MATRIZES
Definição
Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m
linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.
 a11

a
A =  21
...

 a m1
a12
a 22
...
a m2
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
Notação: A = ( a ij ) m×n com i = 1,2,..., m e j = 1,2,..., n
a ij
- elemento genérico da matriz A
i
- índice que representa a linha do elemento a ij
j
- índice que representa a coluna do elemento a ij
m × n - ordem da matriz. Lê-se “m por n”.
Representações:
A=(
)
A=[
]
A=
Exemplos:
1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 8 × 8 .
 2 3 4
2) A matriz A = ( a ij ) 2×3 onde a ij = i 2 + j é 
.
 5 6 7
3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas:
cidade A cidade B cidade C cidade D
638 1244 957 
cidade A  0


638
0
3572 2704 
0
1036 
cidade C 1244 3572


cidade D  957 2704 1036
0 
Esta é uma matriz 4 × 4 (quatro por quatro).
cidade B 
4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina
distribuída nas três lojas encarregadas da venda.
shorts blusas saias jeans
80 25 40 


loja II  70 100 0 60 
loja III  30 120 70 25 


Esta é uma matriz 3 × 4 (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4
colunas.
loja I  50
1
Igualdade
Duas matrizes de mesma ordem A = ( a ij ) m×n e B = (bij ) m×n são iguais quando a ij = bij
para todo
i = 1,2,..., m e para todo j = 1,2,..., n .
Matrizes Especiais
1. Matriz Linha
Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha.
Notação: A = ( a ij ) 1×n
Exemplo: (− 8 3 4 )1×3
2. Matriz Coluna
Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna.
Notação: A = ( a ij ) m×1
 3
 
Exemplo:  9 
1
  3×1
3. Matriz Nula
Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é,
a ij = 0 para todo i = 1,2,..., m e para todo j = 1,2,..., n .
Notação: 0 m×n
Exemplo:
0 0 0


 0 0 0  2 ×3
4. Matriz Quadrada
Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto
é, m = n .
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
Notação: A = ( a ij ) n ×n = 
...
... ... ... 


 a n1 a n 2 ... a nn 
Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde i = j para todo i, j = 1,2,..., n .
Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde i + j = n + 1 para todo i, j = 1,2,..., n .
Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por trA.
n
trA = ∑ a kk = a11 + a 22 + ... + a nn
k =1
Exemplo:
2
A= 5
 10

3 4
7 0

− 1 9 3×3
Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9.
Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10.
trA = 2 + 7 + 9 = 18
2
5. Matriz Diagonal
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não
pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, a ij = 0 quando i ≠ j para todo i, j = 1,2,..., n .
 2 0 0


Exemplo:  0 1 0 
 0 0 3
 3×3

6. Matriz Identidade
Uma matriz diagonal A é chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal
forem todos iguais a um.
Notação: I n
1 0
Exemplo: I 2 = 

 0 1  2× 2
7. Matriz Triangular Superior
Uma matriz quadrada A é uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal
principal são nulos, isto é, a ij = 0 quando i > j para todo i, j = 1,2,..., n .
1
0
Exemplo:
 0
0
2
5
4

7
3
6
0 −1
0

0
0 − 2 4×4
8. Matriz Triangular Inferior
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz triangular inferior quando os elementos acima da
diagonal principal são nulos, isto é, a ij = 0 quando i < j para todo i, j = 1,2,..., n .
1
Exemplo:  4
7



0
0 0
8 0
−3
3×3
Operações com Matrizes
1. Adição
Sejam A = ( a ij ) m×n e B = (bij ) m×n matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma C = A + B tal
que C = ( c ij ) m×n e c ij = a ij + bij para todo i = 1,2,..., m e para todo j = 1,2,..., n .
Exemplos:
 1 2 − 1
 0 − 7 2,5 
1) Sejam A = 
 e B = 
.
5 
5 3 4 
 − 4 0,5
 1 + 0 2 − 7 − 1 + 2,5  1 − 5 1,5 
Então A + B = 
=
.
4 + 5  1 3,5 9 
 5 − 4 3 + 0,5
3
2) Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e
transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas
em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes.
preço custo
compra transporte
3 15 


substância B 12 8 
substância C  5
2 

Fornecedor 1
substância A 
preço custo
compra transporte
8


substância B  9 9 
substância C  3 5 


Fornecedor 2
substância A  6
A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias
A, B e C é dada por:
 9 23


