Índice
1 Introdução
1
1.1 Um breve histórico sobre vidro de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Modelos teóricos para explicar o vidro de spin . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3 Organização do presente tabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2 Transição de fase em sistemas quânticos
2.1 Introdução
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2 Modelo de Ising com campo transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.1
Modelo de Ising com campo transverso e interação de longo alcance 19
2.2.2
Transição de fase à temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2.3
Transição de fase quântica (T = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3 Modelo de van Hemmen Clássico
32
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2 Cálculo da função de partição do Modelo VH . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2.1
Cáculo da média configuracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3 Resultados: diagramas de fases e propriedades térmicas . . . . . . . . . .
43
3.3.1
Distribuição Bimodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3.2
Distribuição Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
i
4 Modelo de van Hemmen Quântico
69
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2 Cálculo da Função de Particão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.2.1
Distribuição bimodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.2.2
Distribuição gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.3.1
Distribuição bimodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2
Estudo da fase vidro de spin no estado fundamental: transição de
4.3.3
76
fase quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Distribuição gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5 Considerações finais
105
A Análise dos parâmetros vidro de spin
107
B Análise de transições de fase
110
C Procedimentos numéricos
115
3.1 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ii
Lista de Figuras
1.1 Rede quadrada com ligações de sinais aleatórios para os vizinhos mais
próximos. Na fig.(a), temos uma plaqueta não frustrada. Nela podemos
orientar os momentos magnéticos e todas as ligações são satisfeitas. Na
fig.(b) a plaqueta é frustrada. Neste caso nem todas as ligações foram
satisfeitas, existe um spin frustrado. Na fig.(c) temos uma configura ção
de equilíbrio de uma plaqueta frustrada no caso dos momentos poderem
se orientar ao longo de qualquer direção no plano da figura.
. . . . . . .
10
2.1 Poço duplo de potencial V ao qual o próton H+ está sujeito no MICT. O
campo transverso gera estados excitados, cuja energia é proporcional ao
campo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2 Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para vários
valores do campo transverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3 Comportamento da temperatura critica Tc como função do campo tranverso. 25
2.4 Comportamento da energia livre por spin reduzida no estado fundamental como função da magnetizaç ão. Na faixa 0 < ω < ωc temos dupla
degenerescência, enquanto que para ω ≥ 1 temos um estado singleto com
mínimo de energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.5 Comportamento das curvas da energia mínima e da energia do primeiro
estado excitado em relação ao campo transverso. . . . . . . . . . . . . . .
iii
27
3.1 Diagrama de fases com campo externo H nulo usando a densidade de
probabilidade bimodal. Observe o ponto multicrítico (1, 1). . . . . . . . .
46
3.2 Cluster triangular de spins azuis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.3 Comportamento da magnetizaç ão m da fase vidro de spin em relação ao
campo h para T /J = 0.6 e Jo /J = 0.2. Ocorre uma transição de fase no
campo crítico h = 0.338. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.4 Gráfico do parâmetro q em função do campo h para T /J = 0.6 e Jo /J = 0.2. 51
3.5 Gráfico hc versus T /J para Jo /J = 0.2 da transição entre as fases vidro
de spin de alta e baixa magnetização. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.6 Gráfico do salto da baixa magnetização para alta magnetização da fase
vidro de spin em função da temperatura para Jo /J = 0.2. . . . . . . . . .
53
3.7 Comportamento da magnetizaç ão da fase vidro de spin em função da
temperatura para Jo /J = 0.2 e vários valores de h. . . . . . . . . . . . . .
55
3.8 Comportamento de q em fun ção de T /J para valores diferentes de h com
Jo /J = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.9 Susceptibilidade a campo h nulo em função da temperatura usando distribuição bimodal para Jo /J = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.10 Diagrama de fase usando a distribuição gaussiana. Observe que não aparece
um fase mista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Susceptibilidade para a fase vidro de spin usando distribuição gaussiana.
61
61
3.12 Comportamento da magnetizaç ão da fase vidro de spin para T /J = 0.6 e
Jo /J = 0.2, podemos observar a transição ocorrendo no ponto crítico do
campo hC = 0.330. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.13 Comportamento do parâmetro q em em relação ao campo h para T /J = 0.6
e Jo /J = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.14 Comportamento da magnetiza ção da fase vidro de spin em relação a
temperatura na presen ça de campos h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
63
3.15 Comportamento do parâmetro q em relação a temperatura para vários
valores de campo h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.16 Entropia da fase vidro de spin em função da temeperatura para Jo /J = 0.2
para h = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.1 Diagrama de fases para campo transverso ω = 0.1. Pode-se observar
mudanças nos pontos de transição entre as fases SG e P, SG e M, F e M,
em relação a ω = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.2 Diagrama de fases para campo transverso ω = 0.4. A região da fase mista
esta bastante reduzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.3 Diagrama de fases para campo transverso ω = 0.5. Não há mais a presença
da fase mista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.4 Diagrama de fases para campo transverso ω = 0.98. Observe que a transição de fase SG e P começa a convergir para T /J = 0. . . . . . . . . . .
81
4.5 Diagrama de fases para campo transverso maiores que ω = 1.0. São apresentadas somente as fases P e F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.6 Resultado experimental do comportamento da temperatura crítica versus
o campo transverso para o composto LiHo0.167 Y0.833 F4 [2]. . . . . . . . .
82
4.7 Comportamento da temperatura cr ítica em função do campo transverso.
83
4.8 Comportamento do parâmetro de ordem q em relação a temperatura. . .
84
4.9 Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para h =
0.01 e vários valores de campo ω ≤ 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.10 Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para h =
0.01 e vários valores de campo ω ≥ 0.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.11 Comportamento da magnetizaç ão em função do campo transverso para
T = 0 e h = 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.12 Comportamento da susceptibilidade como função da temperatura para
pequenos valores do campo transverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
89
4.13 Comportamento da susceptibilidade como função da temperatura para
valores do campo transverso ω ≤ 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.14 Comportamento da susceptibilidade como função da temperatura para
valores do campo transverso ω ≥ 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.15 Comportamento da energia livre em função do parâmetro de ordem q no
estado fundamental para v ários valores do campo transverso. . . . . . .
92
4.16 Comportamento da eneriga livre em função do campo transverso no estado
fundamental para as fases SG (estado dupleto) e P (estado singleto). . .
92
4.17 Comportamento do gap de energia em função do campo transverso no
estado fundamental entre os estado dupleto (SG) e singleto (P). . . . . .
93
4.18 Diagrama de fases no plano T /J versus Jo /J para distribuição gaussiana
com campo transverso ω = 0.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.19 Diagrama de fases no plano T /J versus Jo /J para distribuição gaussiana
com campo transverso ω = 0.98. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.20 Comportamento do parâmetro de ordem q em função da temperatura para
jo = 0.2, h = 0.01 e v ários valores do campo transverso . . . . . . . . . .
97
4.21 Comportamento da magnetizaç ão da fase vidro de spin em função da
temperatura para jo = 0.2, h = 0.01 e vários valores do campo transverso.
97
4.22 Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para jo =
0.2 e vários valores do campo transverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.23 Comportamento da energia livre em função do parâmetro de ordem q usando distribuição gaussiana para vários valores do campo transverso. . . 100
4.24 Comportamento da energia livre em função do campo transverso usando
distribuição bimodal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.1 Comportamento da magnetização da fase vidro de spin na presença de
campo externo h para T /J = 0.6 e Jo /J = 0.2.
vi
. . . . . . . . . . . . . . 111
2.2 Energia livre da fase vidro de spin (fSG ) e da fase paramagnética (fP )
variando com o campo externo h. Sendo indicado o campo crítico da
transição de fase na igualdade das energias. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.3 Maiores detalhes do ponto de transição de fase. Pode-se observar uma
flutuação da energia da fase SG em torno do ponto crítico do campo que
aqui é melhor apresentado.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.4 Comportamento do parâmetro de ordem vidro de spin em relação ao campo
externo para T /J = 0.6 e Jo /J = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.5 Comportamento da energia interna da fase vidro de spin em função da
temperatura para o campo externo h = 0.338. No ponto de transição de
fase T /J = 0.6 não existe variação da energia interna. . . . . . . . . . . . 114
vii
Lista de Tabelas
III.1 Probalidades de ocorrências de interações aleatórias nulas, positivas e negativas entre os spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
IV.1 Valores do campo transverso crítico de modelos de Ising quântico em T=0
para o vidro de spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
83
Capítulo 1
Introdução
As pesquisas científicas, teóricas ou experimentais, feitas para entender as propriedades elétricas e magnéticas dos materiais (metais ou isolantes) são bastantes importante para esclarecer os comportamentos coletivo e isolado dos átomos que compõem
esses sólidos. Por exemplo, a partir de um campo magnético aplicado podemos vislumbar,
e até mesmo definir, a estrutura interna destes materiais, de modo que podemos decidir
melhor acerca de quais elementos (átomos, íons, etc) podemos ligar e em que dose para
obter uma estrutura cristalina estável.
Sob o aspecto de aplicação tecnológica podemos citar o caso do campo da metalúrgica,
em que os pesquisadores procuram obter composições metálicas mais resistentes ou ainda
maleáveis com menor densidade de massa. Temos ainda o campo da eletrônica onde os
pesquisadores buscam desenvolver componentes eletrônicos cada vez mais eficientes na
operação de condução elétrica e também magnética, permitindo uma melhor captação e
reprodução de ondas sonoras e visuais.
A área de estudos sobre compostos metálicos foi bastante ampliada, tornando cada vez
mais específica a pesquisa científica. Este trabalho, não fugindo à regra, está dedicado a
análise de um modelo teórico para uma classe de sistema magnético diluído, denominada
de vidro de spin, tendo como interesse compreender de forma mais profunda o comportamento de sistemas desordenados. Analisaremos o comportamento do vidro de spin na
1
presença de um campo magnético transverso à orientação dos momentos magnéticos dos
spins deste sistema, que o principal objetivo desta dissertação.
1.1
Um breve histórico sobre vidro de spins
Os comportamentos coletivos e isolados dos átomos em materiais magnéticos são observados experimentalmente a partir das respostas destes metais quando são submetidos
a variações de temperatura e/ou do campo magnético, através da medição de intensidades como do calor específico e/ou da susceptibilidade magnética [1]. No tratamento
teórico podemos usar o auxílio dos diagramas de fase, das energias livres, etc.
Inicialmente os pesquisadores buscaram compreender como se dava as interações coletivas. Vários modelos foram propostos para justificar observações experimentais ( como
a divergência na susceptibilidade no caso do sistema ser ferromagnético, indicando uma
mudança de fase), como os modelos de Heisenberg, de Ising, etc. Ou ainda aproximações
matemáticas como Campo Molecular de Weiss [2] e também as técnicas do Grupo de
Renormalização (ver ref.[3]) foram propostos para tratar esses modelos. Porém outros
procuravam entender o comportamento dos átomos de forma isolada. Então passaram à
investigar como ocorrem, individualmente, as interações entre os sítios magnéticos [4, 5].
Para isso é necessário isolá-los, de modo a impedir efeitos cooperativos. Foram então
desenvolvidas ligas a partir de átomos magnéticos (impurezas) diluídos em matrizes não
magnéticas, ligas como CuFe, AuCr, AgMn, AuFe, CuMn, etc.
É interessante saber que sistemas magnéticos puros apresentam o grau de desordem
desprezível na rede cristalina. Mas os materiais reais sempre apresentam algum tipo de
desordem o que modifica as propriedades do material hospedeiro. Experimentalmente,
a desordem pode ser introduzida num material magnético substituindo aleatoriamente
átomos magnéticos do cristal, por átomos magnéticos de outro tipo ou ainda não magnético na rede cristalina, resultando num processo conhecido como diluição por sítios.
A diluição faz com que as interações de troca Jij entre pares de momentos magnéticos
2
variem aleatoriamente a cada par. No caso ideal as interações de troca para diferentes
pares possuem valores independentes, distribuídos probalisticamente segunda uma determinada lei comum a todas interações que geram uma desordem “congelada” [1]. Quando
os átomos diluidores não são magnéticos diz-se que o composto formado é um magneto
diluído, cujos exemplos típicos são cristais antiferromagnéticos aleatoriamente diluídos,
tais como Fex Zn1−x F2 , Mnx Zn1−x F2 e Fex Mg1−x Cl2 . Entretanto, se os átomos diluidores
são magnéticos o composto formado é denominado magneto misto, tais como os compostos cristalinos Fex Mn1−x F2 e Fex Mn1−x TiO3 .
A partir de resultados experimentais da liga CuFe magnética estudada por Bitter e
Kaufmann-1939 [4], foi observada que a susceptibilidade exibia um bico em altas temperaturas, o que é diferente do comportamento Curie-Weiss a campo externo nulo. Estas
observações precisavam ser cuidadosamente analisadas, despertando interesse de grande
parcela da comunidade científica. Buscaram conhecer, por exemplo, o efeito da concentração de sítios magnéticos nas respostas das amostras.
Experimentalmente, isto é obtido procurando tornar o composto mais homogêneo
possível, submetendo os constituintes a uma alta temperatura, e depois de determinado
tempo de “cozimento” (annealing) baixa-se a temeperatura bruscamente. Este tempo de
“cozimento” é fundamental para o grau de homogeneidade, aumentando a aleatoriedade
da localização das impurezas magnéticas. O baixar brusco da temperatura torna o sistema “temperado” (quenched). Desta forma no sistema quenched as impurezas estão
fixas e distribuídas aleatoriamente por todo o cristal, gerando desordem magnética [6].
Zimmermann e Hoare (1958) [32] perceberam em seus experimentos que da adição de
manganês numa matriz de cobre aparece uma cúspide na susceptibilidade linear para uma
certa temperatura To que denpende da concentração da impureza. E ainda mais abaixo
desta temperatura To a susceptibilidade apresenta um valor finito em baixa temperatura.
Outras experiências foram feitas, inclusive para algumas outras ligas como o caso de Cannella e Mydosh 1972 [7] que realizaram experiências usando a liga AuFe, aprensentando
os mesmos resultados qualitativos, e ainda neste caso foi observado que na presença de
3
um campo externo o pico em To ficava arredondado. A justificativa mais aceita era a
existência de uma transição gradual para um novo tipo de antiferromagnetismo, já que
não havia magnetização no sistema [8, 9, 10, 11].
Em todos estes resultados o mais surpreendente é a reprodução de To para a susceptibilidade a.c.(corrente alternada) independentemente da frequência de oscilação do campo
externo aplicado, este mesmo resultados é também observado por Rivera [1]. Ficando caracterizado então um comportamento crítico observado em transições de fase ordinárias.
Acreditou-se então na existência de um fenômeno coletivo, como uma transição para uma
fase inteiramente diferente do que até então se conhecia.
No final da década de sessenta é que surgem as primeiras certezas de que os momentos
magnéticos das impurezas nestas ligas, abaixo de To , estariam orientados aleatoriamente,
não havendo qualquer tipo de ordenamento antiferromagnético. Bryan Coles em 1968
(ver ref.[33]) fez a comparação entre o desordenamento magnético das impurezas com
a estrutura dos vidros ordinários, onde as posições de seus constituintes não tem uma
ordem espacial definida, como ocorre em outros sólidos, e sugere o termo vidro de spin
(spin glass). A temperatura de mudança para esta fase ficou conhecida como temperatura
de congelamento Tf (freezing temperature), abaixo da qual os spins estariam congelados
com orientações completamente aleatórias.
As teorias que viessem explicar as observações experimentais a respeito de compostos
que possuem ordem vidro de spin devem levar em consideração os seguintes resultados
obtidos nas experiências [1]:
1. A susceptibilidade exibe um pico na temperatura Tf . Tal pico se torna cada vez
mais redondo à medida que o valor da frequência do campo aumenta.
2. Para T >> Tf , altas temperaturas, na fase paramagnética a susceptibilidade sofre
desvio da lei de Curie, que é dada por
χ=
C
T −θ
(1.1)
de onde C = Dg 2 µ2B J(J + 1)/3kB , tal que D é densidade de átomos magnéticos e θ é
4
temperatura de Curie.
3. Nenhuma anomalia forte pode ser observada no calor específico próximo ou em
outra temperatura que indique a existência de uma transição de fase convencional,
observa-se apenas a existência de um máximo arredondado em T < Tf .
1.2
Modelos teóricos para explicar o vidro de spin
Primeiramente, devemos observar que a grandeza apropriada para dar a resposta
do sistema na região de transição vidro de spin é a susceptibilidae não linear. Esta
susceptibilidade é obtida da expansão obtida da magnetização, tal que a mesma é o
coeficiente da parcela h3 como nos mostra a equação a seguir
M = χh − χnl h3 + · · ·
(1.2)
A partir desta susceptibilidade não linear (χnl ) encontra-se a singularidade em Tf similar à observada na susceptibilidade linear na transição de fase ferromagnética, e assim
indicando uma transição de fase, historicamente deve ter sido a maior evidência de uma
nova transição [6].
Edwards e Anderson, em 1975 [12], apresentaram uma proposta teórica, usando a
teoria de campo molecular, de um modelo de interação de alcance infinito (Modelo EA).
Tendo em vista a desordem que certamente está presente no sistema, esses autores propuseram um modelo regido pelo seguitne hamiltoniano
X
X
HEA = − Jij Si Sj − H Si
(1.3)
i
i6=j
onde (ij) indica um par de primeiros vizinhos, Jij é a interação aleatória e H é o campo
externo. As ligações Jij são tomadas como independentes entre si, com distribuição de
probabilidade idênticas e simétricas, de modo que seu valor médio hJij ic (média config-
5
uracional) seja nulo. Ou seja, se P (Jij ) é a distribuição de probabilidade, temos que
hJij ic =
Z
∞
P (Jij )Jij dJij = 0
(1.4)
−∞
Para fins de discussões teóricas é mais conveniente usar a distribuição de probabilidade
gaussisana dada a seguir
1
P (Jij ) = √
exp(−Jij /2J 2 )
2πJ
(1.5)
onde a variânça J determina a largura da distribuição.
O parâmetro que caracteriza a fase vidro de spin proposto para o Modelo EA, leva em
conta a aleatoriedade da orientação individual dos spins. Este parâmetro é apresentado
a seguir
qEA
N
1 X
= h hSi i2T ic
N i=1
(1.6)
onde h. . .iT é a média térmica e h. . .ic a média configuracional . Em altas temperaturas
o sistema se torna paramagnético com q = 0, e para T < Tf temos q 6= 0.
Este modelo no entanto apresentava um problema matemático para os autores, que
era de calcular médias de logaritmos de funções, obtidas a partir da função de particão
que é a conexão com a termodinâmica. Eles então propuseram a aplicação do truque das
réplicas, que consiste na construção de n réplicas do sistema original com n funções de
partição, usando a seguinte expressão
∂
∂
(exp (n ln Z)) = lim
(Z n )
n→0 ∂n
n→0 ∂n
ln Z = lim
(1.7)
O Modelo EA apresenta um problema de simetria up-down quando o campo é nulo,
ou seja, HEA {Si } = HEA {−Si }. Então o número de spins para cima (up) é o mesmo
que para baixo (down). Assim hSi i é nulo e consequentemente o parâmetro qEA também
o será. Para um ferromagneto contorna-se este problema aplicando um campo externo
6
pequeno, tornando inválido o argumento de simetria, de modo que o sistema se define
no estado fundamental. Os resultados encontrados por Edwardas e Anderson foi o fato
da susceptibilidade linear apresentar um valor finito em T = 0, e também observar uma
cúspide no calor específico que não era confirmada experimentalmente.
Em 1975, Sherrington e Kirkpartrick [13] propuseram um modelo de campo médio
com alcance infinito (Modelo SK) utilizando o método de réplicas simétricas, onde as n
réplicas eram suposta como equivalentes. Este modelo consiste na aplicação das idéias
do Modelo EA a um sistema de spins de Ising, com interações de troca entre os spins de
alcance infinito, aleatórias e obedecendo a uma distribuição de probabilidade gaussiana
dada por
P (Jij ) =
µ
N
2πJ 2
¶1/2
#
µ
¶2
Jo
exp −N Jij −
/2J 2
N
"
(1.8)
onde a presença do termo N tem como objetivo evitar problemas de ordem técnica no
limite termodinâmico (N → ∞). O modelo SK é dado a partir do seguinte hamiltoniano
HEA = −
1X
Jij Si Sj
2 i6=j
(1.9)
Como ocorre nos modelos de alcance infinito, os cálculos se tornaram mais simples
e se espera que houvesse um grande melhoramento no conhecimento teórico dos vidro
de spins, e também a cerca dos resultados obtidos a partir do Modelo EA. De fato os
resultados obtidos a partir do Modelo de SK foram melhores, pois a campo nulo é possível
obter ordem vidro de spins. Porém, este modelo apresenta uma entropia negativa para a
fase vidro de spin a T = 0, indicando assim um comportamento não físico para o modelo.
Os mesmos autores do modelo propuseram que esse comportamento era proveniente da
troca dos limites N → ∞ e n → 0. Posteriormente van Hemmen e Palmer [14] provaram
que a proposta era falsa, mostrando que o responsável era a não unicidade do limite
n → 0.
Em 1978, de Almeida e Thouless [15] estudaram a estabilidade da solução encontrada
por SK e provaram que o modelo SK é instável para baixa temperatura, tanto na fase
7
vidro de spin quanto na fase ferromagnética. Então permutaram o limite termodinâmico
pelo limite n → 0, obtendo o resultado da instabilidade das fases citadas em baixa
temperatura. Apesar do trabalho desses autores não resolverem o problema do modelo
SK, demonstram a existência de uma linha que estabelece o limite da estabilidade da
solução do modelo SK, conhecida como linha de Almeida-Thouless (AT).
De Almeida e Thouless chegam a conclusão de que não é adequado caracterizar a fase
vidro de spins através de um simples parâmetro de ordem q. Essa fase deve então ser
caracterizada por uma grandeza dependente do par de réplicas, sugerindo que a simetria
no grupo de permutação das réplicas deveria ser quebrada na fase vidro de spins. Para
esta quebra de simetria muitos esquemas foram sugeridas [16, 17, 18 e 19], mas o melhor
sucedido foi o sugerido por G. Parisi [20, 21, 22, 23], que transforma o parâmetro q
em uma função q(x), com x variando no intervalo [0 , 1] e dessa forma a entropia para
T = 0 foi obtida como sendo nula. Os resultados obtidos por Parisi também confirmam a
linha de Almeida e Thouless. Resultado semelhante foi obtido por Sompolinsky [24] que
estudou as propriedades estáticas do modelo SK através de uma aproximação dinâmica.
