Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Física
Paulo Sérgio de Abreu Bonfim
Efeito da competição entre a supercondutividade e as instabilidades de
Pomeranchuk no canal de spin
Rio de Janeiro
2012
Paulo Sérgio de Abreu Bonfim
Efeito da competição entre a supercondutividade e as instabilidades de Pomeranchuk no
canal de spin
Tese apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Doutor, ao Programa de
Pós-graduação em Física, da Universidade do Estado
do Rio de Janeiro.
Orientador:
Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci
Rio de Janeiro
2012
CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ / REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/D
B713
Bonfim, Paulo Sergio de Abreu.
Efeito da competição entre a supercondutividade e as
instabilidades de Pomeranchuk no canal de spin / Paulo Sergio
de Abreu Bonfim . - 2012.
63 f.
Orientador: Daniel Gustavo Barci.
Tese (Doutorado) – Universidade do Estado do Rio de
Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares.
1.Supercondutividade -Teses. 2.Teoria quântica de campos Teses. I. Barci, Daniel Gustavo. II. Universidade do Estado do
Rio de Janeiro. Instituto de Física Armando Dias Tavares. III. Título.
CDU 538.945
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese,
desde que citada a fonte.
________________________________________________
Assinatura
____________________
Data
Paulo Sérgio de Abreu Bonfim
Efeito da competição entre a supercondutividade e as instabilidades de Pomeranchuk no
canal de spin
Tese apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Doutor, ao Programa de
Pós-graduação em Física, da Universidade do Estado
do Rio de Janeiro.
Aprovada em 13 de abril de 2012.
Orientador:
Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci
Instituto de Física - UERJ
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Marcelo Chiapparini
Instituto de Física - UERJ
Prof. Dr. Rudnei de Oliveira Ramos
Instituto de Física - UERJ
Prof. Dr. Rodrigo Ferreira Sobreiro
Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense, UFF
Prof. Dr. Victor José Vasquez Otoya
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnol. do Sudeste de
Minas Gerais, IFMG
Rio de Janeiro
2012
DEDICATÓRIA
À Flávia, José Paulo e Gabriel.
Agradecimentos
Agradeço a essa pessoa de grande inteligência e, principalmente, de excelente caráter,
o Prof. Daniel Barci sempre compreensivo com meu temperamento e esforçado em traduzir
minhas idéias na nossa publicação e tese. À Flávia Emenegilda, Rosa e Glicério que me
apoiaram sendo uma família que espantou minha tendência ao isolamento. Aos meus filhos
Gabriel e José Paulo que são a minha inspiração e continuidade nesse planeta.
RESUMO
BONFIM, Paulo Sérgio de Abreu. Efeito da competição entre a supercondutividade e as
instabilidades de Pomeranchuk no canal de spin. 2012. 63 f. Tese (Doutorado em Física) Instituto de Física, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2012.
Nós estudamos a competição entre a instabilidade de Pomeranchuk no canal de spin
com momento angular l=1 e uma interação atrativa, favorecendo a formação de um par de
Cooper. Achamos, numa aproximação de campo médio, uma forte supressão da instabilidade
de Pomeranchuk via supercondutividade. Além disso, identificamos uma fase supercondutora
metaestável com características semelhantes ao estado FFLO. Um líquido de Fermi é, com
exceção de uma dimensão, um estado muito estável da matéria. Por outro lado dois tipos de
instabilidades, relacionadas com interações atrativas, são conhecidas: Instabilidades
Pomeranchuk e supercondutora. As instabilidades Pomeranchuk ocorrem na presença da
interação de dois corpos contendo uma forte componente atrativa no canal de espalhamento
para frente com momento angular definido. No contexto da teoria de Landau, a instabilidade
ocorre quando um ou mais parâmetros admensionais de Landau nos canais de spin ou carga,
adquirem altos valores negativos. As instabilidades Pomeranchuk no setor de carga quebram
a simetria de rotação. Em particular, uma instabilidade em alguns canais produz uma
deformação elipsoidal na superfície de Fermi.
Palavras-chave: Supercondutividade. Teoria quântica de campos. Teoria de Landau.
ABSTRACT
We study the competition between a Pomeranchuk instability in the spin channel with
angular momentum l = 1 and an attractive interaction, favoring Cooper pair formation. We
find, at mean-field approximation, that superconductivity strongly suppress the Pomeranchuk
instability. Moreover, we have found a metastable modulated superconducting phase with
similar characteristics of the FFLO state. A Fermi liquid is, except in one dimension, a very
stable state of matter. At least two types of instabilities, related with attractive interactions, are
known: Pomeranchuk and superconducting instabilities. Pomeranchuk instabilities occur in
the presence of two-body interactions containing a strong attractive component in the forward
scattering channel with a definite angular momentum. In the context of Landau theory, the
instability sets in when one or more dimensionless Landau parameters in the charge or spin
channel, acquire large negative values. Pomeranchuk instabilities in a charge sector
spontaneously break rotational symmetry. In particular, an instability in the some channels
produces an ellipsoidal deformation of the Fermi surface.
Keywords: Superconductivity. Quantum field theory. Landau theory.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
1
LÍQUIDOS DE FERMI E TEORIA DE LANDAU
13
1.1
Líquidos de Fermi
13
1.2
Energia livre e quasipartículas
15
1.3
Energia local de uma quasipartícula
17
1.4
Equação de transporte e o som zero
19
1.5
A susceptibilidade spin x órbita
22
2
INSTABILIDADES POMERANCHUK NO CANAL DE SPIN L=1 , FASE B
8
E O MODELO HAMILTONIANO
24
2.1
A onda-s BCS e a onda-p Pomeranchuk
24
2.2
Caracterização da fase B
26
2.3
O operador de corrente e o acoplamento spin x órbita
28
3
SUPERCONDUTIVIDADE NA FASE B
33
3.1
Competição entre as instabilidades Pomeranchuk e BCS e as equações de
movimento
33
Funções de Green e equações de movimento
A função de Green direta
A função de Green direta (momento oposto)
A função de Green anômala
35
35
38
41
Correlações via funções de Green
44
3.4
Análise das soluções
49
3.5
Integrações e cortes (cut-offs) para manutenção do quadrado positivo para as
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.3
raízes
52
3.6
Competição entre os parâmetros
57
4
CONCLUSÃO
59
REFERÊNCIAS
60
8
INTRODUÇÃO
Nos últimos anos, a física da Matéria Condensada ampliou substancialmente seus
horizontes muito além de suas fronteiras tradicionais. Isto é mais evidente nas pesquisas
sobre materiais em escalas nanométricas.
Alguns sistemas, aparentemente sem relação
entre si, como heteroestruturas de semicondutores, moléculas orgânicas e biológicas, microcavidades e cristais fotônicos com gap de banda, dispositivos de um único elétron,
nanotubos de carbono e amostras de grate de uma única camada atômica, estão no foco
atual da atividade de pesquisa. Muitos destes novos materiais estão se tornando importantes em termos de possíveis aplicações industriais.
1
2
como a supercondutividade , o efeito Hall quântico
Por outro lado, fenômenos físicos
3
e a condensação de Bose-Einstein ,
estão sendo atualmente pesquisados nestes novos materiais. Desta forma, novos experimentos e técnicas teóricas estão sendo aplicadas a novos e desaantes sistemas.
Dentro destas técnicas, a Teoria Quântica de Campos (TQC), inicialmente formulada para o tratamento de problemas da física de altas energias, encontra, há vários
anos, terreno fértil para aplicações em sistemas da Matéria Condensada e Mecânica
Estatística
4,5
.
O sucesso destas aplicações é notório; como exemplos consagrados é su-
ciente mencionar a supercondutividade BCS e o comportamento crítico do modelo de
Ising em três dimensões.
Recentemente, vários resultados não menos importantes têm
sido obtidos através de aplicações de métodos de TQC em sistemas de natureza similar.
Em particular, nos assim chamados sistemas de baixa dimensionalidade, como os gases
bidimensionais de elétrons que apresentam efeito Hall quântico, efeito Kondo, sistemas
antiferromagnéticos quânticos, supercondutores de alta temperatura crítica, nanotubos
de carbono. A TQC é especialmente indicada quando os sistemas de estudo apresentam
correlações fortes e as aproximações habituais de um corpo (por exemplo, tight-binding
e as técnicas de Hartree e Hartree-Fock) estão no limite da sua aplicabilidade.
Exem-
plos destes compostos são os já mencionados cupratos supercondutores, mas também
os sistemas de férmions pesados como os rutenatos entre outros. Podemos citar ainda
elementos como o
3
He
e
4
He
em condições extremas de temperatura e pressão, os quais
se encontram nesta categoria.
A aplicação de técnicas de TQC em sistemas da Matéria Condensada fornece informação relevante sobre propriedades termodinâmicas e de transporte tanto em equilíbrio
quanto fora do equilíbrio termodinâmico.
Geralmente, a TQC é usada para construir
modelos que exploram a física de baixas energias e comprimentos de correlação grandes.
Isto se torna especialmente importante num regime perto de uma transição de fase, tanto
clássica como quântica onde as técnicas perturbativas usuais não podem ser aplicadas.
9
Sistemas físicos de baixa dimensionalidade com fases não-homogêneas e/ou anisotrópicas estão despertando a atenção da comunidade da matéria condensada devido à existência
de uma variedade enorme de sistemas que apresentam este tipo de fases complexas. Alguns
6
exemplos são: semicondutores dopados e isolantes de Mott , gás de elétrons bidimensional
7
em campos magnéticos fortes (efeito Hall quântico) , supercondutores de alta temperatura
crítica
8
9
e condensados de Bose-Einstein
entre outros. Estes sistemas apresentam fases a
baixas temperaturas caracterizadas por anisotropias e quebra de invariância translacional
em uma ou mais direções espaciais, por exemplo, franjas ou stripes
6,10
.
Nesta tese, prestaremos especial atenção aos sistemas metálicos descritos por líquidos de Fermi que apresentam instabilidades de Pomeranchuk
31
e supercondutoras.
O
estudo de líquidos quânticos começou a ser desenvolvido nos anos 50 em relação à fase
3
líquida do
He
11
. De fato, a teoria de Landau para líquidos de Fermi teve um enorme
sucesso, não apenas para a descrição do
maioria dos metais.
Nozieres
30
.
3
He,
mas para descrever o comportamento da
Uma excelente revisão pode ser encontrada no livro de Pines e
Anos mais tarde, Anthony Legget desenvolveu uma teoria para descrever
fases exóticas do
3
He
12
a qual foi conrmada experimentalmente e lhe valeu o Prêmio
Nobel de 2003. A década de 70 foi marcada pelo estudo de sistemas eletrônicos unidimensionais e, surpreendentemente, foi vericado que a teoria de Landau para líquidos de
Fermi não se aplica nestes casos. Qualquer interação, por pequena que ela seja, destrói
tanto a superfície de Fermi quanto qualquer excitação fermiônica do estado fundamental.
As excitações de baixa energia são descritas por ondas de densidade de carga e densidade de spin com velocidades diferentes. Aparece desta forma o fenômeno denominado
separação de spin e carga. Esta fenomenologia exótica deu lugar a um novo paradigma
dos líquidos quânticos denominado por Haldane
19
: o Líquido de Luttinger.
Estes es-
tudos foram realizados paralelamente por físicos da Matéria Condensada e de Teoria de
13,14,15,16,17
Campos, onde foram criadas as técnicas de bosonização
que, junto com o grupo
de renormalização, permitiram uma compreensão teórica profunda deste novo estado da
matéria. Foram necessários quase 20 anos para vericar estas teorias experimentalmente.
20,21
Elas foram utilizadas para descrever estados de borda em sistemas Hall
22
em os quânticos com alta densidade de elétrons
, transporte
e, mais recentemente, para descrever
23,24
propriedades de transporte em nano-tubos de carbono
. Nos últimos 10 anos, novos
desaos apareceram na área da Matéria Condensada que indicam que a fenomenologia
do líquido de Luttinger deveria ser generalizada para mais de uma dimensão. Férmions
pesados
25
26
, óxidos de cobre supercondutores
e gases de elétrons bidimensionais
27
, entre
outros, apresentam propriedades eletrônicas que se afastam do comportamento típico de
um líquido de Fermi, nascendo assim a denominação de non-Fermi liquids para descrever
o novo comportamento metálico. Sistemas tão diferentes do ponto de vista microscópico
têm em comum a existência de um regime próximo a um ponto crítico quântico.
Tem
10
se avançado muito na compreensão das propriedades termodinâmicas perto da criticali25
dade, usando fundamentalmente propriedades de escala
. Porém, o avanço relativo na
compreensão das propriedades fermiônicas nos regimes metálicos críticos é pequeno.
É
claro que a descrição das propriedades de uma partícula em termos de quasipartícula de
Landau já não é adequada nestes regimes extremos, por outro lado, o cálculo de funções
espectrais se faz extremamente complexo devido à forte correlação existente.
De uma forma geral, as instabilidades da superfície de Fermi chamadas de instabilidades de Pomeranchuk
31
induzem uma transição Fermi/non-Fermi liquid. Embora elas
fossem descobertas quase junto com a teoria de Landau para líquidos de Fermi, suas propriedades críticas não foram profundamente estudadas. Trata se de uma instabilidade da
superfície de Fermi produzida por uma componente atrativa do potencial elétron-elétron,
em canais de forward-scattering com momento angular elevado. Este fenômeno dá lugar a uma quebra espontânea da simetria de rotação, produzindo modos de Goldstone,
os quais podem eliminar as excitações de quase-partícula do espectro fermiônico. Estas
instabilidades também podem ocorrer na componente de spin da interação de dois corpos.
Quando isto acontece, fenômenos surpreendentes
42
são observados.
Por exemplo,
pode ser induzida espontaneamente uma interação spin-órbita que tem sua origem apenas na interação de dois corpos
43
, a diferença da interação spin-órbita usual que é um
efeito relativístico de um corpo. Isto abre possibilidades muito interessantes no ramo da
spintrônica, onde esta interação é fundamental para controlar correntes de spin usando
campos elétricos. Nesta tese, pretendemos estudar a competição entre estes novos estados críticos de sistemas fortemente correlacionados e a tendência do estado metálico à
supercondutividade. Avanços nesta direção podem ter uma inuência profunda, tanto no
3
He, quanto nos materiais fortemente
correlacionados como os cupratos(por exemplo Y Ba2 Cu3 Oy ) e rutenatos (por exemplo
Sr3 Ru2 O7 ) .
estudo de líquidos quânticos a alta pressão como o
28
A instabilidade de Pomeranchuk no canal de spin com momento angular zero,
chamada também instabilidade de Stone
41
produz uma divergência na susceptibilidade
magnética. Essa transição de fase preserva a simetria rotacional da supercie de Fermi,
porém quebra a simetria de reversão temporal. Interações com momento angular de alta
ordem produzem tanto fases isotrópicas como anisotrópicas. Muitos exemplos são estudados com detalhes nas referências
42,43
. As interações no canal
` = 1,
são as que mais
nos interessam. Estas podem produzir uma fase ordenada isotrópica e com invariância na
reversão temporal. Essa fase, chamada fase
β
42
, gera dinamicamente um acoplamento
spin-órbita.
Por outro lado, a supercondutividade se forma na presença de uma pequena interação atrativa no canal BCS. O estado supercondutor(SC) é geralmente caracterizado
por um parâmetro de ordem complexo que quebra a simetria de gauge,
∆σ,σ0 (~r, ~r0 ) =
11
hψσ† (~r)ψσ† 0 (~r0 )i
onde o operador
ψσ† (~r)
cria um elétron com spin
σ
na posição
→
−
r.
A clas-
sicação usual como uma onda-s, onda-d, onda-p, reside na representação irredutível
do grupo pontual.
Entretanto, é possível que o estado supercondutor possa quebrar a
simetria pontual translacional e/ou rotacional.
