LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
16 de Setembro de 2004, às 14:07
Exercı́cios Resolvidos de Dinâmica Clássica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica,
Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı́sica
Matéria para a PRIMEIRA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro
“Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conteúdo
7
7.2.2
Trabalho e Energia Cinética
7.1 Questões . . . . . . . . . . . . .
7.2 Problemas e Exercı́cios . . . . .
7.2.1 Trabalho: movimento
força constante . . . . .
. . . .
. . . .
com
. . . .
2
2
2
2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.2.6
Trabalho executado por força
variável . . . . . . . . . . . . .
Trabalho realizado por uma mola
Energia Cinética . . . . . . . .
Potência . . . . . . . . . . . . .
Energia Cinética a Velocidades
Elevadas . . . . . . . . . . . .
Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para
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jgallas @ if.ufrgs.br
(listam1.tex)
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7 Trabalho e Energia Cinética
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(a) A força aplicada é constante e o trabalho feito por
ela é
3
7.1
Questões
Q 7-13
4&576
"98%:7;<>= =
onde 4 é a força, 6 é o deslocamento do caixote, e é
o ângulo entre a força 4 e o deslocamento 6 . Portanto,
3
?'@
0 *A' 2 *
:A;B<
0 1 /C0 J D
As molas A e B são idênticas, exceto pelo fato de que A
é mais rı́gida do que B, isto é . Qual das duas
molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem
o mesmo deslocamento e (b) quando elas são distendidas por forças iguais.
(b) A força da gravidade aponta para baixo, perpendicular ao deslocamento do caixote. O ângulo entre esta
:A;<
força e o deslocamento é C0 1 e, como
C0 1E 0 , o
trabalho feito pela força gravitacional é ZERO.
(c) A força normal exercida pelo piso também atua per
pendicularmente
ao deslocamento, de modo que o tra(a) Temos e , onde balho
por
ela
realizado
também é ZERO.
representa o deslocamento comum a ambas molas. Por(d)
As
três
forças
acima
mencionadas são as únicas que
tanto,
atuam no caixote. Portanto o trabalho total é dado pela
soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma
das três forças, ou seja, o trabalho total é /C0 J.
ou seja, .
(b) Agora temos e ! , P 7-9 (???/6 . )
onde e representam os delocamentos provocados
pela força idêntica que atua sobre ambas as molas e que A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para
facilitar o levantamento de um peso F . Suponha que o
implica ter-se, em magnitude,
atrito seja desprezı́vel e que as duas polias de baixo, às
"
quais está presa a carga, pesem juntas 0 N. Uma car #$ %
ga de GH0 N deve ser levantada m. (a) Qual a força
mı́nima 4 necessária para levantar a carga? (b) Qual o
donte tiramos & % . Portanto
trabalho executado para levantar a carga de m? (c)
Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d)
Qual o trabalho executado pela força 4 para realizar esta
(' )! * ,+
tarefa?
ou seja, .
+
(a) Supondo que o peso da corda é desprezı́vel (isto é,
que a massa da corda seja nula), a tensão nela é a mesma ao longo de todo seu comprimento. Considerando
as duas polias móveis (as duas que estão ligadas ao peso
F ) vemos que tais polias puxam o peso para cima com
7.2 Problemas e Exercı́cios
"
uma
força aplicada em quatro pontos, de modo que a
-
"
7.2.1 Trabalho: movimento
com força constan- força total para cima aplicada nas polias móveis é H .
"
te
Se for a força mı́nima para levantar a carga (com velocidade constante, i.e. sem acelera-la), então a segunda
lei de Newton nos diz que devemos ter
E 7-2 (7-7/6 . edição)
"JILKJM
H
0
Para empurrar um caixote de /0 kg num piso sem atrito,
um operário aplica uma força de 0 N, dirigida 01 aciKJM
representa o peso total da carga mais polias
ma da horizontal. Se o caixote se desloca de 2 m, qual onde
KJM
móveis,
ou
seja,
N' GHB0%O 0 * N. Assim, encontrao trabalho executado sobre o caixote (a) pelo operário,
mos
que
(b) pelo peso do caixote e (c) pela força normal exercida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total
"
GP0
/ N D
executado sobre o caixote?
H
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"98
KJMQ8