 21 17 
8 7


Propriedades da Operação de Adição
A1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma ordem, ( A + B ) + C = A + ( B + C ) .
A2. Comutativa: para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, A + B = B + A .
Dem.: Considere matrizes de ordem m × n , A + B = C e B + A = D .
c ij = a ij + bij = bij + a ij = d ij para todo i = 1,..., m e para todo j = 1,..., n .
Assim, C = D .
Logo, a operação de adição é comutativa.
A3. Elemento Neutro: para toda matriz A, A + 0 m×n = 0 m×n + A = A .
A4. Elemento Simétrico:para toda matriz A de ordem m × n existe uma matriz S de mesma ordem
tal que A + S = S + A = 0 m×n .
Sendo A = ( a ij ) m×n tem-se S = ( s ij ) m×n = −( a ij ) m×n .
Notação: S = − A
Assim, A + ( − A) = ( − A) + A = 0 m×n .
Além disso, A + (− B) = A − B .
A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, tr( A + B ) = trA + trB .
Dem: Considere as matrizes de ordem n.
tr ( A + B ) = ( a11 + b11 ) + ... + ( a nn + bnn ) = ( a11 + ... + a nn ) + (b11 + ... + bnn ) = tr ( A) + tr ( B )
4
2. Multiplicação por Escalar
Sejam A = ( a ij ) m×n uma matriz e k ∈ R um escalar, define-se a matriz produto por escalar B = k ⋅ A
tal que B = (bij ) m×n e bij = k ⋅ a ij para todo i = 1,2,..., m e para todo j = 1,2,..., n .
Exemplos:
0
 1


1) Sejam A =  3 − 5  e k = −3 .
−1
7 

( −3).0   − 3
0
 ( −3).1

 

Então ( −3) ⋅ A =  ( −3).3 ( −3).( −5)  =  − 9
15 
 ( −3).( −1)
( −3).7   3 − 21

2) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma
determinada época do ano.
REGIÃO I
REGIÃO II
REGIÃO III
TRIGO
CEVADA
MILHO
ARROZ
1200
600
1000
800
300
1100
500
700
200
700
900
450
Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja
duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é:
 2400 1600 1000 1400 


 1200 600 1400 1800 
 2000 2200 400 900 


Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar
E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares k1 , k 2 ∈ R , ( k1 + k 2 ) ⋅ A = k1 ⋅ A + k 2 ⋅ A .
E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares k1 , k 2 ∈ R , ( k1 ⋅ k 2 ) ⋅ A = k 1 ⋅ ( k 2 ⋅ A) .
E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k ∈ R ,
k ⋅ ( A + B) = k ⋅ A + k ⋅ B .
Dem.: Considere matrizes de ordem m × n , k ⋅ ( A + B ) = k ⋅ C = D e k ⋅ A + k ⋅ B = E + F = G .
d ij = k ⋅ c ij = k ⋅ ( a ij + bij ) = k ⋅ a ij + k ⋅ bij = eij + f ij = g ij , para todo i = 1,..., m e para
todo j = 1,..., n .
Assim, D = G .
Logo, vale a propriedade.
E4. Para toda matriz A de ordem m × n , 0 ⋅ A = 0 m×n .
E5. Para toda matriz A de ordem m × n , 1 ⋅ A = A .
E6. Para toda matriz quadrada A e para todo k ∈ R, tr( k ⋅ A) = k ⋅ trA .
5
3. Multiplicação
Sejam as matrizes A = ( a ij ) m× p e B = (bij ) p×n , define-se a matriz produto C = A ⋅ B tal que
p
C = ( c ij ) m×n e c ij = ∑ a ik ⋅ bkj , isto é, c ij = a i1 ⋅ b1 j + a i 2 ⋅ b2 j + ... + a ip ⋅ b pj para todo i = 1,2,..., m e
k =1
para todo j = 1,2,..., n .
Exemplos:
 1 0


1
2 3
1) Sejam A =  2 1 e B = 
 .
 1 0 − 1
 − 1 4


1 .3 + 0 .0
1.1 + 0.( −1)   2
3
1
 1 .2 + 0 .1

 

Então A ⋅ B =  2.2 + 1.1
2 .3 + 1 .0
2.1 + 1.( −1)  =  5
6
1
 ( −1).2 + 4.1 ( −1).3 + 4.0 ( −1).1 + 4.( −1)   2 − 3 − 5 

 

Observe que A = ( a ij ) 3×2 , B = (bij ) 2×3 e C = ( c ij ) 3×3 .
2) A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos
alimentos I e II.
A B C
alimento I  4 3 0 


