há necessidade de se inverter a
matriz de inércia do sistema, mas tão somente a matriz reduzida, que não varia e tem
dimensão 3. Como último resultado, quando a origem do sistema Fb coincidir com o centro de
massa do conjunto a energia cinética ficará na forma:
T=
N
1
1
1 N
m vTo v o + ωT I ω + ωT ∑ I n , s ωn a n + ∑ I n, s ωn2 .
2
2
2 n=1
n =1
3.182
onde se nota novamente a separação entre os movimentos de rotação e de translação.
3.5 – Corpo rígido com amortecedor de nutação
Um amortecedor de nutação é um dispositivo fixado ao satélite cuja finalidade é
dissipar oscilações induzidas no movimento de atitude. Estes dispositivos podem ser ativos ou
passivos. Os amortecedores passivos não requerem ação de controle nem energia adicional
para operarem, e são mais simples do que os ativos.
A nutação surge quando a direção do momento angular não coincide com um dos
eixos principais de inércia do corpo. Para que isto ocorra é necessário, portanto, que o
momento angular não seja nulo, isto é, que o corpo apresente uma certa velocidade angular de
rotação, e também que ele tenha assimetria de massa, ou, em outras palavras, que pelo menos
um dos momentos axiais de inércia seja distinto dos demais. Quando tais condições são
satisfeitas, como, por exemplo, em satélites estabilizados por rotação, o vetor velocidade
angular não se alinha com o momento angular, e o corpo descreve um movimento
“bamboleante”, com um dos eixos principais descrevendo um cone ao redor do vetor
momento angular. As componentes da velocidade angular em direções ortogonais ao eixo
principal, referida ao corpo, apresentam um comportamento oscilatório devido ao movimento
bamboleante. O amortecedor de nutação usa então este efeito oscilatório para dissipar o
excesso de energia cinética do movimento giratório, o que provoca um decréscimo no ângulo
de cone e faz com que tanto a velocidade angular quanto o eixo de maior momento de inércia
tendam a ficar alinhados com o momento angular ao cabo de um curto período, descrevendo
uma trajetória espiral até o alinhamento. Quando a nutação for totalmente removida, o corpo
terá um movimento rotacional puro ao redor do eixo de maior momento de inércia conhecido
63
como “flat spin” (Fig. 3.7). No caso de um corpo com geometria semelhante a uma moeda, o
eixo de maior momento de inércia é perpendicular ao plano da moeda, e, se a geometria for
semelhante a uma caneta, o eixo de maior momento é perpendicular ao eixo longitudinal dela.
Fig. 3.7 – Movimento de amortecimento de nutação num satélite assimétrico. Os pontos azuis
mostram a trajetória espiral do eixo de maior momento de inércia (também em azul), e seu
alinhamento ao eixo do momento angular (em vermelho).
Os amortecedores de nutação podem operar por meios exclusivamente mecânicos, ou
ainda eletro-magnéticos. Cada um deles tem seu próprio equacionamento matemático e sua
taxa de dissipação de energia. Amortecedores mecânicos usam o atrito para prover a remoção
de energia, enquanto que os eletromagnéticos usam a histerese ou correntes de Foucault
induzidas em discos. A formulação apresentada aqui será aquela relacionada a amortecedores
mecânicos. Estes são compostos por um sistema massa-amortecedor, no qual a massa sofre as
acelerações do movimento oscilatório causado pelas velocidades angulares transversais, e o
amortecedor provoca uma histerese que dissipa a energia deste movimento. Há diversos
arranjos possíveis para estes amortecedores. Podem ser rotacionais ou translacionais. Podem
incluir ou não uma mola restauradora, e o sistema de amortecimento pode ser sólido ou fluido.
Os amortecedores rotacionais consistem basicamente de um rotor livre ou suportado
por uma mola torcional. Se estiver livre ele deve ser lacrado com um líquido no interstício que
irá provocar um atrito viscoso no rotor. No caso de ser suportado por uma mola, esta irá
dissipar a energia por meio de histerese mecânica, como o usado no satélite SAS-A (Sen,
1970). Amortecedores mecânicos devem evitar o uso de atrito seco, pois neste caso o atrito
estático em geral é maior do que o atrito dinâmico. Quando as acelerações tornam-se
pequenas demais para sobrepujar o atrito estático, a dissipação de energia cessa,
permanecendo ainda uma nutação residual que não é mais eliminada. Este efeito é menos
intenso em atrito viscoso, como aqueles causados por líquidos. De fato, uma boa parte dos
amortecedores de nutação usam líquidos como meio dissipativo e até mesmo como o
elemento de massa. Amortecedores eletromagnéticos são igualmente eficientes em baixos
ângulos de nutação. Os principais tipos de amortecedores são (ver Figura 3.8):
•
•
•
Anel tubular parcialmente preenchido com óleo, e com eixo descentralizado com
relação ao eixo de maior momento de inércia (a).
Setor tubular preenchido com óleo e uma esfera no interior. O setor é levemente
curvado para fazer com que a esfera fique alojada no seu centro após a nutação ter
sido amortecida, por ação da força centrífuga. O eixo do tubo é alinhado ao eixo de
rotação (b).
Disco com mola torcional. O eixo do disco é perpendicular ao eixo de maior
momento de inércia, e a mola restaura a posição do disco além de dissipar a
energia cinética (c).
64
•
•
Pêndulo com mola. O pêndulo oscila na direção do eixo de rotação, e a mola
dissipa a energia vibratória (d).
Massa com mola. Trata-se do mesmo princípio do pêndulo, porém usa uma mola
translacional que confina o movimento da massa, ao mesmo tempo em que
amortece a nutação (e).
ω
a
d
c
b
e
Fig. 3.8 – Principais tipos de amortecedores de nutação empregados em satélites.
Considera-se agora um corpo rígido R e um conjunto de amortecedores de nutação Dn
(n = 1, 2, ... N) do tipo massa, mola e amortecedor translacional, mostrados na Figura 3.9. O
corpo R possui massa mb, primeiro momento de inércia cb e diádica de inércia J b em relação
ao sistema de coordenadas Fb fixado a ele no ponto O. O amortecedor Dn tem posição da
massa mn dada por ρ n = b n + xn a n , coeficiente de amortecimento dn e constante de mola kn. A
massa m do conjunto é calculada por:
N
m = mb + ∑ mn .
