SUMÁRIO – VOLUME II
CAPÍTULO 0: RESOLVER PROBLEMAS DE MATEMÁTICA, UMA ARTE .....................
13
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................
RAZÃO E PROPORÇÃO .............................................................................................................
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES ..........................................................
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS ...................................................................
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS .................................................................
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS ................................................................................
REGRA DE TRÊS ........................................................................................................................
PORCENTAGEM ........................................................................................................................
LUCROS E PREJUÍZOS .............................................................................................................
DESCONTOS SUCESSIVOS OU AUMENTOS SUCESSIVOS ...................................................
JUROS SIMPLES .........................................................................................................................
MONTANTE ................................................................................................................................
JUROS COMPOSTOS – FÓRMULA DO MONTANTE ..............................................................
TAXAS EQUIVALENTES – JUROS SIMPLES ............................................................................
TAXAS EQUIVALENTES – JUROS COMPOSTOS ....................................................................
OS JUROS E AS PROGRESSÕES ...............................................................................................
DESCONTO SIMPLES ................................................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
TABELA DE FATORES DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ......................................................
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CAPÍTULO 2: MATRIZES
DEFINIÇÃO ................................................................................................................................
REPRESENTAÇÃO .....................................................................................................................
IGUALDADE ENTRE MATRIZES ..............................................................................................
PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES ...........................................................................................
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ ...........................................
OPERAÇÕES COM MATRIZES .................................................................................................
POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE NATURAL .........................................................................
INVERSÃO DE MATRIZES .........................................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
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75
CAPÍTULO 3: DETERMINANTES
DEFINIÇÃO ................................................................................................................................
COFATOR, MATRIZ DOS COFATORES E MATRIZ ADJUNTA ..............................................
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ...............................................................................
TEOREMA DE BINET .................................................................................................................
TEOREMA DE JACOBI ..............................................................................................................
TEOREMA DE CAUCHY ............................................................................................................
INVERSÃO DE UMA MATRIZ ....................................................................................................
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SOMA DE DETERMINANTES ....................................................................................................
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DETERMINANTES DE VANDERMONDE .................................................................................
OUTROS MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES ..................................................
COMPLEMENTO AO CAPÍTULO: A DEFINIÇÃO EXATA DO CÁLCULO DE UM
DETERMINANTE ........................................................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
88
88
CAPÍTULO 4: SISTEMAS LINEARES
EQUAÇÃO LINEAR – RESOLUÇÃO .........................................................................................
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES .......................................................................................
SISTEMAS EQUIVALENTES ......................................................................................................
SISTEMAS LINEARES 2 × 2 – RESOLUÇÃO E DISCUSSÃO ...................................................
MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR m × n – RESOLUÇÃO ............................
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR m × n .........................................................................
SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS ....................................................................................
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM SISTEMA LINEAR 3 × 3 ......................................
INVERSÃO DE UMA MATRIZ (3 × 3) PELA DEFINIÇÃO .......................................................
ALGUNS SISTEMAS NÃO LINEARES .......................................................................................
COMPLEMENTO AO CAPÍTULO: EQUAÇÕES DIOFANTINAS – ALGUNS BREVES
COMENTÁRIOS ..........................................................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
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158
CAPÍTULO 5: NÚMEROS BINOMIAIS
FATORIAL ...................................................................................................................................
NÚMERO BINOMIAL .................................................................................................................
TRIÂNGULO ARITMÉTICO DE TARTAGLIA-PASCAL ...........................................................
BINÔMIO DE NEWTON .............................................................................................................
BINÔMIO DE NEWTON PARA APROXIMAÇÕES ...................................................................
SOMA DE POTÊNCIAS SEMELHANTES DE NÚMEROS EM P.A. .........................................
TERMO GERAL DO BINÔMIO ..................................................................................................
TEOREMA MULTINOMIAL (FÓRMULA DE LEIBNIZ) ...........................................................
COMPLEMENTOS AO CAPÍTULO: PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ......................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
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CAPÍTULO 6: ANÁLISE COMBINATÓRIA
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM .......................................................................
GRUPAMENTOS – ORDEM E NATUREZA ..............................................................................
PERMUTAÇÕES SIMPLES ........................................................................................................
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS .................................................................
195
195
201
202
206
PERMUTAÇÕES CIRCULARES ................................................................................................. 208
PERMUTAÇÕES CAÓTICAS OU DESORDENAMENTO ......................................................... 209
COMBINAÇÕES SIMPLES ......................................................................................................... 211
COMBINAÇÕES COMPLETAS ..................................................................................................
PARTIÇÕES ................................................................................................................................
ARRANJOS SIMPLES .................................................................................................................
ARRANJOS COM REPETIÇÃO ..................................................................................................