alimento II  5 0 1 
Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II a quantidade
consumida de cada tipo de vitamina é dada por:
(5
 4 3 0
2 ) ⋅ 
 = (5 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 5 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1) = (30 15 2 )
 5 0 1
Serão consumidas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina B e 2 unidades de
vitamina C.
Propriedades da Operação de Multiplicação
M1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens m × p, p × l e l × n , respectivamente,
( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) .
Dem.: Considere ( A ⋅ B ) ⋅ C = D ⋅ C = E e A ⋅ ( B ⋅ C ) = A ⋅ F = G .
l
l
p
k =1
k =1
t =1
eij = ∑ d ik ⋅ c kj = ∑ ( ∑ a it ⋅ btk ) ⋅ c kj =
= ( a i1b11 + ... + a ip b p1 )c1 j + ( a i1b12 + ... + a ip b p 2 )c 2 j + ... + ( a i1b1l + ... + a ip b pl )c lj
= a i1b11 c1 j + ... + a ip b p1 c1 j + a i1 b12 c 2 j + ... + a ip b p 2 c 2 j + ... + a i1 b1l c lj + ... + a ip b pl c lj
= a i1 (b11 c1 j + b12 c 2 j + ... + b1l c lj ) + ... + a ip (b p1 c1 j + b p 2 c 2 j + ... + b pl c lj )
p
l
p
t =1
k =1
t =1
= ∑ a it ⋅ ( ∑ btk ⋅ c kj ) = ∑ a it ⋅ f tj = g ij para todo i = 1,..., m e para todo j = 1,..., n .
Assim, E = G .
Logo, vale a propriedade associativa para multiplicação de matrizes.
6
M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes A e B de ordem
m × p , para toda matriz C de ordem p × n e para toda matriz D de ordem l × m ,
( A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C e D ⋅ ( A + B) = D ⋅ A + D ⋅ B .
M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada A de ordem n, A ⋅ I n = I n ⋅ A = A
M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, tr ( A ⋅ B ) = tr ( B ⋅ A) .
M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo k ∈ R ,
k ⋅ ( A ⋅ B ) = ( k ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ ( k ⋅ B )
M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n, A.0 n ×n = 0 n ×n ⋅ A = 0 n ×n
Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação.
Assim, A ⋅ B ≠ B ⋅ A .
Quando A ⋅ B = B ⋅ A , diz-se que A e B são matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes
que comutam entre si.
Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem.
Exemplos:
1) Sejam as matrizes A = ( a ij ) 2×3 e B = (bij ) 3×2 .
A ⋅ B = C = ( c ij ) 2×2 ≠ ( d ij ) 3×3 = D = B ⋅ A .
2) Sejam as matrizes A = ( a ij ) 2×3 e B = (bij ) 3×1 .
A ⋅ B = C = ( c ij ) 2×1 e a matriz produto B ⋅ A não é definida.
1 2
 − 1 0
3) Sejam A = 
 e B = 
 .
3 4
 1 2
1 4   − 1 − 2 
A ⋅ B = 
 ≠ 
 = B ⋅ A
1 8   7 10 
 1 2
1 − 1
4) Sejam A = 
 e B = 
.
1
 − 2 1
1
 3 1
Assim, A ⋅ B = 
 = B ⋅ A .
 − 1 3
Logo, as matrizes A e B comutam entre si.
Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n.
A0 = I n
A1 = A
A2 = A ⋅ A
.....................................
A k = A ⋅ A k −1 = A k −1 ⋅ A
Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência natural de A.
7
Exemplos:
 1 3
1) Seja A = 
 .
 0 1
 1 3  1 3  1 6 
Então A 2 = A ⋅ A = 
 ⋅ 
 = 
 .
 0 1  0 1  0 1 
2
1
2) Sejam o polinômio f ( x ) = x 2 + 2 x − 11 e a matriz A = 
 .
 4 − 3
Determinando o valor f ( A) :
f ( x ) = x 2 + 2 x − 11 = x 2 + 2 x 1 − 11x 0
f ( A) = A 2 + 2 ⋅ A1 − 11 ⋅ A 0 = A 2 + 2 ⋅ A1 − 11 ⋅ I 2
2
4   − 11
0  0 0
 9 − 4
1
 1 0  9 − 4  2
f ( A) = 
 + 2 ⋅ 
 − 11 ⋅ 
 = 
 + 
 + 
 = 

 − 8 17 
 4 − 3
 0 1   − 8 17   8 − 6   0 − 11  0 0 
A matriz A é uma raiz do polinômio, já que f ( A) = 0 2×2 .
Matriz Idempotente
Uma matriz quadrada A é idempotente quando A 2 = A .
1
 2 −1


Exemplo: A matriz  − 3
4 − 3  é idempotente. (Verifique!)
− 5
5 − 4 

4. Transposição
Seja a matriz A = ( a ij ) m×n , define-se a matriz transposta B tal que B = (bij ) n×m e bij = a ji , isto é, é a
matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes.
Notação: B = A t
Propriedades da Operação de Transposição
T1. Involução: para toda matriz A, ( A t ) t = A .
T2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ( A + B ) t = A t + B t .
Dem.: Considere matrizes de ordem m × n , ( A + B ) t = C t = D e A t + B t = E + F = G .
d ij = c ji = a ji + b ji = eij + f ij = g ij para todo i = 1,..., m e para todo j = 1,..., n .
Assim, D = G .
T3. Para toda matriz A e para todo escalar k ∈ R , ( k ⋅ A) t = k ⋅ A t .
T4. Para toda matriz A de ordem m × p e para toda matriz B de ordem p × n , ( A ⋅ B ) t = B t ⋅ A t .
T5. Para toda matriz quadrada A, tr ( A t ) = trA .
8
Classificação de Matrizes Quadradas
1. Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada A é denominada simétrica quando A t = A .
 4 3 − 1


Exemplo:  3 2
0
−1 0
5 

Os elementos da matriz dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.
2. Matriz Anti-simétrica
Uma matriz quadrada A é denominada anti-simétrica quando A t = − A .
3 − 1
 0