3.183
n =1
Admite-se agora que as dimensões dos amortecedores de nutação sejam reduzidas, ao
ponto de se poder considerar a massa mn como pontual. Com isso a diádica do amortecedor
passa a ser:
J n = mn (ρ n ⋅ ρ n 1 − ρ n ρ n ) ,
3.184
O primeiro e segundo momentos de inércia do conjunto valem então:
N
N
N
n =1
n =1
n =1
c = cb + ∑ mn ρ n = cb + ∑ mn b n + ∑ mn xn a n ,
3.185
N
J = J b + ∑ J n .
n =1
3.186
65
ω
an
Fb O
R
dn
bn
Dn
rcm
ro
Cm
mn
kn
Fi
Fig. 3.9 – Corpo rígido composto com amortecedores de nutação translacionais.
Equações vetoriais do movimento
O momento linear do conjunto pode agora ser considerado como sendo formado pelos
momentos do corpo R e pelo momento dos amortecedores, dados respectivamente por:
p b = mb v o + ω
× cb ,
3.187
p n = mn ( v o + ω
× b n + vn a n ) ,
3.188
onde v o é a velocidade de O relativa à base Fi, e vn = xɺn é a velocidade da massa mn. O
momento linear do conjunto fica então igual a:
N
N
n =1
n =1
p = p b + ∑ p n = m v o + ω
× c + ∑ mn vn a n ,
3.189
sendo que m é a massa total e c é o primeiro momento de inércia do conjunto. O momento
angular relativo ao ponto O do corpo R, por sua vez fica:
h b = cb × v o + J b ⋅ ω
,
3.190
e o momento angular do amortecedor n, em relação a O, será calculado por meio de:
h n = mn b n × v o + mn ρ n × ρɺ in ,
3.191
onde ρ n = b n + xn a n é a posição da massa mn. A taxa de variação de ρ n pode ser calculada
por:
ρɺ in = bɺ in + xɺn a n + xn aɺ in = ω
× (b n + xn a n ) + vn a n ,
3.192
e com isso o momento angular do amortecedor de nutação n fica:
h n = mn b n × v o + J n ⋅ ω
+ vn mn b n × a n .
3.193
66
Por outro lado, o momento angular total relativo a O é dado pela soma das parcelas
individuais, resultando:
N
N
n =1
n =1
h o = h b + ∑ h n = c × v o + J ⋅ ω
+ ∑ vn mn b n × a n .
3.194
As equações do movimento são obtidas ao se efetuar a variação temporal dos
momentos (linear e angular). A variação do momento linear será igual ao somatório das forças
externas e a variação do momento angular resultará no somatório dos torques externos
aplicados ao corpo, incluindo os amortecedores. A análise será feita para cada corpo
separadamente. Como a massa do amortecedor de nutação é concentrada num pequeno
volume, então a força fn aplicada nela pelo corpo R é igual, e em sentido contrário, à sua
reação. Neste caso, tem-se, para a variação do momento linear do corpo:
N
pɺ bi = f − ∑ fn ,
3.195
n =1
enquanto que, para o amortecedor de nutação n, tem-se:
pɺ in = fn .
3.196
Por sua vez, a força fn pode ser decomposta nas componentes axial e transversal à
direção do movimento da massa. A componente axial deve ser equilibrada pela ação da mola
e do amortecedor, de forma que:
fn = −(kn xn + d n vn ) a n + fn,t ,
3.197
onde fn,t é uma força transversal, tal que fn,t ⋅ a n = 0 . Somando-se as variações dos momentos
lineares do corpo e dos amortecedores, resulta então:
pɺ i = f .
3.198
A análise do momento angular é realizada de forma análoga, porém ressalta-se que,
por hipótese, não há torques aplicados aos amortecedores pelo corpo. Partindo-se da Equação
3.72 a variação do momento angular fica, para o corpo, igual a:
N
hɺ bi = g o − v o × p b − ∑ b n × fn ,
3.199
n =1
onde g o é resultante dos torques externos, enquanto que para os amortecedores de nutação
vale:
hɺ in = − v o × p n + b n × fn ,
3.200
67
de onde se tira que a variação do momento angular total em relação a O fica:
N
hɺ io = hɺ bi + ∑ hɺ in = g o − v o × p .
3.201
n =1
A equação do movimento para cada um dos amortecedores pode ser obtida a partir da
variação do momento linear. Uma vez que o movimento se dá ao longo da direção do vetor
a n , calcula-se, então, a variação do momento nesta direção, ou seja:
pɺ n = pɺ in ⋅ a n + p n ⋅ aɺ in = fn ⋅ a n + p n ⋅ ω
× a n ,
3.202
que irá resultar em:
pɺ n = − kn xn − d n xɺn + mn ω
⋅ a n × ( v o − b n × ω
).
3.203
Como último resultado, antes de ingressar nas relações escalares do movimento,
apresenta-se o cálculo da energia cinética, que neste caso fica:
T=
1
( v o + ω
× rb ) ⋅ ( v o + ω
× rb )dmb +
2 ∫m
1 N
+ ∑ mn ( v o + ω
× b n + vn a n ) ⋅ ( v o + ω
× b n + vn a n )
2 n =1
,
3.204
que resulta
T=
1
1
1 N
2
m v o ⋅ v o + v o ⋅ ω
× c + ω
⋅ J ⋅ ω
+ ∑ mn vn +
2
2
2 n =1
N
N
n =1
n =1
.
3.205
+ v o ⋅ ∑ mn vn a n + ω
⋅ ∑ mn vn (b n × a n )
Equações escalares do movimento para amortecedor translacional
As relações apresentadas na forma vetorial serão agora convertidas para a notação
matricial, comumente utilizada em implementações computacionais. Como apenas dois
sistemas de referência estão em uso (Fi e Fb), admite-se então que todos os vetores são
expressos na base girante, ou seja, Fb, e com isso vale a relação:
J = Fb ⋅ J ⋅ Fb T ,
c = Fb ⋅ c
3.206
e tal que
N
J = Jb + ∑ J n ,
n =1
onde
N
c = cb + ∑ mn b n
n =1
3.207
68
J b = ∫ (rbT rb 1 − rb rbT ) dmb ,
cb = ∫ rb dmb
m
3.208
m
J n = mn (bTn b n 1 − b n bTn ) .
3.209
O momento linear e o momento angular serão calculados por meio de:
N
p = m v o − c ω + ∑ mn vn a n ,
×
3.210
n =1
N
h o = c× v o + J ω + ∑ vn mn b×n a n ,
3.211
n =1
enquanto que o momento linear da massa presente no amortecedor de nutação é dado por:
pn = aTn p n = mn (aTn v o − aTn b×n ω + vn ) ,
3.212
com suas variações temporais dadas respectivamente por:
pɺ b = f − ω×p ,
3.213
hɺ bo = g o − v×o p − ω× h o ,
3.214
pɺ n = mn ωT a×n ( v o − b×n ω) − kn xn − d n vn .
3.215
Devido à força de restituição da mola, uma nova equação diferencial deve ser inserida
no sistema, dada simplesmente por:
xɺn = vn .
3.216
A energia cinética, na forma matricial, é obtida a partir da Relação 3.205, resultando:
T=
+v
1
1
1 N
m vTo v o + vTo ω× c + ωT J ω + ∑ mn vn2 +
2
2
2 n =1
N
T
o
∑m
n
vn a n + ω
N
T
n =1
∑m
.
3.217
×
n
vn (b a n )
n
n =1
Como sugerido por Hughes (Hughes, 1986) e Wertz (Wertz, 1978) é conveniente
expressar as equações do momento e do movimento por meio da matriz de inércia do sistema.
Tem-se assim que os vetores dos momentos e de velocidades do sistema ficam:
P = ( p ho
V = ( vo
p1 ⋯
pn )
T
ω v1 ⋯ vn ) ,
T
3.218
3.219
69
onde a matriz de inércia do sistema é dada por:
 m1
 ×
 c
M =  m1 a1T