Nesse caso, essa classicação não seria
mais possível. Um exemplo em particular é um parâmetro de ordem oscilante tal como
∆σ,σ0 (~r, 0) = ∆σ,σ0 cos(~q· ~r),
onde
~q
é um vetor de onda ordenador.
Um estado supercondutor modulado foi proposto primeiramente por Fulde, Ferrel,
Larkin e Ovchinnikov (estado FFLO)
45,46
. A modulação dos pares de Cooper é devida a
um descasamento das superfícies de Fermi, produzidas por um campo magnético externo
(efeito Zeeman). Estados FFLO também são propostos em outros cenários como átomos
47
ou sistemas de férmions pesados quando
48
Recentemente, um parâmetro de ordem
frios desequilibrados de diferentes espécies
os orbitais hibridizam sob pressão externa
.
SC em tiras ou faixas, chamado onda de densidade de pares (PDW, do inglês Pair
density wave) foi proposto
50,51
, para explicar as propriedades do transporte eletrônico
anômalo observados em supercondutores cúpricos.
Enquanto o estado PDW possui a
mesma estrutura formal de um estado FFLO, este possui uma origem distinta já que não
está relacionado com um descasamento das superfícies de Fermi.
Apesar das interações que dão origem às instabilidades de Pomeranchuk e supercondutoras serem de natureza atrativa, as duas competem. Um gap supercondutor suprime
a deformação da superfície de Fermi. Um exemplo detalhado está descrito nas referências
Halbolth e Yamase
53,54
, onde a competição entre uma onda-d produzida pela instabilidade
Pomeranchuk e um parâmetro de ordem supercondutor são considerados.
No canal de spin, uma forte competição é esperada desde que, em geral, ordens
magnéticas são expelidas de um estado supercondutor. Entretanto, é possível haver instabilidades com alto momento angular que preserva a invariância de reversão temporal.
Esta tese se dedica a estudar esta classe de sistemas. Estudamos em particular a competição entre a fase
β,
42
introduzida na referência Wu
, e a supercondutividade.
Uma
observação interessante é que esta transição de fase abre a possibilidade da existência de
pares de Cooper com helicidade zero e momento nito, produzindo um estado supercondutor modulado.
A tese é estruturada da seguinte forma: no capítulo 1, fazemos uma descrição da
teoria de Landau para líquidos de Fermi. No capítulo 2, estudamos com detalhe instabilidades de Pomeranchuk e, em particular, focamos na instabilidade de spin com momento
angular
` = 1.
Mostramos também um modelo Hamiltoniano, e estudamos a transições
de fase associadas à geração espontânea de acoplamento spin-orbita. A competição com
supercondutividade é estudada no capítulo 3, onde usamos o método de equações de
movimento, para o cálculo de funções de Green fermiônicas e suas funções de correlação.
12
Finalmente, no nal, tecemos nossas concluções e perspectivas.
13
1 LÍQUIDOS DE FERMI E TEORIA DE LANDAU
O modelo é baseado num líquido de Fermi 2D com interações no canal de spin
F1A da teoria de Landau via quebra de simetria 'spin-órbita relativa' do grupo
G =
SOL (2) ⊗ SOS (3) pelo sub-grupo H = SOL+S (2), a chamada instabilidade Pomeranchuk,
em competição com a quebra de simetria de Gauge da instabilidade BCS. Devemos observar que em matéria condensada este acoplamento é possível sem que seja derivado de
42
um efeito relativístico
.
1.1 Líquidos de Fermi
A teoria de Landau para um líquido de Fermi se baseia nas propriedades de um
sistema de muitos Férmions em baixa temperatura (deve estar abaixo da energia de Fermi)
para um estado normal, isto é, na ausência de temperatura ou numa temperatura tal que
não haja quebra de simetria (supercondutora, magnética, outras). Um bom exemplo para
um líquido de Fermi é o
3
He, próximo a transição de fase para a superuidez, entretanto
as bases da teoria de Landau servem a uma grande variedade de sistemas, em particular
elétrons num metal
35
. Em primeiro lugar, introduzimos a teoria a partir de um gás de
férmions que possui características de um sistema não-interagente de muitos férmions, a
partir desse ligamos as interações onde, na teoria de Landau, o caso interativo transforma
o gás em líquido de Fermi, sobre um ponto de vista fenomenológico limitado a propriedades
de equilíbrio.
Em um sistema não-interagente translacionalmente invariante, os auto-estados de
uma partícula são representados por ondas planas com energia
mos
~ = 1.
O estado fundamental de um sistema de
N
ε~k = k~2 /2m
onde assumi-
partículas é o bem conhecido mar
de férmions: com todos os estados com energia inferior ao do vetor de onda
kF
ocupados,
e todos os restantes desocupados. Logo, o último estado ocupado seria o da energia de
fermi
EF = kF2 /2m.
Chamamos esse sistema de gás de Fermi.
É usualmente conveniente denir o hamiltoniano de forma que o estado fundamental
tenha um número N xo de partículas bem denido, o que é simplesmente feito incluindo
um potencial químico(µ) na denção do hamiltoniano, ou seja:
o operador número usual, e
ε~k = ε−µ, a soma sobre os spins
H=
P
~k ε~k n~k . Onde
n~k
é
ca implícita no somatório.
Na denição do hamiltoniano, as excitações elementares do gás de Fermi, são:
•
~k δn~ = 1 . O que requer
k
seja positiva ε~k − µ > 0 .
a adição (criação) de uma partícula com vetor de onda
que
|k| > kF ,
e implica que a energia dessa excitação,
14
•
a subtração (destruição) de uma partícula com vetor de onda
a criação de um buraco, que requer que
seja
|k| < kF ,
~k δn~ = −1 ,
k
isto é,
o que implica que sua energia
µ − ε~k > 0.
Essas excitações elementares mudam o total do número N de partículas. A construção
desses estados para um número N constante é de simples obtenção: Este estado retira uma
partícula do estado fundamental com
k 0 , com |k 0 | > kF .
|k| < kF
(gerando um buraco), e a coloca no estado
Esses estados excitados são interpretados como um par partícula-buraco
e são parametrizados por dois números quânticos
~k , ~k 0
e possuem a única restrição para
seus possíveis valores de que a energia do estado partícula-buraco seja sempre positiva,
e formam um contínuo.
Para estados de muitas partículas e buracos a construção é
livre, restrita somente pelo princípio de exclusão de Pauli.
Dessa forma denimos um
gás de Fermi não interagente onde a única informação referente aos estados excitados é a
população de partículas-buracos. Quantidades termodinâmicas são obtidas diretamente
a partir da densidade de estados na energia de Fermi (calor especíco, suceptibilidade
magnética, e outras).
A teoria de Landau, em grande parte, utiliza o fato dos estados excitados formarem
um contínuo para baixas energias em relação ao estado fundamental e de que existe uma
correspondência de um para um entre os estados excitados e fundamentais de um sistema não-interagente com um sistema interagente. Para que esta hipótese seja aceitável
é crucial que as interações não levem a uma transição de fase que produza quebra de
simetrias nos estados fundamentais. A forma usual para se construir essa situação é uma
transformação adiabática de uma interação, parametrizada por uma variável
V,
ou seja,
existe um parâmetro que conecta os estados excitados do gás interagente e não-interagente
|est.excit.iinteragente ↔ f (V ) |est.excit.inão−interagente ,
e essa função é um para um.
Em
particular vamos considerar um estado onde estamos acrescentando uma partícula com
ap†~ e chamado
operador de criação e gera o estado excitado a partir do estado fundamental |0, N i de um
|~p| > kF
ao estado fundamental:
|~p, N + 1i = ap†~ |0, N i.
Aqui o operador
sistema não-interagente. Obviamente, nas proximidades da superfície de Fermi a transformação é muito suave sendo a energia do estado excitado muito próxima da energia de
Fermi, isso nos remete diretamente a continuidade desse tipo de transformação no espaço
de energias.
Podemos introduzir alguma interação partícula-partícula se aproveitando
dessa continuidade.
total
p~
Supondo invariância translacional, o estado conserva o momento
quando observamos seu valor esperado, e a introdução da partícula gera uma
mudança na conguração do estado, supomos fenomenologicamente que essa pequena
transformação liga uma interação dessa partícula com o mar de Fermi que está quase que
totalmente ocupado.
Essa interação relaciona o estado não-interagente com um estado
interagente onde a adição da partícula sofre inuência da nova conguração do mar de
férmions criando o líiquido de Fermi. No formalismo de Landau a interação é acionada
15
se introduzindo uma quasipartícula ao sistema. Dessa forma a conguração formada pela
adição da partícula com momento
p~
e a pertubação na distribuição das outras partículas
produzida no mar de Fermi forma a quasipartícula. Logo, devido ao princípio de Pauli
existe a imposição de que
|~p, N − 1i = a−~p |0, N i.
impormos −~
p. De forma
|~p| > kF .
Analogamente, podemos introduzir um quasiburaco:
Novamente a exigência de que
|~p| < kF
nos remete ao fato de
geral os quasiburacos também são chamados de quasipartículas.
Uma limitação da Teoria de Landau reside no fato do tempo de vida(τ ) das pertubações de quasipartículas ser nito e pequeno na ordem de
valores de
ε bem fechados em torno da energia de Fermi τ
maior do que a energia dos estados excitados.
1/τ ∝ (ε − µ)2 ,
mas para
pode se tornar apreciavelmente
Logo, para algumas transições de fase
com energias do estado fundamental inferiores a energia de Fermi onde pode-se assumir
invariância translacional, a teoria Landau é válida.
1.2 Energia livre e quasipartículas
Vamos Introduzir um tratamento mais sistemático para entender quantitativamente
a teoria de Landau, o conceito de quasipartícula.
No caso, a energia
δnp = np − n0p
E −E0 =
p2
p 2m δnp não leva em conta o potencial químico, sendo
P
a pequena variação do número de partículas de um estado excitado para
F . Considerando
F = E − µN , nos
o estado fundamental. Vamos construir a teoria usando a energia livre
p~ = ~~k
com
~ = 1
podemos escrever as variações da energia livre
estados excitados:
F − F0 =
X
((k) − µ)δnp +
k
1X
fpp0 δnp δnp0 + O(δn3 )
2 pp0
P
Essa expansão de Taylor é possível quando o raio
α=
(1)
|δnp |
é pequeno (transforN
p
mação adiabática). O termo quadrático da equação (1) é o principal passo para se entender
a teoria de Landau, a inclusão de algumas poucas partículas no estado fundamental de
energia livre
F.
F0
gera um rearranjo suave, o que gera o estado excitado de energia livre
A diferença é proporcional à
δnp ,
mas como
α1
a expansão de taylor sobre a vari-
ação pode ser extendida a segunda ordem onde a segunda derivada variacional de
relação à
np
é
fpp0 ,
com
δnp ∼ p − µ.
A derivada funcional
fpp0
F
em
é o nosso parâmetro que
conecta os estados não interagentes (gás de Fermi) com os estados interagentes (líquido
de Fermi). Na segunda ordem,
δnp
e
δnp0
podem ser interpretados como congurações
distintas na adição suave de partículas, cada conguração dessa seria uma quasipartícula,
e na segunda ordem, o termo quadrático de (1), pode ser interpretado como o termo
de interação entre pares de quasipartículas somadas sobre todo domínio de valores de
16
p
fechados em torno da energia de Fermi.
A transformação adiabática para transições
fpp0 para um
espectro de energias próximo à superfície de Fermi. Na prática, p ∼ p0 ∼ µ. Logo, fpp0
registra o espalhamento de pares de quasipartículas dependente apenas da direção de p e
p0 e nos spins σ e σ 0 . No limite de transições a suavidade de fpp0 possui várias invariâncias
de fase sem quebras importantes de simetria implicam na continuidade de
que não seriam possíveis em outras escalas. Sem aplicação de campo magnético externo,
o sistema é invariante sob reversão temporal, o que implica:
fpσ,p0 σ0 = f−p−σ,−p0 −σ0
Se assumirmos que na superfície de Fermi
fpσ,p0 σ0
(2)
é invariante sob reexões
p → −p
a
equação (2) se torna:
fpσ,p0 σ0 = fp−σ,p0 −σ0
Ou seja,
fpp0
só depende das orientações relativas de
(3)
σ
e
σ0.
Nesse caso,
fpσ,p0 σ0
pode
ser convenientemente escrito em duas formas tensoriais, uma simétrica (S) e outra antisimétrica (A):
S
A
fpp
0 = fpp0 + fpp0
(4)
↑↓
S
A
fpp
0 = fpp0 − fpp0
(5)
e
S(A)
fpp0 numa série polinomial de Legendre
S(A)
0
onde a única dependência importante é o ângulo ξ entre p e p . Dessa forma o fpp0
é
S
A
completamente determinado por um conjunto de coecientes fl e fl :
A isotropia do sistema permite a expansão de
S(A)
fpp0
=
∞
X
S(A)
fl
pl (cosξ)
(6)
l=0
De forma conveniente, podemos torná-lo um parâmetro adimensional com magnitude
que mede a intensidade da interação entre as quasipartículas em comparação as suas
energias cinéticas. Denimos a densidade de estados usual em
Ωm∗ pF S(A)
S(A)
f
= Fl
π 2 ~3 l
∗
espaço de fases), m (massa
S(A)
N (0)fl
Com
pF
Ω
(volume unitário no
EF = µ
=
e reescrevemos:
(7)
efetiva fenomenológica) ,
f como um conjunto
S(A)
completo de coecientes fl
, em uma forma adimensional reduzida. Sendo N (0) a
(momento de Fermi).
Economizando notações, representamos
densidade de estados inicial.
A variável
S(A)
Fl
é chamada parâmetro de Landau e conecta adiabaticamente os
17
estados excitados do gás e do líquido de Fermi .
1.3 Energia local de uma quasipartícula
Vamos considerar um estado de um sistema com uma certa distribuição de quasipartículas excitadas
momento
p.
δnp0 .
Nesse sistema vamos acrescentar uma quasipartícula extra com
Comparando com (1), a energia livre individual da quasipartícula, pode ser
expressa, como:
ε̃p − µ = (εp − µ) +
X
fpp0 δnp0
(8)
p0
Próximo a energia de Fermi, os dois lados de (8) possuem a mesma ordem de magnitude. A energia local
ε̃p
possui papel central na construção da teoria de Landau. Essa
energia interage com o estado
e mais
ε̃p (r).
δnp0
ε̃p como energia local
= δnp (~r) de tal forma que
localmente. Denimos, então,
Essa denição produz uma dependência
δnp0
podemos interpretar que a adição da quasipartícula produz uma pertubação local que
distorce o meio: a própria superfície de Fermi.
Podemos escrever o gradiente de
ε̃p ,
a
partir de (8):
∇r ε̃p = ∇r
(
X
)
fpp0 δnp0
(9)
p0
A equação (9) pode ser interpretada como uma resistência média que o meio distorcido exerce sobre a quasipartícula de momento
p.
