2FIS030 –Segunda lista de exercícios
1. Veri…que as seguintes propriedades das matrizes de Pauli:
2
( i) = 1 ;
i
=
+
i
; [ i;
j ] = 2i
3
X
"ijk
2
k
; (^
n: ) = I ;
k=1
onde "ijk é o símbolo de Levi-Civita e n
^ um vetor unitário.
2. Mostre que, se temos um campo na direção z e rodamos de um ângulo ,
os hamiltonianos obtidos (antes e depois da rotação) estarão ligados pelo
operador
^ y ( ) = exp
R
i 2 :
2
3. Uma partícula de spin
1
2
está sujeita ao campo
B = (0; By ; Bz ) :
^ que leva este campo para a direção z
(a) Encontre a rotação R
B0 = (0; 0; Bz0 ) :
Em seguida encontre U 0 para B0 e use o resultado para encontrar a
solução do operador de evolução U para o campo B.
(b) Resolva diretamente o problema para B e compare os resultados.
4. O hamiltoniano de um sistema de dois níveis é dado por
^ = a (j1i h1j
H
j2i h2j + j1i h2j + j2i h1j) ; a 2 R ;
encontre os estados estacionários e suas respectivas energias na base fj1i ; j2ig.
5. Um feixe de partículas com spin
as seguintes características:
1
2
passam por uma seqüência de SG com
(a) O primeiro deixa passar apenas partículas com Sz = +~=2;
(b) O segundo é um aparelho idêntico, mas foi girado, em relação ao
primeiro, de um ângulo no sentido horário na direção do eixo z.
Deste aparelho deixamos passar apenas as partículas com spin +~=2
(bloqueando ~=2);
(c) O terceiro está, novamente, orientado no eixo z.
Qual a intensidade (normalizada pela intensidade inicial) do feixe
…nal de partículas com Sz = ~=2.
1
6. Considere os 3 hamiltonianos abaixo
^ 1 (t) = 1 exp (!1 t) +
H
^ 2 (t) = cos (! 1 t) ;
H
^ 3 (t) = cos (!
H
1 t)
2
sin !2 t ;
+ sin (!
2 t)
;
em qual (ou quais) dos casos podemos escrever
Z
i t ^
U (t) = exp
H( ) d
~ 0
?
Justi…que sua resposta.
7. Se um vetor é expandido numa base ortonormal qualquer fj i ig (não
^ do sistema)
necessariamente autovetores do hamiltoniano H
X
j i=
ci j i i :
i
(a) Mostre que a evolução temporal deste vetor pode ser data por uma
expansão dependente do tempo
X
j ti =
ci (t) j i i ;
i
onde cada coe…ciente respeita a equação
3
c_k (t) =
iX
Hki ci (t) ;
~ i=1
onde
Hki = h
^ j ii ;
kj H
^ na base fj i ig.
são as componentes da matriz de H
(b) Para um sistema com um hamiltoniano independente do tempo, mostre
que, se j k i é um estado estacionário, então
Hki = Ek
ik
:
8. As moléculas de um gás (que não interagem entre si) possuem um espectro discreto de energia E1 < E2 < E3 < E4 :::. As condições do laboratório são tais que o sistema nunca se encontra no nível E4 ou qualquer
nível superior. Além disso, estes níveis são estáveis (uma vez com uma
destas energias a molécula mantém sempre a mesma energia). Entretanto,
quando um campo elétrico (constante) é aplicado ao sistema, observa-se
certas transições entre os níveis E1 e E3 (e apenas entre estes níveis). Além
disso, observa-se que o valor médio da energia dos estados originais (sem o
campo) são os mesmos. Contudo, na presença deste campo o maior valor
2
de energia do estado estacionário é 3 vezes o valor da energia do estado
fundamental do sistema. Se, antes de ligar o campo elétrico, todas as
moléculas têm energia E1 , qual a probabilidade de, depois de um tempo
t que este campo é ligado, estas moléculas permanecerem no mesmo estado? (Ignorando qualquer efeito causado pelo transiente da ligação do
campo, i.e., trate o problema como se as moléculas entrassem numa região
de campo constante.)
3