 ⋮
 m aT
 N N
−c×
J
− m1 a1T b1×
⋮
− mN aTN b×N
m1 a1
m1 b1× a1
m1
⋮
0
⋯
mN a N 

⋯ mN b×N a N 
,
⋯
0

⋱
⋮


⋯
mN

3.220
de onde tira-se que
P =MV ,
3.221
e
T=
1 T
V MV .
2
3.222
As Equações 3.213 a 3.216 devem ser integradas, e o vetor de velocidades do sistema
pode ser obtido pela inversão da matriz de inércia do sistema, ou seja:
V = M −1 P ,
3.223
mas, diferentemente dos casos analisados anteriormente, esta matriz não é constante, pois
depende do deslocamento xn das massas dos amortecedores de nutação. Isto significa que a
matriz inversa deve ser calculada sempre que as velocidades forem requeridas. Pode-se
empregar o mesmo método utilizado na Seção 3.4, mais precisamente as Equações 3.169 a
3.174, que são substituídas por
A
M = T
B
−1
−1
B


G
−G B C−1
=
,
 −1 T

−1
−1 T
−1 
C
 −C B G C + C B G B C 
3.224
onde
−1
K DL
 K

G = ( A − B C−1BT ) = 
,
T
T
 −L D K L − L D K DL 
3.225
 m 1 −c× 
A= ×

J 
c
3.226
⋯
mN a N 
 ma
B =  1 ×1
,
×
 m1 b1 a1 ⋯ mN b N a N 
3.227
70
 m1 ⋯ 0 


C= ⋮ ⋱ ⋮ ,
0 ⋯ m 
N 

3.228
K = ( N + D L DT ) ,
3.229
−1
N


L =  m 1 − ∑ mn b×n a n aTn b×n 
n =1


N


N =  J − ∑ mn b×n a n aTn b×n 
n =1


−1
,
3.230
−1
,
3.231
N
D = −c× + ∑ mn a n aTn b×n ,
3.232
n =1
e, novamente, as matrizes N, L, e K podem ser facilmente invertidas pois são de ordem 3.
Igualmente, a inversão de C é trivial. É evidente, contudo, que basta um único amortecedor de
nutação para remover as velocidades angulares transversais do satélite, embora a formulação
apresentada aqui permita que se disponha de um número qualquer de amortecedores.
As equações diferenciais do movimento podem ser escritas na forma:
Pɺ = T − Ω× P ,
3.233
onde T é o vetor de forças e torques:
f




go


T ×
×

T=
m1 ω a1 ( v o − b1 ω) − k1 x1 − d1 v1  ,


⋯


 m ω T a× ( v − b × ω ) − k x − d v 
N
o
N
N N
N N 
 N
3.234
e a matriz Ω× é definida por:
 ω×
 ×
 vo
×
Ω =  0T

 ⋮
 0T

0
ω×
0T
⋮
0T
0
0
0
⋮
0
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
0

0
0 .

⋮
0 
3.235
71
Equações em relação ao centro de massa com amortecedor translacional
Quando o momento angular é expresso em relação ao centro de massa do sistema
consegue-se uma grande simplificação nas equações. Contudo, este procedimento não mais é
válido aqui, uma vez que o centro de massa do conjunto varia conforme a posição da massa
do amortecedor. Pode-se, inicialmente, considerar que este deslocamento seja desprezível, e
com isso a matriz de inércia do conjunto torna-se constante. Admitindo-se então que esta
hipótese seja válida, o momento angular passa a ser dado por:
N
h cm = I ω + ∑ vn mn b×n a n ,
3.236
n =1
cuja variação temporal fica dada por:
N
hɺ bcm = g cm − ω× h cm = g cm − ω× I ω + ω× ∑ vn mn b×n a n ,
3.237
n =1
O momento do amortecedor n e sua variação ficam iguais a:
pn = mn (vn − aTn b×n ω) ,
3.238
pɺ n = mn ωT J ba ,n ω − kn xn − d n vn ,
3.239
e o deslocamento da massa fica:
xɺn = vn .
3.240
sendo que Jab,n é definido por:
J ba ,n = −a×n b×n = bTn a n 1 − b n aTn
3.241
As expressões obtidas requerem ainda que a matriz de inércia do sistema seja
invertida, para que se possa avaliar o vetor V de velocidades. Uma forma de se evitar esta
inversão é pela substituição direta das relações em termos das próprias velocidades. Para isso
deve-se avaliar a variação do momento angular no próprio sistema Fb, que resulta, para a
variação do momento linear e angular, respectivamente:
ɺ b)
pɺ n = mn (vɺn − aTn b×n ω
3.242
N
ɺ b + ∑ mn vɺn b×n a n
hɺ bcm = I ω
3.243
n =1
Igualando-se agora estas expressões àquelas já obtidas anteriormente, e resolvendo-se
o sistema para as acelerações linear e angular, tem-se:
72
N
N

×
T × b
ɺ = g cm − ω× I ω + ω× ∑ vn mn b×n a n +
 I + ∑ mn b n a n a n b n  ω
n =1
n =1


N
N
3.244
+ ∑ (kn xn + d n vn ) b a n − ∑ mn ω J ba ,n ω b a n
×
n
n =1
×
n
T
n =1
N


mn 1 + mn aTn b×n I −1 ∑ mn b×n a n  vɺn = mn aTn b×n I −1g cm − mn aTn b×n I −1ω× I ω +
n =1


×
n
−1
+ mn a b I ω
T
n
×
N
∑v
n
×
n
3.245
mn b a n + mn ω J ba ,n ω − kn xn − d n vn
T
n =1
A óbvia complexidade destas equações demonstra que nem sempre se consegue
simplificar a dinâmica ao representá-la por meio das velocidades. Contudo, como foi dito,
este procedimento evita a necessidade de se inverter a matriz M de inércia do sistema. Parte
desta complexidade decorre do fato de se ter um amortecedor de nutação que se desloca
linearmente num corpo em rotação. É claro que se ambos apresentassem movimento
rotacional, ao contrário de translacional, certamente seria possível alguma simplificação.
Como foi dito antes, um amortecedor de nutação rotacional é semelhante a uma roda de
reação na qual o torque aplicado à roda deve ser substituído pelo torque de atrito e,
eventualmente, também por um torque restaurador devido a uma mola. As equações de
movimento deste amortecedor serão apresentadas na próxima seção.
Como último registro, a energia cinética com movimento ao redor do centro de massa
fica:
N
1
1 N
T = ωT J ω + ∑ mn vn2 + ωT ∑ mn vn (b×n a n ) .
2
2 n =1
n =1
3.246
Equações escalares do movimento para amortecedor rotacional
Passa-se agora a considerar um corpo rígido R e um conjunto de amortecedores de
nutação Dn (n = 1, 2, ... N) do tipo inércia, mola e amortecedor torcional, como mostrado na
Figura 3.10. O corpo R possui massa mb, primeiro momento de inércia cb e diádica de inércia
J b em relação ao sistema de coordenadas Fb fixado a ele no ponto O. O amortecedor Dn tem
centro de massa na posição b n , massa mn, momento de inércia In com relação ao seu centro, e
direção do eixo de rotação dada por a n . O coeficiente de amortecimento rotacional é dn e a
constante de mola torcional é kn. Sob este ponto de vista, a formulação de um amortecedor de
nutação rotacional em nada difere daquela deduzida para rotores (rodas de reação), exceto que
o torque aplicado ao rotor deve ser substituído pelo torque do amortecedor, que vale:
73
ω
Fb O
R
Cm
rcm
Dn
bn
an
In
ro
kn
dn
Fi
Fig. 3.10 – Movimento composto por um corpo e amortecedores de nutação rotacionais.
g n = hɺ id ,n ⋅ a n = − kn θn − d n ωn ,
onde hɺ id ,n é a variação do momento angular do amortecedor n. O momento linear e o
momento angular possuem expressões idênticas àquelas dos rotores, ou seja:
p = m v o − c× ω .
3.247
N
h o = c× v o + J ω + ∑ I n , s ωn a n ,
3.248
n =1
onde In,s é o momento da inércia do amortecedor em relação ao seu eixo de rotação, a n . Por
sua vez, a componente do momento angular do amortecedor n em relação ao seu centro de
massa na direção do eixo de rotação fica:
hd ,n = I n ,s aTn ω + I n ,s ωn .
3.249
As equações do movimento, com momento calculado em relação ao ponto O, são
então dadas por:
pɺ b = f − ω×p
3.250
hɺ bo = g o − v×o p − ω× h o
3.251
hɺd ,n = − kn θn − d n ωn
3.252
θɺ n = ωn
3.253
e
A matriz de inércia do sistema, necessária para o cálculo das velocidades linear e
angular, possui a mesma formulação da Seção 3.4 e por isso não será repetida aqui. A mesma
idéia aplica-se também à energia cinética. Contudo, é interessante apresentar as equações do
movimento quando o ponto de referência do momento angular passa a ser o centro de massa
74
do sistema. Ao contrário do amortecedor de nutação linear, neste caso o centro de massa do
sistema não se move, e assim as equações são exatas. O momento angular do conjunto, em
relação ao centro de massa, fica então:
N
N


h cm =  I − ∑ I n, s a n aTn  ω + ∑ hd ,n a n ,
n =1
n =1


3.254
enquanto que sua variação passa a ser dada por:
N


 N

hɺ bcm = g cm − ω×  I − ∑ I n, s a n aTn  ω − ω×  ∑ hd ,n a n  ,
n =1


 n =1

3.255
onde I é a matriz de inércia do conjunto em relação ao centro de massa. O momento angular
dos amortecedores, hd , n , bem como sua variação hɺd , n , não sofreram alterações. Estas
equações requerem, contudo, a inversão da matriz de inércia do sistema M, para que se possa
calcular a velocidade angular. Para evitar esta inversão pode-se apresentar as equações em
termos das variações do momento angular hcm referido ao sistema Fb, e posteriormente
igualando as relações, que resulta:
N