Matematicamente é conveniente
introduzir uma função de distribuição:
n̄op = no (ε̃p − µ)
(10)
(
Onde
no
é função escada de Fermi-Dirac, denida como
no =
1 se x < 0
0 se x > 0
. É
importante entender que, para um sistema levemente não-homogêneo, a distribuição
corresponde a um equilíbrio local das quasipartículas, assim como
o equilíbrio verdadeiro.
como:
δnp = np −
seria
O pequeno desnível entre o equilíbrio das quasipartículas e o
equilíbrio verdadeiro pode ser denido como
denir
nop = no (p − µ)
n̄op
δn̄p = np − n̄op
de forma análoga podemos
nop . Comparando as denições podemos relacionar as duas variações
∂nop (p − µ)
(ε̃p − p )
δn̄p = δnp +
∂p
(11)
18
Mas de (8),
P
ε̃p − µ = (εp − µ) +
p0
fpp0 δnp0 =⇒ ε̃p − εp =
P
p0
fpp0 δnp0 ,
então (11) se
converte em:
δn̄p = δnp −
∂no X
fpp0 δnp0
∂p p0
(12)
A própria denição de energia local e as equações (11) e (12) possuem como conse-
δnp0 (ε̃p ), logo na prática δnp deve conter o
fator
. E na temperatura zero:
= −δ(p − µ). Seguindo as denições tanto δn̄ e δn
∂p
∂p
devem se localizar sobre a superfície de Fermi. Podemos escrever δnp e δn̄p , como soma
quência a autoconsistência de (8), claramente
∂no
∂no
de suas partes de spin simétricas e antisimétricas, como foi feito anteriormente em (4) e
(5):
δn̄p,± = δn̄Sp ± δn̄A
p
(13)
Podemos utilizar a expansão em polinômios de Legendre dos coecientes de
S(A)
fpp0
da equação (6) que, junto com a isotropia do meio em relação a proximidade da superfície
de Fermi, permite expandir
δnp
numa série de harmônicos esféricos, e desenvolvê-la:
δnS(A)
=
p
X
S(A)
δ(p − µ)δnlm Ylm (θ, ϕ)
(14)
lm
X
S(A)
δ(p − µ)δn̄lm Ylm (θ, ϕ) =
X
S(A)
δ(p − µ)δnlm Ylm (θ, ϕ)+
lm
lm
+δ(p − µ)
X
S(A)
fl
S(A)
pl (cosξ)δ(p0 − µ)δnlm Ylm (θ, ϕ) =⇒
p0 lm
δ(p − µ)
X
S(A)
δn̄lm Ylm (θ, ϕ) = δ(p − µ)
lm
X
S(A)
δnlm Ylm (θ, ϕ)+
lm
+δ(p − µ)
X
S(A)
pl (cosξ)δ(p0 − µ)δnlm Ylm (θ, ϕ) =⇒
S(A)
X
fl
S(A)
p0 lm
X
lm
S(A)
δn̄lm Ylm (θ, ϕ) =
X
lm
δnlm Ylm (θ, ϕ) + N (0)
p0 lm
S(A)
fl
S(A)
pl (cosξ)δnlm Ylm (θ, ϕ)
19
X
S(A)
δn̄lm Ylm (θ, ϕ) =
lm
X
S(A)
δnlm Ylm (θ, ϕ) + N (0)
l'
S(A)
fl
S(A)
pl (cosξ)δnlm Ylm (θ, ϕ)
e
m0 ,
multiplicamos o conjugado complexo
lado direito dos elementos de (15).
[Yl0 m0 (θ0 , ϕ0 )]∗
4π
2l+1
∗
m=−l
Ylm (θ, ϕ) [Yl0 m0 (θ0 , ϕ0 )]
S(A)
4π
pl (cosξ) =
nos faz chegar à:
S(A)
δn̄lm
Aqui o fator
do
A condição de ortonormalidade e completeza dos
harmônicos junto com o teorema de adição dos harmônicos esféricos onde
Pl
(15)
p0 lm
lm
Para valores xos
X
=
F
1 + lm
2l + 1
S(A)
δnlm
ca incorporado em
N (0).
!
(16)
Isto estabelece valores para
S(A)
Flm
onde são
produzidas as distorções na superfície de Fermi que podem produzir oscilações na mesma
(de forma geral, quando acrescentamos poucas quasipartículas em torno da superfície de
Fermi
(N +1), produzimos no sistema em equilíbrio, perturbações importantes que podem
se propagar como oscilações). No nosso trabalho existe uma consequência importante da
(d = 2),
baixa dimensionalidade do sistema
podemos assumir
m=0
e lidar só com os
valores inteiros de l .
1.4 Equação de transporte e o som zero
A expressão (16) trata de pequenas perturbações na superfície de Fermi relativa a
variação de populações de quasipartículas. Devido as simetrias inerentes a esses estados
próximos ao fundamental, estabelecemos correlações dependentes apenas do ângulo
os momentos
ε entre
p e p0 , ou seja, da projeção de estados em cima de uma base pré-estabelecida
em um espaço ortonormal e completo. A completeza imposta possibilita a expansão em
harmônicos esféricos e podemos estabecer uma relação entre as variações de populações
dependente apenas do número inteiro l , já que em duas dimensões
m = 0.
(2D) podemos assumir
Podemos reescrever (16), para o setor de spin, como:
S(A)
S(A)
δn̄l
=
S(A)
δnl
F
1+ l
2l + 1
!
(17)
A equação (17) é autoconsistente e estabelece uma correção da variação de população
real de partículas
S(A)
δnl
num sistema não interagente com uma interação que é acionada
a partir do parâmetro de Landau
S(A)
Fl
. O parâmetro se comporta com maior ou menor
inuência sobre as deformações na superfície de Fermi dependendo basicamente do número
quântico l .
20
Estamos interessados num mecanismo de acoplamento spin-órbita que surja por uma
susceptibilidade dependente dos parâmetros de Landau nos setores de spin e carga.
análise do parâmetro de Landau
F1A
A
(setor de spin) nos conduz a uma instabilidade que
para uma teoria microscópica é chamada instabilidade de Pomeranchuk.
Antes de utilizar a equação (17), Vamos derivar uma equação de transporte para
entender como alguns intervalos dos parâmetros de Landau produzem instabilidades causando utuações que destroem a propagação de pertubações na superfície de Fermi. Como
vimos anteriormente
ε̃p
possui uma forma de dependência que no espaço de posições e
devido a autoconssistência de (8), pode ser escrito, como:
ε̃p (r) = εp +
X
fpp0 δnp0 (r)
(18)
pp0
Baseado nas denições anteriores podemos assumir:
∇p ε̃ = vp
e no caso
(−∇r ε̃)
seria
uma função de restituição (força) que tenderia a restaurar o sistema para uma condição
de mínimo.
Logo, escrevemos uma equação de continuidade que, na proximidade da
superfície de Fermi, gera um uxo de pertubações :
∂np
+ ∇r np · ∇p ε̃p − ∇p np · ∇r ε̃p = 0
∂t
(19)
Estamos interessados na forma como essas pertubações se propagam na superfície de
Fermi.
Supomos que essa perturbação seja periódica e a escrevemos como uma onda
plana:
δnp (r, t) = δnp (q, ω)ei(q.r−ωt) + c.c
(20)
Substituindo (20) em (19):
(q.vp − ω)δnp − q.vp
∂no
∂εp
X
Essa expressão depende da magnitude do raio
da relação (12). Sejam
ip.r
ψpn (r) = e
upn (r)
fpp0 δnp0 = 0
(21)
p0
q
, sendo
ω
autofunções
q o vetor de onda e é derivada
e upn (r) periódicas na rede do
sólido. Supondo o sistema isótropico, podemos escrever, para o espaço recíproco:
δnp = δ(εp − µ)vp up
(22)
Com as condições de contorno estabelecidas pelo teorema de Block, chegamos à:
(q.vp − ω)up − q.vp
X
fpp0 δ(εp0 − µ)up0 = 0
(23)
p0
Introduzimos coordenadas polares
(θ, ϕ)
no eixo
p,
logo
u ≡ u(θ, ϕ, σ),
ou seja, as
21
perturbações serão deslocamentos da superfície de Fermi com spin
σ
na direção
(θ, ϕ),
logo (23), pode ser reescrita como:
(cosθ − λ)u
Aqui
S(A)
(θ, ϕ, σ) +
cosθ
8π
Xˆ
dΥ0 F (ξ, σ, σ 0 )uS(A) (θ0 , ϕ0 , σ 0 ) = 0
(24)
σ
ξ é o ângulo entre (θ, ϕ) e (θ0 , ϕ0 ) e λ =
ω
é o nosso raio da velocidade de onda
|q||vF |
comparado a velocidade de Fermi. As soluções da equação (24) podem ser interpretadas
como modos coletivos que se propagam como uma onda se movendo em fase na superfície
de Fermi. Podemos medir esse deslocamento como:
u(θ, ϕ, ±) = uS (θ, ϕ) ± uA (θ, ϕ)
(25)
30
u na série de harmônicos esféricos . A
situação mais simples analisada é para l = 0 e m = 0 , o chamado som zero (zero sound)
S
no setor de carga F0 . Essa solução especíca dá conta da magnitude dos parâmetros
S(A)
de Landau Flm
e os intervalos onde produzem instabilidades nas transições próximas
As soluções são encontradas expandindo
à superfície de Fermi.
Para analisar a natureza das interações entre as quasipartículas
F0S para uma simplicação onde f pp0 é constante. Por
cosθ
, onde C mede a distorção na superfície de
inspeção encontramos: u(θ, ϕ) = C
λ−cosθ
Fermi no curso da oscilação. Substituindo u(θ, ϕ) em (24) encontramos:
vamos vericar os intervalos de
1
λ λ+1
log
−1=
2
λ−1
F0
Se
F0 > 0 (repulsão
(26)
entre as quasipartículas) existe somente uma raíz real para
λ>1
e a velocidade de fase é muito maior que a velocidade da quasipartícula (uma espécie de
som não-amortecido). Se a atração é pequena com
F0 < 1
a raíz de (26) será complexa e
vf ase ∼ vf ermi , e teremos uma velocidade de fase amortecida. Surgem instabilidades para F0 < −1 , nesse caso (26) pode gerar 2 raízes imaginárias que são conjugadas
(λ = ±iα). Uma delas leva a onda a um crescimento exponecial. Podemos reescrever (26)
teremos
como:
αtg
−1
1
1
−1=
α
F0
(27)
30
A análise da equação anterior atesta que existem duas soluções de sinais opostos
quando
−1 <
1
F0
< 0.
Para
F0 < −1
, podemos interpretar, que a interação entre as
quasipartículas é tão atrativa que a condição de som zero é substituída por uma instabilidade onde a densidade de estados utua, limitada somente por efeitos não-lineares.
Basicamente é essa espécie de instabilidade que nos interessa.
22
Figura 1 - Pertubações produzidas pela adição de quasipartículas à superfície de Fermi.
1.5 A susceptibilidade spin×órbita
Desejamos derivar um mecanismo spin×órbita dinâmico e não-relativístico na teoria
42
de Landau. O trabalho de Wu & Zhang
dene uma susceptibilidade spin-órbita(χF L )
em coordenadas cartesianas:
χF L = χ0 Jp χS
Nesse caso,
χ0
(28)
é a susceptibilidade inicial spin×órbita,
corrente local para um sistema translacionalmente invariante
de spin.
Jp seria
e χS é a
a densidade de
susceptibilidade
Estabelecendo uma conexão com uma teoria microscópica a relação (28) só é
l · s 6= 0,
para l = 1.
signicativa se o produto escalar dos números quânticos
logo os parâmetros de
Landau no setor de carga e de spin só contribuem
A grandeza
Jp
é bem
conhecida na teoria de Landau, no equilíbrio, a superfície de Fermi sofre o acréscimo de
poucas quasipartículas localmente, se deforma e restitui produzindo pequenas oscilações,
Jp
momento p.
no caso,
seria a densidade de corrente local produzida por uma quasipartícula de
O efeito local do acréscimo dessa densidade relaciona o parâmetro
razão entre massa e massa efetiva
m∗
m
=1+
F1S
30,36
3
F1S
com a
. A susceptibilidade de Spin pode ser
30
derivada diretamente de (17), seguindo a denição de Pines
só depende da variação de
populações na superfície de Fermi, e é denida:
δnA
l =
δn̄A
l
1+
FlA
2l+1
(29)
23
Para
l = 1,
os dois setores contribuem para a susceptibilidade spin-órbita(χF L ):
χF L
F1S
1
= χ0 1 +
3 1 + F1A /3
(30)
Como estamos interessados somente na variação do parâmetro no setor de spin
assumi-mos uma razão constante
uma relativa constância de
m∗
que possui sentido unicamente fenomenológico para
m
Jp .
χF L = χ0
A divergência em
duziremos em breve.
F1A = −3
(31)
é controlada por uma dispersão não-linear que intro-
De fato o fator
fortemente correlacionado com
1
m∗
m 1 + F1A /3
m∗
reforçaria a susceptibilidade para um sistema
m
m∗ > m
e seria a contribuição do setor de carga devido a
F1S .
Na proposta de Wu & Zhang
42
a susceptibilidade justica um mecanismo de acopla-
mento spin/órbita não relativístico para valores
F1A < −2.
No caso, a denição do domínio
segundo Wu & Zhang guarda pequena diferença do nosso desenvolvimento que assume a
instabilidade para
F1A < −3.
Mas essa diferença reside somente em termos de denição,
já que o autor parte de uma expansão em 2D para teoria de Landau, enquanto no nosso
modelo, partimos de uma expansão em 3D de forma a utilizar o teorema dos harmônicos
esféricos, e fazemos a transição para 2D impondo
m = 0.
Essa diferença é irrelevante
quando fazemos a ligação do modelo hamiltoniano microscópico com a teoria fenomenológica.
A instabilidade gerada em (29) será estudada numa teoria de cunho microscópico
segundo um operador de corrente de spin que irá reinterpretar a equação (31). Vamos
estudar as instabilidades de Pomeranchuk e BCS no canal de Spin com o parâmetro de
Landau:
F1A < −2
(32)
24
2 INSTABILIDADE POMERANCHUK NO CANAL DE SPIN L=1 , FASE
B E O MODELO HAMILTONIANO
Vamos derivar um modelo hamiltoniano de natureza microscópica com inspiração
na equação (31). Esta equação derivada da teoria de Landau é puramente fenomenológica
e não tenta estabelecer vínculos com uma teoria de princípios primeiros. Logo, estabelecemos um hamiltoniano para uma escala menor de forma que essa teoria possa emergir
de encontro a teoria de Landau.
A geração do acoplamento spin-órbita é bem conhecida por efeitos relativísticos via
equação de Dirac. Mas também pode ser obtida num sistema não-relativístico via efeitos
de forte correlações como uma instabilidade de um líquido de Fermi no canal de spin
com alto momento angular
42,43
. Esta emerge coletivamente após uma transição de fase,
onde é continuamente sintonizada pela temperatura ou por um parâmetro quântico em
temperatura zero. A grande caracterização desse acoplamento é que ele não quebra nenhuma simetria usual: de gauge (supercondutores), de reversão temporal (ferromagnetos),
translacional (alguns sólidos), rotacional (cristais líquidos).
A única simetria quebrada seria a de spin-órbita relativa segundo como é apresentado para a superuidez do
3
He.
Nesse caso a fase ordenada é caracterizada por uma
geração espontânea de acoplamento spin-órbita onde a rotação global, preserva a invariância. Para um líquido de Fermi 3D o grupo de simetria possui representação na forma
G = SO(3)L × SO(3)S × U (1)φ .
Onde os índices
L, S
e
φ
indicam os espaços orbital, de
spin e de gauge, respectivamente, uma estrutura rica em detalhes. No nosso caso, para
um sistema 2D, existem apenas 2 graus de liberdade: o de momento angular e o de spin,
que podem ser descritos por uma simetria
G = U (1)L × U (1)S
G = SOL (2) ⊗ SOS (3).
simetria é dado por
direto
U (1)
cada.