(b) O trabalho feito pela corda é , A magnitude da força de atrito é dada por
H
8
onde é a distância de levantamento da carga. Portanto,
^
`
MfIL"
= o trabalho feito pela corda é
sen *
bdc
ebdcV' Z
N' GP0 *7' *R
`
02 0 J D
(A resposta na tradução do livro está incorreta.)
(c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento da
corda entre o conjunto superior e inferior de polias diminui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da corda abaixo de H metros. Portanto, no total a extremidade
livre da corda move-se ' H *A' *! HG m para baixo.
(d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela
"98
KJMQ8
8
extremidade livre é H , onde é a
distância que a extremidade livre se move. Portanto,
N' GP0 *
HBG
H
onde o valor de foi obtido da segunda equação acima.
^
Substituindo o valor de na primeira das equações acima e resolvendo-a para b c encontramos sem problemas
que
b c
=
:7;< / 1
' TQD PG *
I
' 2>D /BT 7* ' CSD G *
' TQD PG * sen / 1
0>D D
P 7-16 (???/6 . )
Um bloco de 2SDUT/ kg é puxado com velocidade constante por uma distância de HD 0P m em um piso horizontal
por uma corda que exerce uma força de TVD PG N fazen
do um ângulo de /1 acima da horizontal. Calcule (a)
o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b) o
coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o piso.
(a) A força na corda é constante, de modo que o traba"98%:A;B<>=
lho é dado por 4$5W6
, onde 4 é a força
exercida pela corda, 6 é a distância do deslocamento, e
=
é o ângulo entre a força e o deslocamento. Portanto
N' TVD PG *7' HD 0P *
:7;< / 1 20>D
JD
(b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um
diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro)
forças aplicadas.
Desenhe um ponto X representando o bloco. Em X , desenhe a força normal Y apontando para cima, a força
peso ZE[ apontando para baixo. Apontando horizontalmente para a esquerda desenhe a força \ de atrito. Desenhe a força 4 que puxa o bloco apontando
para a direita
=
e para cima, fazendo um ângulo com a horizontal,
Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para
que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equilı́brio
tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece
as equações, respectivamente,
O
sen
7.2.2 Trabalho executado por força variável
P 7-12 (???/6 . )
`
Z
"$:A;B<>=
MgI$"
02 0 J D
Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d)
devem coincidir, o que não ocorre com as respostas fornecidas no livro.
"$:A;<=]I_^
"
=aI
M
sen
Z
0
"
"lk
k9I
A força exercida num objeto é 'hi*j
'mi
*.
Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de
"
k
n 0 até &o (a) fazendo um gráfico de 'hi* e
determinando a área sob a curva e (b) calculando a integral analiticamente.
"
(a) A expressão de 'hi* diz-nos que a força varia lik
nearmente com . Supondo p0 , escolhemos dois
pontos convenientes para, através deles, desenhar uma
linha reta.
"
Ir" k
k
Para q 0 temos enquanto que para sJ
"
" k
temos , ou seja devemos desenhar uma linha rek " k
Ir" k
ta que passe pelos pontos ' 0
* e '@
* . Faça a
figura!
Olhando para a figura vemos que o trabalho total é dado pela soma da área de dois triângulos: um que vai de
k
k
k
E 0 até q , o outro indo de Ee até q .
Como os dois triângulos tem a mesma área, sendo uma
positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total é
ZERO.
(b) Analiticamente, a integral nos diz que
t
vuw " kyx I -z 8
1
" k{x I
z}| v u w
k
0 D
|k
S
|
k
0SD
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7.2.3 Trabalho realizado por uma mola
E 7-22 (7-1/6 . )
E 7-18 (7-21/6 . )
Uma mola com uma constante de mola de / N/cm está
presa a uma gaiola, como na Fig. 7-31. (a) Qual o trabalho executado pela mola sobre a gaiola se a mola é
distendida de TVD P mm em relação ao seu estado relaxado? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola
se ela é distendida por mais TQD P mm?
(a) Quando a gaiola move-se de Eey~ para E
o trabalho feito pela mola é dado por
t
u- I
8
' i* u€
I
|u 
|
|
u €
I
'h ~ *
~
Um elétron de condução (massa Z CSD
 0Sƒ#„ kg)
do cobre, numa temperatura próxima do zero absoluto,
tem uma energia cinética de P>DŒT( 0Qƒ ~Ž J. Qual a velocidade do elétron?
Š
A energia cinética é dada por Zq‹ , onde Z é
a massa do elétron e ‹ a sua velocidade. Portanto
Š
‹ 
Z

