Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
T4
FÍSICA EXPERIMENTAL I - 2007/08
_____________________________________________________________________________________________
MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO RÍGIDO
1.
Objectivo
Estudo do movimento de rotação de um corpo rígido.
Determinação do momento de inércia de um corpo em relação a um eixo.
Estudo da variação do momento de inércia de um corpo com a distância ao eixo de rotação.
2.
Introdução
Momento angular de uma partícula
Define-se momento angular
de uma partícula em relação a um ponto O como o produto
vectorial do vector posição da partícula, pelo vector momento linear
,
(1)
Em geral, o momento angular de uma partícula varia em módulo e direcção durante o
movimento. Se o movimento ocorre num plano que contém o ponto O, a direcção do momento
r
r
angular permanece constante, ou seja, perpendicular ao plano, visto que r e v estão contidos no
plano.
No caso especial do movimento circular, quando o momento angular se calcula em relação
r
r
ao centro do círculo, os vectores r e v são perpendiculares e verificam a relação v = ωr , sendo
ω a velocidade angular, donde:
(2)
r
r
No movimento de uma partícula o sentido de L coincide com a direcção de ω e podemos
escrever a relação vectorial:
(3)
Derivando a relação (1) em ordem ao tempo, vem:
T4 - Momento de inércia
(4)
Na eq. (4) a 1ª parcela é nula e a 2ª vem igual a
, pelo que a variação no tempo do
momento angular é igual ao momento da força aplicada ou resultante das forças aplicadas e
escrevemos,
(5)
Momento angular e momento de inércia de um corpo rígido
Para um sistema constituído por muitas partículas o momento angular total é a soma dos
momentos angulares de todas as partículas,
∑
(6)
Um corpo rígido é um caso especial de um sistema composto por muitas partículas. As
partículas de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fixo descrevem circunferências
centradas no eixo de rotação com uma velocidade
. A velocidade
da partícula é,
assim, proporcional ao raio da circunferência que descreve.
sin
(7)
Z
ω
vi
Ri
mi
LiZ θ
Li
No movimento circular
é perpendicular a
ri
O
. A projecção do momento angular de uma
partícula segundo o eixo de rotação vem:
cos 90
|
| sen
sen
(8)
e a projecção do momento angular total segundo o eixo de rotação é dada por:
∑
∑
(9)
I representa o momento de inércia do corpo. Para uma distribuição continua de massa,
(10)
2(6)
T4 - Momento de inércia
onde dm representa a massa de um elemento infinitesimal colocado à distância r do eixo de rotação,
sendo o integral estendido a todo o corpo. A partir desta equação pode-se compreender que o
momento de inércia de um corpo em relação a um eixo depende, não só, do eixo em torno do qual
ele gira, mas também, da forma do corpo e da distribuição da massa.
Num sistema de muitas partículas, o vector momento angular não tem, em geral, a direcção
do eixo de rotação. Quando coincidem diz-se que o eixo de rotação é um eixo principal de inércia e
vem:
(11)
Os eixos de simetria são eixos principais de inércia.
Tal como o momento linear caracteriza a quantidade de movimento de translação, o
momento angular caracteriza a quantidade de movimento de rotação. A grandeza responsável pela
alteração do estado de rotação é o momento resultante das forças exteriores aplicadas
que se
relaciona com o momento angular do corpo por:
(12)
Esta expressão é idêntica à obtida para uma partícula (5). A relação (12) é formalmente análoga à
relação
para o movimento de translação.
Como, para um corpo rígido, o momento de inércia I é constante, das relações (11) e (12)
obtemos:
(13)
onde
representa a aceleração angular do movimento.
3.
Para resolver antes da aula de realização do trabalho
1) Qual é o momento de inércia de uma massa pontual de 100 g, relativamente a um eixo do
qual dista 10 cm.
2) Qual é o momento angular da massa anterior quando roda em torno do eixo referido com
uma velocidade angular de 6 rad/s.
3) Dois cilindros de massa m1, raio r e altura h estão presos sobre uma barra de comprimento
Lb e massa mb que roda em torno de um eixo perpendicular à barra e que passa pelo seu
centro (fig. 1). A distância do centro de massa de m1 ao eixo de rotação é d.
a) Escreva uma expressão para o momento de inércia do sistema em termos dos
parâmetros acima referidos, recorrendo à informação que encontrará na última página
deste documento.