Consequentemente, o grupo de
e o hamiltoniano possui a simetria do produto
2.1 A onda-s BCS e a onda-p Pomeranchuk
Vamos construir nosso hamiltoniano entendendo que cada quasipartícula representa
um pareamento de dois férmions numa transição de fase com proximidade dos estados
energéticos fundamentais degenerados fechados em torno da superfície de Fermi. Claramente essa transição é muito semelhante a uma condensação de Bose-Einsten.
sutil diferença entre as instabilidades BCS e Pomeramchuk:
Existe
Enquanto a conguração
25
BCS pode ser expressa por um estado singleto a conguração Pomeramchuk deve ser
expressa como um estado tripleto. A função de onda BCS pode ser escrita como:
ΨBCS = ψ0 (|↑↓i − |↓↑i)
Aqui
ψ0
(33)
é a onda-s de simetria esférica e as projeções
e de spin respectivamente, possuem valores
simétrico implica a antisimetria de
l = s = 0.
l = lz
e
s = sz
, orbital
Obviamente a o fato de
ψ0
ser
|↑↓i − |↓↑ipara que internamente os graus de liberdade
obedeçam a estatística de Fermi-Dirac. De fato, no setor de Spin para supercondutores
metálicos do tipo I, o parâmetro gap
∆k
é uma matriz antisimétricas
2 × 2 no pareamento
dos elétrons de condução no espaço de spinores. O gap pode ser desenvolvido como:
∆k =
0 ∆
−∆ 0
!
= ∆iσ2
(34)
Essa estrutura leva a isotropia da instabilidade BCS na transição e caracteriza a
invariância do grupo
U (1) da eletrodinâmica quântica, cuja única quebra necessária é a de
gauge na supercondutividade , ou seja, a menos de uma fase. A estrutura interna dos pares
de Cooper é muito simples. Do contrário, a função de onda do par para a função de onda-p
Pomeranchuk é um estado tripleto. Este estado, no setor de spin, possui estrutura interna
muito rica. Ou seja, existem vários graus de liberdade internos o que leva a um aumento
da degenerescência dos estados fundamentais de energia mesmo que para
J = L + S = 0.
Globalmente todas as simetrias cam preservadas mas internamente a instabilidade acaba
por produzir forte anisotropria. Isso se deve ao fato do parâmetro gap ser simétrico e a
parte orbital ser antisimétrica para obedecer a estatística de Fermi, produzindo uma
modulação via gap ou um parâmetro de ordem do tipo
∆σ,σ0 (~r, 0) = ∆σ,σ0 cos(~q· ~r).
Em especial, a fase-β , guarda muitas semelhanças globais com o estado BCS. Derivase disso, a competição com a interação BCS, a modulação local nos estados fundamentais
e um parâmetro de ordem oscilante no longo alcance. Para a transição a superuidez do
3
He o gap é denido
dµ (k) ≡ dk :
sobre um vetor que é combinação das 3 direções no espaço de spins
37
∆kαβ =
X
dµ (k) (σµ iσ2 )αβ
(35)
µ
Ou explicitamente:
∆kαβ =
−d1 + id2
d3
d3
d1 + id2
!
(36)
26
Uma matriz simétrica que é invariante sobre a transformação
U (R) ≡ exp( 21 iθ
P
¯ k,
U(R)∆k U(R) = ∆
n̂µ σµ ), é uma transformação unitária que gira um spinor de dois
componentes na direção n̂ de um ângulo θ. Dessa forma, o ângulo relativo entre l e s ca
mantido. Essa construção permite a condição onde J = 0, mas com lz 6= 0 e Sz 6= 0. A
aqui
u
quebra de simetria relativa seria a de spin-órbita.
Figura 2 - A simetria relativa spin
×
órbita: a única quebra de simetria importante
da fase beta.
2.2 Caracterização da fase B
A expressão (35) é um caso geral de uma tranformação contínua que deixa invariante
3 × 3. Seja o elemento h ∈
H , grupo de rotações conforme descrito para (35), impomos hA = A, e as transformações
i
innitesimais h = exp(− α.T ), com seu gerador innitesimal T = (Tx , Ty , Tz ) e o vetor
}
genérico α, de forma que:
o parâmetro de ordem geral, tensor na representação matricial
i
h ≈ 1 − α.T
}
A consequência direta da denição é que
trução inicial queremos que
A
(α.T )A = 0
(37)
e
Ti A= 0 ,
mantendo a cons-
se transforme como um bivetor, ou seja, sua estrutura
mais detalhada seria:
A=
X
vi
λvi ŝ ⊗ ˆl
(38)
27
Aqui
ŝ
tivamente.
ˆl representariam os vetores unitários nos espaços de
Desse modo, A é uma representação da combinação
e
tensorial direto dos dois espaços.
spin e orbital respeclinear como produto
O objetivo é obter um mecanismo de geração spin-
órbita compatível com uma corrente de spin dentro da teoria de Landau. A invariância
Ti
da energia frente as transformações nos permite escrever cada
de cada rotação sobre os operadores
S
e
L
como combinação linear
(matrizes complexas 3×3) para um conjunto
de parâmetros reais. Podemos incluir um parâmetro que dá conta de uma transformação
de gauge desse espaço misto, considerando que se trata simplesmente de uma fase:



Tx = ax Lx + bx S x
Ty = ay Ly + by S y


Tz = ax Lx + bx S x + cφ
Denindo
−A.
L = (Lx , Ly , Lz )
,
S = (S x , S y , S z )
e
(39)
∂
φ = −i} ∂φ
com
φA = A
,
φA∗ =
Fica patente a denição de álgebras de Lie:
X
Li , Lj = i}
ijk Lk
(40)
k
[S µ , S v ] = i}
X
µνλ S λ
(41)
λ
Obedecendo as condições
(α.T )A = 0
e
Ti A= 0
e as relações (39) , (40) e (41),
chegamos a:
ai
X
ijl Aµl + bi
X
iµν Avj + iδiz cAµj = 0
(42)
v
l
São 9 equações homogêneas para 7 parâmetros parâmetros reais.
subgrupo
H
1̂ ( H ( G,
com
sendo o grupo
subgrupo deve obedecer certas condições:
triviais
A 6= 0
sobre rotações innitesimais
ser homeomorfo à
SO(3)/Z2
sendo
homeomorfo ao grupo unimodular
Devemos obter
G = SO(3)L × SO(3)S × U (1)φ .
Nosso
preservar a invariância dos elementos não-
(T)
Z2 o grupo
SU (2).
; para manter a estrutura do gap (35)
discreto das reexões. O grupo
Para manter todas as invariâncias relativas aos elementos
SO(3)
é
Ti (obedecendo a (39),(40)
e (41)), a solução viável para (42), seria:
1
ai = bi = 0 e c = 0 =⇒ T = L + S =⇒ Aµj = 3− 2 δµj
A forma de
Aµj
é um caso especial da forma mais geral:
(43)
1
Aµj = 3− 2 eiφ Rµj (n̂, θ), que
é invariante sob rotações simultâneas dos elementos orbitais e de spin. Essa é a quebra
28
relativa de simetria spin-órbita, onde
J = L + S = 0.
Para rotações somente sob
TZ
(base
cartesiana):
az (δj1 Aµ2 − δj2 Aµ1 ) + bz (δµ1 A2j − δµ2 A1j ) + icAµj = 0
(44)
H = SOL+S (2) age sobre G = SO(3)L × SO(3)S × U (1)φ produzindo
R = (SO(3)L × SO(3)S × U (1)φ )/(SOL+S (2)) = SOL,S (3) × U (1)φ , e para um sistema
2D: R = SOL,S (2) × U (1)φ . Sob trasformação unitária (44) ganha uma estrutura muito
O grupo fator
simples em coordenadas esféricas:
(az µ + bz v + c)Aµv = 0
Isso deriva do fato que, na base esférica, os harmônicos
e de
Sz
com autovalores
m~.
(45)
Y1m
são autoestados de
Lz
Nossa fase-β ca então caracterizada pela expressão (45) e
pela tranformação genérica de um vetor no espaço de spins que produz o descasamento
das populações distintas de spin a menos de um gap
∆0 :
dµj = ∆0 eiθ Rµj
(46)
Figura 3 - O descasamento da superfície de Fermi que caracteriza a fase beta.
2.3 O operador de corrente e o acoplamento spin×órbita
Sobre as argumentações anteriores temos que denir um operador consistente com
a teoria de Landau via equação (31) e com as quebras de simetria e peculiaridades da
29
onda-p da instabilidade Pomeranchuk e a fase-β , e mais, a partir desse operador derivar
um parâmetro de ordem compatível, especicamente, com a expressão (35). O setor de
spin para
l =1
na teoria de Landau possui uma derivação hamiltoniana para sistemas
em baixa dimensão .
momento orbital
Primeiramente vamos denir o operador corrente de spin para o
l = 1,
claramente para conectar com a equação (31).
ˆ a ψ(x)
V aµ (x) = −iψ † (x)σ µ ∇
Onde
ψ
ψ↑
ψ↓
é um spinor
ˆ ikx = i ~k eikx .
∇e
|k|
Nesse caso
µ
(47)
!
, e
σµ
são as matrizes e Pauli, com
a = x, y
e onde
representa as direções x e y no espaço de Spins.
O hamiltoniano sobre o parâmetro de Landau
f1A
43
ca assim denido
, de forma que
produza uma expressão de campo médio na transformada de Fourier quando utilizarmos
a susceptibilidade (31):
ˆ
H=
1
d x ψ (x )((−i ∇) − µ)ψ(x) +
2
2
†
ˆ
d 2 xd 2 x 0 f1A (x − x 0 )V aµ (x )V aµ (x 0 )
A relação de dispersão em torno da superfície de Fermi, para
(48)
k ∼ kF , é denida para
conseguirmos efetivamente controlar a divergência produzida pelo parâmetro de Landau
F1A :
1 a
1
b
(k) − µ = ~vF .[~k − ~kF ] +
(~vF .[~k − ~kF ])2 +
(~vF .[~k − ~kF ])3 . . .
2 vF kF
3! (vF kF )2
Para uma simetria partícula/buraco a dispersão é função ímpar para
de
~kF
(49)
em torno
(|~kF |) = µ:
Figura 4 - A gura justica a denição da dispersão como função ímpar em função
dos valores de energia fechados em torno da energia de Fermi.
30
Essa consideração é importante pois a parte orbital deve ser anti-simétrica na geração do aclopamento spin-órbita devido a natureza simétrica do setor de spin da instabilidade Pomeranchuk.
Desconsideramos termos de ordem acima da cúbica e dropamos os termos de ordem
par, e (49) ganha a forma :
1
b
(k) − µ = ~vF .[~k − ~kF ] +
(~vF .[~k − ~kF ])3
2
3! (vF kF )
O termo
(50)
b mede a curvatura efetiva da banda próxima a superfície de Fermi.
Vamos
denir um parâmetro no espaço de posições que será projetado no espaço de spins nos
mesmos moldes do vetor da expressão (35):
1
n (x) =
2
ˆ
ua
d 2 x 0 f1A (x − x 0 )V aµ (x 0 )
(51)
O objetivo da denição é a partir das tranformadas de Fourier obter uma teoria de
Campo Médio como forma de diagonalizar (48).Convenientemente impomos a transformada de Fourier de
f1A (x)
nos moldes da expressão (31), como:
F(f1A (x )) ≡
f1A
1 + κ|f1A |k 2
Denindo, dessa forma um domínio efetivo de interação
(52)
r=
p
κ|f1A |.
Outros termos
devem ser considerados na transformada de Fourier:
ˆ
V
µa
(r) =
ˆ
µa
n (r) =
d 2 k µa
V (k)eikx
2
(2 π)
(53)
d 2 k µa
n (k)eikx
2
(2 π)
(54)
Usando as expressões (51), (52), (53), (54) no nosso hamiltoniano (48) tomando a
tranformada de Fourier para o espaço de momentos, podemos redenir o hamiltoniano
segundo uma teoria de campo médio onde a fase-β pode ser caracterizada.
hn (k)i = n̄δ(k),
torno de kF , logo
ansatz
em
µa
que impõe a suavidade do parâmetro para valores
ˆ
HMF =
d2k †
ψ (k )((k ) − µ − n̄~σ .k̂ )ψ(k)
(2 π)2
Para o parâmetro de ordem:
Usamos o
k
fechados
(55)
31
1
n̄ = − f1A (0)
2
A equação (55) só é válida se
ˆ
E
d2 k D †
ψ
(k)(~
σ
.
k̂)ψ(k)
(2π)2
(56)
p
κ|f1A | 1, isto é, quando o domínio de interações
kF
for muito maior que a distância entre as quasipartículas, novamente essa propriedade é
fundamental para que possamos utilizar a teoria de Landau. Para que a expressões (55)
e (56) representem a fase-β é necessária a solução de (56), ou seja, uma base que a
diagonaliza. Em duas dimensões, a candidata e a base de Helicidade:
0 1
1 0
~σ .k̂ = kx σx + ky σy =kx
=
0
kx + iky
kx − iky
0
!
~σ .k̂ = |k|
e−iθ
+ ky
0 i
−i 0
!
=
0
cosθ + isenθ
cosθ + isenθ
0
= |k|
0
!
eiθ
0
!
0
=
e−iθ
eiθ
0
!
⇒
!
(57)
Cuja a equação característica:
Os autovalores
− 12
2
M
eiθ
1
λ = ±1
produzem os autovetores:
− 21
ζ↑ = 2
1
−e−iθ
!
e
ζ↓ =
!
, que são os vetores unitários da nova base e geram a matriz de transformação
:
− 12
M=2
E sua conjugada complexa
T
M
− 12
M =2
T
M = M−1 ,
!
(58)
:
T
Apesar de
1
eiθ
−e−iθ 1
1
e−iθ
é fácil vericar que
−eiθ
1
M
!
(59)
é não-hermitiana, em acordo com a
estrutura (46). Efetuamos a transformação unitária:
M
−1
σ̃.k̂ M = σz
(60)
32
A transformação de base simplica as equações (55) e (56), já que o operador
~σ .k̂
é
diagonalizado :
ˆ
HMF =
d2k †
ζ (k )((k ) − µ − n̄σz )ζ(k)
(2 π)2
1
n̄ = − f1A (0)
2
ˆ
(61)
d2 k †
ζ σz ζ
2
(2π)
(62)
A obtenção dos valores esperados de energia da equação (61) é imediata na nova
base,
hHMF i
se desdobra em duas quiralidades opostas com dispersões:
↑ = (k) − (µ + n̄)
e
↓ = (k) − (µ − n̄)
(63)
kF↑↓ = kF ±
q
e a relação entre
2
O momento de Fermi de cada extensão é dada por
n̄
e
q.
A fase ordenada ca totalmente caracterizada por uma geração espontânea de
acoplamento spin-órbita (31) e (56) com invariância da rotação global. O spin e o momento
angular não são conservados independentemente, mas
de Helicidade
ζ = (ζ↑ , ζ↓ ),
onde o operador
~σ .k̂
J = L+S
é conservado. Na base
é diagonalizado com autovalores
±1,
os
valores esperados de energia dos estados fundamentais do hamiltoniano de campo médio
são encontrados. A fase-β guarda grande semelhança com o estado BCS: evidencia um gap
nito e praticamente constante. Os mecanismos são diferentes, o gap BCS surge da parte
orbital simétrica da onda-s (estado singleto) enquanto, no caso do gap da instabilidade
Pomeranchuk de onda-p(estado tripleto), surge via descasamento das duas superfície de
Fermi de cada estado fundamental junto com a invariância global que mantém seu valor
nito. Essa semelhança na estrutura nos permite estudar sua competição em termo de
combinação linear de suas soluções via funções de Green e suas equações de movimento.
33
3 SUPERCONDUTIVIDADE NA FASE B
(ψ, ψ † ) induz diferentes tipos de interação na fase-β , onde
†
líquido de Fermi são perdidas. Na base de helicidade (ζ, ζ ), a
A interação BCS na base
as propriedades básicas do
estrutura inter-bandas da onda-p é induzida com um momento de emparelhamento nito.
Essas interações competem uma com a outra e com interações no canal de espalhamento
Pomeranchuk. Especicamente estudaremos a competição entre um parâmetro de ordem
supercondutor inter-bandas e a instabilidade-β , analisando seu diagrama de fases e os
diferentes tipos de emparelhamentos, suas simetrias e utuações.