A sofisticação da matemática da teoria proposta por G. Parisi impediu sua plena
interpretação e isto perdurou por alguns anos. Em meio a estas sugestões tão complicadas,
matematicamente, alguns autores propõem modelos mais simples, com solução exata,
como por exemplo D. C. Mattis em 1976 [25] propôs um modelo de campo médio definido
pelo hamiltoniano dado a seguir
X
X
HM = − Jij Si Sj − H
Si
(1.10)
i
i6=j
onde Si são as variáveis de Ising, Si = ±1 e Jij = J(Rij )εi εj , εi = ±1, sendo Rij é a
distância que separa os sítios i e j. Os cálculos indicam uma descontinuidade na segunda
derivada da energia livre em relação ao campo H, mostrando uma transição de fase a
temepratura finita. D. C. Mattis sugere em seu trabalho uma transformação, conhecida
8
como a transformação de Mattis, dada a seguir
Si → Si εi .
(1.11)
Isto foi determinanante pois com H = 0 o hamiltoniano passa a representar um ferromagneto simples, com transição de fase conhecida. Na realidade este modelo apresenta
apenas uma desordem regular [25], pois a transição ocorre de uma fase paramagnética
para uma fase desordenada regular, onde ligações positivas e negativas estão dispostas
aleatoriamente na rede. Contudo esta desordem não gera um efeito fundamental para a
existência de ordem vidro de spin que é a frustração.
Para entender o que é frustração, vamos fazer o seguinte comentário: é notável que
a distribuição para interação aleatória Jij é formada por ligações positivas (ferromagnéticas) e negativas (antiferromagnéticas), isto é, interações competitivas. Neste caso
há possibilidade que essas interações Jij do sistema não sejam todas, simultaneamente,
satisfeita. Esta propriedade é denominada de frustração, conceito que foi introduzido
por Toulouse em 1977 [26] para fenomenologia de vidros de spins. Na fig.(1.1) temos
a ilustração para uma rede quadrada. Sistema que exibem desordem e frustração nas
interações de troca entre os spins são chamados vidro de spin. A combinação de desordem e frustração leva ao surgimento de multi-degenerescência no estado fundamental,
isto é, várias configurações de quase equilíbrio associadas à mínimos de energia separados
por barreiras energéticas que podem eventualmente ser superadas pelo efeito da energia
térmica [1].
Toulouse discutiu o problema da frustração e apresentou uma proposta com interpretação geométrica, definindo a função Φ, denominada de função frustração, dada por
Φ=
Y
Jij
(1.12)
C
onde C é um contorno fechado escolhido na rede, os Jij são ligações que fazem parte deste
contorno. Se Φ > 0 não há frustração nos dois sentidos do contorno, caso contrário se
9
Figura 1.1: Rede quadrada com ligações de sinais aleatórios para os vizinhos mais próximos. Na fig.(a), temos uma plaqueta não frustrada. Nela podemos orientar os momentos
magnéticos e todas as ligações são satisfeitas. Na fig.(b) a plaqueta é frustrada. Neste caso
nem todas as ligações foram satisfeitas, existe um spin frustrado. Na fig.(c) temos uma
configura ção de equilíbrio de uma plaqueta frustrada no caso dos momentos poderem se
orientar ao longo de qualquer direção no plano da figura.
Φ < 0 existe frustração. No primeiro caso o número de ligações negativas deve ser par, e
no segundo caso esse número deve ser ímpar. Apenas neste último caso, existe então a
possibilidade de haver a fase vidro de spin.
Seguindo as características de um vidro de spin, J. L. van Hemmen [27, 28] sugere
um modelo de alcance infinito com solução exata, que contém aleatoriedade e frustração.
Este trabalho é justamente baseado neste modelo, e faremos uma explanação a respeito
deste no capítulo 3. Este modelo apesar de apresentar frustração, não satisfaz o conceito
de metaestabilidade, que é bem discutido no trabalho de Choy e Sherrington [29]. O
mérito do modelo de van Hemmem se deve ao fato do processo matemático utilizado
ser mais simples do que o processo utilizado nos Modelos de SK e de Parisi, obtendo
como resultados uma suscpetibilidade finita da fase vidro de spin em T = 0, e uma
cúspide na transição de fase vidro de spin e fase paramagnética. Este modelo ainda
apresenta um comportamento qualitativo da magnetização da fase vidro de spin em
relação a temperatura, semelhante aos resultados experimentais obtidos na liga AuFe
[1], por exemplo. Além de uma entropia positiva em T = 0, fato que não ocorre no
10
Modelo de SK. O modelo de van Hemmem é extremamente eficiente para descrever as
propriedades estáticas dos vidros de spins.
1.3
Organização do presente tabalho
O nosso modelo é uma generalização do modelo de van Hemmem de vidro de spins
para tratar a respeito de efeito quântico através da inclusão de um campo transverso.
Recentemente, a transição de fase em vidro de spin quântico, em especial o vidro de spin
de Ising com campo transverso, tem sido tema de muitas investigações teóricas motivado
pelos resultados experimentais no composto LiHo0.167 Y0.833 F4 [30]. Esta tem sido a maior
motivação para estudar a versão do modelo de van Hemmen de vidro de spin quântico,
apesar de não conseguirmos reproduzir os dados experimentais da curva crítica no plano
T -Ω (Ω é o campo transverso) da ref.[30].
No capítulo 2 vamos fazer uma análise do comportamento termodinâmico do modelo
de Ising ferromagnético na presença de um campo transverso, onde usaremos o limite
de interação de longo-alcance (aproximação tipo campo médio). No limite de T = 0
(estado fundamental) analisaremos a transição de fase quântica, que é induzida através
do parâmetro do campo transverso.
No capítulo 3, é apresentado o modelo de van Hemmen (VH) para descrever as propriedades de um vidro de spin e discutido detalhadamente os resultados. A influência do
tipo de distribuição de probabilidade na ligação de exchange é investigada analíticamente
analisando a existência ou não de uma fase mista.
No capítulo 4, adicionaremos um campo transverso no modelo VH para investigar a
influência quântica dos diagramas de fases e propridades termodinâmicas. Este modelo
de vidro de spin quântico apresenta uma solução simples e simula corretamente o comportamento da susceptibilidade linear em função da temperatura quando comparada com os
resultados experimentais do composto LiHo0.167 Y0.833 F4 [30]. Apresentamos argumentos
para a não concordância entre teoria e experimento do diagrama de fase. Finalmente, no
11
capítulo 5 as considerações finais são discutidas.
12
Referências
[1] Rivera, A.R., Tese de Doutorado: Estudo experimental de antiferromagnetos desordenados, Universidade Ferderal de Pernambuco, (1997).
[2] Smart, J., “Effective Field Theories of Magnetism”, W.B. Saunders Company,
Philadelphia e London, 1966.
[3] Plascak, J.A., Figueredo, W. e Grandi, B.C.S., Braz. J. Phys., 29, 579, (1999).
[4] Bitter, F., e Kaufmann, A.R., Phys. Rev., 56, 1044, (1939).
[5] Bitter, F., Kaufmann, A.R., Starr C.,e Pan, S.T., Phys. Rev., 60, 134, (1941).
[6] dos Santos, M. A., Dissertação de Mestrado: Estudo sistemático de um modelo
clássico de vidro de spin com anisotropia, Universidade Ferderal de Pernambuco,
(1986).
[7] Cannella, V., e Mydosh, J. A., Phys. Rev. B, 6, 4220, (1972).
[8] Owen, J., Browne, M., Arp., V., e Kip, A.F., J. Phys. Chem Solids, 2, 85, (1957).
[9] Gorter, C.J. van der Berg, G.J., e de Nobel, Can. J. Phys., 34, 1281, (1956).
[10] Jacobs I.S., e Shmitt, R.W., Phys. Rev., 113, 459, (1959).
[11] Overhauser, A.W. Phys. Rev. Lett., 3, 414, (1959).
[12] Edwards, S.F., e Anderson, P.W., J. Phys. F, 5, 965, (1975).
13
[13] Sherrington, D., e Kirkpatrick, S., Phys. Rev. Lett., 35, 1792, (1975).
[14] Hemmen, J.L. van, e Palmer, R.G., J. Phys. A, 12, 563, (1979).
[15] de Almeida, J.R.L. e Thouless, D.F., J. Phys. A: Math. Gen, 11, no 5, 983. (1978).
[16] Bray, A.J. e Moore, M.A., J. Phys C12, 79 (1979).
[17] Bray, A.J. e Moore, M.A., Phys Rev. Lett., 41, 1068 (1978).
[18] Blandin, A. Gabay, M. e Garel, T., J. Phys., C13, 403, (1980).
[19] Bray, A.J. e Moore, M.A., J. Phys C13, 419 (1980).
[20] Parisi, G., Phys Lett. A, 73, 203 (1979).
[21] Parisi, G., J. Phys. A, 13, 1101 (1980).
[22] Parisi, G., J. Phys. A, 13, 1115 (1980).
[23] Parisi, G., J. Phys. A, 13, 1887 (1980).
[24] Sompolinsky, H., Phys. Rev. Lett., 47, 935, (1981).
[25] Mattis, D.C. Phys. Lett., 56A, 421, (1976).
[26] Toulouse, G., Commum. Phys., 2,115, -1977.
[27] Hemmen, J.L. van, Phys. Rev. Lett., 49, 409, (1982).
[28] Hemmen, J.L. van, e Canisius, J., Z. Phys. B - Condensed Matter, 50, 311, (1983).
[29] Choy, T.C., e Sherrington, D., J. Phys. Rev. C, 17, 739, (1984).
[30] Wu, W. Bitko, D., Rosenbaum, T.F., e Aeppli, G. Phys. Rev. Lett., 67, 2076 (1991).
[31] Mydosh, J.A., “Disordered Systems and Localization”, ed. C. Castellan et. al.,
Springer Lecture Notes in Physics, no 149 (Springer-Verlag, New York), (1981).
14
[32] Zimmerman, J.E., e Hoare, F.E., Phys. Soc., 3, 124, (1958).
[33] Anderso, P.W., Amorphous Magnetism I, Ed. H.O. Hooper e A.M. de Graff, Plenum,
New York, (1973).
15
Capítulo 2
Transição de fase em sistemas
quânticos
2.1
Introdução
Estudar transições de fases de sistemas quânticos em baixas temperaturas é bastante
interessante, pois podemos apreender a respeito de outros fatores, além das flutuações
térmicas, que podem proporcionar uma transição de fase do tipo ordem/desordem.
Ao contrário das transições de fases tradicionais em sistemas clássicos que são governadas por flutuações térmicas, uma transição de fase quântica está relacionada a flutuações quânticas associadas ao princípio de incerteza de Heisemberg que pode ocorrer
no estado fundamental (T = 0) quando algum parâmetro não térmico alcança um certo
limiar crítico. A presença de transições de fases desta natureza podem levar a mudanças
qualitativas importantes no tipo de correlações no estado fundamental.
Recentemente, um importante tema de pesquisas teórica e experimental de transições
de fases quânticas são os chamados férmions pesados (ver ref. [14, 15]). Férmions pesados são sistemas metálicos constituídos de elementos com camadas F semi-preenchidas
(ex. Cl, Yb e U). Eles são caracterizados por uma enorme dependência linear com a
temperatura do calor específico que é atribuída as quasi-partículas com grande massa efe16
tiva. Do ponto de vista magnético os férmions pesados apresentam em altas-temperaturas
(T >> Tc ), uma susceptibilidade do tipo Curie-Weiss indicando a existência de momentos
localizados interagentes na camada F. Para T << Tc a susceptibilidade é independente
da temperatura (tipo Pauli [16]). A temperatura característca Tc é muito menor que a
temperatura de Fermi (Tc << TF ) esperado de cálulos estrutura de banda. O valor de
Tc está associada com o crossover na susceptibilidade no regime de baixa temperatura
(líquido de Fermi) para alta temperatura. Teoricamente esses sistemas são descritos pelo
modelo na rede de Kondo [17], que contem no Hamiltoniano um termo associada aos
elétrons de condução (W ) e um com o acoplamento entre os spins dos elétrons de con→
−
→
dução −
σ i com o spin efetivo local na camada F incompleta Si (J). No estado fundamental
¡J¢
(T = 0) temos uma transição de fase no ponto crítico Γc = W
, onde para Γ < Γc o
c
estado fundamental é magnético (ordem ferromagnética, antiferromagnética) e Γ > Γc o
sistema é desordenado. Existe uma dimensionalidade crítica inferior onde Γc > 0, que
provavelmente (não provado rigosamente) seja igual a dois (d = 2) [17, 18].
Um outro sistema interssante que apresenta transição de fase quântica é o modelo XXZ
unidimensional. Este modelo consiste no Hamiltoniano de Heisenberg antiferromagnético
quântico de spin 1/2, por exemplo, com interação J na componente zz dos spins e gJ nas
componentes xx e yy dos spins. Tem sido mostrado que o modelo XXZ 1d com interação
de primeiros vizinhos apresenta uma transição de fase do tipo Kosterlitz-Thouless (KT)
no ponto crítico gc = 1.0 (ver ref.[19]). Para g < gc temos um estado antiferromagnético
com ordem de longo alcance.
O modelo de Ising com campo transverso (MICT) é um outro sistema quântico que
tem sido utilizado para descrever as transições de fases que ocorrem em T = 0. Este
modelo foi proposto, inicialmente, por de Gennes (1963) [1] para tratar de sistemas
ferroelétricos do tipo KH2 P O4 . Neste modelo quando as interações entre os spins não
são aleatórias (modelo puro), o mesmo apresenta uma transição de fase de segunda ordem
em baixa temperatura (T → 0), para um certo valor crítico do campo transverso (ΩC ),
que neste regime de temperatura é o agente responsável pela desordem da fase ordenada.
17
Um outro aspecto importante do MICT é o fato dos expoentes críticos associados
ao campo (Ω) em d dimensão a T = 0, serem iguais aos expoentes à temperatura finita
do modelo de Ising sem campo transverso em d + 1 dimensão [2]. Isto ocorre quando o
termo de acoplamento entre os spins primeiros vizinhos além de não ser aleatória ainda
é constante. O MICT tem solução exata para os expoentes críticos em d = 1, haja visto
que o modelo de Ising sem campo transverso tem solução exata em d = 2 (ver fer.[8]).
Temos ainda que grande parte dos resultados obtidos a partir de técnicas de grupo de
renormalização se referem à temperatura nula [2, 3, 5, 7], mas existe também resultados
a temperatura finita [20, 21, 22].
2.2
Modelo de Ising com campo transverso
Como já vimos, de Gennes (1963) [1] foi quem introduziu o MICT para descrever
transições de fase ordem/desordem em materiais ferroelétricos do tipo KH2 P O4 . Este
modelo é caracterizado pelo seguinte Hamiltoniano:
X
X
H = − Jij σ zi σ zj − Ω σ xi
(2.1)
i
i6=j
que é um modelo de Ising de spin 1/2, onde σ zi e σ xi são as matrizes de Pauli, Ω é o campo
transverso externo na direção x e Jij é o termo de acoplamento entre os spins.
O Hamiltoniano da eq.(2.1) corresponde a uma representação de pseudo-spins de um
sistema de íons de Hidrogênio do tipo H+ , sendo que esses prótons podem ocupar dois
estados de mínima energia (σ zi = ±1), de um poço duplo de potencial (ver a fig.(2.1)). O
campo transverso é o responsável pela probabilidade de tunelamento dos prótons entre
esse mínimo de energia e um estado excitado, que é simulado pelo operador σ xi , fazendo
a mudança de estado quântico.
No MICT tanto campo transverso quanto a temperatura podem ser os agentes responsáveis pela desordem do sistema. No comportamento crítico do MICT, à temperatura
18
Figura 2.1: Poço duplo de potencial V ao qual o próton H+ está sujeito no MICT. O
campo transverso gera estados excitados, cuja energia é proporcional ao campo.
finita, o papel do campo Ω é diminuir o valor da temperatura crítica TC (Ω).
2.2.1
Modelo de Ising com campo transverso e interação de
longo alcance
Admitindo que as interações entre os spins seja constante e igual a Jij = J/N é possível
calcular exatamente a função de partição, que equivale a solução de campo médio (Weiss)
obtida por Kaufman e colaboradores [23]. A razão de escolhermos este procedimento, a
princípio mais elaborado, de interação de longo alcance será justificado adiante quando
analizarmos o modelo de van Hemmen Quântico, que é o objetivo deste trabalho. Desta
forma a eq.(2.1) ficará reescerita na forma
XJ
X
H=−
σ zi σ zj −
Ωσ xi
N
i
i6=j
(2.2)
O principal objetivo da Mecânica Estatística, consiste na obtenção da função de
19
partição, que para o Hamiltoniano da eq.(2.2) é obtida por
!#
" Ã
XJ
X
ZN = T r exp(−βH) = T r exp β
σ zi σ zj +
Ωσ xi
N
i
i6=j
Perceba que os operadores σ zi e σ xi não comutam, desta forma devemos tomar cuidado
com as propriedades operacionais da exponencial da expressão anterior. É necessário
aqui usarmos alguma aproximação. Várias aproximações têm sido propostas [10, 11],
onde expansões espectrais são muito utilizadas, como por exemplo do tipo
∙
¸
x2
exp (xA) exp (xB) = exp x (A + B) +
[A, B] + ...
2
(2.3)
Neste trabalho vamos tomar somente o termo linear desta aproximação, então a função
de partição pode ser reescrita na forma aproximada
#
"
#
X
k1 X z z
σ σ exp k2 σ xi
ZN ' T r exp
N i6=j i j
i
"
onde k1 = βJ e k2 = βΩ.
Usando o fato de que
P
i6=j
⎡
(2.4)
"µ
#
¶2
P
P
σ zi σ zj = 12
σ zi − (σ zi )2 , então a eq.(2.4) ficará
i
i
!2 ⎤
#
"
#
Ã
"
X
X
X
k
k
1
1
2
z
z
x
ZN ' T r exp ⎣
σ i ⎦ exp −
(σ i ) exp k2 σ i
2N
2N i
i
i
O primeiro termo quadrático da expressão acima pode ser reescrito usando a identidade gaussiana dada a seguir
1
exp(λa ) = √
2π
2
µ 2
¶
√
x
exp − + a 2λx dx
2
−∞
Z
∞
e fazendo a seguinte mudança de variável x =
20
√
Ny ficaremos
(2.5)
ZN '
r
N
Tr
2π
"
¶
¶#
µ
X µp
N 2
k
1
dy
(σ zi )2 + k2 σ xi
exp − y exp
k1 yσ zi −
2
2N
−∞
i
Z
∞
(2.6)
Finalmente, para calcular uma expressão para a função de partição dada pela eq.(2.6),
temos que diagonalizar a matriz presente na segunda exponencial para obter assim o
traço, ou seja,
"
#
h
X¡
¡
¢
¢iN
T r exp
Kσ zi + L (σ zi )2 + k2 σ xi
= T r exp Kσ zi + L (σ zi )2 + k2 σ xi
i
i
(2.7)
√
k1
k1 y e L = − 2N
. Definindo a matriz A = Kyσ zi + L (σ zi )2 + k2 σ xi , teremos
p
que os autovalores da matriz A são: λ1,2 = L ± K 2 + k22 , então obtemos
onde K =
¶
µq
2
£ z
¤ X
z 2
x
2
2
exp (λj ) = 2 exp(L) cosh
K + k2
T r exp Kσ i + L (σ i ) + k2 σ i =
i
j=1
Substituindo o resultado acima na eq.(2.6), ficaremos
ZN '
r
¶∙
µq
¶¸N
µ
N 2
2 exp(L) cosh
exp − y
K 2 + k22
dy
2
−∞
Z
N
2π
∞
usando a propriedade exp(ln(a)) = a, teremos
ZN '
r
N
2π
" "µ
¶
µq
¶¶N ##
µ
N 2
dy
exp − y exp ln 2 exp(L) cosh
K 2 + k22
2
−∞
Z
∞
Para resolver a integral acima vamos usar o método do ponto de sela1 , ou seja:
Z
∞
−∞
1
c exp(bf (y))dy ≈ c máx {exp(bf (y))}
−∞<y<∞
Para o comentário do desenvolvimento deste método (ver ref.[13]).
21
(2.8)
logo ficaremos
ZN '
r
½
µ
¶
∙
∙
µq
¶¸¸¾
N 2
N
2
2
exp − y exp N ln 2 exp(L) cosh
máx
K + k2
2π −∞<y<∞
2
e ainda sendo ln
1
1
ln ZN '
N
N
∙
¸
máx (bf (y)) =
−∞<y<∞
( Ãr
ln
N
2π
!
máx ln (bf (y)), obtemos
−∞<y<∞
¶¸¾)
½
∙
µq
1 2
+ máx N − y + ln 2 exp(L) cosh
K 2 + k22
−∞<y<∞
2
No limite termodinâmico (N → ∞), temos que lim
N →∞
ln(N/2π)
N
→ 0,
Nf (y) e que L → 0. Portanto, no limite termodinâmico obtemos
máx (Nf (y)) =
−∞<y<∞
¶¸
∙
µq
1
1 2
ln ZN = − y + ln 2 cosh
K 2 + k22
N
2
(2.9)
A energia livre por spin é definida por
f =−
1
ln ZN
βN
(2.10)
Substituindo eq.(2.9) na eq.(2.10), a energia livre por spin ficará
1
f=
β
½
¶¸¾
∙
µq
1 2
2
2
K + k2
y − ln 2 cosh
2
(2.11)
Da Mecânica Estatísitica temos que a partir da energia livre podemos obter todas as
grandezas magnética do sistema. A magnetização por spin do sistema é definida por
m=
hσ zi i
T rσ Zi exp (−βH)
∂
1 ∂
=
=
(ln ZN ) = −
(βf )
T r exp(−βH)
N ∂K
∂K
(2.12)
substituindo a eq.(2.11) na eq.(2.12) obtemos
K
m= p
K 2 + k22
¶
µq
2
2
tanh
K + k2
22
(2.13)
Para verificar qual é a relação da variável y com a magnetização, é só tomar o mínimo
do valor da energia livre f para essa variável, ou seja
p
∂f
= y − k1 m = 0
∂y
⇒
y=
p
p
k1 m = βJm
desta forma as eqs. (2.11) e (2.13) ficarão reescritas nas formas
1
f=
β
e
½
¶¸¾
∙
µ q
1
2
2
2
βJm − ln 2 cosh βJ m + (Ω/J)
2
¶
µ q
q
2
2
m2 + (Ω/J) = tanh βJ m2 + (Ω/J)
2.2.2
(2.14)
(2.15)
Transição de fase à temperatura finita
Na transição de fase a temperatura crítica é obtida a partir da eq.(2.15) no limite de
m → 0, desta forma obtemos
TC = Ω/ (kB arctan h (Ω/J)) .