 N
ɺ b = g cm − ω×  I b ω + ∑ hd ,n a n  + ∑ (kn θn + d n ωn ) a n
Ib ω
n =1

 n=1
3.256
onde a matriz de inércia reduzida Ib é definida por:
N


I b ≜  I − ∑ I n, s a n aTn 
n =1


3.257
3.6 – Corpo rígido acoplado a apêndices articulados
Introduz-se agora a modelagem da dinâmica de um corpo com apêndices articulados.
Em virtude da disponibilidade de conversão da energia do Sol diretamente em energia elétrica
por meio de células fotovoltaicas, é comum empregar-se grandes painéis em satélites, para
coletar esta energia. Para melhorar o rendimento da conversão, procura-se manter, sempre que
possível, os painéis, ou arranjos de células, voltados para a direção do Sol. Por outro lado é
também comum que o satélite tenha necessidade própria de apontamento, em direções
diferentes daquelas dos painéis (para a Terra, por exemplo). Neste caso a solução óbvia é
dotar o satélite de juntas rotativas que permitam que os painéis apontem para o Sol de forma
independente do movimento próprio do satélite, o que caracteriza um corpo principal (satélite)
dotado de um ou mais apêndices (painéis) articulados.
O desenvolvimento da dinâmica será semelhante aos realizados anteriormente, onde o
momento angular é calculado com base nas velocidades. Também será desenvolvido o
modelo da dinâmica em função exclusiva das velocidades angulares para o caso do
movimento em relação ao centro de massa. Contudo, este modelo apresenta uma
complexidade maior em virtude do centro de massa não ser fixo como nas dinâmicas
estudadas anteriormente.
75
Considera-se então um corpo rígido R, de massa mb e com primeiro e segundo
momentos de inércia dados por cb e J b , respectivamente. São fixados a este corpo N
apêndices An, n = 1, 2, ... N, que podem ser considerados rígidos individualmente e
articulados a ele por meio de juntas rotativas, como visto na figura 3.11. A massa do apêndice
n é mn, e seu momento de inércia relativo a um sistema Fn fixado ao seu centro de massa é In .
O vetor b n indica, no sistema Fb fixado ao corpo, a posição de um ponto qualquer Jn da
articulação que une An com R, e a n é um vetor unitário que informa a direção do eixo de
rotação desta articulação. Finalmente, o vetor d n fornece a posição do centro de massa do
apêndice An em relação ao ponto escolhido na articulação.
An
ω
an
bn
O
R
Fb
ro
Fn
dn
Jn
Cm
rcm
db
ωn
Cb
Fi
Fig. 3.11 –Corpo rígido composto por apêndices articulados.
A massa, o primeiro e o segundo momentos de inércia do conjunto formado pelo
corpo R e pelos apêndices ficam, em relação ao ponto O, respectivamente:
N
m = mb + ∑ mn ,
3.258
n =1
N
N
n =1
n =1
c = cb + ∑ mn ρ n = cb + ∑ mn (b n + d n ) ,
N
N
n =1
n =1
J = J b + ∑ J n = J b + ∑ (J b + d ,n + I n ) ,
3.259
3.260
onde a diádica J b + d ,n é definida por:
J b + d ,n = mn (ρ n ⋅ ρ n 1 − ρ n ρ n ) = mn [(b n + d n ) ⋅ (b n + d n ) 1 − (b n + d n ) (b n + d n )] ,
3.261
que pode ser separada nas componentes:
J b + d ,n = J bb,n + J bd ,n + J db ,n + J dd ,n ,
dadas por:
3.262
76
J bb,n = mn (b n ⋅ b n 1 − b n b n )
J bd , n = mn (b n ⋅ d n 1 − b n d n )
J db ,n = mn (d n ⋅ b n 1 − d n b n )
J dd , n = mn (d n ⋅ d n 1 − d n d n )
.
3.263
Os momentos J bd ,n e J db ,n são conhecidos como momentos mistos, pois parte deles é
relativo ao corpo e parte é relativo ao apêndice. O centro de massa do sistema varia no
sistema Fb, uma vez que:
rcm =
N
1