3.1 Competição entre as instabilidades Pomeranchuk e BCS e as equações de
movimento
Introduzimos o seguinte Hamiltonino que favorece a formação do par de Cooper
com momento linear
~q:
ˆ
d2k
†
†
4q ζ↑,k+q/2
ζ↓,−k+q/2
+ h.c
2
(2 π)
Hsc =
Note que os valores possíveis para
~q
(64)
são determinados pela instabilidade Pome-
ranchuk na base de helicidade. A equação do gap que complementa a equação (65) é:
ˆ
4q = −g
d2k ζ↓,−k+q/2 ζ↑,k+q/2
2
(2 π)
(65)
Para achar a solução Auto-Consistente é necessário resolver as equações (55) e (65)
4q (56) e (66), onde os valores esperados são tomaH = HMF +HSC . Como vamos produzir a competição entre os
simultaneamente em função de
dos do hamiltoniano
n̄
e
hamiltonianos vamos mapear os estados BCS sobre a instabilidade Pomeranchuk. Logo,
†
e ζ↓,−k+q/2
≡
ζ↑,k+q/2 ≡ ζ↑,k
i
d2k h †
†
†
ζ ((k ) − µ − n̄σz )ζ↑,k − 4q ζ↑,k ζ↓,−k + h.c
(2 π)2 ↑,k
(66)
†
ζ↓,−k
. Dessa forma nosso
ˆ
H=
Vamos tomar
hHi
nova base. Impomos:
†
†
†
†
ζ↑,k+q/2
≡ ζ↑,k
; ζ↓,−k+q/2 ≡ ζ↓,−k
Hamiltoniano H ganha a forma:
;
assumimos que na Base de Helicidade:
em termos das quiralidades das relações (64), e reescrever (67) na
´
d2 k
(2π)2
→
P
de movimento cam mais claras.
k , pois com o somatório as operações sobre equações
34
hHi = −
E
i
E
D
E
D
Xh D †
†
†
†
+ 4∗q hζ↓,−k ζ↑,k i
ζ↓,−k
ζ↓,−k + 4q ζ↑,k
↑ ζ↑,k ζ↑,k + ↓ ζ↓,−k
(67)
k
No segundo termo
D
E
†
ζ↓,−k
↓ ζ↓,−k
atrelamos spin e momento de forma a manter
a estrutura similar ao termo BCS sob as condições (45) e (46).
Nosso hamiltoniano é
biquadrático e admite solução exata sem propagação de termos, utilizaremos o método
de funções de Green segundo Zubarev
44
. O objetivo, é claro é diagonalizar (68), assim
vamos denir as funções de Green:
G=
Onde:
de
G
n, n0
DD
EE
Dn
oE
0
0
n
n
ζα,k
(t)ζαn0 ,k0 (t0 ) = −iθ(t − t0 ) ζα,k
(t)ζαn0 ,k0 (t0 )
podem assumir '†' ou não;
e utilizando a relação de Heisemberg:
i
(68)
α, α0 =↑ ou ↓. Tomando a derivada temporal
i dA
= AH − HA, chegamos a relação:
dt
Dn
oE DD
EE
dG
0
0
n
n
= δ(t − t0 ) ζα,k
(t)ζαn0 ,k0 (t) +
ζα,k
(t)H(t) , ζαn0 ,k0 (t)
dt
(69)
Para tal método, devemos introduzir uma dependência temporal e uma relação de
dispersão
ω
linear no tempo. Denimos a transformada de Fourier para cada operador de
(68), como:
ˆ
∞
hO(t)i eiωt dt
F hO(t)i =
(70)
−∞
E mais, devido ao nosso ansatz
hnµa (k)i = n̄δ(k)
e a construção do nosso modelo
em campo médio garantimos a suavidade das relações de dispersão em torno da energia
de Fermi. Dessa forma garantimos a analiticidade de
F
dG
dt
hO(t)i,
logo podemos supor que:
= iωF(G)
(71)
Como todo termo de (68) é negativo todas as funções de Green relativas a eles
também o serão. Logo, aplicando a transformada de Fourier (71), utilizando a expressão
(72) , tomando o limite
t0 → t
e integrando de
−∞ < t < ∞,
chegamos a uma equação
do movimento do tipo:
ω
DD
0
n
ζα,k
ζαn0 ,k0
EE
=
EE
Dn
oE DD
0
0
n
n
ζα,k
ζαn0 ,k0
+
ζα,k
, H , ζαn0 ,k0
(72)
35
Vamos usar os resultados usuais de comutações e anti-comutações:
[A, BC] = ABC − BCA = ABC + BAC − BAC − BCA =
= (AB + BA)C − B(AC + CA) =⇒
[A, BC] = {A, B}C − B{A, C}
n
o
Cαk , Cα† 0 k0 = δαα0 δkk0
(73)
n
o
†
{Cαk , Cα0 k0 } = Cαk
, Cᆠ0 k0 = 0
e
(74)
E obter o resultado explícito de cada função de Green termo a termo do hamiltoniano
segundo (73), em função dos observáveis
ω, e do gap
4q .
3.2 Funções de Green e equações de movimento
Utilizando as relações (73), (74) e (75) vamos inspecionar os termos do hamiltoniano
efetivo (68) na equação de movimento (73) , o objetivo é determinar o valor de todas as
funções de Green explicitamente em termos de
ω, e do gap
4q ,
diagonalizando (68) e
encontrando todas as suas funções de correlação . Uma vez que determinemos as funções
EE DD
EE
†
†
ζ↑k ζ↑k
,
ζ↓−k ζ↓−k
, e a
poderemos encontrar n̄ em função de observáveis
A
parâmetro de Landau F1 no setor de spin.
diretas de Green
DD
função anômala de Green
hhζ↑k ζ↓−k ii,
e estudar as transições em termos do
3.2.1 A função de Green direta
Separamos
ζ↑k ,
estabelecendo relação com os termos do tipo
P
↑ †
k0 k0 ζ↑k0 ζ↑k0 para de-
pois usarmos a relação (73).
X
↑k0
h
†
ζ↑k , ζ↑k
0 ζ↑k 0
i
(74)
=⇒
X
k0
↑k0
n
o
(75)
†
†
=⇒
ζ↑k , ζ↑k
ζ↑k0 − ζ↑k
0
0 {ζ↑k , ζ↑k 0 }
k0
X
k0
↑k0
δ
kk0
ζ
↑k0
−
†
ζ↑k
0
× 0 = ↑k ζ↑k
(75)
36
Combinaremos o mesmo termo
4q
ζ↑k ,
de (76) com termos do tipo
4q
P
k0
†
†
ζ↑,k
0 ζ↓,−k 0
i (74)
o
n
o (75)
X n
Xh
†
†
†
†
†
†
=⇒ 4q
ζ↑k ζ↑,k
ζ
−
ζ
ζ
ζ
=⇒
ζ↑k , ζ↑,k
ζ↓,−k
0
↑k ↓,−k0
↓,−k0
↑,k0
k0
k0
4q
X
†
†
†
δk,k0 ζ↓,−k
= 4q ζ↓,−k
0 − ζ↑,k 0 × 0
(76)
k0
Logo, com (76) e (77), chegamos a:
†
[ζ↑k H] = ↑k ζ↑k + 4q ζ↓,−k
(77)
Logo, a partir de (73) chegamos a:
ω
DD
†
ζ↑k ζ↑k
EE
=
Dn
oE DD
EE
†
†
†
ζ↑k ζ↑k
+ ↑k ζ↑k + 4q ζ↓,−k
, ζ↑k
=
= hδkk i + ↑k
ω
DD
†
ζ↑k ζ↑k
EE
DD
↑k
−
†
ζ↑k ζ↑k
DD
EE
†
ζ↑k ζ↑k
+ 4q
EE
h
EE
=⇒
(ω − ↑k )
DD
EE
DD
EE
†
†
†
ζ↑k ζ↑k
= 1 + 4q ζ↓,−k
, ζ↑k
DD
EE
Começamos com
↓k0
†
†
ζ↓,−k
, ζ↑k
DD
EE
†
†
= 1 + 4q ζ↓,−k , ζ↑k
=⇒
†
ζ↑k ζ↑k
=
4q
1
(ω − ↑k )
+
Agora devemos tratar a função de Green
X
DD
†
ζ↓−k
†
†
ζ↓,−k
, ζ↑k
EE
i
(74)
=⇒
X
↓k0
(78)
(ω − ↑k )
†
†
ζ↓,−k
, ζ↑k
EE
.
estabelecendo relação com os termos do tipo
†
†
ζ↓−k
, ζ↓k
0 ζ↓k 0
k0
DD
DD
↓ †
k0 k0 ζ↓k0 ζ↓k0 .
P
n
o
n
o (75)
†
†
†
†
ζ↓−k ζ↓k0 ζ↓k0 − ζ↓k0 ζ↓−k ζ
=⇒
k0
X
k0
†
†
0
↓k0 0 × ζ↓k0 − ζ↓k
δ
= −↓−k ζ↓−k
0 −k,k
(79)
37
Combinaremos o mesmo termo
4∗q
†
ζ↓−k
de (80) com termos do tipo
4∗q
P
k0
ζ↓,−k0 ζ↑,k0
i (74)
o
n
o (75)
Xh †
X n †
†
ζ↓−k , ζ↓,−k ζ↑,k0 =⇒ 4∗q
ζ↓−k ζ↓,−k0 ζ↑,k0 − ζ↓,−k0 ζ↓−k
ζ↑,k0
=⇒
k0
k0
X
4∗q
(δ−k,−k0 ζ↑,k0 − ζ↓,−k0 × 0) = 4∗q ζ↑,k
(80)
k0
Logo, com (80) e (81), chegamos a:
h
i
†
†
ζ↓−k
H = −↓−k ζ↓−k
+ 4∗q ζ↑,k
(81)
Logo, a partir de (73) chegamos a:
ω
DD
†
†
ζ↓−k
ζ↑k
EE
Dn
oE DD
EE
†
†
†
†
ζ↓−k
ζ↑k
+ −↓−k ζ↓−k
+ 4∗q ζ↑,k , ζ↑k
=
=
= 0 − ↓−k
ω
DD
†
†
ζ↓−k
ζ↑k
ω+
EE
↓−k
+ ↓−k
4q
DD
†
†
ζ↓−k
ζ↑k
EE
= 4∗q
DD
†
ζ↑,k ζ↑k
†
†
ζ↓−k
ζ↑k
EE
=
4∗q
DD
†
ζ↑,k ζ↑k
=⇒
ω+
↓−k
EE
4q :
DD
EE
DD
EE
DD
EE
†
†
†
∗
ζ↓−k ζ↑k
= 4q ζ↑,k ζ↑k
=⇒
DD
Multiplicando (83) por
DD
EE
DD
EE
†
†
†
ζ↓−k
ζ↑k
+ 4∗q ζ↑,k ζ↑k
=⇒
†
†
ζ↓−k
ζ↑k
EE
DD
EE
†
|4q |2 ζ↑,k ζ↑k
=
=⇒
ω + ↓−k
(82)
38
DD
1 + 4q
†
†
ζ↑k
ζ↓−k
EE
DD
EE
†
|4q |2 ζ↑,k ζ↑k
(79)
=1+
=⇒
ω + ↓−k
2
(ω − ↑k )
DD
†
ζ↑k ζ↑k
EE
=1+
|4q |
DD
†
ζ↑,k ζ↑k
ω + ↓−k
EE
=⇒
EE
DD
EE DD
†
†
=⇒
= ω + ↓−k + |4q |2 ζ↑,k ζ↑k
ω + ↓−k (ω − ↑k ) ζ↑k ζ↑k
h
i DD
EE †
ω + ↓−k (ω − ↑k ) − |4q |2
ζ↑k ζ↑k
= ω + ↓−k
DD
†
ζ↑k ζ↑k
EE
ω + ↓−k
=
ω + ↓−k (ω − ↑k ) − |4q |2
(83)
3.2.2 A função de Green direta (momento oposto)
Separamos
ζ↓−k , estabelecendo relação com os termos do tipo
↓
†
k0 −k0 ζ↓−k0 ζ↓−k0 para
P
depois usarmos a relação (73).
X
↓−k0
h
†
ζ↓−k , ζ↓−k
0 ζ↓−k 0
k0
i
(74)
=⇒
X
↓−k0
n
(75)
o
†
†
0
0
ζ↓−k , ζ↓−k
ζ
−
ζ
{ζ
,
ζ
}
=⇒
0
↓−k
↓−k ↓−k
↓−k0
k0
X
†
↓−k0 δ−k−k0 ζ↓−k0 − ζ↓−k
= ↓−k ζ↓−k
0 × 0
(84)
k0
Combinaremos o mesmo termo
ζ↓−k
de (85) com termos do tipo
4q
P
k0
†
†
ζ↑,k
0 ζ↓,−k 0
i (74)
o
n
o (75)
Xh
X n
†
†
†
†
†
†
4q
ζ↓−k , ζ↑,k0 ζ↓,−k0 =⇒ 4q
ζ↓−k ζ↑,k0 ζ↓,−k0 − ζ↑,k0 ζ↓−k ζ↓,−k0
=⇒
k0
k0
39
4q
X
†
†
†
0
0 × ζ↓,−k
−
ζ
δ
= −4q ζ↑,k
0
↑,k0 −k,−k
(85)
k0
Logo, com (86) e (87), chegamos a:
†
[ζ↓k H] = ↓−k ζ↓−k − 4q ζ↑,k
(86)
Logo, a partir de (73) chegamos a:
ω
EE
oE DD
EE Dn
DD
†
†
†
†
=
+ ↓−k ζ↓−k − 4q ζ↑,k
, ζ↓−k
= ζ↓−k ζ↓−k
ζ↓−k ζ↓−k
= hδ−k−k i +
ω
DD
†
ζ↓−k ζ↓−k
EE
DD
DD
†
ζ↓−k ζ↓−k
†
ζ↓−k ζ↓−k
DD
− ↓−k
(ω − ↑k )
DD
↓−k
†
ζ↓−k ζ↓−k
†
ζ↓−k ζ↓−k
EE
EE
=
EE
1
4q
X
†
ζ↑k
−
DD
DD
EE
=⇒
†
†
ζ↑,k
ζ↓−k
EE
=⇒
DD
EE
†
†
ζ↑,k
ζ↓−k
= 1 − 4q
(ω − ↓−k )
†
†
ζ↑,k
ζ↓−k
= 1 − 4q
EE
Agora devemos tratar a função de Green
Começamos com
− 4q
DD
DD
†
†
ζ↑,k
ζ↓−k
EE
(87)
(ω − ↓−k )
†
†
ζ↑,k
, ζ↓−k
EE
.
estabelecendo relação com os termos do tipo
↑ †
k0 k0 ζ↑k0 ζ↑k0 .
P
o
n
o (75)
h
i (74) X n
†
† †
†
†
†
↓k0
ζ↑k
ζ↑k0 ζ↑k0 − Lı́ζ↑k
ζ↑k
ζ↑k0
=⇒
, ζ↑k
=⇒
↑k0 ζ↑k
0
0 ζ↑k 0
k0
k0
X
↑k0
0 × ζ↑k0 −
†
ζ↑k
0 δk,k 0
†
= −↑k ζ↑k
(88)
k0
Combinando o mesmo termo
†
ζ↑k
de (89) com termos do tipo
4∗q
P
k0
ζ↓,−k0 ζ↑,k0 .