(2.16)
A eq.(2.16) é semelhante a obtida por outros autores [9, 23], ela nos fornece informação
referente ao comportamento da temperatura crítica com o campo transverso. Note que
no limite clássico (Ω → 0), temos que arctanh(Ω/J) ' Ω/J, logo kB TC = J, que já
era um resultado conhecido quando a transição de fase ocorre sob influência térmica, e
que corresponde ao resultado de campo médio (teoria de Weiss) fazendo J em zJ (z é o
número de primeiros vizinhos).
Nas figs.(2.2) e (2.3) temos os gráficos de m em função de kB T /J para vários valores
de Ω/J e o diagrama de fase no plano T − Ω, respectivamente, obtidos das eqs.(2.15) e
(2.16). O comportamento da magnetização é afetado em T ' 0, a medida que o valor
do campo transverso Ω/J é modificado, pois a magnetização diminui a medida que Ω/J
aumenta em T ' 0, como é mostrado na fig.(2.2). Isto indica que ocorre uma diminuição
23
da ordem dos spins na direção z no regime quântico (T → 0), devido a presença do
campo transverso na direção x, que aumenta o valor médio da magnetização transversal
induzida pelo campo Ω. Nesta figura temos ainda que as temperaturas críticas são alteradas com o aumento do campo Ω/J, os resultados destas temperaturas críticas para
cada valor do campo estão de acordo com os resultados apresentados da fig.(2.3). Esta
modificação da temperatura crítica ocorre devido o fato do sistema em T ' 0 já apresentar uma diminuição em sua ordem (magnetização do sistema), devido a presença do
campo transverso, e desta forma será necessário menos energia térmica para proporcionar
a transição de fase ordem/desordem.
Figura 2.2: Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para vários
valores do campo transverso.
2.2.3
Transição de fase quântica (T = 0)
No limite de TC → 0, temos que tanh (Ω/(kB TC )) = 1, e da eq.(2.16) obtemos ΩC = J.
Este resultado nos informa que a transição de fase para TC → 0 é influenciada por fatores
quânticos, aqui representados pelo termo ΩC como o agente responsável pela desordem
24
Figura 2.3: Comportamento da temperatura critica Tc como função do campo tranverso.
do sistema em baixas temperaturas.
Vamos detalhar melhor a transição de fase no estado fundamental. Em primeiro lugar
vamos analisar o que ocorre com a energia livre neste regime de temperatura. Para isto
vamos recorrer do fato que cosh(x) ' exp(x)/2, (x → ∞). Então da eq.(2.14) com T → 0
obtemos
√
1
fo = m2 − m2 + ω 2
2
(2.17)
onde fo = f /J e ω = Ω/J. Da eq.(2.17) vamos analisar os extremos (máximo e mínimo)
da energia livre em relação a magnetização, ou seja:
⎧
⎨ m=0
∂fo
m
=0 ⇒
=m− √
⎩ m = ±√1 − ω 2
∂m
m2 + ω 2
desta forma temos que para m = 0 (estado desordenado)
fo (m = 0) = −ω
25
(2.18)
√
e para m = ± 1 − ω 2 (estado ordenado)
³
´
√
1
1
fo m = ± 1 − ω2 = − ω 2 −
2
2
(2.19)
Da eq. (2.19) observamos que temos duas soluções para a magnetização por spin
correspondente a um mínimo de energia livre (a segunda derivada de fo é negativa para
esses valores de m). Portanto, temos dois estados degenerados com um mínimo de energia,
e isto é válido somente na faixa de valores 0 ≤ ω ≤ 1, tal que ωc = 1 é justamente o
valor crítico do campo transverso ω, quando m = 0. Quando o campo transverso assume
valores acima de ω c temos um estado singleto (m = 0) com mínimo de energia. É
importante observar que o primeiro estado excitado corresponde a energia dada pela
eq.(2.18). Estas observações são ilustradas na fig.(2.4).
Figura 2.4: Comportamento da energia livre por spin reduzida no estado fundamental
como função da magnetizaç ão. Na faixa 0 < ω < ω c temos dupla degenerescência,
enquanto que para ω ≥ 1 temos um estado singleto com mínimo de energia.
Na fig.(2.5) é ilustrado os comportamentos da energia livre em T = 0 para os estados
fundamentais e o primeiro estado excitado (fo = −ω) em relação ao campo transverso.
26
Figura 2.5: Comportamento das curvas da energia mínima e da energia do primeiro
estado excitado em relação ao campo transverso.
Observamos que o gap de energia entre os mínimos de energia e os estados excitados é
atenuado a medida que o campo transverso aumenta, pois ocorre uma dispersão dos spins
para o estado excitado, de tal modo que no ponto crítico ω = ωc = 1 ocorre o colapso
das duas curvas e o gap se anula. A diminuição do gap de energia, devido o aumento
do campo, permite que os spins tunelem entre os mínimos de energia e os primeiros
estados excitados, proporcionando a diminuição da magnetização m do sistema no estado
fundamental. No ponto crítico ω = ω c o gap é nulo e o mínimo de energia passa a ser
singleto (m = 0). Para ω > ω c o gap de energia assume novamente valor diferente de
zero, mas agora o mínimo de energia é dado pela eq.(2.18) e o primeiro estado excitado
é desconhecido, e ainda o mínimo de energia continua sendo singleto (m = 0), e desta
forma a magnetização m do sistema continua sendo nula no estado fundamental (estado
desordenado).
27
2.3
Conclusões
Neste capítulo estudamos a influência do campo transverso num sistema ferromagnético, a partir do modelo quântico proposto por de Gennes (1963) [1] denominado de
Modelo de Ising com Campo Transverso (MICT). Vimos que o campo transverso Ω é
o agente responsável por transições de fases no estado fundamental num sistema ferromagnético. Esta transição de fase ocorre devido a influência de fatores quânticos, ou
seja, o campo proporciona uma diminuição do gap de energia, que separa os mínimos de
energia e os estado excitados. Com a diminuição do gap, devido o aumento do campo
transverso, os spins podem tunelar entre os mínimos de energia e os estados excitados,
sendo que esses estados excitados possuem m = 0, como é ilustrado na fig.(2.5). Este
processo de tunelamento faz com que o parâmetro de ordem (m) do sistema diminua,
porém o tunelamento só ocorre para 0 < ω < ω c = 1, nesta faixa de valores do campo
o estado fundamental do sistema é duplamente degenarado de acordo com a eq.(2.19);
porém quando ω = ω c o gap de energia, já mencionado acima, fica nulo e o estado fundamental passa a ser um singleto dado pela eq.(2.18). Para ω > ωC o gap de energia volta
assumir valores diferentes de zero, mas o estado fundamental continua sendo singleto
(m = 0), e desta forma a magnetização do sistema continua nula, como é mostrado na
fig.(2.5).
Na transição de fase no estado fundamental a energia de ligação (J) entre os falsos
spins, possui a seguinte relação ω c = Ωc /J = 1. Quando o campo transverso é menor que
o campo crítico (ω < ωc ), temos que a transição de fase ocorre por influências térmicas,
tal que a temperatura crítica é dada pela eq.(2.16). Para ω = 0 a transição de fase ocorre
quando a energia térmica possui a seguinte relação com a energia de ligação dos spins
kB Tc = J.
Para a faixa de valores 0 < ω < ωc do campo transverso, o papel do mesmo é
proporcionar uma diminuição do valor da temperatura crítica, a medida que este campo
aumenta, isto ocorre devido o fato da magnetização m do sistema sofrer uma diminuição
no estado estado fundamental, devido os fatores quânticos já explicados acima, e desta
28
forma sendo preciso menos energia térmica (kB TC ) para proporcionar a transição de fase
ordem/desordem.
29
Referências
[1] de Gennes, P.G. Solid State Commum.1, 132 (1963).
[2] dos Santos, R.R. e Sneddon, L., Physical Review B, 23, 3541 (1981).
[3] Drell, S.D., Weistein, M., Physical Review D, 14, 487, (1976).
[4] Elliott, R. J. and Pfeuty, P. e Wood, C. Physical Review Letters, 25, no. 7, August,(1970).
[5] Friedman, Z., Physical Review Letters, 36, 1326 (1976).
[6] Friedman, Z., Physical Review B, 17, 1429 (1978).
[7] Jullien, R., Pfeuty, P., Fields, J.N., Physical Review B, 18, 3568, (1978).
[8] Onsager, L. Physical Review, 65, 117-149, (1944).
[9] Sá Barreto, F.C. Brazilian Journal of Physics, 30, no. 4, December, (2000).
[10] Suzuki, M. General Theory of Exponential Product Formulas, (1995).
[11] Suzuki, M. Physica A, 194, 432-449, (1993).
[12] Stella, A.L. e Toigo, F., Physical A, 89, 175, (1977).
[13] Zorzenon dos Santos, R. M. tese de doutorado, PUC, Dezembro (1986).
[14] Mignot, J.M., Fluoquet, J., Haen, P., Lapierre, F., Puech, L. e Voiron, J.
J.Mag.Mat., 76-77,97, (1988).
30
[15] Regnault, L.P., Erkelens, W.A.C., Rossat-Migno, J., Leyay, P e Flouquet, J., Phys.
Rev. B, 38, 4481, (1988).
[16] Fisk, Z., Hess, D.W., Pethick, C.J., Pines, D., Smith, J.L., Thompson, J.D. e Willis,
J.O. Science, 239, 33, (1988).
[17] Doniach, S. Phys. B, 91, 231, (1977); Coleman, P. Phys. Rev. B, 28, 5255 (1983).
[18] Jullien, R., Can. J. Phys., 59, 605, (1981).
[19] Baxter, R.J., J. Stat. Phys., 9, 145. (1973).
[20] Plascak, J.A., J. Phys. A, 17, L279 (1984).
[21] Jiang, Q. e Li, Z.Y., Phys. Rev. B, 40, 11264, (1989).
[22] Hu, B., Phys. Lett. A, 71, 83, (1979).
[23] Kaufmam, P.E., Kluzinger, e Khurana A., Phys. Rev. B, 34, 4766, (1986).
31
Capítulo 3
Modelo de van Hemmen Clássico
3.1
Introdução
Poucos modelos solúveis na Mecânica Estatística têm sido propostos para descrever
as propriedades térmicas dos compostos desordenados que apresentam a fase vidro de
spin. J.L. van Hemmen em1883 [1] apresentou um modelo simples com solução exata
que reproduz certas características, como o fato da susceptibilidade ser finita em baixa
temperatura e uma cúspide na temperatura crítica, atribuídas a materiais que apresentam a fase conhecida como vidro de spin. Este modelo é bastante interessante pelo fato
de não utilizar o artifício das réplicas que foi introduzido no modelo de Edwards e Anderson (1975) [2]. Esse truque das réplicas foi posteriormente utilizado por Sherrington
e Kirkpatrick (1975) [3], onde propuseram o modelo SK quue é uma boa teoria de campo
médio para vidro de spins, que hoje é amplamente estudado na literatura.
O modelo de van Hemmen é um sistema de Ising de spin 1/2 desordenado (apresenta
interação aleatória) com interações de longo alcance, o mesmo apresenta frustração que
é fundamental para a existência da ordem vidro de spin num sistema magnético. Neste
modelo são usadas duas densidades de probabilidades nas interações entre os spins: a
bimodal e a gaussiana, sendo que cada uma delas apresentam particularidades nos resultados que serão detalhadamente discutidas neste capítulo.
32
O modelo VH não descreve um vidro de spin no sentido mais completo e real, haja
visto que o mesmo não respeita o fato de que o número de estados metaestáveis seja crescente com o número de sítios, levando assim ao fenômeno da histerese que está associado
a metaestabilidade do sistema, discutido por Choy e Sherrington (1984) [4]. Porém, o
modelo de van Hemmen apresenta resultados importantes, que também foram obtidos por
Edwards e Anderson (1975) [2] e também por Sherrington e Kirkpatrick [3] usando outros
modelos. Mas vale ressaltar ainda que o modelo de van Hemmen apresenta uma entropia
positiva em baixa temperatura, ao contrário do modelo de Sherrington e Kirkpatrick [3].
De Almeida e Brady Moreira (1986) [5] estenderam o modelo de van Hemmen ao caso em
que o mesmo apresenta anisotropia e discutiram a situação em que o acoplamento ferromagnético fosse nulo. Algumas outras generalizações do modelo VH foram apresentadas
na literatura, onde no próximo capítulo estudaremos a versão quântica desse modelo. A
grande motivação da proposta do modelo VH está associada na tentativa de eliminar o
resultado espúrio em baixa temperatura (instabilidade) da entropia negativa do modelo
SK, e isto como veremos, foi eliminado.
O modelo proposto por van Hemmen (1982) é baseado no seguinte Hamiltoniano
HN = −
X
X
Jo X
σiσj −
Jij σ i σ j − H
σi
N i6=j
i
i6=j
(3.1)
onde Jo é o acoplamento ferromagnético e antiferromagnético se Jo > 0 e Jo < 0, respectivamente, σ i é a variável de spin no sítio i que neste modelo vale ±1, H é um campo externo
¡
¢
e Jij = NJ ξ i η j + ξ j η i , sendo que ξ i e η i são variáveis aleatórias sujeitas a uma dada
distribuição de probabilidade P (ξ i , η i ), cujo valor médio é nulo, isto é, hξ i i = hη i i = 0.
Num vidro de spin o número de átomos magnéticos é pequeno comparado com o número
total de spins do sistema, além disso o mesmo apresenta frustração, de modo que Jij
deve conter interações positivas e negativas competindo. No modelo proposto uma das
razões de ser tomada a forma de Jij acima é que o mesmo apresenta certos aspectos
relacionados a probabilidade P (Jij ) que é importante para se obter a fase vidro de spin,
33
Tabela III.1: Probalidades de ocorrências de interações aleatórias nulas, positivas e negativas entre os spins.
Jij P (Jij ) situações
> 0 1/4
ξ i η j = 1, ξ j η i = 1
= 0 1/2
ξ i η j = ±1, ξ j η i = ∓1
< 0 1/4
ξ i η j = −1, ξ j η i = −1
como podemos observar na tabela-3.1.
3.2
Cálculo da função de partição do Modelo VH
O ponto de partida da mecânica estatística é a função de partição canônica
ZN =
X
exp (−βHN ) ,
{σi }
ZN =
X
{σi }
#
X
¢
k1 X
k2 X ¡
exp
σi σj +
ξ η + ξ j η i σ i σ j + k3 σ i ,
N i6=j
N i6=j i j
i
"
(3.2)
onde k1 = βJo , k2 = βJ e k3 = βH. Para a variável de spin σ i = ±1 (dois estados) é
possível mostrar as seguintes relações:
⎤
⎡Ã
!2
!2
Ã
X
X
X
X
X
X
1
i)
σi =
σ 2i + 2 σ i σ j ⇒
σi σj = ⎣
σi −
σ 2i ⎦
2
i
i
i
i
i6=j
i6=j
ii)
"
X
i
(ξ i + η i ) σ i
#2
(3.3)
!2 Ã
!2
Ã
X
X
X
X¡
¢
=
ξ iσi +
η i σ i +2 ξ i η i σ 2i +2
ξ i ηj + ξ j ηi σiσj
i
i
i
34
i6=j
⎧"
#2 Ã
!2 Ã
!2
X¡
X
X
¢
1⎨ X
(ξ i + η i ) σ i −
ξ iσi −
ηiσi −
ξ iηj + ξ j ηi σiσj =
2⎩ i
i
i
i6=j
)
X
(3.4)
2 ξ i η i σ 2i .
i
Aplicando as relações acima, eqs.(3.3) e (3.4), na eq.(3.2 ) ficaremos com
ZN
⎧"
⎞
⎛Ã
!2
#2 Ã
!2
⎨ X
X
X
X
k
k
1
2
⎝
=
exp ⎣
σi −
σ 2i ⎠ +
(ξ i + η i ) σ i −
ξ iσi −
2N
2N ⎩ i
i
i
i
{σi }
⎫⎤
!2
Ã
X
X
X ⎬
2
η i σ i − 2 ξ i η i σ i + k3 σ i ⎦
⎭
⎡
X
i
i
i
e fazendo algumas manipulações, obteremos
ZN
⎡
#
!2 ⎤
"
Ã
µ
¶
X
X
k1 X
k1
k2
−
=
exp
σi ⎦
− ξ i η i σ 2i exp ⎣
2N
N
2N
i
i
{σ i }
⎡
⎡
#2 ⎤
!2 ⎤
"
Ã
X
X
k2
k2
(ξ i + η i ) σ i ⎦ exp ⎣−
ξ iσi ⎦
exp ⎣
2N
2N
i
i
⎡
!2 ⎤
!
Ã
Ã
X
k2 X
η i σ i ⎦ exp k3 σ i .
exp ⎣−
2N
i
i
(3.5)
Usando a identidade gaussiana
1
exp(λa ) = √
2π
2
µ 2
¶
√
x
exp − + a 2λx dx
2
−∞
Z
∞
e fazendo a seguinte mudança de variável Xi =
ZN
N2
=
4π 2
X
{σ i }
√
NXi , tal que Xi = x, y, z e v, obtemos
∙
¸
¢
N¡ 2
2
2
2
exp −
x +y +z +v
2
−∞ −∞ −∞ −∞
"
#
X¡
¢
2
exp
Li σ i + Ki σ i dxdydzdv
Z
∞
Z
∞
Z
∞
Z
(3.6)
∞
i
35
(3.7)
onde j =
√
√
√
k1
−1; Li = − 2N
− kN2 ξ i η i e Ki = k1 x + k2 [(ξ i + η i ) y + j (ξ i z + η i v)] + k3 .
Tratando de resolver o último termo da eq.(3.7), isto é ,
X
{σ i }
"
#
X¡
X
¡
¢
¢
¡
¢
2
exp
exp L1 σ 21 + K1 σ 1 exp L2 σ 22 + K2 σ 2 · · ·
Li σ i + Ki σ i
=
i
{σ i }
X
¡
¢
exp Li σ 2i + Ki σ i
= Π
i
{σi }
note que os termos Li e Ki são funções de ξ i e η i , então as exponenciais acima para cada
sítio não são necessariamente iguais. Usando o fato de que σ i = ±1, obtemos
X
{σ i }
#
"
X¡
¢
Li σ 2i + Ki σ i = Π2 exp (Li ) cosh (Ki )
exp
i
i
³ ´
P
e usando as seguintes propriedades: exp(ln(a)) = a, e ln Πbi =
ln (bi ), obtemos
i
i
finalmente
X
{σi }
"
#
#
"
X¡
X
¢
exp
ln (2 exp (Li ) cosh (Ki )) .
Li σ 2i + Ki σ i = exp
i
(3.8)
i
Aplicando a eq.(3.8) na eq.(3.7), ficaremos
ZN
N2
=
4π 2
exp
Z
∞
" −∞
X
i
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
∙
¸
¢
N¡ 2
2
2
2
x +y +z +v
exp −
2
−∞
#
Z
∞
ln (2 exp (Li ) cosh (Ki )) dxdydzdv.
(3.9)
As variáveis ξ i e η i podem ser tratadas como contínuas ou discretas. Esta proposta será melhor entendida quando estivermos usando as distribuições de probabilidades. Desta forma cada parcela do somátório da eq.(3.9) se torna uma integral em ξ e
η com peso P (ξ, η) = P (ξ) P (η), haja visto que as grandezas ξ e η são independentes.
Desta forma temos N integrais que é a quantidade de sítos. Então vamos fazer a seguinte
36
mudança para a média configuracional
Z Z
X
f (ξ i , η i ) = N
f (ξ, η) P (ξ, η) dξdη.
(3.10)
i
A expressão ZN , eq.(3.9) passa a ser uma média configuracional ficando finalmente na
forma
1
ZN
∙
¸
¢
N¡ 2
2
2
2
x +y +z +v
exp −
2
−∞ −∞ −∞ −∞
∙ Z Z
¸
exp N
ln (2 exp (L) cosh (K)) P (ξ, η) dξdη dxdydzdv
N2
=
4π 2
Z
∞
Z
∞
Z
∞
Z
∞
(3.11)
Vamos utilizar o método do ponto de sela, já apresentado no capítulo-2, na equação(2.8),
para resolver as integrais acima. Então teremos
ZN
Tomando o
obtemos
1
N
∙
¸
¢
N2
N¡ 2
2
2
2
x +y +z +v
=
máx exp −
4π 2 −∞<Xi <∞
2
∙ Z Z
¸
exp N
ln (2 exp (L) cosh (K)) P (ξ, η) dξdη .
¡ ¢
ln Z N , e usando a relação ln
∙
máx
−∞<X<∞
¸
(bf (X)) =
máx
−∞<X<∞
(3.12)
ln bf (X),
( µ ¶
∙
2
¢
1 ¡ ¢
1¡
N
1
+ máx N − x2 + y 2 + z 2 + v2 +
ln Z N =
ln
−∞<Xi <∞
N
N
4π
2
¸¾
Z Z
ln (2 exp (L) cosh (K)) P (ξ, η) dξdη
1
(3.13)
A grande diferença, e facilidade, em calcular a média configuracional da função de partição Z N no
modelo VH com relação aos casos dos modelos EA e SK é o não uso do truque das réplicas que parte
da seguinte identidade:
Zn − 1
n→0
n
ln Z = lim
37
ln(N/4π)2
N
N →∞
No limite termodinâmico (N → ∞), temos que lim
→ 0,
máx
−∞<X<∞
(Nf (X)) =
Nf (X), temos ainda que L → 0, desta forma reescrevemos a eq.(3.13) na forma
¢
1 ¡ ¢
1¡
ln Z N = − x2 + y 2 + z 2 + v 2 +
N
2
Z Z
ln (2 cosh (K)) P (ξ, η) dξdη
(3.14)
A energia livre por partícula é facilmente obtida da eq.(3.14)
∙
¸
Z Z
¢
1 1¡ 2
2
2
2
x +y +z +v −
ln (2 cosh (K)) P (ξ, η) dξdη
f=
β 2
(3.15)
Agora a magnetização por spin é definida no ensemble canônico por:
PP
σ i exp (−βHN )
1 {σi } i
1X
P
hσ i i =
m=
N i
N
exp (−βHN )
(3.16)
{σi }
que pode ser reescrita usando a eq. (3.7) na forma
m=
∂
∂
∂H
∂f
1 ∂
(ln ZN ) = −
(βf ) = −
(βf )
=−
N ∂K
∂K
∂H
∂K
∂H
que é o resultado já conhecido. Portanto obtemos
m=
Z Z
(3.17)
tanh (K) P (ξ, η) dξdη.