m
d
+
mn (b n + d n )  ,
∑
b b

m
n =1

3.264
onde se nota que a direção de d n varia com a rotação do apêndice ( d b é o centro de massa do
corpo R relativo à base Fb).
Equações vetoriais do movimento
Os momentos do conjunto podem agora ser expressos em função das propriedades de
massa e das velocidades angulares do corpo e dos apêndices. Esta formulação é semelhante à
realizada no corpo composto por rotores, porém agora já não há simetria de massa ao redor do
eixo de rotação. Será suposto também que não existam torques ou forças externas agindo nos
apêndices, exceto aqueles provindos da articulação. Uma generalização do equacionamento
para incluir estas forças e torques pode ser realizada, mas, em geral, satélites não contam com
elementos geradores de força fixados aos painéis. Ademais, quaisquer força ou torque agindo
neles poderia ter sua ação transferida para o corpo do próprio satélite, desde que a articulação
pudesse apresentar os esforços de reação.
Admite-se que a velocidade angular do corpo R seja ω
, e que a velocidade do
apêndice seja ω
a =ω
+ω
n , onde ω
n = ωn a n é a velocidade relativa entre o corpo e o painel.
Escrevendo então o momento linear do corpo e do apêndice n, tem-se:
p b = mb v o + ω
× cb ,
3.265
p n = mn v o + mn ω
× (b n + d n ) + mn ω
n × d n .
3.266
onde v o é a velocidade de O relativa à base Fi. Os momentos lineares podem agora ser
reunidos no conjunto, o que resulta:
N
N
n =1
n =1
p = p b + ∑ p n = m v o + ω
× c + ∑ mn ω
n × d n .
3.267
De forma análoga, produz-se o momento angular relativo ao ponto O para cada um dos
corpos separadamente:
h o ,b = cb × v o + J b ⋅ ω
,
3.268
77
h o ,n = mn (b n + d n ) × v o + ∫ ρ n × ρɺ in dmn ,
m
3.269
e tal que ρ n = b n + d n + rn é a posição de um elemento de massa do apêndice n relativo a O e
rn é a posição deste elemento referido ao centro de massa de An. Como b n é fixo em R, e d n
e rn são fixos no apêndice, então a variação ρ n vale:
ρɺ in = bɺ in + dɺ in + rɺni = ω
× (b n + d n + rn ) + ω
n × (d n + rn ) .
3.270
e com isso o momento angular do apêndice torna-se:
h o ,n = mn (b n + d n ) × v o + (J b + d ,n + In ) ⋅ ω
+ (J db,n + J dd ,n + I n ) ⋅ ω
n,
3.271
É também conveniente escrever o momento angular do apêndice em relação ao ponto
Jn da articulação. Usando então a relação de mudança de pólo do momento angular (Equação
3.62) este momento resulta:
h j , n = h o ,n − b n × p n = mn d n × v o + (J bd ,n + J dd ,n + In ) ⋅ ω
+ (J dd ,n + In ) ⋅ ω
n
3.272
Calcula-se agora o momento angular do conjunto em relação ao ponto O, que irá
resultar:
N
N
n =1
n =1
h o = h o ,b + ∑ h o ,n = c × v o + J ⋅ ω
+ ∑ (J db,n + J dd ,n + In ) ⋅ ω
n
3.273
A articulação introduz vínculos de força e torque que são transmitidos para o apêndice.
Será mostrado, a seguir, de maneira similar à realizada nas seções anteriores, que a variação
temporal do momento linear e angular do conjunto resultam respectivamente nas resultantes
f das forças e g o dos torques externos referidos a O. Considerando fn como sendo a força
aplicada pelo corpo ao apêndice n, então, por ação e reação, a força aplicada pelo apêndice no
corpo será −fn . Tem-se com isso que a variação do momento linear do corpo R e do apêndice
serão dados por:
N
pɺ bi = f − ∑ fn
3.274
pɺ in = fn ,
3.275
n =1
onde foi suposto que não existam forças externas aplicadas a qualquer apêndice. Contudo,
como afirma Hughes (Hughes, 1986), é fácil modificar estas expressões para que incluam
forças e torques externos também nos painéis. Com isso, a variação do momento linear do
conjunto fica:
78
N
pɺ i = pɺ bi + ∑ pɺ in = f ,
3.276
n =1
Por outro lado, sendo g j ,n o torque do corpo aplicado ao apêndice na articulação, a
variação do momento angular do corpo R fica:
N
hɺ io ,b = p b × v o + g o − ∑ (g j , n + b n × fn ) ,
3.277
n =1
enquanto que a variação do momento angular do apêndice pode ser calculado por meio da
mudança de pólo, ou seja:
hɺ io ,n = bɺ in × p n + b n × pɺ in + hɺ ij ,n .
3.278
Por outro lado, a variação do momento angular relativo ao ponto na junta pode ser
calculado pela Relação 3.72, que leva a
hɺ ij , n = g j ,n − v o × p n − (ω
× b n ) × p n
3.279
i
Lembrando que bɺ in = ω
× b n e pɺ n = fn , resulta então
hɺ io ,n = g j ,n − v o × p n + b n × fn ,
3.280
e com isso a variação total, incluindo o corpo R e os apêndices An, irá resultar em:
N
hɺ io = hɺ oi ,b + ∑ hɺ io ,n = p × v o + g o ,
3.281
n =1
como se desejava demonstrar. A derivada do momento angular do apêndice pode também ser
escrita no referencial girante do próprio apêndice, resultando em:
hɺ nj, n = h j , n × (ω
+ω
n ) − mn ( v o + ω
× b n ) × [(ω
+ω
n ) × d n ] + g j , n
3.282
As equações acima podem sofrer certa simplificação se for considerado que tanto a
velocidade angular quanto o torque estão direcionados no eixo de rotação do apêndice, isto é,
g j , n = g j , n a n e ω
n = ωn a n . Porém, este artifício não elimina o caráter vetorial do momento
angular, pois o apêndice foi suposto assimétrico em relação ao eixo de rotação. Esta
simplificação será mais perceptível quando forem mostradas as expressões do movimento em
termos das velocidades angulares, mais adiante.
A energia cinética do conjunto é calculada a partir da sua definição, de forma análoga
às realizadas anteriormente:
79
T=
1
( v o + ω
× rb ) ⋅ ( v o + ω
× rb )dmb +
2 ∫m
1 N
+ ∑ ∫ [ v o + ω
× ρ n + ω
n × (d n + rn )] ⋅ [ v o + ω
× ρ n + ω
n × (d n + rn )]dmn
2 n =1 m
,
3.283
que resulta
T=
N
1

 1
m v o ⋅ v o + v o ⋅  ω
×
c
+
∑ mn ω
n × d n  + ω
⋅ J ⋅ ω
+
2
n =1

 2
3.284
N
1 N
(
J
I
)
ω
ω
+ ∑ω
⋅
+
⋅
+
⋅
n dd ,n n n ∑ (J db,n + J dd ,n + In ) ⋅ ω
n
2 n =1
n =1
Equações escalares do movimento
Antes de escrever as equações escalares do movimento deve-se recordar que foram
estabelecidas 3 bases nas quais os vetores serão representados: o sistema inercial Fi, a base Fb
fixada ao corpo R, e as diversas bases Fn fixadas aos apêndices. Os vetores definidos
anteriormente são então assim representados:
( ho
p go
(
f
ω vo
= Fb ⋅ h o
p g o
(h
ωn
c cb
f ω
v o
rb
cb
bn ) =
c rb
a n
b n
d n
ω
n
g j , n
3.285
)
)
3.286
J b + d ,n = Fb ⋅ J b + d , n ⋅ Fb T = J bb ,n + J bd ,n + J db, n + Cbn J dd ,n CTbn ,
J bb,n = Fb ⋅ J bb,n ⋅ Fb T = mn (bTn b n 1 − b n bTn ) ,
3.287
j ,n
dn
(
an
rn ) = Fn ⋅ h j ,n
g j ,n
rn
e as diádicas ficam definidas por:
N
J = Fb ⋅ J ⋅ Fb T = J b + ∑ (J b+ d ,n + Cbn I n CTbn ) ,
n =1
J b = Fb ⋅ J b ⋅ Fb = ∫ (rbT rb 1 − rb rbT ) dmb ,
T
m
J bd ,n = Fb ⋅ J bd ,n ⋅ Fb T = mn (bTn Cbn d n 1 − b n dTn CTbn ) ,
J db ,n = Fb ⋅ J db ,n ⋅ Fb T = mn (dTn CTbn b n 1 − Cbn d n bTn ) ,
I n = Fn ⋅ In ⋅ Fn T = ∫ (rnT rn 1 − rn rnT ) dmn ,
m
T
J dd , n = Fn ⋅ J dd ,n ⋅ Fn = mn (dTn d n 1 − d n dTn ) ,
do qual se depreende que as inércias mistas relacionam-se por meio de J bd , n = JTdb ,n . Além
disso, como Cbn é variante no tempo, então as inércias mistas também variam no tempo. O
primeiro momento de inércia é dado por:
80
N
c = cb + ∑ mn (b n + Cbn d n ) ,
3.288
Cbn = Fb ⋅ Fn T ,
3.289
n =1
onde
Cnb = Fn ⋅ Fb T .
Definindo agora a inércia do apêndice n em relação ao ponto fixado na articulação
como sendo dada por:
J n = J dd ,n + I n ,
3.290
as expressões escalares dos momentos em relação ao ponto fixo O ficam então iguais a:
N
p = m v o − c× ω − ∑ mn Cbn d×n ω n .
3.291
n =1
N
h o = c× v o + J ω + ∑ (J db ,n Cbn + Cbn J n ) ω n
3.292
n =1
enquanto que o momento angular do apêndice n em relação ao ponto da articulação Jn vale:
h j , n = mn d×n CTbn v o + (CTbn J bd ,n + J n CTbn ) ω + J n ω n
3.293
cujas respectivas variações serão dadas por:
pɺ b = f − ω×p
3.294
hɺ bo = g o − v×o p − ω× h o
3.295
hɺ nj , n = g j ,n + [h×j , n + mnCTbn ( v o + ω×b n )× Cbn d×n ](CTbn ω + ω n )
3.296
Deve-se agora exprimir as equações do movimento em termos da matriz de inércia do
sistema. Para isso nota-se que:
P = (p ho
V = ( vo
h j ,1 ⋯ h j ,n )
T
ω ω1 ⋯ ω n ) ,
T
e a matriz de inércia do sistema fica então igual a:
3.297
3.298
81

m1

c×

M =  m1 d1× CTb1

⋮

 m d× CT
 N N bN
−c×
− m1 Cb1 d1×
⋯
(J db ,1 Cb1 + Cb1 J1 ) ⋯
J
(C J bd ,1 + J1 C )
J1
⋯
⋮
⋮
⋱
0
⋯
T
b1
T
b1
(C J bd , N + J N C )
T
bN
T
bN
− mN CbN d×N