40
4∗q
Xh
o (75)
o
n
i (74)
X n †
†
†
ζ↑,k0
=⇒
, ζ↓,−k0 ζ↑,k0 =⇒ 4∗q
ζ↑k ζ↓,−k0 ζ↑,k0 − ζ↓,−k0 ζ↑k
ζ↑k
k0
k0
4∗q
X
(0 × ζ↑,k0 − ζ↓,−k0 δk,k0 ) = −4∗q ζ↓,−k
(89)
k0
Logo, com (89) e (90), chegamos a:
h
i
†
†
ζ↑k
H = −↑k ζ↑k
− 4∗q ζ↓,−k
(90)
Logo, a partir de (73) chegamos a:
ω
DD
† †
ζ↑k
ζ↓−k
EE
=
= 0 − ↑k
ω
DD
† †
ζ↑k
ζ↓−k
EE
ω + ↑−k
Dn
oE DD
EE
† †
†
†
ζ↑k
ζ↓−k
+ −↑k ζ↑k
− 4∗q ζ↓,−k , ζ↓,−k
=
DD
+
† †
ζ↑k
ζ↓−k
↑k
DD
EE
− 4∗q
† †
ζ↑k
ζ↓−k
EE
=
Multiplicando (92) por
† †
ζ↑k
ζ↓−k
EE
−4∗q
DD
=−
DD
EE
=⇒
†
ζ↓,−k ζ↓,−k
†
ζ↓,−k ζ↓,−k
ω + ↑k
4∗q
EE
=⇒
EE
(91)
−4q :
2
4q
†
ζ↓,−k ζ↓−k
DD
EE
DD
EE
†
†
†
ζ↑−k
ζ↓k
= −4∗q ζ↓,−k ζ↓,−k
=⇒
DD
DD
DD
† †
ζ↑k
ζ↓−k
EE
|4q |
=−
DD
†
ζ↓,−k ζ↓,−k
ω+
↑−k
EE
=⇒
41
1 − 4q
DD
†
†
ζ↓,−k
ζ↑k+q
EE
DD
†
ζ↓,−k ζ↓,−k
ω + ↑k
|4q |2
=1+
2
(ω − ↓−k )
DD
†
ζ↓−k ζ↓−k
EE
|4q |
=1+
DD
†
ζ↓−k ζ↓−k
ω + ↑k
EE
(79)
=⇒
EE
=⇒
EE
DD
EE DD
†
†
=⇒
= ω + ↑k + |4q |2 ζ↓−k ζ↓−k
ω + ↑k (ω − ↓−k ) ζ↓−k ζ↓−k
h
i DD
EE †
ω + ↑k (ω − ↓−k ) − |4q |2
ζ↓−k ζ↓−k
= ω + ↑k
DD
†
ζ↓−k ζ↓−k
EE
=
ω + ↑k
(92)
ω + ↑k (ω − ↓−k ) − |4q |2
3.2.3 A função de Green anômala
Separamos
ζ↑k ,
estabelecendo relação com os termos do tipo
P
↑ †
k0 k0 ζ↑k0 ζ↑k0 para de-
pois usarmos a relação (73).
X
↑k0
h
†
ζ↑k , ζ↑k
0 ζ↑k 0
i
(74)
=⇒
X
k0
↑k0
(75)
n
o
†
†
0
0
ζ↑k , ζ↑k
ζ
−
ζ
{ζ
,
ζ
}
=⇒
0
↑k
↑k ↑k
↑k0
k0
X
†
↑k0 δkk0 ζ↑k0 − ζ↑k
= ↑k ζ↑k
0 × 0
(93)
k0
Combinaremos o mesmo termo
ζ↑k
de (94) com termos do tipo
4q
P
k0
†
†
ζ↑,k
0 ζ↓,−k 0
i (74)
o
n
o (75)
Xh
X n
†
†
†
†
†
†
4q
ζ↑k , ζ↑,k ζ↓,−k =⇒ 4q
ζ↑k ζ↑,k0 ζ↓,−k0 − ζ↑,k0 ζ↑k ζ↓,−k0
=⇒
k0
k0
42
X
4q
†
†
†
δk,k0 ζ↓,−k
−
ζ
×
0
= 4q ζ↓,−k
0
↑,k0
(94)
k0
Logo, com (94) e (95), chegamos a:
†
[ζ↑k H] = ↑k ζ↑k + 4q ζ↓,−k
(95)
Logo a partir de (73), chegamos a:
ω hhζ↑k ζ↓−k ii = h{ζ↑k ζ↓−k }i +
DD
↑k ζ↑k
= 0+↑k hhζ↑k ζ↓−k ii + 4q
DD
+
†
ζ↓,−k
ζ↓−k
ω hhζ↑k ζ↓−k ii − ↑k hhζ↑k ζ↓−k ii = 4q
ω−
↑k
hhζ↑k ζ↓−k ii = 4q
hhζ↑k ζ↓−k ii = Vamos tratar a função de Green
Começamos com
X
↓k0
h
†
ζ↓−k
4q
ω−
DD
↑k
†
4q ζ↓,−k
, ζ↓−k
DD
DD
†
ζ↓,−k
ζ↓−k
DD
EE
†
ζ↓,−k
ζ↓−k
EE
=⇒
=⇒
†
ζ↓,−k
ζ↓−k
†
ζ↓,−k
ζ↓−k
EE
EE
EE
EE
(96)
.
estabelecendo relação com os termos do tipo
†
†
ζ↓−k
, ζ↓−k
0 ζ↓−k 0
i
(74)
=⇒
X
↓k0
↓ †
k0 k0 ζ↓k0 ζ↓k0 .
P
o
n
o (75)
n
†
†
†
†
=⇒
ζ↓−k ζ↓−k0 ζ↓k0 − ζ↓−k0 ζ↓−k ζ↓−k0
k0
k0
X
†
†
0
↓k0 0 × ζ↓k0 − ζ↓k
δ
= −↓−k ζ↓−k
0 −k,−k
(97)
k0
Combinaremos o mesmo termo
†
ζ↓−k
de (98) com termos do tipo
4∗q
P
k0
ζ↓,−k0 ζ↑,k0 .
43
4∗q
o (75)
o
n
i (74)
X n †
Xh †
†
ζ↑,k0
=⇒
ζ↓−k ζ↓,−k0 ζ↑,k0 − ζ↓,−k0 ζ↓−k
ζ↓−k , ζ↓,−k0 ζ↑,k0 =⇒ 4∗q
k0
k0
4∗q
X
(δ−k,−k0 ζ↑,k0 − ζ↓,−k0 × 0) = 4∗q ζ↑,k
(98)
k0
Logo, com (98) e (99), chegamos a:
h
i
†
†
ζ↓−k
H = −↓−k ζ↓−k
+ 4∗q ζ↑,k
(99)
Logo, a partir de (73) chegamos a:
ω
DD
†
ζ↓−k
ζ↓−k
EE
=
Dn
oE DD
EE
†
†
ζ↓−k
ζ↓−k
+ −↓−k ζ↓−k
+ 4∗q ζ↑,k , ζ↓−k
=
= hδ−k,−k i − ↓−k
DD
†
ζ↓−k
ζ↓−k
EE
+ 4∗q hhζ↑,k ζ↓−k ii =⇒
DD
EE
DD
EE
†
↓
†
ω ζ↓−k ζ↓−k
+ −k ζ↓−k ζ↓−k
= 1 + 4∗q hhζ↑,k ζ↓−k ii =⇒
ω + ↓−k
DD
DD
EE
†
ζ↓−k
ζ↓−k
= 1 + 4∗q hhζ↑,k ζ↓−k ii =⇒
†
ζ↓−k
ζ↓−k
EE
=
1
ω + ↓−k
+
4∗q
ω + ↓−k
hhζ↑k ζ↓−k ii
(100)
A função de Green Anômala produz resultado que é esperado na nossa abordagem,
partindo de (97):
hhζ↑k ζ↓−k ii = 4q
ω − ↑k
DD
†
ζ↓,−k
ζ↓−k
EE (101)
=⇒
44
hhζ↑k ζ↓−k ii = 
4q
ω−
↑k
× 
1
ω+
↓−k
+
4∗q
ω+
↓−k

hhζ↑k ζ↓−k ii =⇒
4q + |4q |2 hhζ↑k ζ↓−k ii
=⇒
hhζ↑k ζ↓−k ii = ω − ↑k ω + ↓−k
ω − ↑k
ω + ↓−k hhζ↑k ζ↓−k ii − |4q |2 hhζ↑k ζ↓−k ii = 4q
ω−
↑k
↓
2
ω + −k − |4q | hhζ↑k ζ↓−k ii = 4q
hhζ↑k ζ↓−k ii = 4q
ω − ↑k ω + ↓−k − |4q |2
(101)
O resultado (102) guarda grande importância pois se trata da relação entre as ener-
↑
↑
gias de quiralidades opostas e o gap, para facilitar a notação Faremos :k ≡ ,
DD
EE DD
EE DD
EE DD
EE
†
†
ζ↑k ζ↑k
≡
ζ↑ ζ↑†
,
ζ↓−k ζ↓−k
≡ ζ↓ ζ↓†
, hhζ↑k ζ↓−k ii ≡ hhζ↑ ζ↓ ii.
↓−k ≡ ↓ ,
Resumindo, temos 3 resultados essenciais:
DD
DD
ζ↑ ζ↑†
EE
ζ↓ ζ↓†
EE
=
=
hhζ↑ ζ↓ ii =
ω + ↓
(ω + ↓ ) (ω − ↑ ) − |4q |2
ω + ↑
(ω + ↑ ) (ω − ↓ ) − |4q |2
(ω +
↓ ) (ω
4q
− ↑ ) − |4q |2
(102)
(103)
(104)
3.3 Correlações via funções de Green
Uma vez que encontramos formas explícitas para as funções de Green vamos preparálas para obtermos as Funções de Correlação do Hamiltoniano. Nesse ponto vamos tratar
(103) , (104) e (105) obtendo sua fatoração. Primeiramente igualamos a zero o denominador de (103):
45
ω + ↓ (ω − ↑ ) − |4q |2 =ω 2 + (↓ − ↑ )ω − ↓ ↑ + |4q |2 = 0 =⇒
↑ − ↓
ω± =
±
2
r
(↑ + ↓ )2
+ |4q |2 =⇒
2
r
↑ − ↓
ω± =
± ξq
2
com
ξq =
(↑ + ↓ )2
+ |4q |2
2
(105)
Essa expressão nos permite Fatorar o denominador da expressão (103):
DD
ζ↑ ζ↑†
EE
ω + ↓
=
(ω − ω+ ) (ω − ω− )
(106)
É claro que os denominadores de (104) e (105) são os mesmos de (103) , a menos
de sinais, obtemos então as outras fatorações em função de (106):
DD
ζ↓ ζ↓†
EE
ω + ↑
=
(ω + ω+ ) (ω + ω− )
(107)
4q
(ω − ω+ ) (ω − ω− )
(108)
hhζ↑ ζ↓ ii =
Utilizaremos o resultado aritmético:
1
1
=
ab
(a − b)
1 1
−
b a
1
1
=
(ω − ω+ ) (ω − ω− )
(ω+ − ω− )
=⇒
1
1
−
(ω − ω+ ) (ω − ω− )
(109)
E também:
1
1
=−
(ω + ω+ ) (ω + ω− )
(ω+ − ω− )
1
1
−
(ω + ω+ ) (ω + ω− )
(110)
Com essas expressões, encontramos:
DD
ζ↑ ζ↑†
EE
ω + ↓
=
2ξ
1
1
−
(ω − ω+ ) (ω − ω− )
(111)
46
DD
ζ↓ ζ↓†
EE
ω + ↑
=−
2ξ
∆q
hhζ↑ ζ↓ ii =
2ξ
1
1
−
(ω + ω+ ) (ω + ω− )
1
1
−
(ω − ω+ ) (ω − ω− )
(112)
(113)
Dadas as expressões das funções de Green relativa aos seus propagadores devemos
retornar ao nosso hamiltoniano original e denir suas correlações como transformadas
de Fourier inversas a (71).
No espaço real não é possível tratar os propagadores pois
(ω ± ω± ) −→ 0, na transição de fase. Faremos a extensão
analítica com ω± −→ ω± + iε com ε → 0. Dessa forma, trataremos os pólos no semi-plano
nos interessa o limite quando
complexo que são todos simples. Logo, utilizamos a relação:
1
= ℘(ω − ω± ) + iπδ(ω − ω± )
ω − ω± + iε
Onde
℘(ω − ω± )
(114)
é o chamado valor principal. Com a função de distribuição de
Fermi-Dirac:
1
z(ω) =
1+e
(115)
(ω−µ)
kT
Denimos a Função Correlação como:
D
0
ζσn ζσn0
E
1
=
π
ˆ
∞
ImG(ω)z(ω)dω
(116)
−∞
Obs. A expressão (117) é multiplicada por
(2×)
devido ao princípio de reexão de
Schwars.
A partir de (115), chegamos as expressões:
1
=℘
(ω − ω+ + iε)
1
=℘
(ω − ω− + iε)
1
=℘
(ω + ω+ + iε)
1
=℘
(ω + ω− + iε)
1
ω − ω+
1
ω − ω−
1
ω − (−ω+ )
1
ω − (−ω− )
+ iπδ(ω − ω+ )
(117)
+ iπδ(ω − ω− )
(118)
+ iπδ(ω − (−ω+ ))
(119)
+ iπδ(ω − (−ω− ))
(120)
Substituindo (118) e (119) em (117) e comparando com (112), chegamos a:
47
D
ζ↑† ζ↑
E
1
=
2ξ
ˆ
ˆ
∞
↓
ω+
∞
↓
δ(ω − ω+ )z(ω)dω −
ω+
δ(ω − ω− )z(ω)dω
−∞
−∞
(121)
Mas neste modelo toda a inuência de temperatura nita está embutida no controle
exercido pelo parâmetro de Landau
F1A ,
ou seja, é uma teoria em
T = 0.
A distribuição
de Fermi assume a forma de uma função escada de Heaviside.
z(ω) = θ(−ω)
(122)
Integrando (122), chegamos a:
D
ζ↑† ζ↑
E
ω− + ↓
ω+ + ↓
θ(−ω+ ) −
θ(−ω− )
=
2ξ
2ξ
(123)
Substituindo (120) e (121) em (117) e comparando com (113), chegamos a:
D
ζ↓† ζ↓
E
1
=−
2ξ
ˆ
ˆ
∞
↑
ω+
∞
↑
δ(ω + ω+ )θ(−ω)dω −
ω+
−∞
δ(ω + ω− )θ(−ω)dω
−∞
(124)
Integrando (125), chegamos a:
D
ζ↓† ζ↓
−ω+ + ↑
−ω− + ↑
=−
θ(ω+ ) +
θ(ω− )
2ξ
2ξ
E
(125)
Substituindo (118) e (119) em (117) e comparando com (112), chegamos a:
∆q
hζ↑ ζ↓ i =
2ξ
ˆ
ˆ
∞
∞
δ(ω − ω− )θ(−ω)dω
δ(ω − ω+ )θ(−ω)dω −
−∞
(126)
−∞
Integrando (127), chegamos a:
hζ↑ ζ↓ i =
∆q
{θ(−ω+ ) − θ(−ω− )}
2ξ
(127)
Dessa podemos diagonalizar nosso Hamiltoniano (68), nos interessa encontrar a
forma explícita de (62), para
1
n̄ = − f1A
2
ˆ
f1A < 0
em temperatura zero:
ˆ
D
E
D
E
d2 k D † E D † E (75) 1 A
d2 k †
†
ζ
ζ
−
ζ
ζ
=
|f
|
−1
+
ζ
ζ
+
1
−
ζ
ζ
=⇒
↑ ↑
↓ ↓
↑ ↑
↓ ↓
(2π)2
2 1
(2π)2
48
1
n̄ = |f1A |
2
Vamos utilizar o resultado
D
ζ↓† ζ↓
E
ˆ
d2 k D † E D † E
ζ↑ ζ↑ − ζ↓ ζ↓
(2π)2
θ(ω± ) + θ(−ω± ) = 1,
(128)
manipular
D
E
ζ↓† ζ↓ :
−ω+ + ↑
−ω− + ↑
=−
θ(ω+ ) +
θ(ω− ) =
2ξ
2ξ
ω+ − ↑
−ω− + ↑
=
(1 − θ(−ω+ )) +
(1 − θ(−ω− )) =
2ξ
2ξ
!
