Conceitos Fundamentais – Aula 3
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1
Formalismo da onda plana e uniforme em espaço livre

^

~
~
~
E   Z0 k x H


1 ^
H
k xE
~
Z0 ~ ~
^

^

~
~
~
~
k .E  k .H 0
^
• Trata-se de uma estrutura TEM (campos ortogonais à direcção de propagação k
)
~
• Os vectores
^
E,H ek
~
~
formam um triedro ortogonal directo.
~
• A onda satisfaz à equação de dispersão
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k 
2
2
c
2
0
2
Equações de Onda em Meios com Perdas
J   E:
~
~
___
___
___

   H   E  j  E
~
~
~
t
Num meio com perdas a condutividade
___
     E   j H
é finita
~
___
___
~
___
___
. E   E   j E     E
2
~
Num bom condutor ρ = 0
~
~
___
___
~
~
2
~
 2 E  j   j  E  0
(só existe carga superficial)
 2  j   j 
 - constante de propagação complexa
   j 
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3
Equação de dispersão
Onda plana e uniforme a propagar-se segundo
2 E
~   2E
~
z 2
E  z   E e z  E 0 e  z e  j  z
~
~0
E  z , t   e z E 0 cos t   z   
~
k . k  j   j   0
~~
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4
Dispersão num Meio com Perdas
___
___
2
 E  j   j  E  0
~
~
 jk
~

j   j 


D   , k   k . k  j   j   0
 ~ ~ ~
O vector de onda k
jk  
^
jk n
~
~
num meio com perdas é complexo
~
^
A normal
n~ à frente de onda (plano de fase constante)
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Condutores e Dieléctricos
 j k  H    j E
~
~
corrente de condução
~
corrente de deslocamento

- É a razão entre a densidade de corrente de condução e a densidade de corrente de

deslocamento.
Bons condutores (como os metais)
Bons dieléctricos (ou isoladores)

 1


 1

Cobre
f  30GHz

 3.5 10 8

Mica (em frequências de audio e radiofrequência)
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
~ 0.0002

6
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Onda electromagnética plana com f = 5 MHz a propagar-se
segundo z:
Campo eléctrico em z = 0 
^

E  100cos( ) x V m1
~
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~

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a) Propagação no ar
Comprimento de onda:
 0 , 0 
c
0   60 m
f
Velocidade de fase: c = 3 x 108 m s
Impedância característica

0
120  
0
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b) Propagação na água do mar
Mar:
r 

 72; 0 ;  4 S m 1
0
L
Constante de atenuação
Constante de fase


2
Z  (1 j )

Profundidade de penetração
Velocidade de fase
2
2

 8.89 Np m1
 8.89rad m 1
Impedancia característica
Comprimento de onda


  e j / 4 
2
 0.707 m

2

 0.112 m

 f   3.53 x 106 ms 1

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Campo à distância de 0.5 m
0 e  z1  0.01
→
Na água do mar a amplitude do campo reduz-se a 1% do seu
valor inicial ao fim de 0.5 m
→
A desfasagem entre o campo eléctrico e magnético é de 45º no
mar e 0º no ar
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Propagação no ar e no mar
As características de propagação de uma onda
electromagnética a propagar-se no ar e na água do
mar são substancialmente diferentes.
A onda atenua-se rapidamente na água do mar e
não sofre atenuação no ar.
O campo eléctrico e magnético estão em fase no ar
e desfasados de /4 no mar.
Mesmo em baixas frequências, a comunicação de
longa distância com submarinos é muito difícil.
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Onda plana e uniforme a propagar-se segundo
^
z:
~
2 E
z
~
2
 2 E
~
Solução:
Ez   E e  z  E 0 e z e  jz
~
~0
Ez, t   e z E 0 cos t   z  
~
Equação de dispersão
k . k  j   j  0
~
~
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
Propagação de Ondas em Dieléctricos

 1

__
__
__
~
~
~
  H  J  j D   E  j E  j  eq E
 eq    j
~
~
~


 Ângulo de perdas do

 
 j      j
2 
dieléctrico:
t g 

 ( 1)

 O efeito das perdas (pequenas) traduz-se no aparecimento de  mas β fica
praticamente inalterado em relação ao caso  = 0.
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Impedância característica
num dieléctrico
Z ~
 
 
1  j

 
2 
 Num dieléctrico com fracas perdas, a pequena componente de perdas vai fazer
aparecer uma pequena componente reactiva na impedância característica.
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 Propagação num Bom Condutor