(J db , N CbN + CbN J N ) 
 3.299
0

⋮


JN

e agora pode-se escrever que
P =MV ,
3.300
sendo T o vetor de forças e torques:
T = (f
g j ,1 ⋯ g j , N ) ,
T
go
3.301
porém não se consegue exprimir a equação do movimento em termos da matriz de inércia do
sistema, uma vez que as equações da dinâmica não são mais lineares. Como último resultado,
a energia cinética será dada por:
T=
1
1
1 N
m vTo v o + ωT J ω + ∑ ωTn J n ω n +
2
2
2 n =1
N
+ v ω c + v Cbn ∑ mn ω d n + ω
T
o
×
T
o
n =1
×
n
N
T
∑ (J
db , n
3.302
Cbn + Cbn J n ) ω n
n =1
que, em termos da matriz de inércia do sistema fica:
T=
1 T
V MV .
2
3.303
Para conhecer o histórico da atitude, deve-se integrar as equações acima em termos do
momento linear, e os momentos angulares do corpo R e de cada apêndice An. As velocidades
podem ser calculadas a partir da inversão da matriz de inércia do sistema que, neste caso, não
é constante, pois depende da geometria entre os apêndices e o corpo. A inversa pode ser
calculada a partir das inversas de sub-blocos, como realizado nas seções anteriores. Contudo,
esta inversa é complexa em virtude da ordem do sistema, que, neste caso, é de 6 + 3N. Hughes
(Hughes, 1986) salienta que a formulação do movimento em termos das velocidades
angulares é de pouco valor, uma vez que tais equações são consideravelmente mais
complexas do que aquelas que são expressas no momento angular. Porém, considerando que a
inversa da matriz de inércia do sistema torna-se necessária, pode-se questionar se realmente o
custo da complexidade não compensa o esforço computacional, principalmente se requisitos
como processamentos em tempo-real forem levados em consideração. Deve ser salientado,
também, que satélites com 2 painéis e 4 rodas de reação são bastante comuns, o que acarreta a
necessidade de inversão de uma matriz quadrada de ordem 15. Hughes também adverte para o
fato de que é melhor exprimir o momento angular relativo a um ponto fixo O, ao contrário do
centro de massa, porque novamente as expressões são mais simples. Porém, a contrapartida é
o aumento da ordem do sistema, o que também implica em maior esforço computacional.
82
Em vista disso, apresenta-se, a seguir, uma formulação para o momento angular
expresso em relação ao centro de massa, no qual as variações temporais são efetuadas nas
velocidades angulares.
Equações vetoriais do movimento em relação ao centro de massa
Ao exprimir o momento angular em relação ao centro de massa do conjunto, deve-se
observar que a posição deste centro não é fixa em coordenadas relativas ao sistema do corpo
R, devido ao movimento dos apêndices. Para evitar este problema, é comum projetar-se
painéis de células solares em satélites de tal forma que o centro de massa do apêndice
coincida com seu eixo de rotação. Com este procedimento o CM do conjunto irá permanecer
fixo, e o equacionamento obtido anteriormente é válido. Situações especiais ocorrem quando
o centro de massa do apêndice não mais coincide com seu eixo de rotação, o que é bastante
comum em braços robóticos espaciais.
Seja então um corpo R e N apêndices An, n = 1, 2, ... N, cujas massas e momentos de
inércia são aquelas apresentadas no início desta seção. Por conveniência, o sistema Fb terá
origem coincidente com o centro de massa do corpo R, para facilitar o equacionamento, uma
vez que não há perda de generalidade, apenas simplificação do formalismo algébrico. Nesta
situação o primeiro momento de inércia de R será nulo ( cb = 0 ), e o segundo momento será
dado por Ib . Os parâmetros dos apêndices permanecem inalterados. Por conveniência o
sistema inercial Fi será fixado no centro de massa do conjunto, como ilustrado na figura 3.12,
o que permite uma simplificação adicional, já que neste ponto v cm é nulo. Contudo, deve-se
ter em mente que este sistema pode não ser inercial se houver forças externas atuando no
conjunto. O equacionamento apresentado a seguir é válido, portanto, apenas quando todos os
torques são originários de binários puros.
Definindo µ n = mn m como sendo a massa reduzida do apêndice An, µb = mb m como
a massa reduzida do corpo R, a posição do centro de massa do conjunto pode ser calculada no
sistema fixado no centro de massa de R, resultando na relação:
rcm =
N
1
 N
r
dm
+
(
r
+
b
+
d
)
dm
b b ∑ ∫m n n n
n + d n ) ,
n  = ∑ µ n (b
m  ∫m
n =1
 n =1
3.304
e o primeiro e segundo momentos de inércia do conjunto serão dados respectivamente por:
N
c = m∑ µ n (b n + d n ) = m rcm ,
3.305
n =1
N
J = ∫ (ρ b ⋅ ρ b 1 − ρ bρ b ) dmb + ∑ ∫ (ρ n ⋅ ρ n 1 − ρ nρ n ) dmn =
m
m
n =1
N
= Ib + µb J r + ∑ ( In + J b + d −r ,n )
n =1
3.306
83
na qual as posições dos elementos de massa em R e An em relação ao centro de massa do
conjunto são fornecidas respectivamente por ρ b = rb − rcm e ρ n = rn + b n + d n − rcm , e tal que as
diádicas são definidas por
J r = m (rcm ⋅ rcm 1 − rcm rcm ) ,
J b + d −r ,n = J b + d , n − J br ,n − J dr ,n − J rb, n − J rd ,n + µ n J r ,
J br , n = mn (b n ⋅ rcm 1 − b n rcm ) ,
J dr , n = mn (d n ⋅ rcm 1 − d n rcm ) ,
3.307
J rb, n = mn (rcm ⋅ b n 1 − rcm b n ) ,
J rd ,n = mn (rcm ⋅ d n 1 − rcm d n ) ,
tal que Ib é o momento de inércia do corpo R em relação ao seu próprio centro de massa, e In
e J b + d ,n já foram definidos anteriormente. Nota-se que se rcm for nulo a expressão acima
reduz-se ao momento de inércia em relação ao ponto O. Pode-se agora proceder ao cálculo do
momento angular em relação ao centro de massa. Lembrando inicialmente que a variação de
rcm será dada por:
N
i
rɺcm
=ω
× rcm + ∑ µ nω
n × d n ,
3.308
n =1
tem-se então que o momento angular do corpo R, relativo ao centro de massa, será:
N
i
h cm,b = ∫ (rb − rcm ) × (rɺbi − rɺcm
)dmb = ( Ib + µb J r ) ⋅ ω
+ µb ∑ J dr , n ⋅ ω
n.
m
3.309
n =1
An
ω
R
an
bn
O
Fb
rcm
ωn
Fn
dn
Jn
Fi
Cm
Fig. 3.12 – Corpo rígido composto por apêndices articulados.
Por sua vez, o momento angular do apêndice An em relação ao centro de massa é
definido por:
i
h cm,n = ∫ (rn + b n + d n − rcm ) × (rɺni + bɺ in + dɺ in − rɺcm
)dmn
A
e com isso o momento formado pelo conjunto de todos os apêndices fica igual a
3.310
84
N
∑ h
cm , n
=
n =1
N
N
n =1
n =1
3.311
= ∑ ( In + J b + d − r ,n ) ⋅ ω
+ ∑ [ I n + J db ,n + J dd ,n − (1 + µb ) J dr ,n ] ⋅ ω
n
que, adicionado ao momento angular do corpo, irá fornecer o momento angular total:
N
N
n =1
n =1
h cm = h cm ,b + ∑ h cm,n = J ⋅ ω
+ ∑ ( I n + J db ,n + J dd ,n − J dr ,n ) ⋅ ω
n,
3.312
e que, novamente, coincide com o momento angular relativo a O quando rcm for nulo.
O momento angular do apêndice n em relação ao ponto de articulação da junta pode
também ser obtido resultando:
N
h j , n = ( In + J dd ,n + J bd ,n − J rd ,n ) ⋅ ω
+ ( In + J dd ,n ) ⋅ ω
n − ∑ µ k J dkdn ⋅ ω
k
3.313
k =1
onde J dkdn é uma diádica cruzada definida por:
J dkdn = mn (d k ⋅ d n 1 − d k d n ) ,
3.314
Para calcular a variação do momento angular do apêndice, com base na relação de
mudança de pólo, tem-se
h cm,n = h j ,n + (b n − rcm ) × p n
3.315
onde o momento linear do apêndice, p n , neste caso, é definido por:
i
p n = ∫ (rɺni + bɺ in + dɺ in − rɺcm
)dmn =
A
N
= mnω
× (b n + d n − rcm ) + mnω
n × d n − mn ∑ µ k ω
k × d k
.
3.316
k =1
e hɺ icm,n
Efetuando-se agora a variação temporal do momento angular, e lembrando que pɺ in = fn
= g cm, n = g j ,n + (b n − rcm ) × fn , chega-se a
n