Exemplo:  − 3
0
7
 1 −7
0 

Todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos simetricamente dispostos
em relação à diagonal principal têm sinais contrários.
3. Matriz Invertível ou Não-singular
Uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existir uma matriz quadrada B de mesma
ordem tal que A ⋅ B = B ⋅ A = I n . A matriz B é dita matriz inversa da matriz A.
Notação: B = A −1
A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I n
Exemplos:
 2 5
 3 − 5
1) A matriz 
 é invertível e sua inversa é 
 pois:
 1 3
−1 2 
 2 5  3 − 5  3 − 5  2 5  1 0 

 ⋅ 
=
⋅
=

2   − 1
2   1 3  0 1 
 1 3  − 1
 2 − 1
2) Obtendo a matriz inversa da matriz A = 

 1 0
 x z
Considere B = 

y t
 2 − 1  x z   2 x − y 2 z − t   1 0 
Se A ⋅ B = I n então 
 ⋅ 
 = 
=

z   0 1 
 1 0  y t   x
2 x − y = 1
x = 0

Assim, 
2 z − t = 0
 z = 1
 0 1
Desta forma, B = 

 − 1 2
9
Verifica-se também que B ⋅ A = I n .
 0 1
Então a matriz inversa da matriz A é A −1 = 
 .
 − 1 2
 1 2 3
3) A matriz  4 5 6  não possui inversa.
7 8 9


Propriedades das Matrizes Invertíveis
I1. Involução: ( A −1 ) −1 = A .
I2. ( A ⋅ B ) −1 = B −1 ⋅ A −1 .
dem.: ( A ⋅ B ) ⋅ ( B −1 ⋅ A −1 ) = ( A ⋅ ( B ⋅ B −1 )) ⋅ A −1 = ( A ⋅ I n ) ⋅ A −1 = A ⋅ A −1 = I n .
Analogamente, ( B −1 ⋅ A −1 ) ⋅ ( A ⋅ B ) = ( B −1 ⋅ ( A −1 ⋅ A)) ⋅ B = ( B −1 ⋅ I n ) ⋅ B = B −1 ⋅ B = I n .
Logo, o produto é invertível.
I3. ( A t ) −1 = ( A −1 ) t .
Semelhança de Matrizes
Duas matrizes A, B ∈ Mat n (R ) são semelhantes quando existe uma matriz invertível P∈ Mat n (R )
tal que B = P −1 AP .
 0 1 1 0 
 e 
 são semelhantes.
Exemplo: As matrizes 
 1 0  1 − 1
 13 13 
1 0   13
 2 − 1
−1




Considere P = 
 e P =  − 1 2  . Assim, 1 − 1 =  − 1
1
1

  3


 3 3
1
3
2
3
  0 1  2 − 1
 ⋅ 
 ⋅ 
 .
1
0
1
1
 

 
4. Matriz Ortogonal
Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando A −1 = A t .
 cos θ
Exemplo: 
 senθ
− senθ 

cos θ 
5. Matriz Normal
Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é,
A ⋅ At = At ⋅ A .
 6 − 3
Exemplo: 

6 
3
10
Operações Elementares
São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares:
OE1. A troca da linha i pela linha j.
Li ↔ L j
OE2. A multiplicação da linha i por um escalar k ∈ R não nulo.
Li ← k ⋅ Li
OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, com k ∈ R não nulo.
Li ← Li + k ⋅ L j
0 0


Exemplo:  2 4  L1 ↔ L3
1 5


 1 5
 1 5




1
 2 4 L2 ← L2  1 2 L2 ← L2+(-1)L1
2




 0 0
 0 0
5
1


 0 − 3
0
0 

Matriz Equivalente por Linha
Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A,
quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações
elementares sobre as linhas da matriz A.
 0 0
5
1




Exemplo: A matriz  2 4 é equivalente a matriz  0 − 3 , pois usando somente operações


0
0 
 1 5

elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda.
Matriz na Forma Escalonada
Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não
nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não
nulas.
7

0
Exemplos: 
0

0
1
1
0
0
0
3

0
5
2
6

0 − 1
2

0
0

0
0 0 5
 1 − 2 0 5

 1 2 3 
 0
0 3 1 
1 4 0


0 0 5  0 0 0  0
0 0 0



0 0 0
0 0 0 
0
 1 0 0


 0 1 0


 0 0 1
11
Escalonamento por Linha de uma Matriz
Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por linhas a esta matriz na forma
escalonada:
Exemplos:
1 2