Temos ainda que determinar os parâmetros de ordem da fase vidro de spin. Neste
trabalho vamos utilizar dois parâmetros de ordem desta fase, que são definidos por
P
T r ξ i σ i exp (−βHN )
X
X
1
1
1
i
ξ i hσ i i =
hξ i σ i i =
q1 =
N i
N i
N
T r exp(−βHN )
e
q2 =
1X
1X
1
η i hσ i i =
hη i σ i i =
N i
N i
N
38
Tr
P
η i σ i exp (−βHN )
i
T r exp(−βHN )
(3.18)
.
(3.19)
De acordo com a eq.(3.7), temos que
1 ∂
∂
(ln ZN ) = −
(βf )
N ∂ϕ1
∂ϕ1
q1 =
onde ϕ1 =
√
k2 (y + jz), então teremos
q1 =
Z Z
q2 =
1 ∂
∂
(ln ZN ) = −
(βf )
N ∂ϕ2
∂ϕ2
ξ tanh (K) P (ξ, η) dξdη
(3.20)
e ainda
onde ϕ2 =
√
k2 (y + jv) ,logo
q2 =
Z Z
η tanh (K) P (ξ, η) dξdη.
(3.21)
Agora para eliminarmos a dependencia das grandezas acima mencionadas das variáveis x, y, z e v, vamos tomar o mínimo da energia livre com relação a essas grandezas,
ou seja:
∂
(βf )
∂x
∂
(βf )
ii)
∂y
∂
(βf )
iii)
∂z
∂
(βf )
iv)
∂v
i)
p
p
k1 m = 0
⇒ x = k1 m ,
p
p
= y − k2 (q1 + q2 ) = 0
⇒ y = k2 (q1 + q2 ) ,
= x−
p
k2 q1 = 0
p
= v − j k2 q2 = 0
= z−j
p
z = j k2 q1 ,
p
⇒ v = j k2 q2 .
⇒
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
Destes resultados temos que a eq.(3.15) ficará reescrita na forma
∙
¸
Z Z
¢
1 1¡
2
k1 m + 2k2 q1 q2 −
ln (2 cosh (K)) P (ξ, η) dξdη ,
f=
β 2
onde K = k1 m + k2 [(ξ + η) (q1 + q2 ) − (ξq1 + ηq2 )] + k3 . Temos ainda que a energia livre
39
será mínina se q1 = q2 = q (ver apêndice B). Isto ocorre porque podemos fazer a troca
ξ ® η e o Hamiltoniano não se altera, desta forma e a partir dos resultados já obtidos
ficaremos
∙
¸
Z Z
¢
1 1¡
2
2
f=
k1 m + 2k2 q −
ln (2 cosh (K)) P (ξ, η) dξdη
β 2
(3.26)
o parâmetro de ordem de vidro de spin será
1
q=
2
Z Z
(ξ + η) tanh (K) P (ξ, η) dξdη
(3.27)
com
K = k1 m + k2 q (ξ + η) + k3
3.2.1
(3.28)
Cáculo da média configuracional
O cálculo da media configuracional será desenvolvido a partir de duas distribuições
de probabilidade: a densidade bimodal (densidade discreta) e a densidade gaussiana
(densidade continua), que são dadas pelas expressões, respectivamente, a seguir
P (ξ, η) = P (ξ) P (η) =
e
½
¾½
¾
1
1
[δ (ξ − 1) + δ (ξ + 1)]
[δ (η − 1) + δ (η + 1)]
2
2
¶
¶
µ
µ
1
ξ2
η2
exp − 2 p
exp − 2 .
P (ξ, η) = p
2φ1
2φ2
2πφ21
2πφ22
1
(3.29)
(3.30)
Cada uma dessas distribuições de densidades proporciona resultados particulares,
como veremos mais adiante. Vamos fazer uma análise cuidadosa da aplicação de cada
uma dessas densidades.
40
Densidade Bimodal
Na utilização desta distribuição de probabilidade temos resultados de equações exatas
analiticamente para a energia livre, magnetização e também para o parâmetro de ordem
da fase vidro de spin. Isto viabiliza obter resultados a partir de processos analíticos,
mesmo que em vários casos sejam necessários processos numéricos, como veremos. Uma
das principais consequências do uso desta densidade de probabilidade é o fato de aparecer
uma fase mista, ou seja, uma fase em que os parâmetros de ordem m e q são diferentes
de zero.
Da eq.(3.17), obtemos o seguinte resultado para a magnetização, usando a distribuição
dada pela eq.(3.29)
1
m=
4
Z Z
tanh (K) [δ (ξ − 1) + δ (ξ + 1)] [δ (η − 1) + δ (η + 1)] dξdη.
usando a seguinte propriedade da função delta de Dirac
Z
f (x)δ (x − xo ) dx = f (xo )
(3.31)
obtemos
m=
1
[tanh (k1 m + 2k2 q + k3 ) + tanh (k1 m − 2k2 q + k3 ) + 2 tanh (k1 m + k3 )] . (3.32)
4
Realizando o mesmo procedimento acima, podemos obter uma expressão para o
parâmetro de ordem de vidro de spin, da eq.(3.27) obtemos
1
q=
8
Z Z
(ξ + η) tanh (K) [δ (ξ − 1) + δ (ξ + 1)] [δ (η − 1) + δ (η + 1)] dξdη,
ou seja
q=
1
[tanh (k1 m + 2k2 q + k3 ) − tanh (k1 m − 2k2 q + k3 )] .
4
41
(3.33)
A partir da eq.(3.26), a energia livre será
1
f =
β
½
¢ 1
1¡
k1 m2 + 2k2 q2 −
2
4
Z Z
[δ (η − 1) + δ (η + 1)] dξdη
o
ln (2 cosh (K)) [δ (ξ − 1) + δ (ξ + 1)]
logo
½
1
f =
β
¢ 1
1¡
k1 m2 + 2k2 q 2 − [ln [2 cosh (k1 m + 2k2 q + k3 )]
2
4
o
ln [2 cosh (k1 m − 2k2 q + k3 )] + 2 ln [2 cosh (k1 m + k3 )]] .
(3.34)
Densidade Gaussiana
Esta distribuição de probabilidade acarreta a necessidade de serem usados processos
numéricos (soluções de equações integrais) para obtermos resultados a partir das equações
energia livre, da magnetização e do parâmetro de ordem da fase vidro de spin. A maior
consequência da utilização desta densidade é o fato de não apresentar a fase mista, como
acontece com a distribuição bimodal. Para esta distribuição temos as seguintes expressões
para a magnetização
Z
1
m=
2πφ1 φ2
∞
−∞
¶¸
∙
µ
1 ξ2
η2
dξdη,
tanh (K) exp −
+
2 φ21 φ22
−∞
Z
∞
(3.35)
o parâmetro de ordem de vidro de spin
1
q=
4πφ1 φ2
Z
∞
−∞
¶¸
∙
µ
1 ξ2
η2
dξdη
(ξ + η) tanh (K) exp −
+
2 φ21 φ22
−∞
Z
∞
(3.36)
e a energia livre
½
¢
1¡
1
k1 m2 + 2k2 q2 −
2
2πφ1 φ2
∙
µ 2
¶¸
¾
2
1 ξ
η
exp −
dξdη ,
+
2 φ21 φ22
1
f =
β
42
Z
∞
−∞
Z
∞
ln [2 cosh (K)]
−∞
(3.37)
onde K = k1 m + k2 q (ξ + η) + k3 . Observe que neste caso de distribuição (gaussiana)
temos que resolver simultaneamente três equações integrais, eqs.(3.36), (3.36) e (3.37),
onde a implementação numérica está descrito no apêndice D deste trabalho.
3.3
Resultados: diagramas de fases e propriedades
térmicas
Nesta seção serão apresentados resultados obtidos a partir das equações da energia
livre, da magnetização e do parâmetro de ordem de vidro de spin. Resultados esses
dividos em duas partes: a primeira é referente as equações obtidas da densidade bimodal
e a segunda parte é referente a densidade gaussiana.
3.3.1
Distribuição Bimodal
Vamos começar pelo diagrama de fases a campo nulo (H = 0), porém é necessário a
princípio classificarmos cada fase, são elas:
i) Fase ferromagnética (F): esta fase é caracterizada por m 6= 0 e q = 0. As
equações desta fase são
¸
∙
1 1
2
fF =
k1 m − ln [2 cosh (k1 m)]
β 2
(3.38)
m = tanh (k1 m) .
(3.39)
e o parâmetro de ordem
Note que esses mesmos resultados foram obtidos no capítulo 2 quando o campo transverso
é nulo (Ω = 0).
ii) Fase vidro de spin (SG): esta fase é caracterizada por m = 0 e q 6= 0. As
43
equações desta fase são
fSG
∙
¸
1 1 2 1
k2 q − ln [4 cosh (2k2 q)]
=
β 2
2
(3.40)
1
tanh (2k2 q) .
2
(3.41)
e o parâmetro de ordem
q=
iii) Fase mista (M): esta fase é caracterizada por m 6= 0 e q 6= 0. As eqs. (3.32),
(3.33) e (3.34) deteminam esta fase.
iv) Fase paramagnética (P): esta fase é caracterizada por m = 0 e q = 0. Esta fase
é descrita apenas pela energia livre, cuja equação é
1
fP = − ln (2) .
β
(3.42)
Para obter as linhas de transições entre as fases vamos nos valer de processos analíticos
e também numéricos. Entre as fases ferromagnética (F) e mista (M) a curva de transição
só é possível a partir de recursos numéricos, assim como para a linha de transição entre
as fases F e SG e entre as fases SG e M. Neste trabalho foi usado o método numérico de
Newton-Raphson para resolver sistema de equações não lineares para obter as raízes das
grandezas m, q, e Jo /J para cada valor de T /J, haja visto que as equações obtidas de m
e q são equações autoconsistentes. Além do fato de usarmos uma outra equação a partir
da igualdade das energias livres das fases usadas na obtenção de cada linha de transição.
Por outro lado, as linhas de transições entre as fases F e P, SG e P podem ser obtidas
por processos analíticos. A transição entre as fase F e P ocorre quando m → 0. Então,
a partir da eq.(3.39) , obtemos que
m ' βJo m
⇒
βJo = 1
(aqui normalizamos kB = 1).
44
⇒
Jo
T
=
J
J
(F-P)
(3.43)
Entre as fases SG e P, na transição temos que q → 0, logo da eq.(3.41) obtemos
q ' βJq
⇒
βJ = 1
⇒
T
=1
J
(SG-P).
(3.44)
A partir de soluções numéricas obtemos a linha de transição entre as fases SG e M,
com os seguintes valores mM = 0 e qM = qSG = 0.5 no estado fundamental (T = 0),
portanto esta transição para T 6= 0 é caracterizado pelo fato de m → 0, desta forma a
partir da eq. (3.32) encontramos
1
m ' βJo m
2
⇒
βJo = 2
⇒
T
1 Jo
=
(SG-M)
J
2J
(3.45)
Na transição entre as fases F e SG fazendo m → 0 e q → 0, teremos os dois resultados
dados pelas eqs.(3.43) e (3.44), o que não é viável, logo é necessário usar procedimento
numérico para obter a curva de transição entre essas duas fases. De fato, também, isto
ocorre na transição entre as fases F e M, ou seja, qM não tende a zero nem mesmo no
estado fundamental, pois a única solução obtida, numericamente é mF = 1.0, mM = 0.5
e qM = 0.5 para T → 0. Na figura (3.1) temos o diagrama de fase dado a partir de
T
J
em função de
Jo
.
J
Veja que o ponto (1, 1) é um ponto multicrítico sem denominação
específica, pois corresponde a interseção de mais de duas linhas críticas. Todas as linhas
críticas na fig.(3.1) são de transição de segunda ordem (ausência de calor latente).
Vamos então analisar este diagrama. Inicialmente, faremos uma análise a respeito do
que ocorre quando Jo = 0. Para isto vamos reescrever a parcela aleatória do Hamiltoniano
como segue
¡
¢
¡
¢
ξ iηj + ξ j ηi = ξ iηj 1 + ξ iηiξ j ηj
(3.46)
Adotaremos a seguinte convenção
ξ i η i = +1
configuração azul (A)
ξ i η i = −1
configuração vermelha (V)
Assim, se i e j tiverem cores diferentes, Jij = 0, de forma que Jij só conecta pontos
45
Figura 3.1: Diagrama de fases com campo externo H nulo usando a densidade de probabilidade bimodal. Observe o ponto multicrítico (1, 1).
de mesma cor. Então o Hamiltoniano a campo nulo e na ausência do acoplamento Jo
ficará para configurações de mesma cor na forma
HN = −
2J X
ξ η σiσj
N i6=j i j
(3.47)
tal que o Hamiltoniano é dividido em duas partes, com dois subsistemas independentes
A e V que possuem cada um
N
2
sítios. Portanto obtemos
J
HN = −
N
Ã
X
ξ iηj σiσj +
i,j∈A
X
ξ iηj σiσj
i,j∈V
!
que ainda pode ser reescrito na forma
J
HN = −
N
!
Ã
X
X
X
X
ξ i σi ηj σj +
ξ i σi ηj σj .
i∈A
j∈A
46
i∈V
j∈V
(3.48)
Usando a transformação de Mattis σ i → ξ i σ i , e também para o spin de índice j obtemos
J
HN = −
N
!
Ã
X
X
X
X
ξ 2i σ i ξ j η j σ j +
ξ 2i σ i ξ j η j σ j
i∈A
j∈A
i∈V
(3.49)
j∈V
De acordo com a convenção dada, o fato de que ξ 2i = 1 e ainda que
P
σi =
i∈A
o mesmo válido para a configuração V, resultará que
−
HN
=J
N
Ã
1X
σi
N i∈A
!2
−J
Ã
1X
σi
N i∈V
P
σ j sendo
j∈A
!2
(3.50)
Portanto, desacoplamos o sistema em dois subsistemas: um ferromagnético (configuração A) e um antiferromagnético (configuração V) com Jo = 0. Temos ainda
que de acordo com as eqs.(3.32) e (3.33) do sistema original para Jo = 0: m = 0 e
q =
1
2
ainda
tanh (2k2 q) como mostrado no diagrama de fases e isto só vale para k2 > 1 ou
T
J
< 1. Perceba ainda que o sistema original e o sistema desacoplado são equiva-
lentes em relação ao parâmetro de ordem vidro de spin. Para isto basta aplicar novamente
P
a transformação de Mattis na eq.(50) onde aparece o parâmetro q1 = N1
ξ i σ i e como já
i∈V
vimos q = q1 . No limite de T → 0 temos que q =
1
2
, isto indica que apenas metade dos
N sítios geram ordem de vidro de spin. Como os subsistemas são desacoplados temos
que apenas um deles deve estabelecer a fase vidro de spin (spin glass-SG). Para resolver
esse problema vamos nos valer como se comporta a desordem em um cluster contendo
primeiramente três spins azuis.
Agora vamos então verificar a função frustração desta plaqueta definida por Toulouse
¡
¢
[6]. Qualitativamente é importante sabermos o comportamento de ξ i η j + ξ j η i , pois
este é o termo do Hamiltoniano responsável pela desordem. Definindo a função plaqueta
Φ por
Φ =
Y
Jij = (ξ 1 η 2 + ξ 2 η 1 ) (ξ 2 η 3 + ξ 3 η 2 ) (ξ 3 η 1 + ξ 1 η 3 ) = 2ξ 1 η 1 ξ 2 η 2 ξ 3 η 3 +
C
ξ 1 η 1 ξ 23 η 22 + ξ 22 η 21 ξ 3 η 3 + ξ 23 η 21 ξ 2 η 2 + ξ 23 η 21 ξ 2 η 2 + ξ 22 η 23 ξ 1 η 1
47
(3.51)
Figura 3.2: Cluster triangular de spins azuis.
Para o subsistema azul temos que Φ > 0, usando o conceito de frustração definido
por Toulouse [6], temos que este subsistema não apresenta frustração, logo não pode
gerar a fase vidro de spin. Porém para o subsistema vermelho obtemos Φ < 0, logo
esse subsistema é completamente frustrado sendo o responsável pela fase vidro de spin a
Jo = 0.
A partir do digrama de fases dado na fig.(3.1), temos a existência da fase mista (M) na
faixa de 0 <
J0
J
≤ 2/3 (em T = 0). Esta fase mista aparece devido o fato do acoplamento
ferromagnético (Jo > 0) permitir uma interligação entre os subsistemas azul e vermelho,
além é claro entre os sítios de cada subsistema, desta forma gerando ordem ferromagnética
(magnetização espontânea). No caso entre os sítios do subsistema azul as interações
aleatórias Jij são positivas (ferromagnetos), temos que com a presença de Jo > 0 os
spins azuis continuam apresentando interação positiva mais reforçada. No entanto no
subsistema vermelho a interação aleatória entre os sítios é negativa (antiferromagneto),
de modo que com a presença de Jo > 0 este spins sentem uma diminuição da interação
negativa. De acordo com os resultados obtidos, computacionalmente, temos que na faixa
de valores de Jo da fase mista a T → 0 os parâmetros de ordem correspondem a q =
em=
1
2
1
2
estes valores se conservam até a transição de fase Mista-Ferromagnética (M-F).
Com isto podemos concluir que como a Jo = 0 temos q =
48
1
2
, m = 0, então na fase mista os
spins que geram a ordem vidro de spin (vermelhos) permanecem em mesma quantidade,
isto nos informa que a ligação aleatória é mais intensa que a ligação ferromagnética
nesta fase mista. Porém todos os spins do subsistema azul (N/2) contribuem para a
magnetização m, pois a interação aleatória positiva entre esses spins é reforçada pela
interação ferromagnética, sendo que o acoplamento ferromagnético entre os spins azul
e vermelho também não é superior a interação aleatória entre os spins dos respectivos
subsistemas. Quando Jo < 0 (acoplamento antiferromagnético), de acordo com diagrama
de fases, podemos observar somente a fase vidro de spin (SG) não aparecendo a fase
mista2 do tipo observada para Jo > 0.
Quando aplicamos o campo externo H teremos que a fase vidro de spin passa apresentar uma magnetização induzida, de tal forma que a medida que esse campo aumenta
essa magnetização também aumenta e o parâmetro de ordem vidro de spin diminui, no
dado valor crítico do campo (hc = 0.338) teremos uma transição da fase spin glass de
baixa magnetização (quando q 6= 0), para uma fase de alta magnetização (quando q = 0)
que é também a magnetização da fase paramagnética a campo não nulo. Na fig.(3.3),
temos o comportamento da magnetização de vidro spin versus campo h = H/J (curva
preta). No campo crítico temos a transição de fase na qual podemos observar um salto
da magnetização de uma fase para outra. Este gráfico é obtido a partir de T /J = 0.6
e Jo /J = 0.2. Veja que para h = 0 este é um ponto localizado na fase vidro de spin de
acordo com a fig. (3.1) . Observe ainda que o campo crítico hc funciona como um ponto
de inflexão da curva. A curva azulada representa a continuação metaestável do estado de
2
Não é possível para Jo < 0 uma fase mista em que os parâmetros de ordem tenham os valores
m = 0.5 e q = 0.5 como ocorre para Jo > 0. Porém, seria interessante verificar em futuros trabalhos
a possibilidade da existência de fase mista em que q 6= 0 e m∗ < 0.5, onde m∗ é a magnetização de
uma subrede de spins up (para cima) ou down (para baixo). Para isso usando este mesmo modelo, e
tomando o acomplamento antiferromagnético (Jo < 0) entre os spins. Note que é interessante então
dividir o sistema em duas subredes, isto é, uma subrede com spins up e outra com spin down. Com
isto teremos três parâmetros de ordem, ou seja, o parâmetro da ordem vidro de spin e mais duas
magnetizações espontâneas com valores simétricos. Esperamos ainda que para determinado valor da
razão Jo /J tenhamos a fase aintiferromagnética, onde q = 0 e existam duas magnetizações com valores
simétricos. Esta proposta é feita a partir da idéia de simétria das situações que ocorrem quando Jo > 0
apresentadas no diagrama de fases na fig.(3.1).
49
alta magnetização, o que corresponde a curva de histerese (memória) obtida hipoteticamente, pois este modelo não descreve adequadamente o processo de metaestabilidade dos
vidros de spins. Perceba que esta curva é semelhante a curva da histerese experimental
observada por Knitter e Kouvel [7]. É interressante observar que tanto esta figura quanto
as posteriores são corrigidas por um corte (reta vertical) na transição de fase, a quem se
interessar de como proceder na correção desses gráficos ver o apêndice-B.
Figura 3.3: Comportamento da magnetizaç ão m da fase vidro de spin em relação ao
campo h para T /J = 0.6 e Jo /J = 0.2. Ocorre uma transição de fase no campo crítico
h = 0.338.
Na fig.(3.4) temos o comportamento do parâmetro q com função do campo h para
T /J = 0.6 e Jo /J = 0.2. Veja que imediatamente após o valor crítico do campo externo q
deve ser nulo, pois a fase de alta magnetização é caracterizado por esse fator. Observamos
que no valor h = hc o parâmetro de ordem vidro de spin vai de a zero descontinuamente,
porém isto não caracteriza uma transição de fase de primeira ordem, pois não temos
presença de calor latente nesta transição.
Na fig. (3.3) tomamos somente um valor para T /J = 0.6, mas podemos fazer uma
análise gráfica para vários valores de campo crítico em função de T /J com Jo /J = 0.2,
50
Figura 3.4: Gráfico do parâmetro q em função do campo h para T /J = 0.6 e Jo /J = 0.2.
tal comportamento é ilustrado na fig.(3.5). Perceba que em T /J = 0.1 temos o ponto
de transição da fase mista para a fase vidro de spin, e como queremos fazer uma análise
somente para a fase vidro de spin puro, ou seja, com m = 0 a h = 0, então não vamos
nos preocupar com o que ocorre com a curva para temperatura T /J < 0.1.
Na fig.(3.6) temos o comportamento de ∆m versus a temperatura T /J, tal que ∆m
é o salto da baixa magnetização para a alta magnetização na transição de fase (em
h = hc (T /J)). Observe que a medida que a temperatura aumenta esse salto diminui,
isto significa que a magnetização da fase SG na transição de fase está aumentando com
o aumento da temperatura crítica, isto parece um absurdo haja visto que a temperatura
não é uma grandeza que provoca ordem, porém neste caso temos que com o aumento
da temperatura crítica a quantidade de spin que geram a ordem vidro de spin é muito
influenciada pela energia térmica, de tal forma que certos spins dessa não ficam mais
nesta ordem e devido a presença do campo externo o mesmo ordena esses spins para a
ordem ferromagnética aumentando a magnetização da fase SG na transição de fase. A
partir de uma determinada temperatura crítica teremos que ∆m = 0.
