Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Física
Exame Geral de Doutorado
Segundo Semestre de 2008
Mecânica Quântica
07/08/2008 – 09:00 às 12:00 h
(Escolha três dentre as quatro questões)
Exame Geral de Doutorado
Mecânica Quântica
1
Questão 1: Átomo de Hidrogênio; Estrutura Fina
O átomo do tipo do hidrogênio corresponde a um elétron, de massa m e carga −e, e
um núcleo com carga +Ze e massa M , interagindo segundo a lei de Coulomb. Considere
M À m e as duas partículas sem spin.
a) (40%) No modelo de Bohr, os estados estacionários do hidrogênio são postulados como
órbitas circulares com momento angular quantizado (L = n~, n = 1, 2, 3, . . .). Obtenha
as expressões para a quantização dos raios das órbitas e das energias eletrônicas do
átomo de Bohr.
b) (60%) Quando é resolvida em coordenadas esféricas, a equação de Schrödinger para o
átomo de hidrogênio Z = 1 sem spin tem soluções na forma
Ψnlm = Rnl (r)Ylm (θ,φ),
com autovalores de energia
En = −
2
1
e2
2α
=
−m
c
.
e
4πɛ0 2a0 n2
2n
As expressões para algumas destas funções encontram-se no formulário. Quando a
interação spin-órbita é levada em conta, uma correção do tipo
VSO (r) = −
e2 1
L·S
2me c2 r3
surge para o potencial. Escolha uma base apropriada (justifique sua escolha) e aplique
teoria da perturbação em primeira ordem para obter os níveis de energia, quando
n = 2.
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Mecânica Quântica
2
Questão 2: Fundamentos da Mecânica Quântica: Matriz Densidade
Uma base ortonormal para representar estados de partículas com spin 1 é a base {| + 1i,
|0i,|−1i}, autoestados da projeção +1, 0, −1 do spin na direção z, respectivamente. Partículas
de spin 1 podem ser preparadas em estados quânticos puros ou em misturas estatísticas.
a) (40%) Considere partículas preparadas no estado puro, normalizado, especificado por:
|Ψi = a| + 1i + b| − 1i.
Escreva de forma explícita, na base dada, a matriz densidade ρ̂ que descreve estas
partículas.
b) (40%) Verifique a propriedade de idempotência da matriz ρ̂ do item (a). Como deve ser
escrita esta matriz, caso escolhamos uma outra base ortonormal, formada pelos vetores
|Ψi, |ηi e |ξi, com |ηi e |ξi quaisquer, completando a base? Qual a interpretação física
da idempotência de ρ?
c) (20%) A entropia de von Neumann é definida por S = −kTr[ρ̂ ln ρ̂]. Quanto vale esta
grandeza para os casos descritos nos item (a) e no item (b)?
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Questão 3: Equação de Schrödinger Unidimensional
Partículas de massa m e energia E incidem sobre um potencial do tipo barreira quadrada,
conforme a figura abaixo.
a) (40%) Encontre a solução da equação de Schrödinger de uma destas partículas quando
E > V0 . Ache a função de onda para todo o espaço −∞ < x < ∞, considerando que a
onda incide de x = −∞ com amplitude A.
b) (30%) Determine as expressões da corrente de probabilidade para as partículas incidentes, refletidas e transmitidas pela barreira. Obtenha o coeficiente de transmissão da
barreira.
c) (30%) Considere que um feixe de partículas, com valores bem definidos de energia e
massa m = 1,0 × 10−30 kg, é lançado sobre uma barreira, de largura a = 0,5 nm, e que
são feitas medições da taxa de partículas refletidas. As medidas determinam que a
menor energia que apresenta taxa nula para a reflexão vale E = 0,5 eV. Qual a altura
da barreira V0 ? Compare o resultado com o caso do tratamento clássico do problema.
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Questão 4: Partículas Idênticas: Sistemas de Dois Elétrons.