1)  4 5
7 8

3

6  L2 ← L2 + (−4) L1
9 
2
3
1


 0 − 3 − 6  L3 ← L3 + (−7) L1
7
8
9 

2
3
1


L3 ← L3 + (−2) L2  0 − 3 − 6 
0
0
0 

2
3
1


 0 − 3 − 6
 0 − 6 − 12 


2
1 2
1
2
0
0





0
3 0
0 − 6
0
0
L2 ← L2 + (−3) L1 
L4 ← L4
L1 ↔ L3 
2
0
0 2
0
0
2





3
3
 0 − 1 3
0 − 1
0 1 2
0
 0 1 2





0 0 1
0 0 1
0

1


L2 ← ( − 6 ) L 2 
L
←
L
+
(
−
2
)
L
L
←
L
+
(
−
5
)
L
3
3
2
4
4
2
0
0 0 2
0 0 0





0
 0 0 5
0 0 5
0
0

3
0
2) 
0
1

0 − 1
0

0
+ L1 
0

0
1 2

0 1
0 0

0 0
1
2

0 − 6
0
2

0
5 
A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante é observar que o objetivo é
aumentar o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha.
Posto de uma Matriz
O posto de uma matriz A pode ser obtido escalonando-se a matriz A. O número de linhas não nulas
após o escalonamento é o posto da matriz A.
Notação: PA
Exemplo: Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual a dois.
Aplicações de Operações Elementares
1. Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A de ordem n.
Passo 1: Construir a matriz ( A | I n ) de ordem n × 2n .
Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz ( A | I n ) de forma a transformar o
bloco A na matriz identidade I n .
Caso seja possível, o bloco I n terá sido transformado na matriz A −1 .
Se não for possível transformar A em I n é porque a matriz A não é invertível.
2
1 2 2
 −1 0




−1
Exemplo: Seja A =  3 1 0  . A matriz inversa é A =  3
1 − 6 .
1 1 1
− 2 −1
5 



12
2
2
1
 1 2 2 1 0 0
1



 3 1 0 0 1 0  L2 ← L2 + (−3) L1  0 − 5 − 6 − 3
 1 1 1 0 0 1
1
1
1
0



2
2
1 0 0
2
2
1 0
1
1



 0 − 5 − 6 − 3 1 0  L2 ↔ L3  0 − 1 − 1 − 1 0
 0 − 1 − 1 − 1 0 1
0 − 5 − 6 − 3 1



2
2
1 0
0
1


1
1
1 0 − 1 L3 ← L3 + 5L2
0
 0 − 5 − 6 − 3 1 0


0 −1 0
2
1 0
1



1
1 0 − 1 L3 ← (−1) L31  0
0 1
 0 0 − 1 2 1 − 5
0



2
1 0 0 −1 0


3
1 − 6
0 1 0
0 0 1 − 2 − 1
5 

2
1 2

1
0 1
0 0 − 1

0 0
−1
1 1
1
0 1 −2
0 0

1 0  L3 ← L3 + (−1) L1
0 1
0

1 L2 ← (−1) L2
0 
1 0
0

1 0 − 1 L1 ← L1 + (−2) L2
2 1 − 5 
0
2

0 − 1 L2 ← L2 + (−1) L3
−1
5 
Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa
Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz A é equivalente
por linha a matriz I n .
Desta forma, a seqüência de operações elementares que reduz a matriz A na matriz I n , transforma a
matriz I n na matriz A −1 .
1 2
Exemplo: Considere a matriz A = 
 .
 0 3
A redução da matriz A à matriz identidade é:
1 2
1 0
1 1 2

 L 2 ← L 2 
 L 1 ← L 1 + ( −2) L 2 

3 0 1
 0 3
0 1
Aplicando em I n a mesma seqüência de operações:
2

1 − 
 1 0
1  1 0 
3
1 L 1 ← L 1 + ( −2 ) L 2 

 L 2 ← L 2
0
1


0
1
3
 0


3


3

2

1 − 
3  é a inversa da matriz A.
Assim, a matriz 
1
 0

3

13
2. Cálculo do Determinante
A qualquer matriz quadrada A podemos associar um certo número real denominado determinante
da matriz.
Notação: det A ou A
É importante observar que:
a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz A, seu determinante troca de sinal.
b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de
uma certa linha forem multiplicados por k.
c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo L i ← L i + k ⋅ L j .
(Teorema de Jacobi).
d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas
da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada,
respeitando-se as propriedades de determinantes acima.
Exemplos:
1 5
1 5
3
0
0
 1 − 2 3
1 −2








1) det 3 − 6 9  = 3 det 1 − 2 3  = (−3) det 0
1 5  = (−3) det 0
1
5 =
2
2
2
 0 10 − 5 
6 1
6 1
6 1





3
1 −2


(−3) det 0
1
5  = (−3) ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ (−55) = 165
0
0 − 55 

2

2
2) det
1

0

1

0
det
0

0

3 −4
1
1


0
0 − 3
2
=
−
(
1
)
det
2
1 − 2 − 5


0
1
2
3 

1 − 2 − 5
1 1


1
0 11
0 1
=
det
0 0
−2
4
7


0 0
1
2
3 

1

0
(−2) det
0

0

1
1
0
0
1 − 2 − 5
1 − 2 − 5
1



0
0 − 3
4
7
0 − 2
= (−1) det
=
3 −4
1
0
1
0 11



0
1
2
3 
1
2
3 

− 2 − 5
 1 1 − 2 − 5



0 11
0 11
0 1
= (−1) det
=
4 29 
0 0
2 − 8



0 0
2 − 8 
4 29 

− 2 − 5
 1 1 − 2 − 5



0 11
0 11
0 1
= (−2) det
= (−2) ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 45 = −90
1 − 4
0 0
1 − 4



