Introdução aos Processos
Estocásticos
Probabilidade
Prof.: Fabrício Simões
Justificando o Uso da Teoria da
Probabilidade
Presença de incertezas
no mecanismo de
geração do sinal.


Sinais Aleatórios: Não é possível determinar
precisamente o seu valor em qualquer instante
tempo.
Entretanto, o sinal apresenta padrões de
comportamento.
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2
Probabilidade - Conceitos Básicos
•
•
Experimento Aleatório: Experimento cujos
resultados não podem ser previstos. Ex.:
Medir a tensão instantânea de um sinal de
voz.
Espaço Amostral: Conjunto de todos os
possíveis resultados de um experimento
aleatório. É representado pela letra S.
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3
Espaço Amostral
Espaço Amostral (S)
2
4
3
1
6
5
Um evento (A)
Eventos: Subconjunto de um espaço amostral.
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Probabilidade de um Evento
Probabilidade do evento A, P(A), é a soma da probabilidade
de cada elemento que compõe o conjunto A.

Entretanto, se todos os resultados (elementos)
ocorrem com a mesma probabilidade, então:
N ( A)
P( A) 
N (S )
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Eventos
Equiprováveis
5
Probabilidade Segundo os Axiomas de Kolmogorov
P( A)  0
0  P( A)  1
P( A  B)  P( A) P( B)

O último axioma ocorre quando os eventos A
e B são mutuamente exclusivos.
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Mutuamente Exclusivos

Dois eventos A e B são mutuamente
exclusivos, se
A  B  ,
isto é, A e B não têm elementos em comum.
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Probabilidade

Probabilidade de ocorrer o evento A ou
o evento B.
P( A  B )
Probabilidade de ocorrer o evento A e o evento
B.
P( A  B )
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Probabilidade Condicional


Mede a probabilidade de ocorrer um evento
dado que outro ocorreu.
P(A / B) – Probabilidade de ocorrer A dado
que B ocorreu.
P( A  B)
P( A / B) 
P( B)
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Eventos Independentes


A probabilidade condicional verifica a
dependência entre os eventos A e B.
Os eventos são independentes quando a
ocorrência do evento A não depende do
evento B, então:
P( A  B)  P( A) P( B)
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Variável Aleatória

É uma função que associa um número real
com cada elemento no espaço amostral.
x = f (evento)
nível
baixo
0
nível
alto
1
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Variável Aleatória Discreta

Assume valores isolados (pontuais) dentro do
intervalo [a,b].
x (bits)
Fonte
Digital
1
0
S
P( x  1)  1 / 2
P( x  0)  1 / 2
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Distribuição de Probabilidade –
Variável Aleatória Discreta
O par ( x, f(x) ) é uma distribuição de probabilidade da
variável aleatória discreta X, se para cada possível resultado de
x,
1. f ( x)  0
2.
 f (x )  1
i
i
3. P( X  xi )  f ( xi )
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Variável Aleatória Contínua

Pode assumir qualquer valor dentro de um
intervalo
Fonte de
Ruído
n(t)
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Função Densidade de Probabilidade Variável Aleatória Contínua
A função f(x) é uma função densidade de probabilidade para
a variável aleatória contínua x definida sobre o conjunto R
b
1. P(a  x  b)   f ( x)dx
a
2.
f ( x)  0, para x  

3.
 f ( x)dx  1

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Função Densidade de Probabilidade
(fdp)

A área é igual a probabilidade.
px ( x)
1
ba
a
p qb
Outras funções:
x
Como obter?
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Valor Esperado – E[x]
•
É uma constante que indica qual a média estatística de um
grande número de observações de x.
•
Indica qual a posição da densidade ou da distribuição de
probabilidade.
•
Se x for uma corrente ou tensão elétrica aleatória, o valor de
E[x] é a componente DC.
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Valor Esperado – E[x]
E[ x]   xf ( x)dx
E[ x]   xi P( xi )
Variável aleatória contínua
Variável aleatória discreta
i
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Variância – Var[x]
Mede a variabilidade da variável aleatória x.
É a potência AC em um resistor de 1ohm e sua raiz quadrada
é o valor eficaz da tensão ou da corrente aleatória.
Var[ x]  E[ x2 ]  ( E[ x])2
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Função Densidade de
Probabilidade (fdp) - Histograma

A fdp pode ser obtida mediante o uso do
histograma
X=1000
X=100
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