51
Figura 3.5: Gráfico hc versus T /J para Jo /J = 0.2 da transição entre as fases vidro de
spin de alta e baixa magnetização.
52
Figura 3.6: Gráfico do salto da baixa magnetização para alta magnetização da fase vidro
de spin em função da temperatura para Jo /J = 0.2.
Na fig.(3.7), temos o gráfico da magnetização m em função da temperatura T /J para
cinco valores de campo externo h com
Jo
J
= 0.2. Podemos observar a partir dessa figura
que a magnetização parte de T = 0 com m = 0.5 para qualquer que seja o valor do
campo h, como já vimos a campo nulo temos que
Jo
J
= 0.2 em T = 0 é um ponto que está
localizado na fase mista de acordo com a fig.(3.1) onde m = 0.5; agora com o aumento do
campo externo é de se esperar que a magnetização aumente também em T = 0, porém
neste caso podemos concluir que a interação aleatória, entre os spins geradores da fase
vidro de spins, permite que esses spins resistam não só à presença de Jo como também a
contribuição da energia do campo externo. Isto fica evidente a partir da fig.(3.8) a qual
mostramos o comportamento de q versus a temperatura. Observe que em T = 0 temos
que q = 0.5 para todos os valores do campo propostos, então só restam metade dos sítios
para serem magnetizados. Para h = 0 podemos verificar na fig.(3.7) uma transição de
fase em T /J = 0.1 com comportamento ferromagneto, esta transição ocorre entre as fases
mista (M) e fase vidro de spin (SG). Para h 6= 0 temos que o máximo de cada curva da
53
magnetização corresponde ao ponto de transição de fase da baixa magnetização para alta
magnetização já mencionado anteriormente.
Um resultado interessante e não discutido no trabalho de van Hemmen, consiste na
descontinuidade dos parâmetros termodinâmicos m e q. Observamos que para campos
altos, porém menor que h = 0.35 (valor onde a fase SG é destruída de acordo com a
fig.(3.5)), temos um salto em T = Tc (h) para os parâmetros m e q a partir de h = 0.314
que corresponde a T /J = 0.732. Por outro lado, um estudo mais aprofundado do tipo
de transição de fase que ocorre neste modelo (ver apêndice B ), mostra que não temos
presença de calor latente QL = ∆S.Tc (h), o que corresponde assim a uma transição de
fase contínua (2a ordem).
Veja que na fig.(3.7) aparece o comportamento do aumento da magnetização próximo
da temperatura crítica, o que só vem contemplar as explicações deste comportamento
já feitas anteriormente. Para valores de temperatura maior que o valor crítico a energia
térmica elimina qualquer possibilidade de reordenamento do sistema, com isto a magnetização só tende a diminuir. Estes resultados referentes a magnetização da fase vidro de
spin na presença do campo h é observado nos resultados experimentais obtidos por Rivera
[8], sendo porém que em baixa temperatura esses resultados experimentais indicam que
a magnetização muda de valor com h.
Vamos agora verificar o comportamento da susceptibilidade da fase vidro de spin.
Para isto devemos primeiramente observar que temos dois parâmetros de ordem m e q na
fase SG que dependem de h 6= 0. Desta forma teremos duas respostas ao campo externo,
ou seja, χm e χq . De tal modo que a patir da eqs. (3.17) e (3.27) obtemos
∂m
=
χm ≡
∂H
ZZ
∙
¸
∂q
∂m
A (ξ, η) βJo
+ βJ (ξ + η)
+ β P (ξ, η) dξdη
∂H
∂H
(3.52)
e também
∂q
=
χq =
∂H
ZZ µ
ξ+η
2
¶
∙
¸
∂q
∂m
+ βJ (ξ + η)
+ β P (ξ, η) dξdη (3.53)
A (ξ, η) βJo
∂H
∂H
54
Figura 3.7: Comportamento da magnetizaç ão da fase vidro de spin em função da temperatura para Jo /J = 0.2 e vários valores de h.
Figura 3.8: Comportamento de q em fun ção de T /J para valores diferentes de h com
Jo /J = 0.2.
55
onde A (ξ, η) = sec h2 (βJo m + βJ (ξ + η) q + βH). Resolvendo esse sistema de duas
equações lineares em χm e χq obtemos
χq =
RR ¡ ξ+η ¢
A (ξ, η) (ξ, η) [βJo χm + β] P (ξ, η) dξdη
RR
2
1−
βJ (ξ+η)
A (ξ, η) P (ξ, η) dξdη
2
2
(3.54)
e a partir de certas manipulações algébricas encontramos
χm =
β 2 JI22 + βI1 (2 − βJI3 )
(1 − βJo I1 ) (2 − βJI3 ) − β 2 Jo JI22
(3.55)
ZZ
A (ξ, η) P (ξ, η) dξdη,
(3.56)
(ξ + η) A (ξ, η) P (ξ, η) dξdη e
(3.57)
(ξ + η)2 A (ξ, η) P (ξ, η) dξdη
(3.58)
com
I1 =
I2 =
I3 =
ZZ
ZZ
Para o caso da distribuição bimodal teremos que
1
I1 =
4
Z Z
A (ξ, η) [δ (ξ − 1) + δ (ξ + 1)] [δ (η − 1) + δ (η + 1)] dξdη
então
I1 =
1
[A(1, 1) + A(1, −1) + A(−1, 1) + A(−1, −1)]
4
(3.59)
e também das eqs.(3.57) e (3.58)
1
[A(1, 1) − A(−1, −1)]
2
= A(1, 1) + A(−1, −1)
I2 =
(3.60)
I3
(3.61)
Na fig.(3.9) temos o gráfico da susceptibilidade χm versus a temperatura T /J obtido
56
a partir da eq.(3.55) a campo nulo (h = 0) e Jo /J = 0.2, tomando J = 1. A curva
azulada mostra o comportamento da susceptibilidade da fase mista, devemos lembrar
que em T /J = 0.1 ocorre a transição de fase entre as fases M e SG, perceba que o
comportamento da curva é de um ferromagneto, ou seja, o fato de existir uma divergência
em torno da temperatura crítica. A curva preta é referente a susceptibilidade da fase SG,
podemos observar a cúspide da transição de fase entre as fases SG e P na tempertura
crítica T /J = 1.0. Observe qua após a temperatura crítica temos o regime de CurieWeiss, que podemos verificar de acordo com as eqs.(3.59) , (3.60) e (3.61) para q = 0, o
seguinte comportamento para χm
£
¤−1
χm (h, T ) = T cos h2 (βJo m + βH) − Jo
(3.62)
para h = 0 temos que m = 0, logo da eq.(3.62) obtemos
χm (T ) = [T − Jo ]−1 ,
(3.63)
que corresponde a lei de Curie-W eiss.
3.3.2
Distribuição Gaussiana
Quando utilizamos a distribuição Gaussiana temos o fato de não existir a fase mista,
como é mostrado na fig.(3.10). Como esta distribuição de probabilidade é contínua, ou
seja, as variáveis ξ e η podem assumir valores no intervalo [−∞, ∞], teremos também
infinitas configurações para o produto ξ i η i . Adotando a seguinte convenção:
ξ i η i > 0 ou ξ i /η i > 0
ξ i η i < 0 ou ξ i /η i < 0
configuração azul(A)
configuração vermelha (V)
a interação aleatória Jij pode ser dada por
57
Figura 3.9: Susceptibilidade a campo h nulo em função da temperatura usando distribuição bimodal para Jo /J = 0.2.
¤
£
¡
¢
Jij = ξ i η j 1 + ξ j /η j (η i /ξ i ) .
Teremos que Jij agora pode conectar pontos de mesma e de diferentes cores, então para
Jo = 0 e h = 0 temos que o Hamiltoniano é dado por
HN = −
¤
£
¡
¢
JX
ξ i η j 1 + ξ j /η j (η i /ξ i ) σ i σ j .
N i6=j
(3.64)
essa forma de representar a interação aleatória Jij é diferente da apresentada na eq.(3.46),
pois agora ξ 2i pode ser diferente de 1. Note que o Hamiltoniano é dividido em vários
subsistemas cada um com números de sítios desconhecidos, ou seja:
HN = −
J
N
Ã
X
i,j∈S1
S1 ξ i η j σ i σ j +
X
S2 ξ i η j σ i σ j +
i,j∈S2
58
X
i,j∈S3
!
S3 ξ i η j σ i σ j + . . .
¡
¢
onde Sk = 1 + ξ j /η j (η i /ξ i ), k = 1, 2, 3, . . .. Usando a transformação de Mattis
σ i → ξ i σ i , teremos que
HN = −
J
N
Ã
X
S1 ξ 2i ξ j η j σ i σ j +
i,j∈S1
S2 ξ 2i ξ j η j σ i σ j +
i,j∈S1
ou seja
HN = −
X
J
N
Ã
X
i,j∈S1
C1 σ i σ j +
X
i,j∈S1
X
!
S3 ξ 2i ξ j η j σ i σ j . . . ,
i,j∈S1
C2 σ i σ j +
X
i,j∈S1
!
C3 σ i σ j . . .
(3.65)
sendo Ck = Sk ξ 2i ξ j η j , k = 1, 2, 3, .... Podemos ainda agrupar esses subsistemas em
dois grandes sistemas, ou seja, os sistemas azul e vermelho de acordo com a convenção
adotada acima para o termo ξ j η j , de modo que se os coeficientes Ck > 0 os spins do
subsistema são interligados por ligações positivas e pertecem ao sistema azul (ferromagneto), para Ck < 0 o subsistema possui ligações negativas e pertecem ao sistema vermelho
(antiferromagneto).
Como no caso da distribuição bimodal, também obtemos para a distribuição gaussiana subsistemas desacoplados entre si, porém agora cada subsistema possui um peso
diferente (dependendo de Ck ) na contribuição para gerar os sistemas azul ou vermelho.
Vale ainda ressaltar que o sistema vermelho é o responsável pela fase vidro de spin, de
acordo com os argumentos já visto anteriormente sobre o sistema vermelho ser frustrado.
Esta nova situação é muito importante para os resultados obtidos a partir da distribuição
gaussiana, pois podemos entender por que no uso desta distribuição não é apresentada
uma fase mista. Certos subsistemas azuis e vermelhos possuem termo de ligação aleatório
Jij pouco intenso (que denominaremos de fraco ferromagneto ou fraco antiferromagneto).
Há também aqueles que apresentam Jij muito intenso (forte ferromagneto ou forte antiferromagneto), dependendo dos valores Ck .
No caso do acoplamento com interação Jo > 0 (ferromagnética) entre spins do tipo
fraco ferromagneto e spins do tipo forte antiferromageto, note que neste caso se os spins
azuis forem antiparalelos aos spins vermelhos, esses spins azuis irão se alinhar de forma
59
paralela aos spins vermelhos. Isto causa uma desordem no sistema azul que até então era
organizado (sistema ferromagneto), fazendo que a magnetização média m se anule para
certos valores de Jo > 0 em T = 0.
É interessante informar que alguns spins vermelhos podem também se orientar com
os spins azuis. Isto ocorrerá se a interação ferromagnética Jo existir entre spins do tipo
fraco antiferromagneto e spins do tipo forte ferromagneto. Então, neste modelo, sendo
usada a densidade Gaussiana, não podemos mais garantir que a interação aleatória seja
sempre mais intensa que o acoplamento ferromagnético na fase vidro de spin, como no
caso da distribuição bimodal.
A partir de soluções numéricas foi obtido que o parâmetro de ordem vidro de spin
corresponde a q ' 0.557 em T = 0 e para Jo /J ≤ 0.623. Veja que o valor de q indica
que mais da metade dos N spins do sistema são responsáveis pela fase SG. As linhas das
transições de fases são apresentadas na fig.(3.10). A linha de transição entre as fases SG
e P é obtida a partir das mesmas condições que resultaram na eq.(3.44), de modo que
essa equação reproduz essa linha. A linha entre as fases F e P também é obtida pela
eq.(3.43) onde foi usada a distribuição bimodal. A linha entre as fases F e SG é obtida
a partir de métodos numéricos (ver apêndice-D.), usando as eqs.(3.35), (3.36) e (3.37)
arrumadas para as fases F e SG.
Na fig.(3.11) podemos observar o comportamento da susceptibilidade que apresenta
um valor finito em T = 0, o que é uma característica de alguns materiais que apresentam
fase vidro de spin como por exemplo os resultados experimentais obtidos por Rivera
[8]. Esta figura foi obtida a partir da eq.(3.55) com parâmetro Jo /J = 0.2 . Após o
ponto crítico temos que o comportamento da susceptibilidade no regime de Curie-W eiss,
que é determinado também pela eq.(3.63), levando-se em consideração os resultados das
integrais gaussianas da eq.(3.55).
Na fig.(3.12) apresentamos o gráfico da magnetização da fase vidro de spin em função
do campo h com os seguintes valores dos parâmetros Jo /J = 0.2 e T /J = 0.6. Os
resultados são semelhantes aqueles obtidos a partir da distribuição bimodal, só mudando
60
Figura 3.10: Diagrama de fase usando a distribuição gaussiana. Observe que não aparece
um fase mista.
Figura 3.11: Susceptibilidade para a fase vidro de spin usando distribuição gaussiana.
61
o valor do campo crítico para hc = 0.330. Assim como os resultados apresentados na
fig.(3.13) também são análogos aos resultados obtidos na fig.(3.8) .
Figura 3.12: Comportamento da magnetizaç ão da fase vidro de spin para T /J = 0.6 e
Jo /J = 0.2, podemos observar a transição ocorrendo no ponto crítico do campo hC =
0.330.
Uma nova situação é apresentada nos gráficos da magnetização m e do parâmetro
de ordem q em função da temperatura T para valores diferentes de campo h, como é
mostrado nas figs.(3.14) e (3.15) respectivamente, que são obtidas a partir de Jo /J = 0.2.
Nessas figuras podemos observar que a medida que o campo aumenta a magnetização
também aumenta, enquanto que o parâmetro q diminui em T = 0, diferente do que acontecia com o caso da distribuição bimodal. Aqui o campo externo consegue desempenhar
um papel bem interessante, pois em baixas temperaturas a sua contribuição de energia já
é suficiente para fazer com que spins vermelhos, principalmente os fracos antiferromagnetos, fiquem orientados com campo diminuindo o valor de q e gerando ordem no sistema,
ordem essa que ainda é reforçada pelo spins azuis que se orientam com o campo. Outro
aspecto importante que também aparece no fig.(3.14) , é que a magnetização apresenta
um valor constante até a transição de fase. Com aumento da temperatura os spins ger62
Figura 3.13: Comportamento do parâmetro q em em relação ao campo h para T /J = 0.6
e Jo /J = 0.2.
Figura 3.14: Comportamento da magnetiza ção da fase vidro de spin em relação a
temperatura na presen ça de campos h.
63
Figura 3.15: Comportamento do parâmetro q em relação a temperatura para vários
valores de campo h.
Figura 3.16: Entropia da fase vidro de spin em função da temeperatura para Jo /J = 0.2
para h = 0.
64
adores da fase vidro de spin ficam desordenados, então o campo tenta reordenar esses
spins na sua direção, porém a magnetização do sistema não aumenta, pois parte dos spins
desta ordem já foram desorientados devido a energia térmica, de modo a magnetização
venha a se conservar. Estes resultados da magnetização estão de acordo, sob o aspecto
qualitativo, com os resultados obtidos experimentalmente por Rivera [8]. Na fig.(3.16)
temos o comportamento da entropia da fase vidro de spin. Perceba que para T = 0 temos
uma entropia diferente de zero, caracterizando assim o efeito de frustração presente na
fase SG.
3.4
Conclusões
Apresentamos, neste capítulo, o modelo clássico de J.L. van Hemmen (1982,1983), que
é uma proposta de modelo simples com solução exata para estudar um sistema magnético
que apresenta ordem vidro de spin, e que não precisa do artifício de réplicas para ser
resolvido como propôs Edwards e Anderson (1975) para fazer também este estudo. O
modelo de van Hemmen é um modelo de Ising com interações de longo alcance não puro,
ou seja, apresenta interações aleatórias entre os spins, e ainda contém frustração. Esses
aspectos são fundamentais para a existência da fase de vidro de spin. O termo aleatório
Jij existente no modelo é quem indica quais os tipo de ligações aleatórias estão presentes.
Foram usadas duas densidades de probabilidade no estudo do modelo a bimodal e a
gaussiana.
Verificamos que quando o acoplamento ferromagnetico entre os spins é nulo (Jo = 0),
obtemos dois subsistema desacoplados e um ferromagneto (onde as ligações aleatórias
entre os spins são posistiva) e antiferromagneto (as ligações aleatórias entre os spins são
negativas), observando a existência de uma fase vidro de spin, tal que essa fase é gerada
pelo subsistema antiferromagneto. A investigação a cerca de qual susbsistema é o responsável pela fase vidro de spin é feita a partir da função de frustração de Toulouse, a qual
comprova que o subsistema do tipo antiferromagneto é frustrado. No caso em que foi
65
usada a distribuição de probabilidade bimodal foi observado que cada um dos subsistema
é composto pela metade do total spins do sistema e as interações aleatórias entre os spins
tinham o mesmo peso. Este fator é fundamental para que a partir dessa distribuição seja
apresentada uma fase mista (fase em que os parâmetros de ordem ferromagnético e de
vidro de spin são diferente de zero). Porém, quando é usada a distribuição gaussiana,
cada susbsistema é composto por spins cuja ligação entre os mesmos não é mais constante. Então cada subsistema passa a ser constituido de fortes e fracos ferromagnetos
ou antiferromagnetos. Isso é fundamental para que não seja apresentada a fase mista no
diagrama de fases obtido a partir desta distribuição.
A transição entre as fases vidro de spin (spin glass-SG) e paramagnética (P) ocorre
devido a flutuações térmicas, sendo caracterizada pelo fato do parâmetro de ordem da
fase SG tender a zero (q → 0). A partir disto foi determinado que a temperaura crítica
é dado por T /J = 1, para as duas densidades de probabilidade, sendo que J é o fator
relacionado a interação aleatória entre os spins. No comportamento da magnetização
da fase vidro de spin em função do campo externo, observamos um transição de fase
segunda ordem entre a fase de baixa magnetização (faixa de valores da magnetização da
fase SG em que q 6= 0) e a fase de alta magnetização (quando q 6= 0). Este resultado é
semelhante obtido experimentalmente por Knitter e Kouvel [7]. A entropia da fase vidro
de spin em T = 0 é s =
1
2
ln(2), como é mostrado na fig.(3.16), qué um valor positivo,
diferente dos resultados obtidos por Sherrington e Kirkpatrick [3]. Usando a distribuição
de probabilidade gaussiana obtemos o comportamento da susceptibilidade da fase SG a
campo nulo, onde podemos verificar um valor finito da susceptibilidade em T = 0 e uma
cúspide na transição com a fase paramagnética, o que é uma característica de materiais
que apresentam fase vidro de spin.
Entre a fase ferrromagnética (F) e a fase vidro de spin (SG) temos também uma
transição de fase de segunda ordem, apesar dos parâmetros de ordem correspondentes a
essas fases irem a zero descontinuamente nessa transição de fase. Essa transição de fase
ocorre devido a flutuações da energia de acoplamento ferromagnético (Jo > 0) em relação
66
a energia J, que é associada a interação aleatória entre os spins do sistema.
Caso o acoplamento entre os spins do sistema seja antiferromagnético (Jo < 0), não
haverá a existência de uma fase mista como é apresentada quando Jo > 0, ou seja, fase
esta em que tanto o parâmetro de ordem vidro de spin quanto a magnetização por spin do
sistema são diferentes de zero. Porém neste trabalho não foram feitos estudos mais profundos a respeito do acoplamento antiferromagnético entre os spins, onde esperamos que
existe uma fase antiferromagnética, esta fase seria caracterizada pelo fato dos parâmetros
q = 0 e m = 0, porém diferente da fase paramagnética, na fase antiferromagnética temos
duas subredes ordenadas, de tal forma que m = mA + mB com mA = −mB , que são
as magnetizações de cada rede. Além disso poderiamos ter fases mista do tipo mA 6= 0
e q 6= 0, mas de qualquer forma a magnetização m = 0, que é a magnetização que é
definida neste trabalho.
67
Referências
[1] Hemmen, J.L. van, Canisius, Z., Phys. B - Condensed Matter, 50, 311, (1983).
[2] Edwards, S.F., e Anderson, P.W., J. Phys. F, 5, 965, (1975).
[3] Sherrington, D., e Kirkpatrick, S., Phys. Rev. Lett., 35, 1792, (1975).
[4] Choy, T.C., e Sherrington, D., J. Phys. Rev. C, 17, 739, (1984).
[5] Almeida, J.R.L. de, e Brady Moreira, F.G., Physik B, 63, no 3, 365, (1986).
[6] Toulouse, G., Commum. Phys., 2,115, -1977.
[7] Knitter, R.W., e Kouvel, J.S., J. Magn. Matter., 21, L316, (1980).
[8] Rivera, A.R., Tese de Doutorado: Estudo experimental de antiferromagnetos desordenados, Universidade Ferderal de Pernambuco, (1997).
[9] dos Santos, M. A., Dissertação de Mestrado: Estudo sistemático de um modelo clássico de vidro de spin com anisotropia, Universidade Ferderal de Pernambuco, (1986).
[10] Moreira, J.V., Tese de Doutorado: O vidro de spin de Ashkin-Teller, Universidade
Ferderal da Paraíba, (1991).
[11] Neto, S.C., Dissertação de Mestrado: O vidro de spin de Ashkin-Teller versão van
Hemmen - Conjugado, Universidade Ferderal de Paraíba, (1993).
68
Capítulo 4
Modelo de van Hemmen Quântico
4.1
Introdução
Neste capítulo iremos analisar o comportamento da estabilidade da ordem vidro de
spin na presença do campo transverso. Usaremos como protótipo o modelo de van Hemmen com a introdução do campo transverso, o que representa um modelo de vidro de
spin quântico, permitindo que sejam feitas análises de transições de fases do tipo ordem/desordem de um sistema magnético no regime quântico (baixas temperaturas). O
Hamiltoniano deste modelo representa a mesma fenomenologia no regime quântico proposto no capítulo 2, ou seja, que o sistema magnético é composto de pseudo-spins representados por prótons do tipo H+ que podem ocupar dois estados com mínimos de energia
de um poço duplo de potencial. O campo transverso faz o papel de proporcionar o tunelamento desses spins para um nível de energia em que a ordem do sistema magnético é
nulo.
