Gráficos Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html O que f ’ nos diz sobre f? O que f ’ nos diz sobre f? f � (x) > 0
�
f (x) < 0
f (x) = x2
f � (x) = 2x
x > 0 ↔ f � (x) > 0
x < 0 ↔ f � (x) < 0
a)  f’(x) ≥ 0 em um intervalo A se e somente se f é crescente em A
b)  f’(x) ≤ 0 em um intervalo A se e somente se f é decrescente em A
Demonstração: Suponha f’(x) ≥ 0 em A Suponha f crescente, ou seja:
x1 < x2 → f (x1 ) ≤ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ I
x2 − x1 > 0
�
f (x2 ) − f (x1 )
≥0
x2 − x1
f (x) − f (x1 )
≥0
f (x1 ) = lim+
x − x1
x→x1
Pelo Teorema do Valor Médio,
existe c em (x1,x2) tal que f (x2 ) − f (x1 )
f (c) =
x2 − x1
f (x2 ) − f (x1 ) ≥ 0
�
Tome x1, x2 quaisquer em A. Mas f’(c) ≥ 0 por hipótese, logo: ∀x1
f (x2 ) − f (x1 )
≥0
x2 − x1
Se x2 > x1, teremos f(x2) ≥ f(x1). Exemplo: Encontre onde a função
ela é decrescente.
é crescente e onde
= 12x(x2 − x − 2)
Calculando as raízes… x=
1±
�
√
1±3
1± 9
− 4 · 1 · (−2)
=
=
2·1
2·1
2·1
(−1)2
x1 = 2, x2 = −1
f � (x) = 12x(x − 2)(x + 1)
Vamos estudar o sinal de f (x), ou seja, quando f (x) > 0 e quando f (x) < 0: o -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ decrescente -­‐ -­‐ + + crescente + -­‐ + -­‐ decrescente + + + + crescente Exemplo: Encontre onde a função
ela é decrescente.
é crescente e onde
o -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ decrescente -­‐ -­‐ + + crescente + -­‐ + -­‐ decrescente + + + + crescente -1 2 Relembrando… Mas nem todo ponto crítico é
ponto extremo! Quando será?
Teste da Primeira Derivada: Suponha que c seja um número crítico de uma função
contínua f.
a)  Se o sinal de f’ mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo
local em c.
b)  Se o sinal de f’ mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo
local em c.
c)  Se f’ não mudar de sinal em c (ambos os lados positivos ou negativos), f não tem
máximo ou mínimo local em c.
Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função
Vamos detectar onde o sinal de f muda… x=-1: negativo para positivo o -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ decrescente -­‐ -­‐ + + crescente + -­‐ + -­‐ decrescente + + + + crescente x=2: negativo para positivo x = -1: ponto de mínimo mínimo local: f(-1) = 0 x = 0: ponto de máximo máximo local: f(0) = 5 x = 2: ponto de mínimo mínimo local: f(2) = -27 x=0: positivo para negativo 1 2 Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função:
Vamos estudar o sinal de g … g � (x) < 0 → 1 + 2 cos(x) < 0
1
cos(x) < −
2
2π
4π
<x<
3
3
g � (x) > 0 → 1 + 2 cos(x) > 0
2π
4π
0≤x<
< x ≤ 2π
ou 3
3
2π
x=
3
o crescente decrescente crescente 4π
x=
3
Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função:
o crescente decrescente crescente 2π
x=
: ponto de máximo 3
máximo local: f
4π
: ponto de mínimo x=
3
mínimo local: f
�
�
2π
3
4π
3
�
�
≈ 3, 83
≈ 2, 46
Concavidade Concavidade Definição: Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo
I, então ele é dito côncavo para cima em I. Se o gráfico de f estiver abaixo de
todas as suas tangentes em I, é dito côncavo para baixo em I. Concavidade Exemplo CB CC CB CC CC CB Concavidade para cima Inclinação está crescendo f’ é crescente f’’ é positiva > < Exemplo: A Figura abaixo mostra um gráfico da população de abelhas cipriotas criadas
em um apiário. Como cresce a taxa populacional? Quando essa taxa é mais alta? Sobre
quais intervalos P é côncavo para cima ou côncavo para baixo?