0 0
4 29 
0 45 

Outras informações sobre este tópico encontram-se no Apêndice A.
14
3. Resolução de Sistemas
Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes
no próximo capítulo.
Exercícios
b + c  8 1
 a−b
1) Resolva a equação matricial 
 = 
, indicando os valores para a, b, c e d.
d
c
a
d
3
+
2
−
4
7
6

 

 2 − 1 3
 8 − 3 − 5
 0 − 2 3






2) Considere A =  0
4 5 , B =  0
1
2 , C =  1
7 4  e k = 4 . Verifique se:
− 2
4 − 7
3
1 4 
6 
9 9 



a) ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C )
b) k ⋅ ( B − C ) = k ⋅ B − k ⋅ C
c) tr ( A + B ) = trA + trB
d) tr ( A ⋅ C ) = trA ⋅ trC
1 2
3) Seja A = 
 . Indique uma matriz quadrada B de ordem 2 não nula tal que A ⋅ B = 0 2×2 .
3 6
 2 1
4) Seja A = 
 . Resolva a equação matricial A ⋅ X = I 2 , onde X = ( x ij ) 2×2 .
 1 1
5) Mostre que, em geral,
ordem.
A 2 − B 2 ≠ ( A − B ) ⋅ ( A + B ) , sendo A e B matrizes quadradas de mesma
1 2
6) Seja A = 
 . Encontre A n .
0
1


0
3
7) Verifique que a matriz 
 é uma raiz do polinômio f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 .
 8 − 1
 2 0
8) Considere A = 
 .
4 1
a) Indique a matriz A 2 − 2 ⋅ A + I 2
b) A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, indique A −3 = ( A −1 ) 3 .
 1 0
9) Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz 

 0 0
 0 1
quanto com a matriz 
 são múltiplas de I 2 .
 0 0
 1 2
10) Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz 
 .
 − 2 1
15
2
1
 5 0
11) Sejam A = 
 e B = 
 . Verifique a igualdade ( A ⋅ B ) t = B t ⋅ A t .
3 − 4
 − 6 7
12) Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e A ⋅ B = A ⋅ C então B = C . (Lei do Corte)
 2 − 1 3
1


 
13) Sejam A =  1 0 2  e B =  2  . É possível calcular X, na equação A ⋅ X = B ?
0
 3
0 1

 
14) Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações,
considerando X a variável.
a) A ⋅ B ⋅ X = C
b) C ⋅ A ⋅ X t = C
c) A ⋅ X 2 ⋅ C = A ⋅ X ⋅ B ⋅ C
d) A ⋅ B −1 ⋅ X = C ⋅ A
e) A 2 ⋅ X t = A ⋅ B ⋅ A
15) Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz ( A t ⋅ A) é invertível. A matriz A ⋅ ( A t ⋅ A) −1 ⋅ A t é
simétrica? E idempotente?
 cos θ
16) Mostre que a matriz 
 senθ
− senθ 
 é uma matriz ortogonal.
cos θ 
1

17) Determine a, b e c de modo que a matriz  0

a

0
1
2
b
0 
1 
seja ortogonal.
2
c 
18) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica.
19) Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas.
20) Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz B ⋅ A 2 também é simétrica?
Justifique.
21) Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique.
22) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique.
23) Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o
elemento a ij da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i
passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de
uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo
refrigerante.
16
Gelato Delícia Suave
 0,8 0,1 0,1 


Delícia  0,4 0,5 0,1 
Suave  0,6 0,2 0,2 


Gelato
a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o
refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato?
b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas.
 1 2 − 4


24) Verifique se a matriz  − 1 − 1
5  é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa.
 2
7 − 3

 1 2 − 1


25) Para que valores de a a matriz  0 1
1 admite inversa?
 1 1 a


0
1 3


26) Dada a matriz A =  2 5 − 1 . Indique a matriz ( A | I 3 ) e determine A −1 .
 0 1 2


3 − 3
1


27) Dada a matriz A =  0 − 1
2  . Indique a matriz A.
1 − 2
1

−1
1 1 1


28) Determinar o valor de a a fim de que a matriz  2 1 2  seja invertível.
1 2 a


 1 − 2 4   3 0 1


 
29) Calcule o determinante das matrizes  2 −3 5  e  2 4 6  .


 3 −4 6  − 4 1 2 
30) Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que det A = 5 , determine:
a) det(3 ⋅ A)
b) det A t
c) det( − A)
d) det A 2
5 
a −1
31) Encontre todos os valores de a para os quais det 
 = 0.
a + 3 
 0
17
Respostas
1) a = 5, b = −3, c = 4, d = 1
23) a) 0,1 e 0,6
3
 − 16 − 11