S' PSDUTf
C>D

0 ƒ Ž~  *
0 ƒ#„ ~
D 
0‘ m/s D
E 7-29 (???/6 . )
Um carro de 000 kg está viajando a P0 km/h numa es
trada plana. Os freios são aplicados por um tempo suficiente para reduzir a energia cinética do carro de /0 kJ.
onde é a constante de força da mola. Substituindo (a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual a redução
adicional de energia cinética necessária para fazê-lo pa0Sƒ#„ m encontramos
~ 0 m e TQD P‚
rar?
I
I
Š]’
’
i
ƒ
„
0
0SD 0HB2 J D
' /00 *7' TVD P…
* (a) A energia cinética inicial do carro é
Zs‹ ,
onde Z é a massa do carro e
(b) Agora basta substituir-se y~ TVD PL
0Sƒ#„ m e
’
P0f
0„
/QD 
0Sƒ#„ m na expressão para o trabalho:
‹
P
0
PSDUT m/s
km/h
I
I
I
' /00 *>†@' /QD * I
' TVD P * ˆ‡ 
' 0 ƒi„ * 2P00
é a sua velocidade inicial. Isto nos fornece
Š ’
0SD 2 J D
0 00 *7' P>DŒT * N' “
D 2C…
0 ‰ JD
Após reduzir em /0 kJ a energia cinética teremos
Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho reaŠa”
I
lizado é mais do que o dobro do trabalho feito no priD 2C…
0 ‰
/0…
0 „ GSD C‚
0• J D
meiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido
idêntico em ambos intervalos, a força é maior durante Com isto, a velocidade final do carro será
o segundo intervalo.
Ša”
‹
7.2.4 Energia Cinética
E 7-21 (7-???/6 . )
”

Z

0 • *
S' GSD C‚
000
2>D 2 m/s
HVTQD G km/h D
(b) Como ao parar a energia cinética final do carro será
ZERO, teremos que ainda remover GSD C! 0 • J para fazelo parar.
Se um foguete Saturno V com uma espaçonave Apolo
acoplada tem uma massa total de D C] 0‰ kg e atinge P 7-35 (7-17/6 . )
uma velociade de D km/s, qual a sua energia cinética
Um helicóptero levanta verticalmente um astronauta de
neste instante?
T kg até / m de altura acima do oceano com o auxı́lio
M Usando a definição de energia conética temos que
de um cabo. A aceleração do astronauta é 0 . Qual
o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo heŠ
licóptero e (b) pelo seu próprio peso? Quais são (c) a
Zs‹
0 ‰ *A' D 
0 „ *
'@ D C‚
energia cinética e (d) a velocidade do astronauta no mo
~
mento em que chega ao helicóptero?
DŒT/f
0 „ JD
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"
(a) Chame de a magnitude da força exercida pelo (b) A força da gravidade aponta no mesmo sentido
cabo no astronauta. A força do cabo aponta para cima e que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho
M
K MV8
J
o peso Z
do astronauta aponta para baixo. Além disto, – .
M a aceleração do astronauta é 0 , para cima. De acordo (c) O trabalho total feito sobre o bloco é
com a segunda lei de Newton,
"JI
Z
M
Z
M
0
˜
I 2 KJMV8
O
H
KJMQ8
KJMQ8
H
D
"
M o valor acima coincide modo que Z
0 . Como a força 4 e o deslo- Como o bloco parte do repouso,
Š
de
com
sua
energia
cinética
após
haver baixado uma
camento 6 estão na mesma direção, o trabalho feito pela
8
distância
.
força 4 é
8
(d) A velocidade após haver baixado uma distância é
M
3
"98
8
Z
0
C D G A* ' / *
' T *A' S
0
D P…
0• J D
‹ N
Š
K
MQ8

D
M
(b) O peso tem magnitude Z
e aponta na direção oposta do deslocamento. Ele executa um trabalho
7.2.5 Potência
—– I
Z
MV8
I
I ' T *7' CSD G *7' / *)
D 0Pg
0 • JD
P 7-43 (???/6 . )
(c) O trabalho total feito é
I
P00
0P00 Um bloco de granito de HB00 kg é puxado por um guindaste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade
Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do constante de D 2H m/s (Fig. 7-38). O coeficiente de atrito
Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cinética final dinâmico entre o bloco e a rampa é 0SD H . Qual a potência
do guindaste?
deverá ser igual a ˜
Š
(d) Como Zq‹ , a velocidade final do astronauta Para determinar a magnitude " da força com que o
será
guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de corŠ
po livre.
>' 000 *
^
‹ 
G>D C km/h D