Faremos também a verificação do comportamento da susceptibilidade de ordem vidro
de spin, que é a grandeza que bem caracteriza esse tipo de ordem. Vamos ainda fazer
uma comparação dos nossos resultados com a solução do método da quebra da réplicas
simétricas RSB (replica symmetry breaking) do trabalho realizado por Goldschmidt e Lai
[1], bem como os dados obtidos experimentalmente para o composto LiHo0.167 Y0.833 F4
69
[2]. Usaremos duas distribuições de densidades para resolver o modelo, podemos obter
resultados diferentes a partir de cada uma dessas densidades, com a ação do campo
transverso.
O modelo a ser estudado neste capítulo é a generalização do modelo analisado no
capítulo 3, eq.(3.1), sendo que adicionaremos um termo energético referente ao campo
transverso, com o Hamiltoniano é dado por
HN = −
X
X
Jo X z z X
σi σj −
Jij σ zi σ zj − H
σ zi − Ω σ xi ,
N i6=j
i
i
i6=j
(4.1)
onde Jo é o acoplamento de exchange ferromagnético ou antiferromagnético, Jo > 0 e
Jo < 0, respectivamente, σ zi e σ xi são as matrizes de Pauli de spin 1/2 no sítio i, H é o
¡
¢
campo externo, Jij = NJ ξ i η j + ξ j η i é o termo da interação aleatória que foi abordado
no capítulo 3 e Ω é o campo transverso orientado na direção x.
4.2
Cálculo da Função de Particão
A base de cálculos das propriedades termodinâmicas consiste na obtenção da função de
partição de um sistema, que é expressa como função de um dado Hamiltoniano que simula
microscopicamente as interações entre as partículas. O modelo descrito pela eq.(4.1) foi
analisado preliminarmente para os casos particulares: i) quando Ω = 0 (Modelo de
VH Clássico) no capítulo 3; ii) Jij = 0 (Modelo de Ising Quântico Puro) no capitulo 2.
Aqui estudaremos na versão generalizada onde o efeito quântico representado pelo campo
transverso será analisado sobre os diagramas de fases e as grandezas termodinâmicas.
Usando o Hamiltoniano (4.1) a função de partição será expressa por
"
X
X
¢
k1 X z z k2 X ¡
ZN = T r exp
σi σj +
ξ i η j + ξ j η i σ zi σ zj + k3 σ zi + k4 σ xi
{σ i }
N i6=j
N i6=j
i
i
70
#
(4.2)
onde k1 = βJo , k2 = βJ, k3 = βH e k4 = β Ω. A partir das relações dadas pelas eqs.(3.3)
e (3.4) e também usando ao longo da resolução a aproximação de Suzuki utilizada no
capítulo 2 dada pela eq.(2.3), a eq.(4.2) será aproximada por
ZN
⎡
#
!2 ⎤
Ã
"
¶
X
X µ k1
k2
k1
−
− ξ i η i (σ zi )2 exp ⎣
' T r exp
σ zi ⎦
{σi }
2N
N
2N
i
i
⎤
⎡
⎡
#2
!2 ⎤
"
Ã
X
X
k2
k2
(ξ i + η i ) σ zi ⎦ exp ⎣−
ξ i σ zi ⎦
exp ⎣
2N
2N
i
i
⎤
⎡
!2
!
Ã
!
Ã
Ã
X
X
X
k
2
η i σ zi ⎦ exp k3 σ zi exp k4 σ xi .
exp ⎣−
2N
i
i
i
(4.3)
Usando a identidade gaussiana apresentada no capítulo 3, eq.(3.6), e ainda fazendo a
√
seguinte mudança de variável Xi = NXi , tal que Xi = x, y, z e v, da eq.(4.3) obtemos
ZN
∙
¸
¢
N¡ 2
2
2
2
exp −
x +y +z +v
2
−∞ −∞ −∞ −∞
"
#
X¡
¢
Li (σ zi )2 + Ki σ zi + k4 σ xi dxdydzdv,
T r exp
N2
'
4π2
Z
∞
{σi }
onde j =
√
k1
−1; Li = − 2N
−
Z
∞
Z
∞
Z
∞
(4.4)
i
k2
ξη
N i i
e Ki =
√
√
k1 x + k2 [(ξ i + η i ) y + j (ξ i z + η i v)] + k3 .
O traço de matriz que aparece na eq.(4.4) pode se reescrito da seguinte forma
#
"
X¡
¢
¤
£
z 2
z
x
T r exp
Li (σ i ) + Ki σ i + k4 σ i
= ΠT r exp Li (σ zi )2 + Ki σ zi + k4 σ xi
{σ i }
sendo
i σi
i
2
X
¡
¢
z 2
z
x
T r exp L(σ i ) + Kσ i + k4 σ i = Π
exp (λj ) .
i
{σ i }
(4.5)
(4.6)
j=1
Diagonalizando a matriz A = Li (σ zi )2 + Ki σ zi + k4 σ xi , e ainda usando os operadores de
p
Pauli σ zi e σ xi obtemos os seguintes autovalores da matriz A: λ1,2 = Li ± Ki2 + k42 . Da
71
eq.(4.6) obtemos
"
#
¶
µq
X¡
¢
z 2
z
x
2
2
T r exp
Ki + k4 .
Li (σ i ) + Ki σ i + k4 σ i
= Π2 exp (Li ) cosh
{σ i }
i
i
(4.7)
³ ´ P
das seguintes propriedades: exp(ln(a)) = a e ln Πbi = ln (bi ), obtemos
i
i
"
#
"
¶¶#
µq
X¡
X µ
¢
T r exp
ln 2 exp (Li ) cosh
Ki2 + k42
Li (σ zi )2 + Ki σ zi + k4 σ xi
= exp
{σ i }
i
i
(4.8)
Aplicando a eq. (4.8) na eq.(4.4) ficaremos
ZN
∙
¸
¢
N¡ 2
2
2
2
x +y +z +v
exp −
2
−∞ −∞ −∞ −∞
"
¶¶#
µq
X µ
dxdydzdv.
ln 2 exp (Li ) cosh
Ki2 + k42
exp
N2
'
4π2
Z
∞
Z
∞
Z
∞
Z
∞
(4.9)
i
Então vamos fazer a mudança na função de partição para a média configuracional.
De acordo com os argumentos já vistos no capítulo 3 e da eq.(3.10), a eq.(4.9) acima
ficará
ZN
∙
¸
∙ Z Z
Z Z Z Z
¢
N2 ∞ ∞ ∞ ∞
N¡ 2
2
2
2
x +y +z +v
'
exp −
exp N
4π 2 −∞ −∞ −∞ −∞
2
µ
µq
¶¶
¸
2
2
ln 2 exp (L) cosh
P (ξ, η) dξdη dxdydzdv.
(4.10)
K + k4
Do método ponto de sela, já apresentado no capítulo-2, na eq.(2.8), obtemos
ZN
∙
¸
¢
N2
N¡ 2
2
2
2
'
máx exp −
x +y +z +v
4π 2 −∞<Xi <∞
2
¶¶
¸
∙ Z Z
µ
µq
2
2
P (ξ, η) dξdη ,
K + k4
exp N
ln 2 exp (L) cosh
onde Xi = x, y, z e v. Tomando
1
N
¡ ¢
ln Z N , e usando a relação
72
(4.11)
ln
∙
máx
−∞<X<∞
¸
(bf (X)) =
máx
−∞<X<∞
ln bf (X),
obtemos da eq.(4.11)
( µ ¶
∙
2
¢
N
1¡
1
1 ¡ ¢
ln Z N '
ln
+ máx N − x2 + y 2 + z 2 + v2 +
−∞<Xi <∞
N
N
4π
2
¶¶
¸¾
µ
µq
Z Z
2
P (ξ, η) dξdη . (4.12)
K 2 + k4
ln 2 exp (L) cosh
ln(N/4π)2
N
N →∞
No limite termodinâmico (N → ∞), temos que lim
Nf (X), e L → 0, desta forma encontramos
¢
1 ¡ ¢
1¡
ln Z N = − x2 + y 2 + z 2 + v 2 +
N
2
Z Z
→ 0,
máx
−∞<X<∞
(Nf (X)) =
¶¶
µ
µq
2
P (ξ, η) dξdη
K 2 + k4
ln 2 cosh
(4.13)
A energia livre por spin será expressa por
¶¶
¸
∙
µ
µq
Z Z
¢
1 1¡ 2
2
2
2
2
2
P (ξ, η) dξdη . (4.14)
f=
K + k4
x +y +z +v −
ln 2 cosh
β 2
Agora a magnetização por spin é dada por
Tr
m=
P z
σ i exp (−βHN )
1 {σi } i
1X z
hσ i i =
N i
N T r exp (−βHN )
{σi }
ou seja
m=
Z Z
K
p
K 2 + k42
=−
∂f
,
∂H
¶
µq
tanh
K 2 + k42 P (ξ, η) dξdη.
(4.15)
(4.16)
Os parâmetros de ordem da fase vidro de spin são definidos por
P
T r ξ i σ zi exp (−βHN )
X
X
∂
1
1
1
i
q1 =
=−
ξ i hσ zi i =
hξ i σ zi i =
(βf )
N i
N i
N
T r exp(−βHN )
∂ϕ1
73
(4.17)
e
q2 =
1X
1X
1
η i hσ zi i =
hη i σ zi i =
N i
N i
N
onde ϕ1 =
Tr
P z
η i σ i exp (−βHN )
i
T r exp(−βHN )
=−
∂
(βf ) ,
∂ϕ2
(4.18)
√
√
k2 (y + jz) e ϕ2 = k2 (y + jv). Então obtemos
q1 =
Z Z
q2 =
Z Z
e
ξK
p
K 2 + k42
ηK
p
K 2 + k42
¶
µq
2
tanh
K 2 + k4 P (ξ, η) dξdη
(4.19)
¶
µq
2
2
tanh
K + k4 P (ξ, η) dξdη.
(4.20)
Agora falta verificar quais são as relações para as variáveis x, y, z e v. Para isto
vamos analisar o mínimo da energia livre em relação a cada uma dessas grandezas, isto é
i)
ii)
iii)
v)
∂
(βf )
∂x
∂
(βf )
∂y
∂
(βf )
∂z
∂
(βf )
∂v
p
p
k1 m = 0
⇒ x = k1 m,
p
p
= y − k2 (q1 + q2 ) = 0
⇒ y = k2 (q1 + q2 ) ,
= x−
p
k2 q1 = 0
p
= v − j k2 q2 = 0
p
z = j k2 q1 ,
p
⇒ v = j k2 q2 .
= z−j
⇒
(4.21)
(4.22)
(4.23)
(4.24)
Destes resultados temos a eq.(4.14) reescrita na forma
¶¶
¸
∙
µ
µq
Z Z
¢
1 1¡
2
2
2
P (ξ, η) dξdη ,
k1 m + 2k2 q1 q2 −
K + k4
ln 2 cosh
f=
β 2
(4.25)
onde K = k1 m + k2 [(ξ + η) (q1 + q2 ) − (ξq1 + ηq2 )] + k3 . A energia livre será mínina se
q1 = q2 = q (ver apêndice A). A partir da eq.(4.25) obtemos
¶¶
¸
∙
µ
µq
Z Z
¢
1 1¡
2
2
2
2
P (ξ, η) dξdη .
K + k4
k1 m + 2k2 q −
ln 2 cosh
f=
β 2
O parâmetro de ordem de vidro de spin será
74
(4.26)
Z Z
1
q=
2
K
(ξ + η) p
K 2 + k42
¶
µq
2
2
tanh
K + k4 P (ξ, η) dξdη
(4.27)
e a magnetização continua sendo determinada pela eq.(4.16) sendo que agora
K = k1 m + k2 q (ξ + η) + k3 .
4.2.1
(4.28)
Distribuição bimodal
Aplicando a eq.(3.29) do capítulo 3 na eq.(4.16) e tomando a propriedade delta de
Dirac dada na eq.(3.31), teremos o seguinte resultado para a magnetização
(
¶
¶
µq
µq
KB
KA
2
2
2
2
p
tanh
KA + k4 + p 2
tanh
KB + k4 +
KA2 + k42
KB + k42
¶)
µq
2KC
p
(4.29)
tanh
KC2 + k42
KC2 + k42
1
m =
4
e o parâmetro de ordem de vidro de spin resultará
"
¶
¶#
µq
µq
1
K
KA
B
p
q=
.
tanh
KA2 + k42 − p 2
tanh
KB2 + k42
4
KA2 + k42
KB + k42
(4.30)
A partir da equação (4.26), a energia livre ficará
∙ ∙
µq
¶¸
¢ 1
1¡
2
2
2
2
k1 m + 2k2 q −
ln 2 cosh
KA + k4 +
2
4
∙
µq
¶¸
∙
µq
¶¸¸¾
ln 2 cosh
+ 2 ln 2 cosh
,
KB2 + k42
KC2 + k42
1
f =
β
½
onde KA = k1 m + 2k2 q + k3 , KB = k1 m − 2k2 q + k3 e KC = k1 m + k3 .
75
(4.31)
4.2.2
Distribuição gaussiana
Para esta distribuição, de acordo com a eq.(3.30), nós iremos utilizar as seguintes
equações: Para a magnetização
1
m=
2πφ1 φ2
Z
∞
−∞
¶
∙
¶¸
µ
µq
1 ξ2
η2
2
2
p
dξdη
tanh
K + k4 exp −
+
2 φ21 φ22
K 2 + k42
−∞
(4.32)
Z
∞
K
o parâmetro de ordem de vidro de spin
1
q=
4πφ1 φ2
Z
∞
−∞
e a energia livre
Z
∞
(ξ + η) K
p
tanh
K 2 + k42
−∞
¶
∙
¶¸
µq
µ
1 ξ2
η2
2
2
dξdη (4.33)
K + k4 exp −
+
2 φ21 φ22
½
¢
1
1¡
k1 m2 + 2k2 q 2 −
2
2πφ1 φ2
∙
¶¸
¾
µ 2
1 ξ
η2
exp −
dξdη
+
2 φ21 φ22
1
f =
β
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
¶¸
∙
µq
2
ln 2 cosh
K 2 + k4
(4.34)
onde φ1 e φ2 são as variâncias das variáveis aleatórias ξ e η, respectivamente. Neste
trabalho tomamos valor igual a um para essas variâncias.
4.3
Resultados
Nesta seção vamos analisar e discutir novamente os resultados obtidos a partir das
equações da energia livre, da magnetização e do parâmetro de ordem de vidro de spin.
4.3.1
Distribuição bimodal
Inicialmente, vamos analisar os resultados obtidos a partir do diagrama de fases T /J
versus Jo /J com o campo H =0. Para isto vamos verificar quais são as expressões que
determinam as curvas entre as fases vidro de spin (SG), ferromagnética (F), paramagnética (P) e a fase mista (M). Vamos começar pela transição entre as fases F e P. Já
76
sabemos que esta transição ocorre quando m → 0 e q = 0, desta forma a partir da
eq.(4.29) obtemos que
p
(jo m)2 + ω 2 = jo tanh
!
Ãp
(jo m)2 + ω2
,
t
(4.35)
onde jo = Jo /J, t = T /J e ω = Ω/J. Expressão semelhante a eq.(4.35) foi obtida no
capítulo 2 dada pela eq.(2.15). Veja que a curva de transição agora será altera pelo campo
transverso. No limite m → 0 da eq.(4.35) obtemos o seguinte resultado para a linha de
transição F-P
ω = jo tanh (ω/t) .
(4.36)
Na transição entre as fases SG e P temos que m = 0 e q → 0. Então a partir da
eq.(4.30) obtemos
p
(2q)2 + ω 2 = tanh
!
Ãp
(2q)2 + ω2
.
t
(4.37)
Veja que nesta função t não é função de jo , ou seja, para cada valor de ω dado t assume
um valor constante para todo jo nesta transição de fase. No limite q → 0 obtemos da
eq.(4.37) a linha de transição de SG-P
ω = tanh (ω/t) .
(4.38)
Finalmente, na transição entre as fases SG e M temos que q 6= 0 e m → 0, desta
forma obtemos a partir da eq.(4.29)
p
2 (jo m)2 + ω2 = jo tanh
Ãp
!
(jo m)2 + ω 2
.
t
(4.39)
No limite m → 0 teremos que a curva crítica SG-M é obtida por
ω=
jo
tanh (ω/t) .
2
77
(4.40)
A partir de recursos numéricos obtemos a transição entre as fases F e M que ocorre
m 6= 0 e q 6= 0. Para determinar esta curva devemos efetuar então um processo numérico
de sistemas de equações transcendentais a partir das eqs.(4.29), (4.30) e (4.31), sendo que
ainda devemos ter duas equações a partir da eq.(4.29), pois temos duas magnetização
uma da fase M outra da fase F para determinar a curva de transição. O mesmo processo
também deve ser realizado para determinação da curva de transição de fase entre SG e
F, pois na transição de fase temos também que m 6= 0 e q 6= 0. As equações a serem
usadas no processo são também as eqs.(4.29), (4.30) e (4.31). Para maiores informações
desta análise numérica (ver apêndice-C).
Nas figs.(4.1), (4.2), (4.3), (4.4) e (4.5) temos os comportamentos dos diagramas de
fases para valores do campo transverso ω = 0.1, ω = 0.4, ω = 0.5, ω = 0.98, e ω ≥ 1.0,
respectivamente. Podemos observar que com o aumento do campo transverso a região
da fase mista diminui. Por investigação a partir de recursos computacionais foi obtido
um campo transverso crítico ω 1c ' 0.42 que destrói a fase mista. Temos ainda desses
diagramas como se comporta a estabilidade da fase SG diante de valores do campo
transverso. Com o aumento do campo ω a temperatura crítica entre as fases SG e P
diminui. Outro fato interessante ocorre entre as fases F e M até o campo ω 1c ' 0.42 e
depois entre as fases F e SG, onde o ponto de transição de Jo /J a T = 0 aumenta a medida
que o campo transverso aumenta. Então é necessário que o acoplamento ferromagnético
seja mais intenso para que o sistema magnético se torne ferromagnético a medida que ω
aumenta.
Observamos que a medida que o campo transverso aumenta a temperatura na transição SG-P diminui. Vamos então fazer a investigação para deteminar o campo crítico
que destrói a orden vidro de spin. A idéia aqui é fazer uma análise em baixas temperaturas, de tal forma que a única influência para a destruição da fase SG seja devido ao
campo transverso. Então da eq.(4.30) a campo nulo (h = 0) e tomando m = 0 e q → 0
78
teremos k4 >> 2k2 q logo resulta que
1=
k2
tanh (k4 )
k4
(4.41)
para T → 0 obtemos tanh (k4 ) ' 1, então da eq.(4.41) teremos
Ω
k2
= 1 ⇒ ωc = = 1
k4
J
(4.42)
portanto a eq.(4.42) nos fornece o campo crítico ω2c = 1.0 que destrói a ordem vidro de
spin existente no sistema. A partir desse campo crítico só restam as fases ferromagnética
e paramagnética.
Figura 4.1: Diagrama de fases para campo transverso ω = 0.1. Pode-se observar mudanças nos pontos de transição entre as fases SG e P, SG e M, F e M, em relação a
ω = 0.
Na fig.(4.6) temos o resultado experimental obtido por Wu, Ellman e Rosenbaum
[2]. A linha contínua apresentada nessa figura é a curva fitada a partir da seguinte
i
h
expressão Tg (Ht ) = Tg (0) 1 − (Ht /Hc )β , sendo que no caso β = 1.7 ± 0.1, com Tg (0) =
79
Figura 4.2: Diagrama de fases para campo transverso ω = 0.4. A região da fase mista
esta bastante reduzida.
Figura 4.3: Diagrama de fases para campo transverso ω = 0.5. Não há mais a presença
da fase mista.
80
Figura 4.4: Diagrama de fases para campo transverso ω = 0.98. Observe que a transição
de fase SG e P começa a convergir para T /J = 0.
0.133 ± 0.005 K e Hc = 12.0 ± 0.4 kOe para Tg (Hc ) = 0.025 K. Porém, o Hamiltoniano
P
P
adotado na referência [2] é da forma H = − Jij σ zi σ zj − Ω σ xi , tal que Ω ∝ Ht2 .
i6=j
i
Na fig.(4.7) temos o comportamento da temperatura crítica em relação ao campo
transverso da transição entre as fases SG e P, obtida da eq.(4.38). Essa curva é comparada com o resultado obtido pelo método da quebra da réplicas simétricas RSB (replica
symmetry breaking) do trabalho realizado por Goldschmidt e Lai [1], e também com a
curva fitada a partir dos dados experimentais obtidos pelos autores [2]. Na tabela-1 temos
os resultados do campo transverso crítico para alguns métodos utilizados.
Na fig.(4.8) temos o comportamento do parâmetro de ordem vidro de spin versus
temperatura para vários campos transversos, que é obtido a partir da eq.(4.37). No
capítulo-3 foi verificado o artíficio de van Hemmen que transformava o sistema original
em dois subsistemas não acoplados azul e vermelho, na ausência do acoplamento ferro81
Figura 4.5: Diagrama de fases para campo transverso maiores que ω = 1.0. São apresentadas somente as fases P e F.
Figura 4.6: Resultado experimental do comportamento da temperatura crítica versus o
campo transverso para o composto LiHo0.167 Y0.833 F4 [2].
82
Figura 4.7: Comportamento da temperatura cr ítica em função do campo transverso.
Tabela IV.1: Valores do campo transverso crítico de modelos de Ising quântico em T=0
para o vidro de spin.
Método
ωc
Aproximação estática [3]
1.0
Quebra de réplicas simétricas [1]
1.6
Descrição esférica quântica [4]
1.39
Grupo de renormalização [5]
1.58
Este trabalho
1.0
83
magnético para ω = 0.0. Agora temos o caso em que ω 6= 0.0, ou seja, existe a energia
do campo transverso que influencia no comportamento ordenado dos subsistemas azul
e vermelho. Da fig.(4.8) podemos observar que a presença do campo transverso não só
permite alteração da temperatura crítica, como também tem influência no parâmetro de
ordem em baixas temperaturas. Desta forma a interação aleatória Jij , entre os spins
geradores da fase SG é sensível a energia do campo transverso que muda a orientação
dos spins dessa ordem.
Figura 4.8: Comportamento do parâmetro de ordem q em relação a temperatura.