hɺ nj, n = g j ,n + h j ,n × (ω
+ω
n ) + ω
× (b n − rcm ) − ∑ µ k ω
k × d k  × p n
k =1


e, substituindo a relação de p n , resulta:
3.317
85
n


hɺ ij , n = g j ,n + h j ,n × (ω
ω
)
m
ω
(
b
r
)
+
+
×
−
−
n
n cm ∑ µ k ω
k × d k  × [d n × (ω
+ω
n )]
n 
k =1


3.318
A variação do momento angular do conjunto já é conhecida pela Relação 3.281 e é
igual à resultante dos torques externos em relação ao centro de massa, ou seja:
N
hɺ icm = hɺ icm ,b + ∑ hɺ icm,n = g cm ,
3.319
n =1
A energia cinética neste caso pode ser obtida da expressão relatada na seção anterior,
adotando-se v o = 0 :
N
1
1 N
T= ω
⋅
J
⋅
ω
+
ω
⋅
(
J
+
I
)
⋅
ω
+
ω
⋅
(J db,n + J dd ,n + I n ) ⋅ ω
n
∑ n dd ,n n n ∑
2
2 n =1
n =1
3.320
que depende apenas das velocidades angulares.
Equações escalares do movimento em relação ao centro de massa
De forma análoga àquela realizada nas seções anteriores, inicialmente seleciona-se o
sistema no qual os vetores serão representados. Os vetores relativos ao sistema Fb fixado no
corpo R são:
( hcm
p g cm
(
= Fb ⋅ h cm
f
ω rcm
p g cm
c cb
f ω
rcm
an
bn ) =
c rb
a n
rb
cb
b n
3.321
)
enquanto que aqueles associados ao apêndice An (bases Fn) são:
(h
j ,n
dn
ωn
g j ,n
(
rn ) = Fn ⋅ h j ,n
d n
ω
n
g j , n
rn
)
3.322
A posição do centro de massa no sistema fixado ao corpo, a inércia do conjunto e as
inércias mistas ficam:
N
rcm = Fb ⋅ rcm = ∑ µ n (b n + Cbn d n ) ,
3.323
n =1
J = Fb ⋅ J ⋅ Fb T =
N
= I b + J r + ∑ [J bb,n + J bd , n + J db ,n + Cbn (I n + J dd ,n ) CTbn − J br ,n − J rd ,n − J dr ,n ]
n =1
Ib = Fb ⋅ Ib ⋅ Fb T = ∫ (rbT rb 1 − rb rbT ) dmb ,
m
T
T
J r = Fb ⋅ J r ⋅ Fb T = m (rcm
rcm 1 − rcm rcm
),
J bb,n = Fb ⋅ J bb,n ⋅ Fb T = mn (bTn b n 1 − b n bTn ) ,
3.324
J bd ,n = Fb ⋅ J bd ,n ⋅ Fb = mn (b Cbn d n 1 − b n d C ) ,
T
T
n
T
n
T
bn
86
J db ,n = Fb ⋅ J db ,n ⋅ Fb T = mn (dTn CTbn b n 1 − Cbn d n bTn ) ,
J dd , n = Fn ⋅ J dd ,n ⋅ Fn T = mn (dTn d n 1 − d n dTn ) ,
I n = Fn ⋅ In ⋅ Fn T = ∫ (rnT rn 1 − rn rnT ) dmn ,
m
onde I b é a matriz de inércia do corpo R em relação ao seu centro de massa e I n é matriz de
inércia do apêndice. Adicionalmente, serão necessárias as seguintes inércias mistas:
T
J br , n = Fb ⋅ J br ,n ⋅ Fb T = mn (bTn rcm 1 − b n rcm
),
T
J rd ,n = Fb ⋅ J rd ,n ⋅ Fb T = mn (rcm
Cbn d n 1 − rcm dTn CTbn ) ,
T
J dr ,n = Fb ⋅ J dr ,n ⋅ Fb T = mn (dTn CTbn rcm 1 − Cbn d n rcm
),
3.325
J dkdn = Fn ⋅ J dkdn ⋅ Fn T = mn (dTk Ckn d n 1 − CTkn d k dTn ) ,
e tal que
Ckn = Fk ⋅ Fn T = CTbk Cbn
3.326
O momento angular do conjunto será calculado no sistema de coordenadas fixado ao
centro de massa do corpo, e será dado por:
N
h cm = Fb ⋅ h cm = J ω + ∑ J bn ω n ,
3.327
n =1
onde J bn é definido por:
J bn = (J db ,n − J dr ,n ) Cbn + Cbn (I n + J dd ,n ) ,
3.328
e o momento angular do apêndice n relativo ao ponto de articulação na junta fica:
N
h j , n = Fn ⋅ h j ,n = J nb ω + (I n + J dd , n ) ω n − ∑ µ k J dkdn CTknω k ,
3.329
k =1
tal que J nb vale
J nb = CTbn (J bd ,n − J rd , n ) + (I n + J dd , n ) CTbn .
3.330
As variações dos momentos serão calculadas de:
hɺ bcm = g cm − ω× h cm
e
3.331
87
hɺ nj , n = Fn ⋅ hɺ ij ,n =
×
n
 ×

T  ×
×
= g j ,n + h j , n + mnCbn ω (b n − rcm ) − ∑ µ k Cbk ω k d k  Cbn d×n
k =1



 T
3.332
 (Cbn ω + ω n )

Embora seja possível escrever a equação acima em termos das matrizes de inércia e
inércias mistas, ainda assim será necessário resolver um sistema linear de n + 1 equações para
se isolar as velocidades angulares. Sendo assim, é preferível, neste caso, manter o
equacionamento em termos do momento angular, e inverter a matriz de inércia do sistema
quando necessário. Quando posto na forma da matriz de inércia do sistema, as equações do
movimento ficam:
P = ( h cm
h j ,1 h j ,2 ⋯ h j ,n )
T
3.333
V = ( ω ω1 ω 2 ⋯ ω n ) ,
T
3.334
cuja matriz de inércia do sistema resulta:
 J

 J1b
M =  J 2b

 ⋮
J
 Nb
J b1
Jb2
I1 + (1 − µ1 ) J dd ,1
−µ 2 J d 2 d 1 CT21
T
−µ1J d 1d 2 C12
I 2 + (1 − µ 2 ) J dd ,2
⋮
⋮
T
−µ1J d 1dN C1N
−µ 2 J d 2 dN CT2 N
⋯
J bN