Seja um sistema quântico de duas partículas com spin, cujo operador hamiltoniano comuta com os operadores de spin, de forma que a equação de Schrödinger é separável. As
autofunções do sistema podem ser representadas por combinações de produtos de autofunções de uma partícula Ψn1 (xi ) = ϕn (xi )χms (i), onde ϕn (x) é autofunção da energia com
autovalor En e χms é autofunção de spin.
Ψ=
X
C(n1 ,n2 ,m s1 ,m s2 )ϕn1 (x1 )ϕn2 (x2 )χms1 (1)χms2 (2).
n1 ,n2 ,m s1 ,m s2
a) (30%) As partículas passam a interagir fracamente, com um potencial atrativo V(x1 ,x2 ).
Como é modificada a energia dos estados com En1 ,n2 ? Use perturbação em primeira
ordem e expresse a resposta em termos das integrais:
Z
e
Z
I = dx1 dx2 |Ψn1 (x1 )|2 |Ψn2 (x2 )|2 V(x1 ,x2 ),
Z
Z
J = dx1 dx2 Ψn1 (x1 )Ψn2 (x2 )Ψ∗n1 (x1 )Ψ∗n2 (x2 )V(x1 ,x2 ).
b) (30%) Considere que as partículas são idênticas e despreze as interações. Explique
como o postulado de simetrização na troca de partículas idênticas determina a forma
das autofunções que compõem Ψ, no caso de bósons e de férmions. Se o spin de cada
partícula vale 1, qual a degenerescência dos autoestados de energia? Atente para os
casos n1 = n2 e n1 6= n2 .
c) (40%) Considere que as partículas são elétrons, férmions de spin 1 ⁄2 . Escreva explicitamente, usando ϕ e χ, a forma das autofunções de energia e de spin dos dois elétrons. Se
o spin total vale 1, qual a expressão da densidade de probabilidade de encontrarmos
os elétrons em x1 e x2 ?
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Formulário
−
~2 2
1 Ze2
∇ Ψnlm (r) −
Ψnlm (r) = Enlm Ψnlm (r)
2me
4πɛ0 r
a0 =
4πɛ0 ~2
~
=
,
2
me e
me cα
~ = 1,054 × 10−34 J · s,
µ
R10 (r) =
Z
a0
¶3/2
µ
2e
−Zr/a0
,
R20 (r) =
Z
2a0
R21 (r) =
m
Yl,−m (θ,φ) = (−1) Yl,m (θ,φ),
Y20 =
Ψnlm (r) = Rnl (r)Ylm (θ,φ)
1 e2
1
≈
4πɛ0 ~c
137
me = 9,109 × 10−31 kg,
1 eV = 1,609 × 10−19 J.
µ
r
α=
∴
Y00
Y21 = −
¶3/2
(2 − Zr/a0 )e−Zr/2a0 ,
Zr
√ e−Zr/2a0 .
3a0
r
1
=√ ,
4π
r
5 3 cos2 θ − 1
,
4π
2
¶3/2
Z
2a0
c = 2,998 × 108 m/s,
Y10 =
r
3
cos θ,
4π
15
sen θ cos θ eiφ ,
8π
Y22
Y11 = −
1
=
4
r
15
sen2 θ e2iφ ,
2π
∞ X
l
X
r<l
1
1
Y ∗ (θ0 ,φ0 )Ylm (θ,φ).
=
4π
l+1 lm
|r − r0 |
2l
+
1
r
>
l=0 m=−l
Z
hr i =
k
∞
dr r2+k [Rnl (r)]2 ,
0
hri =
D1E
r
a0
[3n2 − l(l + 1)],
2Z
Z
= 2 ,
n a0
D1E
r2
hr2 i =
Z2
= 3 2
,
n a0 (l + 12 )
a20 n2 2
[5n + 1 − 3l(l + 1)],
2Z 2
D1E
r3
=
3
sen θ eiφ ,
8π
Z3
1
3 3
a0 n l(l + 12 )(l + 1)