Número de abelhas
(em milhares) Taxa populacional equivale à inclinação da reta tangente Taxa populacional começa pequena, e cresce até atingir t = 12
Após t = 12, a taxa populacional diminui
Consequentemente, a taxa é máxima em t = 12
Côncavidade para cima: t em (0,12)
Côncavidade para baixo: t em (12,18)
Definição: Um ponto P na curva y = f(x) é chamado ponto de inflexão se f é contínua
no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa.
Exemplo: Esboce o gráfico de uma função qualquer que satisfaça as seguintes
condições:
em em em e em Teste da Segunda Derivada Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c.
a)  Se f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então f tem um mínimo local em c
b)  Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então f tem um máximo local em c
Teste da Segunda Derivada Obs.: Se f’’(c) = 0, use o teste da primeira derivada. Não é verdade que
neste caso f não tem mínimo ou máximo local em c. Ex:
f(x) = x4
f’(x) = 4x3
f’’(x) = 12x2
f’’(0) = 12(0)2=0, e f(0) é mínimo local! Exemplo: Examine a curva y = x4 – 4x3 em relação à concavidade, aos pontos de
inflexão e mínimos e máximos locais. Use essa informação para esboçar a curva.
y’ = 4x3 – 12x2 = x2 (4x-12) y’’ = 12x2 – 24x = x (12x – 24) Pontos críticos: y’ = 0  x2 = 0 ou 4x-12 = 0 x = 0 ou x = 3 Teste da segunda derivada: f’’(0) = 0 f’’(3) = 36 > 0 f(3) = -27 é um mínimo local Teste da primeira derivada: g(x) = 4x-12 Se x < 0, y’< 0 Se 0 < x < 3, y’< 0 f(0) não é mínimo ou máximo local Exemplo: Examine a curva y = x4 – 4x3 em relação à concavidade, aos pontos de
inflexão e mínimos e máximos locais. Use essa informação para esboçar a curva.
Concavidade: y’’ = 12x2 – 24x = x (12x – 24) y’’ = 0  x = 0 ou x = 2 o Concavidade para cima para baixo para cima f(0) = 0 e f(2) = -16 são pontos de inflexão o Concavidade para cima para baixo para cima f(3) = -27 é um mínimo local f(0) = 0 e f(2) = -16 são pontos de inflexão f é decrescente em x < 3
f é crescente em x > 3 y = x4 – 4x3 = x3 ( x – 4) = 0  x = 0 ou 4 pontos de
inflexão 1
Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de f (x) = e x junto com suas assíntotas
para esboçar seu gráfico.
O domínio de f é Vamos analisar o comportamento de f quando x se aproxima de 0: x = 0 é assíntota vertical Assíntotas horizontais: Quando
, y = 1 é assíntota horizontal 1
Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de f (x) = e x junto com suas assíntotas
para esboçar seu gráfico.
� �
1
1
d
1
x
e
f � (x) =
ex = −
dx x
x2
1
x
x2 > 0
e >0
 f � (x) < 0, ∀x �= 0
Logo, não há ponto crítico nem máximos ou mínimos locais. 4
x >0
1
x
e >0
 ��
f (x) > 0
quando ��
f (x) < 0
Ponto de inflexão: x>−
1
2
(concavidade para cima) 1
quando x < −
(concavidade para baixo) 2
1
x=−
2
1
Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de f (x) = e x junto com suas assíntotas
para esboçar seu gráfico.
1
x>−
2
(concavidade para cima) 1
(concavidade para baixo) 2
1
Ponto de inflexão: x = −
2
x<−
f � (x) < 0, ∀x �= 0
x = 0 é assíntota vertical y = 1 é assíntota horizontal (f sempre decresce) Ponto de
inflexão 1
−
2
−
1
2