/QD T m/s Chamemos de a força de atrito, no sentido oposto ao
"
Z
T de . A normal Y aponta perpendicularmente
à ramM
pa, enquanto que a magnitude Z
da força da gravidade
aponta verticalmente para baixo.
P 7-36 (7-19/6 . )
Da figura dada vemos que ângulo ™ do plano inclinado
Uma corda é usada para fazer descer verticalmente um vale
K
bloco, inicialmente em repouso, de massa
com uma
M
~ x 20 z
aceleração constante H . Depois que o bloco desceu
™ tan ƒ
2VT 1 D
8
H0
uma distância , calcule (a) o trabalho realizado pela
corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o Tomemos o eixo na direção do plano inclinado, aponbloco pelo seu peso, (c) a energia cinética do bloco e (d) tando para cima e o eixo š apontando no mesmo sentido
a velocidade do bloco.
da normal Y .
"
Como
a aceleração é zero, as componentes e š da se(a) Chame de a magnitude da força da corda sobre
"
gunda
lei
de Newton são, respectivamente,
o bloco. A força aponta para cima, enquanto que a
˜
000 J D
KJM
, aponta para baiforça da gravidade, de magnitude
M
xo. A aceleração é H , para baixo. Considere o sentido
para baixo como sendo o sentido positivo. A segunda
KJMfI$"
KJM
lei de Newton diz-nos que
H , de modo
"
KJM
que 2
H . A força está direcionada no sentido
oposto ao deslocamento de modo que o trabalho que ela
faz é
3
Ir"98
I 2 KJMQ8
D
H
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"JI_^aI
M
Z
sen ™
`oI
M›:7;<
Z
™
0
0SD
`
M:7;<
™ , de
Da segunda^ equação
obtemosM›que
Z
`
:A;<
™ . Substiutindo esmodo que œb c
œb c Z
"
te resultado na primeira equação e resolvendo-a para
obtemos
"
Z
M x
sen ™O bdc
:A;<
™
z
D
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A força do guindaste aponta no mesmo sentido que a ve- P 7-48 (7-35/6 . )
locidade do bloco, de modo que a potência do guindaste
Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa
é
total de 00 kg e deve subir /H m em 2 min. O con"
trapeso do elevador tem uma massa de C/0 kg. CalcuX
‹
le a potência (em cavalos-vapor) que o motor do elevaM x
:7;< z
dor deve desenvolver. Ignore o trabalho necessário para
Z
‹ sen ™(O b c
™
colocar o elevador em movimento e para freá-lo, isto
:A;B<
x
z
é, suponha que se mova o tempo todo com velocidade
2BT 1
' H00 *7' CSD G *7' D 2H * sen 2BT 1 Ož0SD H
constante.
T kW D
O trabalho total é a soma dos trabalhos feitos pela
gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravidade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre
P 7-47 (???/6 . )
o sistema: ˜ $¤›Oe¥%Oe¦ . Como o elevador
move-se
com velocidade constante, sua energia cinética
Uma força de / N age sobre um corpo de DŒ/ kg inicialnão
muda
e, de acordo com o teorema do Trabalhomente em repouso. Determine (a) o trabalho executado
Energia,
o
trabalho
total feito é zero. Isto significa que
pela força no primeiro, segundo e terceiro segundos e
$¤ROž$¥)Ož¦ 0 .
(b) a potência instantânea aplicada pela força no final
O elevador move-se /H m para cima, de modo que o trado terceiro segundo.
balho feito pela gravidade sobre ele é
"
‹ e o trabalho feito
(a) A potência é dada por X I
MV8
I I
¤r
Z ¤
PSD 2/f
0 ‰ JD
' 00 *7' CSD G *7' /H *l
por 4 entre o instante Ÿ ~ e Ÿ é
t 
X
8
t Ÿ €
 "
8
‹
O contrapeso move-se para baixo pela mesma distância,
de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele é
ŸˆD
€
MQ8
é a força total, a magnitude da aceleração é
$¥ E
Z ¥
0 ‰ JD
N' C/0 *A' CSD G *7' /H * /QD 02…
Z e a velocidade em função do tempo é dada
"
Como ˜ 0 , o trabalho feito pelo motor é
por ‹ ¡ Ÿ Ÿ Z . Portanto
Como 4
^
¡
t
Para Ÿ ~
0 seŸ
€
"
Ÿ Ÿ I
Z
Ÿ ~
z
D
' 0 * ˆ£ 0SD G2 J D
e s temos
I
x / zR¢
'@* /
' * ˆ£ D / J D
I
x / R
z ¢
H D JD
'2 * @' * ˆ £ „
/
"
"
(b) Substitua
‹ Ÿ Z em X ‹ obtendo então
"
X Ÿ Z para a potência num instante Ÿ qualquer.
Ao final do terceiro segundo temos
X
'/ * '2 *
/
I
¦J
I
¤
/ WD
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
I
' PSD 2/
¥§
D2 
/QD 02 * 
0 ‰
0 ‰ JD
Este trabalho é feito num intervalo de tempo ¨fŸ 2 min G0 s e, portanto, a potência fornecida pelo
motor para levantar o elevador é
X
2 s temos
s temos
I
x / z)¢ ' * /
Para Ÿ ~e s e Ÿ
x
seŸ
Ÿ 8
Z
~ Para Ÿ ~
"