ω+ − ↑
−ω− + ↑
θ(−ω+ ) +
θ(−ω− ) =
2ξ
2ξ
ω+ − ↑ − ω− + ↑
=
+
2ξ
=
(ω+ − ω− )
+
2ξ
2ξ
= +
2ξ
D
Logo,
D
!
ω+ − ↑
−ω− + ↑
(106)
θ(−ω+ ) +
θ(−ω− ) =
2ξ
2ξ
!
ω+ − ↑
−ω− + ↑
θ(−ω+ ) +
θ(−ω− ) =⇒
2ξ
2ξ
E
ζ↓† ζ↓ = 1 +
E D
E
ζ↑† ζ↑ − ζ↓† ζ↓ ,
!
−ω− + ↑
ω+ − ↑
θ(−ω+ ) +
θ(−ω− )
2ξ
2ξ
ca:
D
+
ζ↑† ζ↑
E
−
D
ζ↓† ζ↓
E
= −1+
!
ω+ + ↓ + ω+ − ↑
ω− + ↓ + ω− − ↑
θ(−ω+ ) −
θ(−ω− ) =
2ξ
2ξ
= −1+
ω+ ↓ − ↑
+
ξ
2ξ
θ(−ω+ ) −
ω− ↓ − ↑
+
ξ
2ξ
(106)
θ(−ω− ) =
(129)
49
= −1+
↑ − ↓ ↓ − ↑
1+
+
2ξ
2ξ
D
D
ζ↑† ζ↑
E
−
D
↑ − ↓ ↓ − ↑
θ(−ω+ ) − −1 +
+
θ(−ω− ) =⇒
2ξ
2ξ
ζ↓† ζ↓
E
= − 1 + θ(−ω+ ) + θ(−ω− ) =⇒
E D
E
ζ↑† ζ↑ − ζ↓† ζ↓ =θ(−ω+ ) + [−1 + θ(−ω− )] =⇒
D
ζ↑† ζ↑
E
D
−
ζ↓† ζ↓
E
= θ(−ω+ ) − θ(ω− )
(130)
Em resumo este resultado é de extrema importância pois temos (62) e (66) em suas
formas explícitas:
1
n̄ = |f1A |
2
ˆ
∆q = −g
ˆ
d2 k
{θ(−ω+ ) − θ(ω− )}
(2π)2
(131)
d2 k ∆q
{θ(−ω+ ) − θ(−ω− )}
(2π)2 2ξ
(132)
Nossa hamiltoniano está diagonalizado e a excitação para uma única partícula redenido como:
ω± =
↑k+q/2
−
↓k−q/2
2
s
±ξ
com ξ =
(↑k+q/2 + ↓k−q/2 )2
2
+ |4q |2
(133)
Claramente a equação (133) é autoconsistente e é a famosa equação do gap BCS
mapeada sobre a base de helicidade 2D na instabilidade Pomeranchuk.
3.4 Análise das soluções
Vamos analisar no espaço dos parâmetros obtidos os diferentes tipos de solução
que atendam (67) diagonalizada por (132) e ( 133) na base de helicidade em função do
Parâmetro
∆q = 0
F1A
de Landau na temperatura zero.
é solução de (132) e (133).
Obviamente a solução trivial
n̄ = 0
e
50
n̄ ∼ q
∆q = 0. Essa solução possui baixa energia para
< −2 , conduzindo o sistema para a Fase-β , esta representa a ausência de supercondutividade. Por outro lado, n̄ = 0 e ∆q = 40 6= 0, caracteriza o estado supercondutor
uniforme. Para n̄ ∼ q e ∆q = 40 6= 0 e com pequenos valores do acoplamento BCS, a
fase-β possui energia menor que a energia do estado supercondutor uniforme, logo não há
Uma solução seria com
e
F1A
modulação e se mantém a Supercondutividade Uniforme.
n̄ ∼ q e ∆q = 40 6= 0 necessitamos integrar as
~
equações (132) e (133) no espaço k utilizando o resultado (64), e levando em conta que são
Para um acoplamento forte com
fortemente restringidas pelas funções de Heaviside. Mas antes devemos entender o papel
da relação de dispersão (50), uma vez diagonalizado o hamiltoniano na base de helicidade.
Para que a expressão seja autoconsistente devemos entender o papel da curvatura
b,
pois
e ela que estabiliza a fase-β . Sem esse fator seria improvável a modulação do parâmetro
de ordem. Vamos então usar
De (106), se
∆q = 0,
∆q = 0,
o que nos remete a uma fase-β pura.
logo:
↑ − ↓ ↓ + ↑
+
= ↑
2
2
(134)
↑ − ↓ ↓ + ↑
−
= −↓
2
2
(135)
ω+ =
e
ω− =
Logo, fazendo a tranformação para coordenadas polares em (132),
aqui considerando
k = ~k ,
1
n̄ = |f1A |
2
1 |f A |
n̄ = | 1 2
2 4π
ˆ
dθ
k:
integrando sobre
1
n̄ = |f1A |
2
kF↑
ˆ
2
−
ˆ
d2 k ↑
↓
θ(−
)
−
θ(−
)
=⇒
(2π)2
ˆ
1
dθ
(2π)2
d2 k → kdθdk ,
kF↓
2 ˆ
↑
kF
↓
kF
kdk −
0
1 |f A |
= | 12
2 4π
!
kdk
=⇒
0
ˆ
dθ kF↑ − kF↓
kF↑ + kF↓
(136)
Sobre (137) vamos considerar que o momento total sobre a superfície de Fermi
kF↑
+ kF↓ = kF .
Logo, sabemos que
kF =
m∗ vF
. Tomando
~
~ ∼ 1,
sendo a densidade de
estados sobre a superfície de Fermi para um volume unitário denida como
N (0) ∼
m∗ vF
4π 2
51
para um sistema 2D, o que nos leva a:
1 n̄ = | F1A 2
ˆ
↑
↓
dθ kF − kF
(137)
kF↑ −kF↓ para uma relação de
considerando ~
k − ~kF → 2q e como
Esse resultado nos motiva a estudar o comportamento de
dispersão não-linear (50). Retornando a equação (50),
desejamos manter a densidade de estados constante e a autoconsistência da expressão,
Temos:
(k) − µ = (kF + q/2) − (kF ) ∼
∼
∂no
= −δ(k − µ) =⇒
∂k
no ∼ ((k) − µ)|kF +q/2
E como a variação de
n(k)
(138)
é muito suave em torno de
kF
tomamos
no ∼ n̄,
logo a
relação de dispersão (50) ganha a seguinte forma:
1
b
(k) − µ = ~vF .[~k − ~kF ] +
(~vF .[~k − ~kF ])3 =⇒
3! (vF kF )2
v q 3
vF q
1
b
F
+
n̄ =
2
2
3! (vF kF )
2
Admitindo a autoconsistência para (140), como
vF q
2
= n̄ − 3!1 (vF kb F )2
(139)
vF q 3
, podemos
2
resubstituí-lo no termo cúbico de (140). Desprezando os termos de ordem superior camos
com:
b
vF q
1
= n̄ −
n̄3
2
3! (vF kF )2
(140)
52
3.5 Integrações e cortes (cut-os) para a manutenção do quadrado positivo
para as raízes
Nesse momento devemos integrar sobre todo
´
dθ.
A exigência do quadrado positivo
para as raízes nos impõe cortes (cut os) para o domínio de integrações em
θ.
Fica clara
a forte restrição produzida pelas funções de Heaviside na equação (132) gerando (137), a
maior contribuição é dada por
ω+ < 0
− ω+ =
pois
θ(−ω+ ) =⇒ −ω+ < 0
.
↓ − ↑
↓ − ↑
− ξq > 0 =⇒
> ξq
2
2
(141)
E mais:
µ→0
↓ − ↑ = (k − q/2) − (µ − n̄) −(k + q/2) − (µ + n̄) =⇒
↓ − ↑ = (k − q/2) − (k + q/2) + 2n̄
Mas obedecendo ao mesmo argumento de (139):
(142)
(k − q/2) − (k + q/2) ∼ −2n̄.
Podemos utilizar o resultado (140) recursivamente substituindo em (143).
2 b
− = −~
v .~q −
3! vF2 k 2F
↓
↑
v~.~q
2
↓ − ↑
v~.~q
1 b
=−
−
2
2
3! vF2 k 2F
3
+ 2n̄ =⇒
v~.~q
2
3
+ n̄
(143)
~k.~q em termos
do seu espalhamento ~
k.~q = kqcosθ. Repare que nas coordenadas polares o fator ~k.~q possui
Como já estamos em coordenadas polares
(k, θ)
reescrevemos o fator
o formato do nosso parâmetro de ordem que produz a modulação. Utilizando a expressão
(140), a equação (144) se torna:
vq
↓ − ↑
vq
1 b vq 3
1 b vq 3
3
= − cosθ −
cos
θ
+
+
=
2
2
3! vF2 k 2F 2
2
3! vF2 k 2F 2
=
(141)
vq
1 b vq 3
(1 − cosθ)+
1 − cos3 θ =⇒
2 2
2
3! vF k F 2
53
↓ − ↑
=
2
1 b
1 b
3
3
3
(1
−
cosθ)
+
1
−
cos
θ
n̄ −
n̄
n̄
3! vF2 k 2F
3! vF2 k 2F
Em (145) dezprezamos os termos de ordem superior a
(144)
n̄3 .
↓ − ↑
1 b
3
2
= n̄ +
n̄
cosθ
1
−
cos
θ
2
3! vF2 k 2F
1 b
↓ − ↑
3
= n̄ +
n̄ cosθ (1 + cosθ) (1 − cosθ)
2
3! vF2 k 2F
↓ − ↑
=
2
1 b
3
n̄ +
n̄ cosθ (1 + cosθ)
3! vF2 k 2F
↓
↑
→ 0, o que deixa
(1 − cosθ) praticamente faz −
2
θ → m π2 com m ∈ Z. Por isso dropamos (1 − cosθ).
Para ângulos pequenos o termo
claro que a fase-β , é evidenciada em
(145)
Retornado a (137):
1 |f A |
n̄ = | 1 2
2 4π
ˆ
dθ
Ou seja, a menos de
kF↑
2
1/kF ,
− kF↓
2 =
m|f1A |
4π 2

ˆ

dθ 
kF↑
2
2m
−
kF↓
2 
2m


temos:
ˆ
|F1A |
n̄ =
2
A exigência
(↑ −↓ )
4
dθ ↑ − ↓
2
=
(↓ −↑ )
4
> ξq2 ,
↓ − ↑
4
↓
2
↑ 2
+
Impõe que:
> ↓ + ↑
↓ − ↑
<
4
2
+ 42q
2
− 42q
(146)
54
↓ − ↑
( − µ)2 <
4
2
− 42q
2
1 b
3
( − µ) < n̄ +
n̄ cosθ (1 + cosθ)2 − 42q
3! vF2 k 2F
2
Obedecendo à condição (142):
2
( − µ) <
1 b
n̄ +
n̄3 cosθ
3! vF2 k 2F
s
|| <
2
1 b
n̄3 cosθ
n̄ +
3! vF2 k 2F
µ→0
(1 + cosθ)2 − 42q =⇒
2
(1 + cosθ)2 − 42q
(147)
Vamos tratar a expressão (148) criando um parâmetro adimensional
reescrever (147) , já integrada sobre
ˆ
n̄ =
|F1A |n̄
s
dθ
x = 4q /n̄,
e
k:
1 b
1−
n̄2 cosθ
3! vF2 k 2F
2
2
(1 + cosθ) −
Como a instabilidade Pomeranchuk é atrativa impomos
n̄ < 0
4q
n̄
2
(148)
, o que troca o sinal
do primeiro elemento do radicando. Denimos os limites de integração de forma a manter
o radicando positivo,
θ± (x, n̄):
ˆ
n̄ =
|F1A |n̄
s
θ+
dθ
θ−
1 b
n̄2 cosθ
1−
3! vF2 k 2F
2
(1 + cosθ)2 − x2
Próximo ao Ponto Crítico vamos expandir o integrando em potências de
(149)
n̄/vF kF 1, segundo nossa propriedade que justica validade de (55).Ou seja, como uma expansão
2
n̄2
de Taylor em torno de n̄/vF kF → 0, tomamos: f
= f (0) + f 0 (0) v2n̄k2 , des2 k2
vF
F
F F
prezando os termos de ordem superior e admitindo os coecientes C0 (x) = f (0) e C1 (x) =
´ θ+ q
f 0 (0). Vamos evaluar numericamente a integral f (0) = θ− dθ (1 + cosθ)2 − x2 . Dessa
C0 (x) ∼ 1 − (x/2)3/2 e C1 (x) ∼ 1 + ln ((1 + x/5)). E
A
A
obtemos a forma explícita para n̄ com F1 = f1 N (0), sendo N (0) a densidade de estados
forma ajustamos os coecientes:
na superfície de Fermi:
55
5 !
b
|F1A |
n̄
n̄ C0 (x) − 2 2 n̄2 C1 (x) + O
n̄ =
2
vF k F
vF kF
(150)
Retornando a equação do gap (133) que possui a usual divergência no ultra-violeta
da equação BCS do Gap.
Para tratarmos essa divergência podemos adotar a seguinte
identidade:
ˆ
−1+g
Onde
ξ0 =
q
2k + |∆0 |2
aqui
∆0
d2 k 1
=0
(2π)2 2ξ 0
(151)
é o gap uniforme supercondutor na ausência do
descasamento das superfícies de Fermi. Agora somando e subtraindo
ˆ
∆q = − g
d2 k ∆q
{θ(−ω+ ) + θ(ω− ) − θ(ω− ) − θ(−ω− )} =
(2π)2 2ξ
ˆ
d2 k ∆q
{θ(−ω+ ) + θ(ω− ) − 1} =⇒
(2π)2 2ξ
=−g
ˆ
1=−g
ˆ
1=−g
ˆ
g
ˆ
d2 k 1
{θ(−ω+ ) + θ(ω− ) − 1} =⇒
(2π)2 2ξ
d2 k 1
{θ(−ω+ ) + θ(ω− )} + g
(2π)2 2ξ
d2 k 1
−g
(2π)2 2ξ 0
1
2
d2 k
(2π)2
ˆ
d2 k 1
= −g
(2π)2 2ξ
1
1
−
ξ0 ξ
ˆ
ˆ
ˆ
dε
1
1
−
0
ξ
ξ
ˆ
=
ˆ
d2 k 1 (152)
=⇒
(2π)2 2ξ
d2 k 1
{θ(−ω+ ) + θ(ω− )} =⇒
(2π)2 2ξ
d2 k 1
{θ(−ω+ ) + θ(ω− )}
(2π)2 2ξ
=
Transformando para o espaço de energias
1 m
2 4π 2 kF
θ(ω− ):
d2 k =
m
kF
dε:
d2 k 1
{θ(−ω+ ) + θ(ω− )}
(2π)2 2ξ
56
1 m
2 4π 2 kF
ˆ


1
1
=
−q
dε  q
2
2
ε2 + |∆q |
ε2 + |∆0 |
ˆ
d2 k 1
{θ(−ω+ ) + θ(ω− )}
(2π)2 2ξ
(152)
A expressão é de extrema importância na nossa abordagem. Nesse caso podemos
redenir o lado esquerdo de (153) de forma a controlar a divergência ultra-violeta BCS do
lado direito que está limitada pelas funções de
adotamos os
Heaviside. No ponto crítico,
gaps como limites de integração, usando
esquerdo, onde tanto
∆0 .
g
´
dε
√
1
ε2 +|∆
0|
2
−√
1
ε2 +|∆
q|
2
→
´ 40
4q
dε
no lado
ε
como o cut-o ultravioleta estão contidos dentro da denição de
Reescrevemos (153), como:
ˆ
d2 k 1
N (0) ∆0 ln =
{θ(−ω+ ) + θ(ω− )}
2
∆q
(2π)2 2ξ
(153)
Agora vamos tratar seu lado direito. Primeiramente devemos ressaltar que vamos
´
utilizar as coordenadas polares com
termos do seu espalhamento
d2 k
(2π)2
→
~k.~q = kqcosθ.
