Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Física
Exame Geral de Doutorado
Segundo Semestre de 2013
Mecânica Estatística
07/08/2013 - 09:00 às 12:00 h
(Escolha três dentre as quatro questões)
Exame Geral de Doutorado 2013.2 – Mecânica Estatística
1
Questão 1 – Termodinâmica
(a) (30%) Certo gás clássico com um número de mols N fixo em uma temperatura
absoluta T constante satisfaz as seguintes condições: (i) sua energia interna U não
depende do volume V e (ii) sua entalpia H não depende da pressão P . Deduza a
equação de estado f (P, V, T ) = 0 para esse gás.
(b) (20%) Em geral, a capacidade calorífica a volume constante CV de um gás depende
de T e de V . Mostre que
∂CV
∂V
=T
T
∂ 2P
∂T 2
.
V
(c) (20%) Utilize o resultado do item anterior para mostrar que CV independe de V em
um gás de van der Waals, cuja equação de estado pode ser escrita como
"
P +a
N
V
2 # V
−b
N
= RT,
onde a e b são constantes.
(d) (30%) Considere um gás de van der Waals que, inicialmente no volume V1 e na
temperatura T1 , sofre uma expansão livre até um volume V2 . Supondo que CV
também independe de T , determine a temperatura final T2 e a variação da entropia
∆S do gás nesse processo. Analise os sinais de ∆T = T2 − T1 e de ∆S e comente
sobre possíveis implicações.
Dados:
U = U (S, V, N ), F = F (T, V, N ), H = H(S, P, N ), G = G(T, P, N ), Φ = Φ(T, V, µ).
∂S
∂V
∂S
∂P
=
T
∂P
∂T
=−
T
∂V
∂T
V
P
Exame Geral de Doutorado 2013.2 – Mecânica Estatística
2
Questão 2 – Ensemble Canônico Clássico
Considere N moléculas fixas em uma rede bidimensional. Cada molécula tem momento
de dipolo elétrico de módulo p e polarizabilidade α. O sistema está submetido a um campo
elétrico externo uniforme de módulo E. O campo e os dipolos estão no plano da rede. A
figura abaixo esquematiza a situação genérica da j−ésima molécula.
pj
j
Na ausência de interações significativas entre as moléculas, a energia do sistema á dada
por
E = E0 −
N X
αE 2
2
j=1
~
+ p~j · E ,
onde p~j é o momento de dipolo da j-ésima molécula (|~pj | = p) e E0 é a energia do sistema
na ausência de campo elétrico.
(a) (40%) Mostre que a função de partição do sistema é dada por
N
pE
ZN (E) = ZN (0) (2π) e
I0
,
kB T
onde ZN (0) é a função de partição na ausência de campo elétrico externo e I0 (x) é
a função de bessel modificada de ordem zero.
N
N αE 2 /2kB T
(b) (40%) Obtenha a energia livre F do sistema e a polarização P. Examine o comportamento de P nos limites pE/kB T 1 e pE/kB T 1.
Lembrete: Pi = −∂F/∂Ei , i = x, y, z.
(c) (20%) Calcule a susceptibilidade elétrica χ. Mostre que χ varia linearmente com
o inverso da temperatura no limite pE/kB T 1, porém independe de T para
pE/kB T 1.
Dados:
I0 (x) =
In (x) =
Z
1 π
dt ex cos t ,
π 0
∞
x 2k
x n X
2
2
k=0
(n + k)!k!
,
∂I0 (x)
= I1 (x),
∂x
ex
lim In (x) ∝ √
x→∞
2πx
Exame Geral de Doutorado 2013.2 – Mecânica Estatística
3
Questão 3 – Ensemble Grande Canônico Quântico
(a) (20%) Utilize condições de contorno periódicas para mostrar que a densidade de
estados de uma partícula livre de massa m, energia , spin s, confinada em uma
caixa de volume V = L3 , pode ser escrita como
V
D () = (2s + 1) 2
4π
2m
~2
3/2
1/2 .
(b) (30%) Mostre que a equação de estado do gás ideal monoatômico clássico, P V =
2U/3, onde P é a pressão e U é a energia interna, também é satisfeita tanto por
bósons quanto por férmions livres.
(c) (50%) A figura abaixo mostra um reservatório termicamente isolado, dividido em
dois compartimentos de volumes VA e VB por uma parede diatérmica impermeável,
a qual pode mover-se livremente na direção horizontal. O volume do reservatório,
V = VA + VB , é fixo. Em cada compartimento há um gás monoatômico com N
partículas (NA = NB = N ). O gás A é constituído de partículas de spin 1/2 e o gás
B de partículas de spin 3/2. Por simplicidade, suponha que as massas das partículas
em A e B são todas iguais a m. No equilíbrio, determine a razão VA /VB quando a
temperatura T = 0. Comente sobre o que você espera para o valor de VA /VB quando
T → ∞.
VA
VB
Dados:
ln Ξ (T, V, N ) = ±
X
ln {1 ± exp [−β (j − µ)]}
j
Φ (T, V, µ) = U − T S − µN = −P V = −kB T ln Ξ (T, V, µ)
Exame Geral de Doutorado 2013.2 – Mecânica Estatística
4
Questão 4 – Sistemas Interagentes
Considere uma cadeia linear de N spins em uma temperatura absoluta T . A interação
de cada spin com um campo externo H é dada por Hkcampo = −σk H, onde σk = ±1
representa a componente do spin na direção do campo no k-ésimo sítio da cadeia.
(a) (40%) Suponha inicialmente que os spins não interagem entre si. Determine a energia
livre F e a magnetização por spin M = −(1/N )∂F/∂H, para N → ∞.
Suponha agora que exista interação de troca apenas entre primeiros vizinhos, dada
troca
por Hk,k+1
= −Jσk σk+1 , onde J é a constante de acoplamento. Explicitamente, o novo
hamiltoniano do sistema é
H=−
N X
k=1
H
Jσk σk+1 + (σk + σk+1 ) ,
2
onde foi utilizada a condição de contorno periódica σN +1 = σ1 .
(b) (30%) Mostre que a função de partição do sistema é igual a Tr[PN ], onde Tr é o
traço e P é chamada de matriz transferência. Encontre P.
(c) (30%) Obtenha a energia livre e a magnetização por spin para N → ∞. (i) Verifique
se sua resposta está de acordo com a do item (a) para J = 0 e (ii) discuta as diferenças
entre o resultado em (a) e os deste item para J > 0 e J < 0.