T
⋯
−µ N J dNd 1 C N 1 
⋯
−µ N J dNd 2 CTN 2 

⋱
⋮

⋯ I N + (1 − µ N ) J dd , N 
3.335
Após converter a equação vetorial da energia cinética para a representação matricial,
obtém-se:
1
1 N
T = ωT J ω + ∑ ωTn (J dd ,n + I n ) ω n + ωT
2
2 n =1
N
∑ [J
db , n
Cbn + Cbn (J dd ,n + I n )] ω n
3.336
n =1
Equações vetoriais com velocidades explícitas no tempo
Um problema freqüentemente encontrado nas equações da dinâmica de sistemas
articulados deve-se à necessidade de se conhecer o torque g cm que age na junta. Nas
aplicações espaciais este torque é em geral exercido por motores CC sem escovas, motores de
passo em painéis giratórios e braços robóticos ou mesmo por molas e amortecedores em
sistemas de abertura de painéis e antenas. Neste último caso não é difícil conseguir-se uma
expressão para este torque em função do ângulo da junta, porém, no caso de motores, o torque
depende, entre outros fatores, da corrente agindo no estator. Ainda que seja possível modelar
esta relação de dependência, a corrente elétrica, em geral, é controlada em malha fechada de
forma a se garantir um dado movimento (por exemplo, uma determinada posição para o braço
robótico ou uma determinada velocidade angular para um painel giratório). A clara
implicação deste relacionamento é que uma simulação realista da dinâmica de atitude é
somente possível se o sistema de controle completo (motor, eletrônica de controle, lei de
controle) do sistema de acionamento for também modelado. Caso se deseje evitar tal
modelagem pode-se recorrer a expressões explícitas do tempo para o torque, ou seja,
88
g cm = g m (t ) , ou ω
n =ω
m (t ) . Infelizmente, esta tática não evita a necessidade de um controle,
ainda que rudimentar, para evitar que a velocidade angular de uma junta cresça de forma
desmedida ou se comporte de forma não natural. De fato, a maioria das juntas articuladas nos
painéis de satélites é acionada por motores de passo, cujo modelo é mais próximo de um
gerador de posições angulares do que um gerador de torques. Um motor de passo, na verdade,
gera torques bem superiores ao mínimo requerido para mover uma junta, mas este torque é tal
que gera uma posição angular estável a cada passo (o torque pode ser positivo, negativo ou
nulo). Se, por um lado, o modelo matemático destes motores é complexo, por outro pode-se
supor que o motor seja tal que consiga gerar posições e velocidades angulares precisas nas
juntas, e assim uma forma explícita no tempo da aceleração angular ( ω
ɺ n = ω
ɺ m (t ) ) torna-se
mais adequada a esta representação. Esta estratégia, além de simplificar o modelo de atuação
nas juntas permite uma redução na ordem do sistema, já que as juntas passam agora a se
comportar de forma vinculada no tempo. Em outras palavras, a ordem do sistema fica assim
igual à de um corpo rígido, permitindo que se exprimam as equações da dinâmica diretamente
em termos das velocidades (e acelerações) angulares, ao invés do momento angular. O
comportamento das acelerações das juntas em função do tempo, ou seja, de ω
ɺ n (t ) deve ser
ajustado para que se consiga o resultado adequado. Um painel que parta do repouso até uma
velocidade angular ω
n (t ) = ω
n , e tal que ω
n é constante no tempo, pode ter uma aceleração
dada, por exemplo, por
0, para t < t0

ω
ɺ n (t ) = ω
n /(t1 − t0 ), para t0 ≤ t < t1
0, para t ≥ t
1

3.337
Pode-se argumentar que a dinâmica gerada por este método não é realista, mas sem
dúvida é uma boa aproximação, desde que as hipóteses simplificadoras do movimento sejam
respeitadas. Além disso, este método permite um equacionamento relativamente simples do
movimento, apresentado a seguir.
Considera-se novamente o corpo articulado como na seção anterior, na qual o
momento angular relativo ao centro de massa do conjunto passa a ser calculado por:
N
N
n =1
n =1
h cm = h cm ,b + ∑ h cm,n = J ⋅ ω
+ ∑ J n ⋅ ω
n ,
3.338
J n = I n + J db ,n + J dd ,n − J dr ,n
3.339
onde
A variação temporal do momento angular pode agora ser obtida a partir da relação
fundamental que a define, ou seja:
N
ɺɺ bi dmb + ∑ ∫ ρ n × ρ
ɺɺ in dmn ,
hɺ icm = ∫ ρ b × ρ
m
m
n =1
3.340
89
no qual ρ b = rb − rcm e ρ n = rn + b n + d n − rcm , e tal que hɺ icm = g cm , um resultado já bastante
conhecido. A integração da variação do momento angular no movimento do corpo irá levar ao
resultado:
N
b
b
hɺ icm = J ⋅ ω
ɺ + ω
× h cm + ∑ {ω
n × [J n ⋅ (ω
+ω
n )] + J n ⋅ (ω
ɺ n + ω
×ω
n )} ,
3.341
n=1
o que permite que se escreva:
N
b
b
J ⋅ ω
ɺ = g cm − ω
× h cm − ∑ {ω
n × [J n ⋅ (ω
+ω
n )] + J n ⋅ (ω
ɺ n + ω
×ω
n )} ,
3.342
n=1
b
pois, por hipótese, ω
ɺ n (t ) é conhecido.
A energia cinética será dada, neste caso, por:
T=
1
1 N
i
i
ɺ
ɺ
ρ
⋅
ρ
dm
+
ρɺ in ⋅ ρɺ in dmn ,
∑
b
b
b
∫
∫
m
m
2
2 n =1
3.343
que irá resultar
T=
1
1 N
 N

ω
⋅
J
⋅
ω
−
m
µ
ω
×
d
n  ⋅ ∑ µ nω
n × d n  +
∑
nn

2
2  n=1
  n =1

N
1 N
+ ∑ω
⋅
(
I
+
J
)
⋅
ω
+
n n dd ,n n ∑ ω
n ⋅ ( In + J bd ,n + J dd ,n − J rd ,n ) ⋅ ω
2 n =1
n =1
.
3.344
A energia cinética, ao contrário do momento angular, apresenta uma parcela que
acopla os movimentos entre os apêndices. Como este acoplamento depende das velocidades
dos próprios apêndices, não há como expressá-lo por meio de diádicas de inércia sem
aumentar sobremaneira a complexidade da expressão.
J n = Fn ⋅ J n ⋅ Fn T = I n + J dd ,n + CTbn (J db, n − J dr ,n ) Cbn
91
Referências bibliográficas
Carrara, V. Manual do pacote computacional para simulação de atitude de satelites. São José
dos Campos, INPE, 2007.
Crouch, P. E. Spacecraft Attitude Control and Stabilization: Applications of Geometric
Control Theory to Rigid Body Models IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.
AC-29,
No.
4,
April
1984,
available
in
media:
http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=1103519&isnumber=24212.
Crandall, S. H. (Ed.). Dynamics of Mechanical and Electromechanical Systems. New York:
McGraw-Hill, 1968.
Hamilton, W. R. On a new Species of Imaginary Quantities connected with a theory of
Quaternions. Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 2, pp. 424-434, 1844. (Ed.
Wilkins, D. R. 1999. Available in media:
http://www.maths.soton.ac.uk/EMIS/classics/Hamilton/Quatern1.pdf).
Hughes, P. C. Spacecraft Attitude Dynamics. Dover, Mineola, NY, 1986.
Klumpp, A. R. Singularity-free extraction of a quaternion from a direction-cosine matrix.
Journal of Spacecraft and Rockets, Vol 13, n. 12, pg 754-755, 1976.
Meirovitch, L. Methods of Analytical Dynamics. New York: McGraw-Hill, 1970.
Meyer, G. Design and Global Analysis of Spacecraft Attitude Control Systems. NASA. NASA
TR R-361, March 1971. Available in media:
http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19710009016_1971009016.pdf
Sen, A. K. A. Nutation Damper for a Dual-Spin Spacecraft. IEEE Transactions on Aerospace
and Electronic Systems. Vol AES-6, No. 6 pg. 764-769, Nov 1970. Available in
media:
http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=4103618&isnumber=4103613
Wertz, J. R. Spacecraft attitude determination and control, London: D. Reidel, 1978
(Astrophysics and Space Science Library).