Projeto de Iniciação Cientifica: •Simulação e Modelagem de sistemas Dinâmicos Prof. : Coordenador do Projeto: •Prof. Dr. Sérgio Luiz Garavelli Prof. Orientador do Projeto: •Prof. Dr. Paulo Eduardo de Brito Aluno Pesquisador e Apresentador: • Rodrigo Alves Dias Motivação: •Estudo de Propriedades Magnéticas. •Exemplos de Propriedades: •O Ferromagnetismo •Ant-Ferromagnetismo •Diamagnetismo •Paramagnetismo •Visando Aplicações em diversas áreas cientificas como exemplo : •Medicina. •Industria Computacional na Produção de Chips. Introdução ao Modelo de Ising: •Materiais Ferromagnéticos: •Corrente Elétrica no Fio Gera um Campo Magnético em sua volta. •Movimento de Elétrons em volta de um átomo ou de uma molécula Gera um minúsculo Campo Magnético orientado em cada átomo(Spin) . N •Muitos Átomos ou Moléculas na rede Muitos Spins que vão interagir. Spins gerados Aleatoriamente. N S S Átomo Imã •Altas Temperaturas (Acima da Crítica) Alta Agitação. • Magnetização Média aproximadamente zero. Spins Desorientados. •Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica). •Magnetização Resultante diferente de zero (Spins Paralelos). Spins Orientados. •Materiais Anti -Ferromagnéticos: •Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica). •Magnetização Resultante igual a zero e Spins Orientados (Spins Anti-Paralelos). Spins Orientados. •Explicação teórica detalhada destas e outras propriedades magnéticas •Necessitam tratamento baseado na mecânica quântica. •Explicação Modelo de Ising : •A energia de interação entre os Spins é dada por: N N i , j i E(s ) J si s j H si •J = Constante de acoplamento entre os Spins: •J>0 (Spins tendem a se alinhar Paralelamente) •J<0 (Spins tendem a se alinhar Anti-Paralelamente) •Si = Spin interagente. Pode ser +1 Spin Up (Para Cima) ou -1 Spin Down (Para Baixo) Sj = Spin Vizinho interagente. •<i,j>=Indica Soma Interação só com os Primeiros Vizinhos. •H =Campo Magnético Externo Aplicado. No nosso caso H=0. •Implementação Numérica (Método de Metropolis): i) Para se obter a configuração do sistema no passo n + 1, um átomo da rede é escolhido ao acaso e seu spin é invertido. ii) A energia do sistema Ef , associada a esta nova configuração, é então calculada. iii) Calcula-se a variação da energia do sistema E=Ef-En, onde En é a energia do sistema no n-ésimo passo. (a)Se a energia do sistema diminui, esta nova configuração é aceita. (b)Se a energia do sistema aumenta, a nova configuração é aceita com probabilidade P = exp(-(E)/T). E= +2J Si Sj iv) A configuração do sistema no passo n + 1 corresponderá àquela obtida com a mudança do spin do átomo escolhido ao acaso se a nova configuração for aceita segundo as regras descritas no item (iii). Caso ela seja rejeitada, a configuração do passo n + 1 será a mesma que o sistema possuía no passo n. Os passos (i) até (iv) são repetidos um grande número de vezes afim de se obter um resultado o mais próximo possível de uma observável. •Exemplo Calculo da energia: Si= -1 En = -J Si Sj J = 1. En = -1( Si Sj )= -1 (-1-1-1-1) = +4 En+1 = -1( (-Si ) Sj )= -1 (+1+1+1+1) = -4 Si= +1 E = En+1 - En= -4 -(+4) = -8 Aceito essa nova configuração. Se E > 0 Aceito a nova configuração se: exp(-E / T) < P(E) < 1/2. Si= -1 Si= -1 •Condições de Contorno: •Usamos condições de contorno periódicas:(Toroidais) •Observáveis Termodinâmicas e Magnéticas Medidas: •Magnetização Média: 1 M M (Si ) N N S i i 1 1 2 •Susceptibilidade Magnética: X M (Si ) M (Si ) T N 1 •Energia Média: U E(S) (J s s ) i j N i , j •Capacidade Térmica: C 1 E (S )2 E (S ) T2 2 2 •Explicação Modelo de Ising Diluído: •Todo o método de interações e as propriedades termodinâmicas medidas e descritas anteriormente são as mesmas. •Rede amorfa É uma rede com sítios não magnético. •Está relacionada com a densidade da rede. •Há desordem nos estados dos Spin. Mas não há desordem nas localizações dos Spin. •Sistema denominado Resfriado, ou (“Quenched”). •Resultados do Ising Puro: •Temperatura Crítica Teórica TcTeo=2.2692 J/KB •Temperatura Crítica Mod. Ising TcIsing= 2.2715 J/KB. •Expoente Crítico Magnétização: •M ( T - Tc ) -Bc BcIsing = 0.1088 •Bcteorico = 1/8 = 0.125 •Resultados do Ising Diluído: •Densidade Crítica Téorico cTéo = 0.59 cIsing = 0.5 0.6