Os comportamentos da magnetização da fase SG versus a temperatura, para o campo
h pequeno e com a presença do campo transverso ω, são apresentados nas figs.(4.9) e
(4.10). Todas essas figuras foram obtidas para Jo /J = 0.2 e h = 0.01. Na fig.(4.10)
observamos que a medida que a intensidade do campo ω aumenta a magnetização sofre
diminuição em T = 0. Porém, observamos na fig.(4.10) que a magnetização sofre um
aumento de intensidade a medida que aumenta o campo transverso em T = 0, isto ocorre
porque os spins que são de ordem vidro de spin agora sofrem influência do campo h que
84
tenta reorientar esses spins sua direção, e que a partir de um determinado valor do campo
transverso os spins de ordem SG ficam mais vulneráveis a sofrerem mudanças em suas
orientações, desta forma o campo h consegue orientar em sua direção esses spins com
mais facilidade a medida que o campo aumenta. Foi verificado, numericamante, que essa
situação ocorre a partir do valor do campo transverso ω ' 0.838. O ponto de máximo
na curva m(T ) corresponde a temperatura de transição de fase SG-P.
Na fig.(4.11) temos o comportamento da magnetização em função do campo transverso
a T = 0 (estado fundamental). Observe que a figura apresenta somente a região próxima
do comportamento crítico, onde podemos visualizar o fato da magnetização aumentar a
partir do campo ω ' 0.838 e sofrer diminuição de intensidade no ponto ω = 1.0, que é o
ponto crítico da transição entre as fases SG e P. Esta análise feita a respeito da magnetização da fase vidro de spin é muito importante para explicar também o comportamento
da susceptibilidade da fase SG com presença do campo transverso.
Figura 4.9: Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para h = 0.01
e vários valores de campo ω ≤ 0.2.
O comportamento da susceptibilidade da fase vidro de spin será determininada a
85
Figura 4.10: Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para h = 0.01
e vários valores de campo ω ≥ 0.4.
Figura 4.11: Comportamento da magnetizaç ão em função do campo transverso para
T = 0 e h = 0.01.
86
partir das eqs.(4.16) e (4.27), tomado que
∂m
=
χm =
∂H
ZZ
∙
¸
∂m
∂q
A βJo
+ βJ (ξ + η)
+ β P (ξ, η) dξdη
∂H
∂H
(4.43)
e
∂q
=
χq =
∂H
ZZ µ
ξ+η
2
¶
∙
¸
∂q
∂m
A βJo
+ βJ (ξ + η)
+ β P (ξ, η) dξdη,
∂H
∂H
(4.44)
sendo que
∙
¶
µq
¶¸
µq
¢
¡ 2
¢
¡ 2
2
2 −3/2
2
2
2 1/2
2
2
2
2
k4 tanh
K + k4 + K K + k4
sec h
K + k4
A = K + k4
(4.45)
onde K é dado pela eq.(4.28).
Resolvendo o sistema de equações (4.43) e (4.44) obtemos os mesmos resultados apresentados no capítulo 3 através das eqs.(3.54) e (3.55), desta forma podemos obter os
gráficos da susceptibilidade a partir dos mesmos procedimentos realizados anteriormente,
só tomando o devido cuidado que agora a expressão para o termo A é dado pela eq.(4.45)
onde está presente o campo transverso.
Nas figs.(4.12), (4.13) e (4.14) temos os comportamentos da susceptibilidade em
função da temperatura na presença do campo transverso. Essas figuras também foram
obtidas tomando Jo /J = 0.2 com h = 0. Na fig.(4.12) podemos observar que a susceptibilidade em função da temperatura aumenta gradativamente com o aumento de pequenos
campos transversos a T = 0, isto ocorre devido que determinados spins da ordem SG
são desordenados pelo campo transverso, porém com a presença do campo h esses spins
podem ser reordenados na direção deste campo, então a magnetização na presença do
campo h 6= 0 será diferente da magnetização para o campo h = 0, o que acarreta um
∆m 6= 0 e desta forma χm 6= 0 em T = 0. Esse ∆m aumenta a medida que o campo ω
aumenta até que a fase mista seja destruída. Observe que a fase mista é caracterizada
pela divergência da susceptibilidade na temperatura crítica na transição de fase SG-M.
87
Aumentando ainda mais a temperatura observa-se uma cúspide na susceptibilidade caracterizando a transição de fase SG-P.
De acordo com a fig.(4.1), observamos que para ω = 0.1 o ponto Jo /J = 0.2 se encontra na transição entre as fases M e SG (onde m = 0 e q 6= 0), essa é a razão para não
mais observarmos a divergência da susceptibilidade (que indica a presença da fase mista)
quando ω = 0.1, sendo somente apresentada a cúspide da susceptibilidade na transição
de fase SG-P a partir desse valor do campo transverso (ω ≥ 0.1) como podemos observar
nas figs.(4.12) e (4.13). Quando ω = 0.2 , o ponto Jo /J = 0.2 está localizado na região
vidro de spin, e podemos ver na fig.(4.13) que a susceptibilidade assume um valor finito
em T = 0, que é uma das característica de materias que possuem ordem vidro de spin.
Na fig.(4.14) temos o comportamento da susceptibilidade para intensidades maiores do
campo ω. Observe que na fig.(4.13) a medida que a intensidade do campo transverso
aumenta a susceptibilidade a T = 0 diminui de valor, porém na fig.(4.14) podemos observar de novo um efeito contrário, pois a medida que o campo transverso aumenta a
susceptibilidade também aumenta. Isto ocorre porque a T = 0 para campos ω próximos
do campo crítico ω c = 1 a magnetização aumenta de intensidade na presença do campo
h mesmo que este campo seja pequeno, este fato pode ser observado na fig.(4.11). Desta
forma, o ∆m aumenta a medida que ω aumenta quando próximo de ωc , proporcionando
o aumento da susceptibilidade em T = 0. Em todas as figuras relacionadas ao comportamento da susceptibilidade, observamos que a temperatura crítica finita diminui a medida
que o campo transverso aumenta, o que indica a ação do campo transverso como agente
gerador de desordem do sistema magnético. A medida que esse sistema tem sua ordem
magnética atenuada em baixa temperatura, efeito realizado pelo campo transverso, será
necessário menos energia térmica para desordenar o sistema.
88
Figura 4.12: Comportamento da susceptibilidade como função da temperatura para pequenos valores do campo transverso.
Figura 4.13: Comportamento da susceptibilidade como função da temperatura para valores do campo transverso ω ≤ 0.2
89
Figura 4.14: Comportamento da susceptibilidade como função da temperatura para valores do campo transverso ω ≥ 0.8
4.3.2
Estudo da fase vidro de spin no estado fundamental: transição de fase quântica
Para baixa temperaturas temos que a transição entre as fases SG e P ocorre devido a
influência do campo transverso (efeito quântico). De acordo com a eq.(4.38) para T → 0
obtemos que ωc = 1. Isto nos informa que o campo transverso é o agente responsável
pela desordem do sistema em baixa temperatura. A partir da energia livre da fase SG
dada na eq.(4.31) tomando m = 0 e T → 0 obtemos
fo = q 2 −
´
1 ³p 2
4q + ω 2 + ω
2
(4.46)
onde fizemos J = 1 e fo = f /J. Agora vamos analisar os máximos e mínimos da função
fo em relação q. Desta forma teremos da eq.(4.46)
∂fo
2q
= 2q − p
∂q
4q 2 + ω2
90
(4.47)
√
cujas são q = 0 e q = ± 12 1 − ω2 . Destes valores obtemos os seguintes resultados a
partir da eq.(4.46)
e
fo (q = 0) = −ω
(4.48)
µ
¶
¢
1√
1¡
fo q = ±
1 − ω 2 = − ω2 + 2ω + 1 .
2
4
(4.49)
A eq.(4.49) indica o valor da energia mínina na fase SG, portanto temos duas soluções
de q que correspondem ao mesmo mínimo de energia. Este mínimo de energia é duplamente degenerado dentro da faixa de valores 0 ≤ ω < 1 (onde q é real). Para campos
que assumem intensidades ω ≥ 1 (valores maiores que o campo crítico), o mínimo de
energia será singleto com estado desordenado q = 0, que é o primeiro estado excitado.
Na fig.(4.15) são apresentados os comportamentos dos mínimos de energia em relação
ao parâmetro q. Perceba que para ω < ωc o mínimo da energia livre possui sempre
dois valores simétricos de q, porém para ω ≥ ωc o mínimo da energia é correspondente
somente ao valor q = 0.
Na fig.(4.16) temos os comportamentos das energias livre no estado fundamental e
do primeiro estado excitado (q = 0) em função do campo transverso. Nesta figura
observamos que para ω < ωc existe uma diferença entre as energias do estado fundamental
e do estado excitado, porém no ponto crítico do campo ω c = 1.0 essa diferença de energia
(gap) se anula. O comportamento do gap de energia é apresentado na fig.(4.17).
Os resultados aqui obtidos são iguais aos do capítulo 2 sobe o aspecto qualitativo,
pois novamente temos o fato de que a medida que o campo transverso aumenta o gap
de energia, citado anteriormente, irá diminuir. Isto faz com que os spins que geram a
ordem vidro de spin possam tunelar para o estado excitado em que q = 0, desta forma
diminuindo a ordem vidro de spin. Sendo que esse estado excitado possui energia devido
o campo transverso, de tal forma que todos os spins que migrarem para esses níveis de
energia ficam orientados na direção do campo transverso, pois não há energia térmica
para desordená-los, portanto nesse estado excitado a energia do campo transverso supera
91
Figura 4.15: Comportamento da energia livre em função do parâmetro de ordem q no
estado fundamental para v ários valores do campo transverso.
Figura 4.16: Comportamento da eneriga livre em função do campo transverso no estado
fundamental para as fases SG (estado dupleto) e P (estado singleto).
92
Figura 4.17: Comportamento do gap de energia em função do campo transverso no estado
fundamental entre os estado dupleto (SG) e singleto (P).
a energia de ligação aleatória entre os spins. Quando o sistema é submetido ao campo
crítico ω c = 1.0, o gap se anula e o único estado com mínimo de energia que o sistema
pode ocupar corresponde a q = 0, e então a ordem vidro de spin se anula ocorrendo a
transição de fase quântica. Para ω > ωc o gap de energia, entre o estado fundamental
e o primeiro estado excitado, não será mais nulo, mas o estado fundamental continua
sendo singleto com estado q = 0, o que garante a permanência da desordem do sistema
magnético.
É interessante observe que a magnetização na direção campo transverso no estado
fundamental (T = 0) e h = 0 é dada por
∂f
∂f
mx ≡ −
= −β
=
∂Ω
∂k4
Z Z
ω
p
P (ξ, η) dξdη
(jo m + q(ξ + η))2 + ω 2
93
para a distribuição bimodal
#
"
1
ω
1
2
p
mx =
+p
+p
4
(jo m + 2q)2 + ω 2
(jo m − 2q)2 + ω2
(jo m)2 + ω 2
no ponto crítico do campo temos que q ' 0 e ω = jo (ver eq.(4.36)), então obtemos
1
mx = √
.
m2 + 1
esta equação nos informa que a magnetização induzida pelo campo transverso depende
do magnetização do eixo fácil. Na faixa de valores de jo onde m = 0 obtemos mx = 1.
Então no campo crítico todos os spins estão reorientados na direção do campo transverso
na fase paramagnética (m = 0) no estado fundamental.
4.3.3
Distribuição gaussiana
Para a construção do diagrama de fases usando a densidade de probabilidade gaussiana, podemos verificar que a eq.(4.36) continua valendo para gerar a curva entre as
fases F e P, a eq.(4.38) é válida para determinar a curva de transição de fase entre SG e
P. Entre as fases SG e F devemos utilizar métodos numéricos de integração e cálculo de
raízes, usando as eqs.(4.32) e (4.33) e (4.34) e atribuindo as devidas características das
fases SG e F. Como vimos no capítulo 3 não há a presença da fase mista quando é usada
a distribuição gaussiana. Nas figs.(4.18) e (4.19) são apresentados os comportamentos
dos diagramas de fases para dois valores de campo transverso tomando h = 0. Os resultados qualitativos são os mesmos obtidos a partir da distribuição bimodal. Em todos os
cálculos e procedimentos numéricos realizados as variâncias usadas foram φ1 = φ2 = 1.
para qualquer valor do campo transverso a fase mista não está presente, e para ω ≥ 1 a
fases vidro de spin SG é destruídas, ficando somente apresentadas somente as fases F e
P, que é o mesmo resultado da fig.(4.5).
O comportamento do parâmetro de ordem q em em função de T /J para vários val-
94
Figura 4.18: Diagrama de fases no plano T /J versus Jo /J para distribuição gaussiana
com campo transverso ω = 0.4.
Figura 4.19: Diagrama de fases no plano T /J versus Jo /J para distribuição gaussiana
com campo transverso ω = 0.98.
95
ores do campo ω está mostrado na fig.(4.20), e é semelhante ao obtido pela densidade
bimodal como podemos observar na fig.(4.8). A medida que o campo transverso aumenta
o parâmetro de ordem vidro de spin diminui gradativamente e desaparece finalmente
para o campo ωc = 1. Na fig.(4.21) temos o comportamento da magnetização em função
da temperatura T /J para vários valores do campo ω e com a presença de um campo
h = 0.01, onde usamos jo = 0.2. Temos que a magnetização apresenta um valor constante em T = 0 para todos as intensidades usadas do campo transverso, diferente do
que acontece quando é tomada a distribuição bimodal. Este fato é explicado a partir dos
resultados obtidos no capítulo 3, pois da eq.(3.65) temos que os sistemas azuis (que possuem interações positivas entre os spins) e vermelhos (que possuem interações negativas
entre os spins) são compostos por subsistemas que apresentam interações aleatórias com
pesos diferentes, e o sistema é influenciado pela presença dos campos ω e h. Vimos que a
medida que aumentava o campo h o parâmetro q diminuia e a magnetização aumentava
em T = 0 (ver figs.(3.15) e (3.14)), por razões já explicada no capítulo 3 referentes a
essas figuras.
Neste caso, mantendo fixo o campo h e aumentando o campo transverso os sistemas
azul e vermelho cada vez mais ficam desordenados, porém o campo h tentará sempre
reorientar em sua direção os spins vermelhos e azuis de modo a magnetização fique
constante em T = 0. Isto é possível porque cada subsistema dos sistemas azul e vermelho
sentem de forma diferente (pois possuem interações aleatórias diferentes), a presença do
campo transverso e do campo h de direção do eixo fácil. A medida que o campo transverso
desordena spins que geram a ordem ferromagnética, o campo h consegue reordenar spins
de ordem vidro de spins, e com isso mantém a intensidade da magnetização constante
em T = 0.
Poderíamos imaginar que o fato da magnetização se manter constante em T = 0 a
medida que o campo transverso aumenta com h fixo, ocorresse somente devido a presença
do acoplamento ferromagnético que aqui corresponde a jo = 0.2, porém é interressante
mencionar que esta situação também ocorre para jo = 0.
96
Figura 4.20: Comportamento do parâmetro de ordem q em função da temperatura para
jo = 0.2, h = 0.01 e v ários valores do campo transverso
Figura 4.21: Comportamento da magnetizaç ão da fase vidro de spin em função da
temperatura para jo = 0.2, h = 0.01 e vários valores do campo transverso.
97
Na fig.(4.22) é apresentado o comportamento da susceptibilidade em função de T /J
para jo = 0.2 e alguns valores do campo transverso. Nesta figura observamos que a
susceptibilidade a T = 0 se mantém constante para todos os valores usados do campo
transverso, que é também uma situação diferente da aplicação da distribuição bimodal.
Isto ocorre pela mesma razão já mostrada na fig.(4.21) para a magnetização que se
mantém constante a T = 0 quando mantemos h fixo e variamos ω. Desta forma o
∆m = m(h 6= 0) − m(h = 0) se mantém constante ao longo da variação de ω. Observamos ainda na fig.(4.21) que a cúspide é localizada em temperatura crítica decrescente a medida que o campo transverso aumenta. Isto é compreendido pelo fato da
diminuiçãoda intensidade do parâmetro de ordem q (ver fig.(4.20)), com o aumento do
campo transverso, desaparecendo para ω ≥ 1 (campo crítico).
Figura 4.22: Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para jo = 0.2
e vários valores do campo transverso.
Os resultados obtidos no regime quântico para a distribuição gaussiana não são diferentes daqueles obtidos a partir da distribuição bimodal, sob o aspecto qualitativo. Na
fig.(4.23) é apresentado o comportamento da energia livre em função do parâmetro de
98
ordem q no estado fundamental (T = 0), onde percebemos a presença de dois valores de q
que possuem mínimo de energia livre na faixa de valores 0 ≤ ω < ωc , e que somente o estado q = 0 (estado desordenado-P) possui mínimo de energia para ω ≥ ω c . Na fig.(4.24)
temos o espectro do mínimo de energia em relação ao campo ω, para os casos do estado
fundamental duplamente degenerado e o estado singleto. É interessante observar que a
energia livre da fase SG usando a distribuição gaussiana em baixa temperatura é dado
por
Z
1
fo = q −
2π
2
∞
−∞
∙
¸
q
¢
1¡ 2
2
2
2
2
q (ξ + η) + ω exp − ξ + η
dξdη
2
−∞
Z
∞
(4.50)
a derivada de fo em relação a q será
∂fo
1
= 2q −
∂q
2π
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
as raízes da eq.(4.51) são:
q=0
2q (ξ + η)2
q
q2 (ξ + η)2 + ω 2
⇒
∙
¸
¢
1¡ 2
2
exp − ξ + η
2
(4.51)
fo = −ω
(4.52)
∙
¸
¢
1¡ 2
2
exp − ξ + η
=1
2
(4.53)
e ainda
1
4π
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
(ξ + η)2
q
q 2 (ξ + η)2 + ω 2
Da eq.(4.53) temos duas raízes de q que determinam mínimos da energia livre, porém
essas raízes só podem ser obtidas a partir de recursos numéricos (solução de equação integral), cujos resultados são apresentados na fig.(4.23) para cada valor do campo transverso
até o valor crítico deste campo. Aqui temos um problema para gerar a curva do estado
fundamental duplamente degerado da fig.(4.24), pois não temos, de forma analítica, como
retornar com o valor de q para eq.(4.50), então é necessário utilizar método numérico para
encontrar raíz da eq.(4.53) para cada valor de ω e depois ser aplicado na eq.(4.50).
A magnetização na direção campo transverso para esta destribuição de probabilidade
99
Figura 4.23: Comportamento da energia livre em função do parâmetro de ordem q usando
distribuição gaussiana para vários valores do campo transverso.
Figura 4.24: Comportamento da energia livre em função do campo transverso usando
distribuição bimodal.
100
em T = 0 e h = 0 é dado por
1
mx =
2π
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
¶¸
µ
∙
ω
1 ξ2
η2
p
dξdη
exp −
+
2 φ21 φ22
(jo m + q(ξ + η))2 + ω2
de onde obtemos os mesmos resultados obtidos na distribuição bimodal.
4.4
Conclusão
Neste capítulo foi apresentado o comportamento da fase vidro de spin na presença
do campo transverso. Para fazer este estudo foi usado o modelo de van Hemmen com
a introdução do campo transverso (Ω). Vimos como o campo transverso proporciona a
diminuição da temperatura crítica na transição entre as fases SG e P, pois esse campo
gera desordem no sistema magnético em baixa temperaturas (T = 0). Fato esse que
também já era observado no capítulo 2 na desordem do sistema ferromagnético devido
a presença do campo transverso. Porém, a partir deste modelo podemos fazer mais
investigações relacionados a destruição da ordem vidro de spin quando submetido a Ω.
Para fazer o tratamento do modelo foram utilizados duas densidades de probabilidades a
bimodal e a gaussiana. Cada uma dessas densidades apresentam particularidades quanto
aos resultados relacionados a estabilidade da fase vidro de spin.
Por exemplo, os resultados relacionados com a susceptibilidade da fase SG apresentam
comportamentos qualitativos bem distintos quanto ao uso dessas densidades de probalidades. No caso da distribuição bimodal foi observado, num primeiro momento, a partir
da fig.(4.12), o comportamento da susceptibilidade da fase mista, onde para T = 0 observamos que a susceptibilidade aumentava com pequenos campo transverso, pois agora
a magnetização é alterada pelos campos Ω e H, sendo que este H é o campo de direção
do eixo fácil do sistema magnético. Após a fase mista ser destruída pelo campo Ω, a susceptibilidade existente é referente a fase vidro de spin (ver fig.(4.13)), onde percebemos
que a medida que o campo transverso aumenta essa susceptibilidade dimininui, devido a
magnetização a campo H 6= 0 também diminuir (ver fig.(4.9) e fig.( 4.10) ), o que acarreta
101
uma diminuição no ∆m = m(H 6= 0)−m(H = 0), que é responsável pela determinação da
susceptibilidade. Porém esta situação deixa de acontecer para altos campos transverso,
ou seja, a susceptibilidade aumenta junto com o campo transverso (ver fig.(4.14)), isto
ocorre porque a magnetização aumenta também para esses altos campos (ver fig.(4.11)),
aumentando ∆m. Já no caso da distribuição gaussisana, a susceptibilidade se mantém
constante a medida que o campo ω = Ω/J varia em T = 0 (ver fig.(4.22)). Isto pode ser
explicado pelo fato da magnetização não variar com o campo ω em T = 0 (ver fig.(4.21).
Verificamos a existência de dois campos críticos para o caso da distribuição bimodal,
o primeiro é relacionado com a destruição da fase mista e corresponde a ω 1c ' 0.42 (este
campo crítico acaba com a ordem ferromagnética da fase mista), o segundo campo crítico
é responsável pela destruição da ordem vidro de spins (esse campo é igual a ω 2c = 1.0).
Este último campo crítico é o mesmo obtido para as duas densidades de probabilidades.
A transição entre as fases SG e P no regime quântico (T = 0) ocorre devido a influência
do campo transverso. Da eq.(4.38) para T → 0 obtemos que ω = 1, o que indica que o
campo transverso é o agente responsável pela desordem do sistema em baixa temperatura.
Obervamos nas figs.(4.15) e (4.23) para os casos das densidades bimodal e gausssiana,
respectivamente, os comportamentos da energia livre em relação ao parâmetro de ordem q
da fase vidro de spin. Nessas figuras temos que para a faixa de valores do campo 0 ≤ ω < 1
o estado fundamental apresenta dois valores de q com mínimo de energia livre, portanto
o estado fundamental é duplamente degenerado (dupleto). Porém para campos ω ≥ 1 o
estado fundamental é singleto e desordenado, pois o estado de mínimo energia corresponde
a q = 0. Na fig.(4.17) temos o comportamento do gap de energia, entre as energias do
estado fundamental dupleto e o primeiro estado excitado em relação ao campo transverso,
onde observamos que a medida que o campo transverso aumenta esse gap de energia
diminui, permitindo que os spins geradores de ordem vidro de spin possam tunelar para
o nível de energia singleto onde o único estado corresponde a q = 0. Este tunelamento
termina quando o campo crítico (ω = 1) é atingido e o gap de energia se anula e todos
os spins estão reorientados na direção do campo transverso. Para campos transversos
102
maiores que o campo crítico (ω > 1), o gap de energia entre o estado fundamental (agora
singleto e sem ordem vidro de spin) e o primeiro estado excitado deixa de ser nulo e
nenhum spin pode mais tunelar.