¦
¨fŸ
D2 
G0
0‰
T2/ W D
Este valor corresponde a
T 2/ W
THP W/hp
0SD CC hp D
P 7-49 (???/6 . )
A força (mas não a potência) necessária para rebocar um
barco com velocidade constante é proporcional à veloci
dade. Se são necessários 0 hp para manter uma velocidade de H km/h, quantos cavalos-vapor são necessários
para manter uma velocidade de km/h?
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Como o problema afirma que a força é proporcional Como a velocidade da luz é ­ e
D CCG(
à velocidade, podemos escrever que a força é dada por
"
D 0H
?© ‹ , onde ‹ é a velocidade e © é uma constante de
‹ ­ 0>D PG“­D
D CCG
proporcionalidade. A potência necessária é
X
"
0 ¬ m/s, temos
‹ e© ‹ D
(b) Como a velocidade do elétron é próxima da velocidade da luz,devemos usar expressão relativı́stica para a
Esta fórmula nos diz que a potência associada a uma
energia cinética:
velocidade ‹ ~ é X ~ ª© ‹ ~ e a uma velocidade ‹ é
X
«© ‹ . Portanto, dividindo-se X por X ~ podemos
Š
I -z
x
ZE­ ® I
nos livrar da constante © desconhecida, obtendo que
X
Para X ~r
x ‹
z
X ~ D
‹ ~
' CSD

‹ ­ ~
2>D 0‚
0 ƒ
~
0 ¬-* 
x
0 hp e ‹ 2 ‹ ~ , vemos sem problemas que
x z X
' 0 !
* N' 2 * ' 0 *) C0 hp D
H
0 „ *7'@ D CCG…
®
I
I
z
' 0>D PG * • JD
Observe que é possı́vel determinar-se explicitamente o Este valor é equivalente a
valor de © a partir dos dados do problema. Porém, tal
~
solução é menos elegante que a acima apresentada, onde
Š
2SD 0…
0Qƒ •
D C0…
0 ‰ determinamos © implicitamente, chegando ao resultado
D P0…
0 ƒ ~¯
final mais rapidamente.
C0 keV D
(c) Classicamente a energia cinética é dada por
7.2.6 Energia Cinética a Velocidades Elevadas
E 7-50 (???/6 . )
Š
Zq‹ ' CSD
0 ƒ
~
0 ƒ#„ A* '° D 0H±
0 ¬-* ~
• JD
Um elétron se desloca de /QD cm em 0SD / ns. (a) Qual é
a relação entre a velocidade do elétron e a velocidade da Portanto, o erro percentual é, simplificando já a potência
~
luz? (b) Qual é a energia do elétron em elétrons-volt? comum Q
0 ƒ • que aparece no numerador e denomina(c) Qual o erro percentual que você cometeria se usas- dor,
se a fórmula clássica para calcular a energia cinética do
I 2SD 0
DC
elétron?
erro percentual 0SD 2BT
2SD 0
(a) A velocidade do elétron é
8
‹ Ÿ
/ D 
S
0 ƒ J D 0H‚
0>D g
/ 
0 ƒ 
0¬ m/s D
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
D C0f

ou seja, 2BT² . Perceba que não usar a fórmula relativı́stica produz um grande erro!!
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