 7
5
24) A =  2
− 12 
2
1
 −5 −3
2
2
 2
25) a ≠ −2
 − 2 z − 2t 

3) B = 
 ,t,z ∈ R * 
t
 z

−1
 1 − 1
4) X = 

 − 1 2
 1 2n 
6) A n = 

0 1 
 1 0 
8) a) 
 b) 
 4 0  −
 x
10) 
 − y
 0,74 0,15 0,11 


b)  0,58 0,31 0,11 
 0,68 0,20 0,12 


6
3
 − 11


26) A =  4 − 2 − 1
 −2
1
1

1
 12 12
2
1 2

27) A =  3 3 − 13 
1 5 − 1
6
6 6
−1
1
8
7
2
0

1

y
 ,x,y ∈ R 
x

28) a ≠ 1
 − 4
 
13) Sim, X =  0 
 3
 
14) a) X = B −1 ⋅ A −1 ⋅ C
b) X = ( A −1 ) t
c) X = B
d) X = B ⋅ A −1 ⋅ C ⋅ A
e) X = ( A −1 ⋅ B ⋅ A) t
15) Sim. Sim.
17) b = 22 e c = − 22 ou b = −
29) 0 e 24, respectivamente.
30) a) 3 n ⋅ 5
b) 5
 5 se n for par
c) 
− 5 caso contrário
d) 25
31) a = 1 ou a = −3
2
2
ec=
2
2
18
Apêndice A - Determinante
Permutações
Seja um conjunto finito A qualquer, uma permutação em A é qualquer função bijetora f : A → A .
Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem n! permutações possíveis.
Exemplos:
1) Seja A = {a, b} e as bijeções abaixo:
a
a
a
a
b
b
b
b
A notação usual é:
a b


a b
a b


b a
Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais e a segunda os elementos
reorganizados.
2) Seja A = {1,2,3} .
 1 2 3 1 2 3  1 2 3
 e
 são três das seis permutações possíveis em A.

, 
 2 1 3 1 3 2  3 1 2
3) Seja A = {a, b, c, d } .
a b c d 
 é uma das 24 permutações possíveis.

b c d a 
Se A for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações podem ser classificadas como
permutações pares e permutações ímpares. Uma permutação é par quando o número de elementos dentre os elementos reorganizados - “fora de ordem” for par e é ímpar quando este número for ímpar.
Exemplos:
1) Seja A = {1,2,3} com a ordem numérica usual, isto é, 1 ≤ 2 ≤ 3 .
 1 2 3 1 2 3
 1 2 3

e 
 são permutações ímpares e 
 é par.
 2 1 3 1 3 2
 3 1 2
2) Seja A = {a, b, c, d } com a ordem lexicográfica (alfabética) usual.
a b c d 

 é uma permutação ímpar.
b c d a 
Além disto, às permutações pares é associado o sinal positivo e às ímpares o sinal negativo.
19
O Determinante
Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder um certo número denominado
determinante da matriz A.
Notação: det A
A
det( a ij ) n ×n
 a11

Considere, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3, A =  a 21
a
 31
a12
a 22
a 32
a13 

a 23  , e as permutações
a 33 
possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}.
1 2 3
A partir da permutação ímpar 
 associa-se o produto “ − a11 a 23 a 32 ” , tal que os índices linha
1 3 2
correspondem a primeira linha da representação da permutação, os índices coluna são obtidos da
segunda linha e o sinal negativo da classificação da permutação.
O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas as seis permutações possíveis no
conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e sinalizadas.
Assim, o determinante é dado por:
det A = a11 a 22 a 33 − a11 a 23 a 32 − a12 a 21 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a13 a 23 a 31
Genericamente, para uma matriz de ordem n, o determinante é o número obtido do somatório dos
produtos sinalizados de elementos a ij da matriz, combinados de acordo com as permutações do
conjunto de índices {1, 2,..., n}.
Exemplos:
1) det(6) = 6
 − 1 0
2) det 
 = a11 a 22 − a12 a 21 = ( −1).7 − 0.2 = −7
2
7


 2 5 − 2


3) det  − 1 0
4  = a11 a 22 a 33 − a11 a 23 a 32 − a12 a 21 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a13 a 22 a 31
 0 1
0 
2

1
1
= 2.0.0 − 2.4. − 5.( −1).0 + 5.4.0 + ( −2).( −1). − ( −2).0.0
2
2
= −3
20
Desenvolvimento de Laplace
Seja uma matriz quadrada de ordem n,
 a11

a
A =  21
....

 a n1
a12
a 22
...
an2
.... a1n 

.... a 2 n 
..... .... 

.... a nn 
Considere um elemento a ij qualquer, com i, j = 1,..., n e a submatriz Aij de ordem ( n − 1) obtida a
partir da matriz A retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O determinante da submatriz Aij
sinalizado por ( −1) i + j é denominado o cofator do elemento a ij .
 2 5 − 2


Exemplo: Seja a matriz  − 1 0
4 .
 0 1
0 
2

2 5 
1  = ( −1).1 = −1
O cofator do elemento a 23 , isto é, de 4 é : ( −1) 2 + 3 . det 
0

2

 5 − 2
O cofator do elemento a 31 = 0 a31 é: ( −1) 3+1 . det 
 = 1.20 = 20
4 
0
Considere uma certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido por:
n
det A = ∑ a ij ⋅ ( −1) i + j ⋅ det Aij
j =1
A expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de matrizes de ordem menores)
conhecida como desenvolvimento de Laplace.
Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se uma certa coluna j e a expressão passa a ser:
n
det A = ∑ a ij ⋅ ( −1) i + j ⋅ det Aij
i =1
Exemplos:
 − 1 0
1) A = 
 fixada a linha 2.
 2 7
det A = a 21 ( −1) 2 +1 det A21 + a 22 ( −1) 2 + 2 det A22 = 2.( −1) 3 . 0 + 7.( −1) 4 . − 1 = 2.( −1).0 + 7.1.( −1) = −7
 2 5 − 2