3(6)
T4 - Momento de inércia
b) Calcule o momento de inércia do sistema para m1 = 250 g, r = 1,5 cm, h = 1,5 cm, Lb
= 60 cm, mb = 150 g e d = 25 cm.
4.
Realização experimental e análise dos dados
Material
•
Barra cilíndrica, apoiada no centro, onde se podem posicionar duas massas iguais a
diferentes distâncias. Este sistema é colocado sobre um eixo de teflon de forma a reduzir o
atrito no movimento de rotação.
•
Massa de 150g ou de 200 g.
•
Prato suspenso por um fio e roldana.
•
Sensor óptico ligado ao computador para registo de posições e velocidades.
Neste trabalho estuda-se a variação de momento angular de um sistema em função do seu
momento de inércia e do momento resultante aplicado.
Para iniciar o movimento de rotação aplica-se um momento constante, suspendendo-se uma
massa m num fio que se encontra preso, via uma roldana, no eixo de rotação com fita velcro (supõese que as forças de atrito mais importantes correspondem ao atrito sólido entre o sistema e o eixo
em que está apoiado, o que corresponde a um momento das forças de atrito também constante). O
fio é enrolado um número de voltas determinado, conforme se pretende uma duração maior ou
menor do tempo de aplicação do momento. Sugere-se que a configuração inicial da barra seja a
correspondente às massas m1 nas posições extremas (27.5 cm).
1. O sistema é preparado suspendendo uma massa m de 150g ou de 200 g no extremo do fio,
preso pela fita velcro e enrolado com 10 voltas. Mantendo o sistema imóvel, inicia-se no
computador o registo temporal da velocidade angular do sistema (programa DataStudio, opção
sensor óptico: “polia inteligente rotativa”, distância angular = 20º) e liberta-se o sistema.
a) Registe os resultados obtidos para a velocidade angular e a partir deles:
i)
Caracterize os diferentes tipos de movimento que o sistema apresenta.
ii) Obtenha a aceleração angular do movimento inicial.
iii) Estime a aceleração angular média devida ao momento das forças de atrito.
iv) Calcule a aceleração angular associada ao momento da força de tensão.
4(6)
T4 - Momento de inércia
v) Indique o tipo de movimento da massa m e a aceleração linear correspondente. Calcule
a tensão no fio enquanto a massa desce.
vi) Calcule o momento aplicado pela tensão do fio em que o peso está suspenso.
vii) Calcule o momento de inércia do sistema.
b) Supondo que repetia a experiência utilizando mais duas massas m (100 g e 150 g ou 200g)
para variar o momento aplicado, qual o valor do momento de inércia do sistema, varão mais massas
m1, que espera obter?
m1
Para desencadear o movimento de rotação do varão,
ao qual se adaptam as massas m1, enrola-se um fio em
torno do cilindro de raio r, coaxial com o eixo de rotação,
aplica-se um momento de força suspendendo do fio, que
passa pela roldana, a massa m e liberta-se em seguida o
sistema. Um sensor de posição permite medir tempos de
passagem para o movimento de rotação.
r
m
2. Para uma dada força de tensão aplicada (uma dada massa m, já utilizada nos ensaios
anteriores), altere a posição das massas m1 três vezes (mantendo-as equidistantes do centro) e repita
o estudo realizado em 1 a) com o objectivo de determinar o momento de inércia do sistema em cada
uma destas condições.
3. Meça também o momento de inércia do varão (sem massas).
4. Represente graficamente os momentos de inércia obtidos em função do quadrado da
distância das massas ao centro de rotação. Explique o gráfico obtido. Interprete os parâmetros da
recta ajustada e compare-os com os valores esperados.
5(6)
T4 - Momento
M
de in
nércia
Momeentos de Inércia
I
mr 2
m
Iz =
2
CILINDR
RO
raio r,
altura h,
massa m
Ix = Iy =
BARRA
comprim
mento L,
secção nula,
n
massa m
Ic =
m
(3r 2 + h 2 )
12
mL2
m
12
Adaptado de
d http://en.wikipedia.oorg/wiki/List_of_mom
ments_of_ineertia.
T
Teorema
dos eixoss paralelos
O momentto de inérciaa de um sóllido em relaação a um eixo
e
de rotaação que paassa pelo seu centro dee
massa, ICM
m
dee inércia reelativamente a um eixxo paralelo ao primeirro, Ip estãoo
M e o seu momento
relacionadoos por
Ip = ICM + md
d2
onde d é a distância enntre os eixoos de rotaçãoo paralelos e m a massaa do sólido.
6(6)