´´
dθdk ,
onde escrevemos o fator
~k.~q
em
Repare que nas coordenadas polares o fator
~k.~q possui o formato do nosso parâmetro de ordem que produz a modulação.
Dessa forma
conectamos o lado direito de (154) com a equação (151) através de parametrização de
F1A e g
em função do parâmetro
vamos evaluar a integral
´
1
4
1
−1 0
dε0 √1+ε
(ε ) =
02 = sinh
´
40 .
Logo,
r
q
2
2
2
ξ = ε + |∆q | → ξ = ∆q 1 + ∆εq ,
e
1
ε
0
→ dε0 = dε
é calculada como:
, que para ε =
4
4
ε 2
1+| ∆
|
sinh−1 ( 4εq ). Sobre a superfície de Fermi θ(ω− ) = 0 , que é
dε q
onde nos interessa. Reescrevemos (154) comparando com (150):
∆0 ln = Γ(x)
∆q
(154)
Onde denimos:
ˆ
θ̄(x)
Γ(x) = 2
−θ̄(x)
s
dθ
2π
(1 + cosθ)2 − x2
x2
Novamente queremos manter o radicando positivo, logo impomos,
1)
para
x≤2
e
Γ(x > 2) = 0.
(155)
θ̄(x) = cos−1 (x −
57
3.6 Competição entre os parâmetros
Seguindo adiante, para observar uma supercondutividade modulada é necessário
resolver autoconsistentemente as equações (151) e (155). Primeiramente, note que para
x > 2 a única solução, {n̄ = 0, 4q = 40 } , corresponde a uma fase de supercondutividade
uniforme.
Isso impõe um limite inferior para a supercondutividade modulada, para se
obter uma solução não-trivial, nos temos que ter
qualquer valor do parâmetro
40 > 2n̄ ,
4q < 2n̄ < 40 .
Entretanto, para
a energia de campo médio da supercondutividade
hHi40 < hHi4q . Para
entender melhor essa competição vamos parametrizar a constante de acoplamento g , como
40 ∼ e−1/g , que sicamente representa o gap de uma supercondutividade uniforme via
onda-s, sem a inuência da instabilidade Pomeranchuk. Vamos traçar um gráco 4̄0 ×
A
F 1 :
uniforme é sempre menor que a da supercondutividade modulada,
Figura 5 - Aqui as fases beta e supercondutora coexistindo de forma distinta para
vários valores de
F1A > −2 , a fase é
< −2 a instabilidade
Para
A
Para F1
4̄0 × F1A .
simplesmente a supercondutividade uniforme de onda-s.
Pomeranchuk gera um novo campo médio o que produz
um estado fundamental que, para pequenos valores de
4̄0 ,
é simplesmente nossa fase-β ,
induzida por um acoplamento spin-órbita (47). Para altos valores de
4̄0 ,
a supercondu-
tividade de onda-s (BCS) suprimi a fase-β . As duas fases são separadas por uma linha
cheia sinalizando uma transição de primeira ordem. Entretanto para altos valores de
e
A
F 1 ,
uma fase meta-estável surge com um momento nito
p
|~q| ∼ kF 1 − 2/ |F1A |,
4̄0
linha
58
pontilhada (gura 5). Essa fase surge para valores nitos de
hHi4q < hHiβ .
4̄0
e para
A
F 1 > 2
onde
A precisa localização da região de meta-estabilidade depende da relação
entre a largura das bandas (gaps), onde as interações são relevantes e mediadas pelos cortes
das energias possíveis (cut-os), e controladas pela curvatura da banda (b) na superfície
de Fermi, sem a qual, não seria possível obter matematicamente a fase meta-estável.
59
4 CONCLUSÃO
Nesta tese foi abordado o estudo da competição entre instabilidades de Pomeranchuk
em um líquido de Fermi e uma interação que favorece à formação de pares de Cooper. Em
particular, focamos nossa atenção nas instabilidades de Pomeranchuk no canal de spin
com momento angular
` = 1.
O interesse principal desta interação é que ela produz uma
transição de fase onde um acoplamento spin-órbita é espontaneamente gerado.
Apresentamos um modelo fermiônico onde o hamiltoniano tem dois tipos de interações atrativas; uma delas no canal de forward scattering, caracterizada pelo acoplamento entre correntes de spin com momento angular
`=1
e constante de acoplamento
F1A , e a segunda interação atrativa no canal BCS, com uma constante de acoplamento
g.
Analisamos este sistema na aproximação de campo médio, determinando de forma
autoconsistente o parâmetro de ordem supercondutor
∆
e a deformação da superfície de
Fermi, parametrizada pela diferença no número de ocupação
n.
O resultado principal
desta análise é que a interação supercondutora compete fortemente com a instabilidade
de Pomeranchuk, reduzindo o espaço de parâmetros accessível para a fase
β.
Embora,
para constantes de acoplamento BCS pequena (g ), o sistema se encontre na fase
A
valores de F1
< −1), um pequeno aumento de g
β
(para
produz uma transição de primeira ordem
para um estado supercondutor normal (tipo onda s), suprimindo desta forma a geração
espontânea do acoplamento spin-órbita. Nesta fase, as simetrias de rotação orbital e de
spin são restauradas. A única simetria quebrada é a de calibre a qual produz o estado
supercondutor.
Uma descoberta importante é que, para valores ainda maiores da constante de
acoplamento
g,
embora o estado fundamental seja um supercondutor uniforme (onda
s), aparece um estado metaestável onde o parâmetro de ordem supercondutor é modulado com um vetor de onda que depende do acoplamento
F1A .
Este estado supercondutor
é sumamente interessante; os pares de Cooper tem helicidade zero, e momento
q 6= 0 bem
denido. Isto produz uma resposta anisotrópica do sistema, observada recentemente em
vários compostos supercondutores.
Porém, o modelo estudado nesta tese é ainda muito simplicado para tentar comparálo com sistemas mais realistas. Por um lado temos desprezado (por simplicidade) as interações supercondutoras na mesma banda de helicidade.
Estas interações certamente
não contribuem para o estado supercondutor modulado, mas sim com a estabilidade da
fase beta. Num futuro próximo analisaremos a competência destas interações na mesma
aproximação de campo médio que utilizamos nesta tese.
60
REFERÊNCIAS
1 SRIVASTANA, K.; RAO, S. M. (Ed.)
tivity.
2
Models and methods of hight-tc superconduc-
New York: Nova Science Publishers, 2003.
STONE, Michael.
Quantum Hall eect.
Singapore: World Scientic, 1992.
3 GRIFFIN, A.; SNOKE, D. W.; STRINGARI, S. (Ed.)
Bose-Einstein Condensation.
London: Cambridge University Press, 1996.
4
FRADKIN, E.
Field Theories of condensed matter systems.
New York: Addison-
Wesley Publishing Company, 1991.
5 TSVELIK, A.M.
Quantum eld theory in condensed matter physics.
London: Cam-
bridge University Press, 1995.
6 EMERY,V.J.; KIVELSON, S.A.; LIN, H. Q. Phase separation in t-j model.
Review Letters, v.
7
64, p. 475-478, 1990.
FRADKIN, E.; KIVELSON, S. A. Liquid-cristal phases of quantum Hall systems.
Physical Review B, v.59, p.
8
Physical
8065-8072, 1999.
LEE, S. H.; CHEONG, S. W. Melting of quasi-two-dimensional charge stripes in
LaSrNiO.
Physical Review Letters, v.
79, p. 2514-2517, 1997.
9 BARCI, D.G.; FRAGA, E.S.; RAMOS, R. O. Nonequilibrium eld theory description of the Bose-Einstein condensate.
Physical Review Letters,
v. 85, p. 479-482,
2000.
10 NUSSINOV, Z.; RUDNICK, J.; KIVELSON S.A. Avoided Critical Behavior in O(n)
Systems.
11
Physical Review Letters, v.
83, p. 472-475, 1999.
LANDAU, L. D. Theory of Fermi-liquids.
Sov. Phys. JETP,
v.
3, p.
920-956,
1957.
12 LEGGET, A. J. Theory of a superuid Fermi liquid. i. general formalism and static
properties.
13
Physical Review, v.
140, p. A1869-A1888, 1965.
HALDANE, F. D. M. Luttinger liquid theory,
J. Phys. Solid State,
v.
c14, p.
2585-2610, 1981.
14
TOMONAGA, S. Remarks on Bloch's method of sound waves applied to manyfermion problems.
Prog. Theor. Phys., v.
5, p. 544-569, 1950.
61
15 LUTTINGER, J. M. An exactly soluble model of a many-fermion system.
Phys., v.
16
4, p. 1154-1163, 1963.
MATTIS, D.C.; LIEB, E. H. Exact solution of a many-fermion system and its
associated boson eld.
17
J. Math. Phys., v.
6, p. 304-313, 1965.
LUTHER, A.; EMERY, V.J. Backward scattering in the one-dimensional electron
gas.
18
J. Math.
Physical Review Letters, v.
33, p. 589-592, 1974.
EMERY, V. J. In highly conducting one-dimensional solids. New York: Plenum,
1979.
19
HALDANE, F. D. M. Eective harmonic-uid approach to low-energy properties
of one-dimensional quantum uids.
Physical Review Letters,
v. 47, p. 1840-1843,
1981.
20
HALPERIN, B. I. Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and
the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential.
Review B, v.
21
Physical
25, p. 2185-2190, 1982.
BARCI, D. G.; MORICONI, L. Quantum eld-theory description of tunneling in
Nuclear Physics, v.
the integer quantum Hall eect.
B438, p. 522-550, 1995.
22 GRITSEV, V. et al. Competing eects of interactions and spin-orbit coupling in a
quantum wire.
Physical Review Letters, v.
94, p. 137207-137211, 2005.
23 BALENTS, L.; FISHER, M. P. A. Correlation eects in carbon nanotubes.
Review B, v.
Physical
55, p. 11973-11976, 1997.
24 BARCI, D. G. Transport properties of single wall carbon nanotubes ropes. In: ENCONTRO NACIONAL DE FÍSICA DA MATÉRIA CONDENSADA, 26, Caxambu,
2003. [Anais...]. Caxambu, 2003.
25
Brazilian
CONTINENTINO, M. A. Quantum critical points in heavy fermions.
Journal of Physics, v.
35, no.1, p. 197-203, 2005.
26 EMERY, V. J. ; FRADKIN, E.; KIVELSON, S. A. Electronic liquid-crystal phases
of a doped Mott insulator.
27
BARCI, D. G. et al.
Nature, v.
393, p. 550-553, 1998.
Theory of the quantum Hall smectic phase.
properties of the quantum Hall smectic xed point.
i.
low-energy
Physical Review B,
v. 65, p.
245319-245332, 2002.
28 GRIGERA, S. A. et al. Disorder-sensitive phase formation linked to metamagnetic
quantum criticality.
Science, v.
306, p. 1154-1157, 2004.
62
29 LI, Q. et al. Two-dimensional superconducting uctuations in stripe-ordered LaBaCuO.
Physical Review Letters,v.
30 NOZIERES, P. and PINES, D.
99, p. 067001-067004, 2007.
The theory of quantum liquids.
New York: Perseus
Books, 1999.
31
POMERANCHUK, I. I. Stability of a Fermi liquid.
Sov. Phys. JETP,
v.
8, p.
361-365, 1958.
32 OGANESYN, V.; KIVELSON, S.A.; FRADKIN, E. Quantum theory of a nematic
Fermi uid.
Physical Review B, v.
64 , p. 195109-195144, 2001.
33 BARCI, D. B.; OXMAN, L. E. Strongly correlated fermions with nonlinear energy
dispersion and spontaneous generation of anisotropic phases.
Physical Review B, v.
67, p. 205108-205116, 2003.
34
LAWER, M. J. et al. Nonperturbative behavior of the quantum phase transition
to a nematic Fermi uid.
35
Physical Review B, v.
73 , p. 085101-085119, 2006.
SCHULZ, H. J. Fermi liquids and non-Fermi liquids.
Disponível em:
<http:
www.arXivcondmat.org> Acesso em: 7 mar. 2010.
36 GORDON, B.; PETHICK, C.
Landau Fermi-liquid theory.
Weinhein: Wiley VCH,
1991.
37 VOLLHARD, D.; WOLFLE, P.
The superuid phases of Helium 3.
London: Taylor
and Francis, 1990.
38
METLISKI, M. A.; SACHDEV, S. Quantum phase transitions of metals in two
spatial dimensions. i. Ising-nematic order,
Physical Review B,
v. 82, v. 075127-
075133, 2010.
39 BARCI. D. B. et al. Competition between Pomeranchuk instabilities in the nematic
and hexatic channels in a two-dimensional spinless Fermi uid.
Physical Review B,
v. 78, p. 035114-035120, 2008.
40
GENNES, P. G.; PROST, J.
The physics of liquid crystals.
London: Clarendon
Press, 1993.
41
ZHANG, Y.; SARMA, S. Das. Exchange instabilities in electron systems: Bloch
versus Stoner ferromagnetism.
Physical Review B, v.
72, p. 115317-115325, 2005.
42 WU, C.; ZHANG, S. C. Dynamic generation of spin-orbit coupling.
Letters, v.
93, p. 036403-036406, 2004.
Physical Review
63
43
WU, C. J. et al. Fermi liquid instabilities in the spin channel.
Physical Review B,
v. 75, p. 115103-115127, 2007.
44 ZUBAREV, D. N. Double-time Green function in statiscal physics.
Usp. Fiz. Nauk,
v. 71, p. 71-116, 1960.
45
FULDE, P.; FERREL, R. A. Superconductivity in a strong spin-exchange eld.
Physical Review, v.
135, p. A550-A563, 1964.
46 LARKIN, A. I.; OVCHINNIKOV, Y. N. Nonuniform state of superconductors,
Phys. JETP. v.20, p.
47
Sov.
762-766, 1965.
RADZIHOVSKY, L.; VISHWANATH, A. Quantum liquid crystals in an imbalanced Fermi gas: uctuations and fractional vortices in Larkin-Ovchinnikov states,
Physical Review Letters, v.
48
103, p. 010404-010407, 2009.
PADILHA, I. T.; CONTINENTINO, M. A. Pressure induce FFLO instability in
multi-band superconductors.
Journal of Physics: Condensed Matter,
v.
21, p.
095603-095607, 2009.
49 LODER, F.; KAMPF, A. P.; KOPP, T. Superconducting state with a nite-momentum pairing mechanism in zero external magnetic eld,
Physical Review B,
v. 81,
p. 020511-020513, 2010.
50 BERG, E.; FRADKIN, E.; KIVELSON, S. A. Theory of the striped superconductor,
Physical Review B, v.
51
BERG, E. et al.
79, p. 064515-064529, 2009.
Striped supercondutor: how spin, charge and superconducting
orders intertwine in cuprates,
52
New J. Phys., v.
11, p.115004-115033, 2009.
BARCI, D. B.; FRADKIN, E. Role of nematic uctuations in the thermal melting
of pair-density-wave phases in two-dimensional superconductors,
B, v.
53
Physical Review
83, p. 100509-100512, 2005.
HALBOTH, C. J.; METZNER, W. d-Wave superconductivity and Pomeranchuk
instability in the two-dimensional hubbard model.
Physical Review Letters,
v. 85,
p. 5162-5165, 2000.
54
YAMASE, H.; METZNER, W. Competition of Fermi surface simmetry breaking
and superconductivity.
Physical Rewiew B, v.
75, p. 155117-155122, 2007.