2) A =  − 1 0
4  fixada a linha 1.
 0 1
0 
2

det A = a11 ( −1) 1+1 det A11 + a12 ( −1) 1+ 2 det A12 + a13 ( −1) 1+ 3 det A13
0
= 2 .1 . 1
2
4
0
+ 5.( −1).
−1 4
0 0
+ ( −2).1.
−1
0
0
1
2
21
Fixando ainda a linha 1 para as submatrizes:
det A = 2.1.[0.( −1) 1+1 . det A11 + 4.( −1) 1+ 2 . det A12 ] +
5.( −1).[( −1).( −1) 1+1 . det A11 + 4.( −1) 1+ 2 . det A12 ] +
( −2).1.[( −1).( −1) 1+1 . det A11 + 0.( −1) 1+ 2 . det A12 ]
1
1
= 2.1.[0.1. 0 + 4.( −1). ] + 5.( −1).[( −1).1. 0 + 4.( −1). 0 ] + ( −2).1.[( −1).1. + 0.( −1). 0 ]
2
2
1
= 2.1.( −2) + 5.( −1).0 + ( −2).1. = −4 + 1 = −3
2
Propriedades
Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e k ∈ R não nulo.
D1. Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então det A = a11 a 22 ...a nn .
 a11

 0
dem: Considere a matriz A = 
...

 0
a12
a 22
...
0
a1n 

.... a 2 n 
.
..... .... 

.... a nn 
....
Fixando a coluna 1 para o cálculo dos determinantes,
n
det A = ∑ a i1 ( −1) i +1 det Ai1 = a11 ( −1) 1+1 det A11 + a 21 ( −1) 2 +1 det A21 + ... + a n1 ( −1) n +1 det An1
i =1
 a 22 a 23 ... a 2 n 


n −1
 0 a 33 ... a 3n 
i +1
= a11 det 
=
a
det Ai1
11 ∑ a i1 ( −1)
...................... 
i =1


0
0
...
a
nn 

1+1
= a11 [a 22 ( −1) det A11 + ... + a nn ( −1) n −1+1 det A( n −1)1 ]
 a 33 a 34 ... a 3n 


n −2
 0 a 44 ... a 4 n 
i +1
= a11 a 22 det 
=
a
a
det Ai1
11 22 ∑ a i1 ( −1)

......................
i =1


 0 0 ... a nn 
= a11 a 22 [a 33 ( −1) 1+1 det A11 + ... + a nn ( −1) n − 2 +1 det A( n − 2 )1 ]
= a11 a 22 ...a nn
Corolários:
i) det 0 n = 0
ii) det I n = 1
iii) Se A é uma matriz diagonal então det A = a11 a 22 ...a nn .
D2.
D3.
D4.
D5.
D6.
det A = 0 , quando A possuir uma linha (ou coluna) nula.
det A = 0 , quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais.
det( k ⋅ A) = k n ⋅ det A
det( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B
det A = det A t
22
D7.Considere a matriz A e B a matriz obtida a partir de A por aplicação de operações elementares:
a) Li ↔ Lj : det B = − det A
b) Li ← k.Li : det B = k ⋅ det A
 a11 a12 ... a1n 


 ......................... 
dem: Considere a matriz A =  a i1 a i 2 ... a in  .


 ........................ 

a a
 n1 n 2 ... a nn 
Fixando a linha i para o cálculo dos determinantes,
n
det A = ∑ a ij ( −1) i + j det Aij
j =1
 a11 a12 ... a1n 


 ......................... 
Seja a matriz B =  ka i1 ka i 2 ... ka in  obtida pela operação elementar Li ← k.Li.


 ........................ 

a
 n1 a n 2 ... a nn 
n
det B = ∑ ( ka ij )( −1)
j =1
i+ j
n
det Aij = k ⋅ ∑ a ij ( −1) i + j det Aij = k ⋅ det A
j =1
c) Li ← Li + k.Lj : det B = det A
D8. A é uma matriz invertível se e somente se det A ≠ 0 .
1
D9. Se A é uma matriz invertível então det A −1 =
.
det A
D10. Se A e B são matrizes semelhantes então det A = det B .
D11. Se A é uma matriz ortogonal então det A = ±1 .
Exercícios
1) Calcule o determinante usando permutações.
 1 4 7


 1 2
a) 
b)  2 5 8

 3 4


 3 6 9
2) Calcule o determinante usando desenvolvimento de Laplace.
 1 0 1 1
 1 4 7




5 1 1
2
a)  2 5 8 b) 
3 − 1 4 1




 3 6 9
 1 2 0 1
3) Indique o valor de x para que as matrizes sejam invertíveis.
1
1 2 3
 x 1




a)  4 5 6  b)  − 1 1 x 
7 8 x
 x 1 − 1




23