1

 
 
 

j 1  j
~



^
1 j
 

2

e
 n~ . r~
j

1
e 
^
n~ . r~

j
e 
^
n~ . r~
^
n~
•
direcção de propagação (normal ao plano de fase constante)
A onda é muito atenuada á medida que se propaga no meio condutor e a sua desfasagem por
unidade de comprimento também é muito elevada.
•
A velocidade de fase é muito pequena
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Impedância característica
num bom condutor
Z
•
j
~
  j
j

1 

R

 m
 

 Rm 1  j 
Num bom condutor em radio frequência a taxa de atenuação é muito elevada e a onda só
penetra uma distância curtíssima, sendo rapidamente reduzida a um valor insignificante.
•
δ – profundidade na qual a onda já foi atenuada de 1/e (~ 37% do seu valor inicial)
Cobre
1MHz
0.0667 mm

100 MHz
0.00667 mm
Água do Mar
1MHz
25 m
Água
1MHz
7.1 m
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Polarização de Ondas Electromagnéticas
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Polarização de Ondas Electromagnéticas
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Polarização
•
•
Comportamento temporal do vector campo eléctrico num ponto fixo do espaço
Exemplo: onda plana e uniforme a propagar-se segundo Z
E E
~
~ x
H H
~
__
__
• Ey e Ex
nulos
~

^
^
~
~
x  Ey x
^
^
~
~
x  Hy y
x
^
onda polarizada linearmente em
__
,
~
__
• Ey e Ex
faz
x e em y
~
respectivamente.
^
≠ 0 e em fase
O campo eléctrico resultante tem uma direcção que
com o euxo dos xx:
__
arc t g
Ey
__
Ex
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20
__
__
• Ey e Ex não estão em fase
__
__
E Z   E e  jkz
~
__
E
~ 0
~ 0
 E  jE
~ r
E r , E i  reais
~ i
Num ponto qualquer do espaço (z=0):
E o, t   E r co s t  E i sin t
~
a) E r  Ei  Ea
E o, t   E a
~
^
^

E 0   x  j y E a
~ 
~
~
^
^
^
^


co s t  y sin t   E x x  E y y
x
~
~
~
~


__
E 2x  E 2y  E a2
__
E0
~
__
E0
~
^
^

  x  j y E a
~ 
~
^
^

  x  j y E a
~ 
~
Polarização circular (esquerda)
Polarização circular (direita)
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Polarização elíptica
b ) E r  A,
__
^
~
~
Er  B
^
E  x A j y B
~
Eo, t   x A cos t  y sin t  E x x  E y y
^
~
~
^
^
^
~
~
~
E 2y
E 2x
 2 1
2
A
B
A polarização fica completamente especificada pela orientação e pela razão
entre os eixos da elipse, e pelo sentido segundo o qual a ponta do vector
campo eléctrico se move na elipse.
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Polarização de Ondas Planas
•
A polarização descreve o comportamento no tempo do vector campo eléctrico
num dado ponto do espaço.
•
.
^
~
~
E  Ex x
Onda linearmente polarizada segundo x.
•
__
Sobreposição de 2 ondas linearmente polarizadas
__
^
^
~1
~
~
__
^
^
~ 2
~
~
E  x E 1 Z   x E10 e  jkZ
E  y E 2 Z    y j E20 e  jkZ
^
^


E  z , t   x E10 cost  kz   y E20 cos t  kz  
~
~
2
~

__
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•
Em Z=0
__
^
^
^
~
~
~
~
E z, t   E o, t   x E10 cos t  y E 20 sin t
 E 2 0, t  
 E1 0, t 




 1
E
E
20


 10 
2
E 20  E10
E 20  E10
2
• A onda apresenta polarização elíptica
• A onda apresenta polarização circular
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Polarização circular
  tg 1
E10 = E20 = E0
E
E2 (0, t )
 t
E1 (0, t )
(valor instantâneo)
roda com velocidade angular  no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio
~
_
^
^
~
~
~
E ( z )  ( x  j y ) E0e  jkz
_
^
^
~
~
~
E ( z )  ( x  j y ) E0e  jkz

Onda com polarização circular direita

Onda com polarização circular esquerda
Polarização linear
E1(z) e E2(z)
em quadratura no espaço e em fase no tempo
^
^
~
~
E (0, t )  ( x  y ) E0 cos t
~
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• Difusão AM: polarização vertical
• TV: polarização horizontal
• Telemóveis: polarização circular direita
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