103
Referências
[1] Goldschmidt, Y.Y. e Lai, P.Y. Phys. Rev. Lett., 21, 2467, (1990).
[2] Wu, W., Bitko D., Rosenbaum, T.F., e Aeppli G., Phys. Rev. Lett., 67, 2076, (1991).
[3] Usadel, K.D., Sol. State Comm., 58, 629, (1986).
[4] Kopec, T.K. e Pirc, R., Phys. Rev. B, 55, 5623, (1997).
[5] Boechat, B., dos Santos R.R. e Continentino M.A., Phys. Rev. B, 49, 6604 (1994).
104
Capítulo 5
Considerações finais
O modelo de van Hemmen é bastante eficiente para descrever as propriedades estáticas de materiais vidro de spin. Como vimos neste trabalho, no capítulo 3, a magnetização
em função da temperatura reproduz resultados qualitativos corretos quando comparados
com os resultados experimentais citados nesse capítulo, como por exemplo, o aumento da
magnetização quando o sistema se aproxima da temperatura crítica na transição SG-P.
A curva apresentada no plano m-h possui um formato característico da curva de histerese
obtido experimentalmente por referências citadas no capítulo 3, apesar deste resultado
não reproduzir o conceito da metaestabilidade, ou seja, de o material possuir memória,
como se observa experimentalmente. Outro resultado interessante do modelo VH está
relacionado com a susceptibilidade da fase vidro de spin, pois é obtida uma susceptibilidade finita para T = 0 e ainda uma cúspide da susceptibilidade na temperatura crítica na
transição de fase SG-P, o que é uma característica de materiais vidro de spin. O grande
mérito deste modelo se deve ao fato do processo matemático utilizado ser mais simples
quando comparado com o modelo de Sherrington e Kirkpartrick e a solução de Parisi.
O modelo VH não descreve um vidro de spin no sentido mais completo e real, haja
visto que o mesmo não respeita o fato de que o número de estados metaestáveis seja
crescente com o número de sítios, levando assim ao fenômeno da histerese que está associado a metaestabilidade do sistema, discutido por Choy e Sherrington (1984). Esta
105
imperfeição do modelo VH ocorre pois o mesmo só apresenta um parâmetro de ordem de
vidro de spin, o que não é real. Na realidade existem vários parâmetros de ordem q(x),
onde 0 < x ≤ 1 como propõe Parisi, de tal forma que no estado fundamental existem
vários parâmetros de ordem vidro de spin com mínimos de energia.
O resultado obtido no capítulo 4 para o diagrama de fases no plano da temperatura
crítica em função do campo transverso, qualitativamente não é um bom resultado quando
comparado com aquele obtido experimentalmente por Wu , Bitko, Rosenbaum e Aeppli (
ver fig.(4.6) e ref.[2] do capítulo 4). Acreditamos que em trabalhos futuros os resultados
teóricos podem se aproximar daqueles obtidos experimentalmente, se adicionarmos no
Hamiltoniano dado na eq.(4.1) o fator relacionado a anisotropia, onde este termo seja
também aleatório. Então o Hamiltoniano a ser trabalhado será
HN = −
X
X
X
Jo X z z X
σi σj −
Jij σ zi σ zj − H
σ zi − Ω σ xi −
Di (σ zi )2
N i6=j
i
i
i
i6=j
onde σ zi = 0, ±1, tendo em vista que com aumento da anisotropia ocorre diminuição
da temperatura crítica do sistema na transição SG-P, como podemos verificar no trabalho feito por dos Santos, M. A (ver ref.[9] do capítulo 3). Contudo, acreditamos que
este trabalho possui o mérito de demonstrar a influência do campo transverso num sistema magnético (vidro de spin e ferromagnético), a partir de soluções matemáticas não
complicadas, o que é um estímulo para ser utilizado neste e em outros trabalhos futuros.
106
Apêndice A
Análise dos parâmetros vidro de spin
Num sistema diluído não calculamos apenas a média termodinâmica, mas também
levamos em conta a probabilidade de um sítio estar ou não ocupado, ou ainda se existe
ou não ligação entre os sítios. Na realidade precisamos também calcular uma média
configuracional, que denotaremos por h. . .iC , tal que:
h· · · iC =
X
Pi (· · · )
(1.1)
i
onde Pi representa a distribuição de probabilidade relacionada à diluição do sistema. A
magnetização, por exemplo, passa a ser determinada por:
M=
X
Pi hσ i iT = hhσ i iT iC
(1.2)
i
onde o termo hσ i iT significa a média térmica dos spins. Num vidro de spin puro temos
que M = 0, ou seja, a orientação dos spins do sistema está totalmente aleatória. O
parâmetro de ordem q está para um vidro de spin, assim como a magnetização m esta
para um ferromagneto. A aleatoriedade inerente aos spins num vidro de spin é introduzida
através de uma função aleatória, essa função dá uma característica diferente aos spins
submetidas a ela, e que precisa ser levada em consideração durante o procedimento de
107
cálculo. No modelo de van Hemmen a aleatoriedade é dada a partir do seguinte termo
de interação, ou seja
Jij =
¢
J ¡
ξ iηj + ξ j ηi
N
(1.3)
No Hamiltoniano da eq.(3.1) com a introdução deste termo passa apresentar novas
variáveis de spins, ou seja, ξ i σ i e η i σ i , submetidas a densidades de probabilidades P (ξ, η).
Os parâmetros de ordem vidro de spin por sítio são assim definido neste modelo por
q1 =
1
1X
hξ i hσ i iT iC =
Pi ξ i hσ i iT
N
N i
(1.4)
q2 =
1
1X
hη i hσ i iT iC =
Pi η i hσ i iT
N
N i
(1.5)
e
já que temos duas variáveis aleatórias.
No contexto termodinâmico estamos interessados em encontrar a energia livre por
partícula como sendo mínima, isto só é possível se os parâmetros de ordem vidro de spin
tiverem a seguinte relação q1 = q2 . Para provar esta questão vamos tomar a seguinte
expressão:
(q1 + q2 )2
q1 q2 ≤
4
(1.6)
onde a igualdade só acontece se e somente se q1 = q2 . Da eq.(3.15) temos que
∙
¸
Z Z
1 1
2
k1 m + k2 q1 q2 −
ln (2 cosh (K)) P (ξ, η) dξdη
f=
β 2
aplicando a eq.(A.6) teremos que
"
#
Z Z
2
(q
+
q
)
1 1
1
2
f≥
k1 m2 + k2
−
ln (2 cosh (K)) P (ξ, η) dξdη
β 2
4
(1.7)
para o caso em que q1 6= q2 a energia livre aumenta devido o aumento do segundo termo
108
da expressão acima, desta forma
f (q1 6= q2 ) > f (q1 = q2 )
(1.8)
Além disso como interação aleatória tem a forma dada na eq. (A.3), de modo que
pocedermos a troca das variáveis aleátorias ξ ¿ η e o Hamiltoniano da eq.(3.1) permanece
o mesmo, isto mostra que as funções termodinâmicas e os parâmetros de ordem não
devem mudar quando submetidos a esta troca das variáveis aleatórias, logo podemos
tomar q1 = q2 sem problemas.
Provamos através da energia livre e argumento de simetria, que no modelo de van
Hemmen temos um único parâmetro de ordem da fase vidro de spin, e isto leva como
consequência a não descrição da metaestabilidade em baixa temperaturas, que segundo
Parisi é apenas descrito quando temos um número grande de parâmetro de ordem q(x)
(onde x é contínuo e pertence ao intervalo de 0 a 1), e que é refletido nos vários mínimos de energia livre. Experimentalmente, observa-se na fase vidro de spin de compostos
magnéticos o fenômeno da histerese nas grandezas termodinâmicas, por exemplo, a susceptibilidade linear, que é explicado fisicamente pela presença dos vários mínimos na
energia livre e teroricamente está associado ao conjunto de parâmetros de ordem vidro
de spin.
109
Apêndice B
Análise de transições de fase
No modelo de van Hemmen obtemos alguns resultados que apresentam comportamentos matemáticos não desejáveis. Então é necessário fazer alguns procedimentos, a fim de
que sejam apresentados resultados que não contrariem a intuição física. Inicialmente, vamos verificar como foi obtido a fig.(3.3), perceba que nesta figura é apresentado um salto
da magnetização, na realidade foi feito um corte na curva no ponto do campo crítico.
A figura original obtida pelos procedimentos numéricos é dada pela fig.(B.1).Veja que
na fig.(B.1) a curva da magnetização não corresponde ao resultado esperado fisicamente.
Para eliminarmos esse problema devemos dar um corte na curva, porém esse corte deve
ser feito no ponto do ponto crítico, agora a questão como determinar o ponto crítico? O
ponto crítico é obtido a partir da igualdade das energias livres de cada fase, neste caso
das fases vidro de spin e paramagnética a campo não nulo. Na fig.(B.2) e em maiores detalhes na fig.(B.3) são apresentados os comportamentos das energias livres de cada uma
dessas fases, assim bem como também é mostrado o ponto do campo crítico. Na fig.(B.3)
temos que a energia da fase SG fica flutuando em torno do ponto crítico, porém o ponto
que queremos é aquele que está relacionado com o primeiro encontro das energias livres
em questão. Pois bem, apartir dessa análise gráfica podemos obter o gráfico mostrado
na fig.(3.3).
A fig.(3.4) e todas as outras figuras que apresentam um corte na curva no ponto
110
Figura 2.1: Comportamento da magnetização da fase vidro de spin na presença de campo
externo h para T /J = 0.6 e Jo /J = 0.2.
de transição de fase, também foram obtidas a partir do procedimento da igualdade das
energias livres das fases tomados no caso. Só para fins de ilustração vamos mostrar o comportamento original obtido do parâmetro q em relação ao campo h na fig.(B.4).Observe
que na curva que representa o comportamento do parâmetro q em relação ao campo é
também apresentada uma instabilidade sob o ponto de vista físico. A transição de fase é
de segunda ordem, pois não observamos nenhuma variação significativa da energia interna
na temperatura crítica, como podemos observar na fig.(B.5), que apresenta também em
maiores detalhes a curva da energia interna, e portanto não há calor latente o que caracteriza uma transição de fase de primeira ordem de acordo. A fig.(B.5) é obtida a partir
dos parâmetros Jo /J = 0.2 e h = 0.338, lembrando que para este campo a temperatura
crítica é T /J ' 0.6.
111
Figura 2.2: Energia livre da fase vidro de spin (fSG ) e da fase paramagnética (fP )
variando com o campo externo h. Sendo indicado o campo crítico da transição de fase
na igualdade das energias.
112
Figura 2.3: Maiores detalhes do ponto de transição de fase. Pode-se observar uma
flutuação da energia da fase SG em torno do ponto crítico do campo que aqui é melhor
apresentado.
Figura 2.4: Comportamento do parâmetro de ordem vidro de spin em relação ao campo
externo para T /J = 0.6 e Jo /J = 0.2.
113
Figura 2.5: Comportamento da energia interna da fase vidro de spin em função da
temperatura para o campo externo h = 0.338. No ponto de transição de fase T /J = 0.6
não existe variação da energia interna.
114
Apêndice C
Procedimentos numéricos
Os resultados gráficos apresentadas neste trabalho, foram obtidos a partir da utilização de procedimentos numéricos, com o método de Newton-Raphson para soluções de
sistema de equações não lineares e o método da Integração por Quadratura Gaussiana.
Além é claro de uma linguagem de programação, no caso deste trabalho foi utilizada o
fortran. Vamos então fazer uma pequena abordagem da forma como foram utilizados
estes métodos numéricos neste trabalho.
3.1
Método de Newton-Raphson
Do capítulo 2, a fig.(2.2) é obtida a partir da eq.(2.15) que é uma equação autoconsistente. Desta forma para encontrarmos o valor da magnetização para cada temperatura é
necessário transformar essa equação numa equação homogênea, que é dada pela eq.(C.1)
¶
µ q
q
2
2
F (m, Ω/J, β) = m2 + (Ω/J) − tanh βJ m2 + (Ω/J) = 0
(3.1)
O processo a ser realizado é determinar raíz m da função F para cada cada valor de T
e Ω/J. Para isto podemos o usar o método de de Newton Raphson, que neste caso é
115
expresso por
mn+1 = mn −
F (mn , Ω/J, β)
F 0 (mn , Ω/J, β)
(3.2)
onde mn é um valor inicial para a magnetização, o processo iterativo termina quando a
função F for satisfeita dentro de um dado erro E (no caso E = 10−6 ). As vezes a maior
dificuldade é encontrar um valor inicial mn , por outro lado a partir de conhecimento físico,
como por exemplo, para baixa temperatura a magnetização de um sistema ferromagnético
é m = 1, isto já uma condição inicial que satisfaz a função F , e a partir daí a medida
que T varia as ráizes m são obtidas mais rapidamente.
Não vamos nos aprofundar a respeito do método, caso o leitor queira se informar mais
ver as refs. [1, 2] que apresentam uma excelente explanação sobre esse assunto, assim
como para outros métodos numéricos. Este método em relação a outros que resolvem
equções não lineares, é o mais eficiente pois converge rapidamente para a solução, ou
seja, precisa de um menor número de iterações realizada na eq.(C.2).
No capítulo 3, a fig.(3.1) para ser obtida foi utilizado o método de Newton-Raphson
para resolver sistema de equações não lineares. Por exemplo, a curva de transição entre
as fases ferromagnética e vidro de spin, tivemos de usar as eqs.(3.38), (3.39), (3.40) e
(3.41). Tomando que na transição de fase as energias livres destas fases devem ser iguais
fF = fSG , ou seja, F1 (m, q, jo , t) = fF − fSG = 0 para cada valor de t = T /J, teremos
que encontrar raízes m, jo e q que satisfaçam a função F1 . Para isto é necessário três
equações dadas a seguir:
∙
µ
¶¸
∙
µ ¶¸
jo m
1
2q
(jo m2 − q2 )
− ln 2 cosh
+ ln 4 cosh
=0
F1 (m, q, jo , t) =
2t
t
2
t
µ
¶
jo m
F2 (m, jo , t) = m − tanh
=0
t
µ ¶
2q
1
=0
F3 (q, t) = q − tanh
2
t
(3.3)
(3.4)
(3.5)
a partir dessas equações as iterações para cada incognita são dadas pelas seguintes ex-
116
pressões a seguir:
Dm
DJ
mn+1 = mn +
qn+1 = qn +
Dq
DJ
jon+1 = jon +
sendo
(3.6)
(3.7)
Djo
DJ
(3.8)
¯
¯
¯
∂F1 ¯
1
¯
¯ −F1 ∂F
∂q
∂jo ¯
¯
¯
∂F2 ¯
2
Dm = ¯ −F2 ∂F
¯
∂q
∂jo ¯
¯
¯
∂F3 ¯¯
3
¯ −F3 ∂F
∂q
∂jo
¯
¯
¯ ∂F1
¯
1
¯ ∂m −F1 ∂F
¯
∂jo
¯
¯
¯ 2
∂F2 ¯
Dq = ¯ ∂F
−F2 ∂jo ¯
¯ ∂m
¯
¯ ∂F3
¯
∂F
3
¯ ∂m −F3 ∂jo ¯
¯
¯
¯ ∂F1 ∂F1
¯
¯ ∂m ∂q −F1 ¯
¯
¯
¯ 2 ∂F2
¯
Djo = ¯ ∂F
−F2 ¯
¯ ∂m ∂q
¯
¯ ∂F3 ∂F3
¯
¯ ∂m ∂q −F3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
DJ = ¯
¯
¯
¯
∂F1
∂m
∂F1
∂q
∂F1
∂jo
∂F2
∂m
∂F2
∂q
∂F2
∂jo
∂F3
∂m
∂F3
∂q
∂F3
∂jo
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
tal que F1 = F1 (mn , qn , jon , t), F2 = F2 (mn , jon , t) e F3 = F3 (qn , t). E ainda o último determinante é conhecido como jacobiano. Este método apresenta um grande problema de
divergência, a medida que o valores iniciais tomados se distanciam das soluções. Então é
necessário encontrar uma forma de obter esses valores iniciais para essas grandezas. Existe softeware que pode resolver esse problema, como o Maple, que apresenta ferramenta
para determinar soluções de equações não lineares, utilizando o comando fsolve.
Neste trabalho foi usado a distribuição de probabilidade gaussiana, o que acarreta a
necessidade de resolver integrais. Então usamos o método da quadratura gaussiana para
117
resolver este problema. Este método proposto por Gauss, consiste em fazer a seguinte
transformação:
I=
Z
b
f (x)dx =
a
Z
1
F (w)dw
(3.13)
−1
tal que foi feito a seguinte mudança de variável
1
1
x = (b − a)w + (b + a)
2
2
(3.14)
∙
¸
1
1
1
F (w) = (b − a) f (b − a)w + (b + a)
2
2
2
(3.15)
desta forma obtemos
para esses dois pontos obtemos
I = A0 F (w0 ) + A1 F (w1 )
(3.16)
onde Ao , A1 , wo e w1 são incognitas a serem determinadas e independem da função f (x)
escolhida. A fórmula geral para a quadratura gaussiana, ou seja, a fórmula para n pontos,
é baseada em propriedades dos polinômios de Legendre dada por:
I=
Z
1
−1
n−1
X
F (w)dw =
Ai F (wi )
(3.17)
i=0
onde Ai corresponde a um peso da função F (wi ) e {wi } as raízes do polinômio de Legendre. O polinômio de Legendre é representado pela seguinte somatória
Pn (w) =
m
X
k=0
(2n − 2k)!
wn−2k
− 2k)!(n − k)!
2n k!(n
(3.18)
sendo que m = n/2 se n for par ou m = (n − 1)/2 se n for ímpar, caso o leitor deseje mais
informação sobre este polinômio consultar ref. [3]. Podemos obter todas as raízes deste
polonômio usando o método de Newton- Raphson junto com o método da divisão sintética
118
[1] para redução do grau do polinômio. Este último método consiste em determinar o
valor do polinômio para um valor dado da variável da qual é função o polinômio. Por
exemplo, seja o polinômio a seguir
P (w) = a3 w3 + a2 w2 + a1 w + a0
(3.19)
vamos calcular P (x) para wn , para isto é usada o seguinte procedimento:
b3 = a3
(3.20)
b2 = a2 + a3 wn = a2 + b3 wn
(3.21)
b1 = a1 + a2 wn + a3 x2n = a1 + b2 wn
(3.22)
b0 = a0 + a1 wn + a2 wn2 + a3 wn3 = a0 + b1 wn
(3.23)
tal que b0 é o valor do polinônio para wn . Se o polinômio for de grau m então cada termo
é obtido a partir da seguinte expressão
bi = ai + bi+1 wn ,
i = (m − 1)(m − 2), . . . , 3., 2, 1, 0
(3.24)
Ao aplicar o método de Newton em busca da raíz de P (w), a derivada no ponto wn é
determinada aplicando a divisão sintética no polinômio reduzido de um grau, cujo os
coeficientes são os termos bm , bm−1 , bm−2 , . . ., b1 . O último termo obtido é o resultado
da derivada do polinômio no ponto. Quando for encontrada a primeira raiz w já obtemos
imediamente os coeficientes do polinômio reduzido de um grau.
Após determinarmos as raízes do polinômio de Legendre, podemos determinar os
coeficientes da série de Legendre na eq.(C.17), da seguinte forma:
Ai =
2
(1 −
wi2 ) Pn0 (wi )2
(3.25)
Se tivermos o caso integral dupla, tripla, etc. Podemos verificar, por exemplo, para o
119
caso da integral dupla que obtemos
I=
Z bZ
a
d
f (x, y)dxdy =
c
Z
1
−1
Z
1
F (w, v)dwdv
(3.26)
−1
sendo que agora
1
1
(b − a)w + (b + a)
2
2
1
1
y =
(d − c)v + (d + c)
2
2
1
(b − a)(d − c) f (x, y)
F (w, v) =
4
x =
(3.27)
(3.28)
(3.29)
como sempre são as mesmas raízes do polinômio de Legendre de grau n, e também os
coefecientes obtidos para a série de Legendre, então as raízes wi = vi para as soluções
das integrais da eq.(C.27), desta forma obtemos
I=
Z
1
[A0 F (w0 , v) + A1 F (w1 , v) + A2 F (w2 , v) + . . . + An F (wn , v)] dv
(3.30)
−1
e ainda
I = A0 [A0 F (w0 , v0 ) + A1 F (w0 , v1 ) + A2 F (w0 , v2 ) + . . . + An F (w0 , vn )] +
A1 [A0 F (w1 , v0 ) + A1 F (w1 , v1 ) + A2 F (w1 , v2 ) + . . . + An F (w1 , vn )] +
A2 [A0 F (w2 , v0 ) + A1 F (w2 , v1 ) + A2 F (w2 , v2 ) + . . . + An F (w2 , vn )] + · · · +
An [A0 F (wn , v0 ) + A1 F (wn , v1 ) + A2 F (wn , v2 ) + . . . + An F (wn , vn )]
(3.31)
podemos resumir esse processo pela seguinte expressão
n−1
n−1 X
X
Ai Aj F (wi , vj )
I=
(3.32)
i=0 j=0
a partir desta mesma linha de raciocínio podemos obter uma expressão geral para m
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integrais, dada a seguir
I =
I =
Z
b1
Z
b2
...
Z
bm
f (x1 , x2 , . . . , xm )dx1 dx2 · · · dxm
a1
a2
am
n−1
n−1
n−1
n−1
XXX
X
...
i1=0 i2=0 i3=0
Ai1 Ai2 . . . Aim F (wi1 , wi2 , . . . , wim )
(3.33)
(3.34)
im=0
onde
1
1
xk = (bk − ak )wk + (bk + ak ) ,
2
2
121
k = 1, 2, 3, . . . , m
(3.35)
Referências
[1] Stark, P.A., “Introdução aos Métodos Numéricos”, Tradução: Carvalho J. P., Ed.
Interciência, (1984).
[2] Barroso, L.C., Barroso, M.M., Campos, F.F., Carvalho, M.L., Maia, M.L.,“Cálculo
Numérico”, Ed. Harba, (1987).
[3] Butkov, E., “Física Matemática”, Tradução Bosco, J., Ed. Guanabara, (1988).
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