COMPLEMENTO AO CAPÍTULO: PRINCÍPIO DE DIRICHLET ..........................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
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CAPÍTULO 7: PROBABILIDADE
EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO × EXPERIMENTO ALEATÓRIO ...................................
ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO ..............................................................................................
ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL ...................................................................................
PROBABILIDADE DA OCORRÊNCIA DE UM EVENTO .........................................................
EVENTOS COMPLEMENTARES ...............................................................................................
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS ...........................................................................
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS ................................................................................
PROBABILIDADE CONDICIONAL ...........................................................................................
EVENTOS INDEPENDENTES ....................................................................................................
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DE PROBABILIDADES ...............................................................
COMPLEMENTO AO CAPÍTULO: FREQÜÊNCIA E PROBABILIDADE ...............................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
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266
CAPÍTULO 8: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................
ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS ......................................................................................
VARIÁVEL ...................................................................................................................................
POPÚLAÇÃO E AMOSTRA ........................................................................................................
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS ........................................................................................
GRÁFICOS ..................................................................................................................................
MEDIDAS DE CENTRALIDADE ................................................................................................
MEDIDAS DE DISPERSÃO ........................................................................................................
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES ..................................................................................
DISTRIBUIÇÃO NORMAL .........................................................................................................
COMPLEMENTO AO CAPÍTULO: UM POUCO MAIS SOBRE MÉDIAS ...............................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
TABELA DE PROBABILIDADES P(0 < Z < z) ...........................................................................
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299
APÊNDICE.
FORMULÁRIO-RESUMO DO SEGUNDO VOLUME ...............................................................
303
8) CFT – 2003 – turma A – Uma pessoa pagou 25% de uma dívida. Em uma segunda
oportunidade, pagou 30% do restante, e verificou que com R$ 21 000,00 liquidaria
a dívida. A princípio, o valor da dívida, em reais, era de:
a) 30 000. b) 40 000. c) 50 000. d) 60 000.
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – EEAR:
1) EEAR - 1981 - Calculando-se a quarta proporcional entre os números
(
7 + 3 ) e ( 5 − 21) , obtém-se:
(
7 − 3) ,
a) 1/2. b) 3/2. c) 1. d) 2.
2) EEAR - 1981 - Qual o valor de “A” na proporção
A 3,1999...
=
?
5−1
A
a) 1/5. b) 2/5. c) 3/5. d) 4/5.
3) EEAR - 1991 - (adaptada) Para que R$ 12 870,00 empregados a juros simples, a
uma taxa de 6% ao ano, produzam o montante de R$ 17 245,80, deve-se esperar:
a) 5 a. b) 5 a. 8 me. c) 6 a. d) 6 a. 4 me.
4) EEAR - 1992 - Um viajante quer fazer em 8 dias o trajeto já feito em 12 dias,
andando 10 h por dia. Aumentando sua velocidade de 1/5, deverá andar por dia:
a) 10 h 30 min. b) 11 h 20 min. c) 11 h 50 min. d) 12 h 30 min.
5) EEAR - 1993 - (adaptada) Emprestei a um amigo R$ 54 000,00 a uma taxa de
12% ao ano. Depois de certo tempo, ele devolveu-me o empréstimo, pagando
R$ 360,00 de juros simples. O meu dinheiro estere emprestado durante ..........
dias.
a) 32. b) 28. c) 24. d) 20.
6) EEAR - 1994 - Comprou-se um objeto e o mesmo foi revendido por R$ 851,00,
tendo-se um lucro de 15% sobre a compra. Para lucrar-se 20%, o objeto deveria
ser vendido, em reais, por:
a) 870,00. b) 878,00. c) 888,00. d) 890.
7) EEAR - 1994 - A quantia de R$ 132 000,00 foi dividida entre Marcelo e
Carolina, na razão direta de suas idades. Se Marcelo tem 29 anos e Carolina tem
26 anos, a parte que coube a Carolina corresponde, em R$, a:
a) 48 600,00. b) 52 800,00. c) 62 400,00. d) 68 600,00.
8) EEAR - 1995 - Completar corretamente: Três pedreiros constroem um muro de
20 m de comprimento em 10 dias. Para construírem 30 m de um muro do mesmo
tipo, 5 pedreiros levarão .......... dias.
a) 25. b) 12. c) 9. d) 4.
2
1−
3 ÷ 8 = 1 ÷ x é:
9) EEAR - 1996 - O valor de “x” na proporção
1
5
5
−1
1+
2
4
a) 5/9. b) 4/5. c) 5/4. d) 64/65.
10) EEAR - 1996 - Se os preços aumentam 10% ao mês, a porcentagem de aumento
em um trimestre é igual a:
a) 30,0%. b) 33,0%. c) 33,1%. d) 33,3%.
11) EEAR - 1996 - Um comerciante comprou uma bicicleta por R$ 440,00 e quer
vendê-la com um lucro de 12% sobre o preço de venda. O preço de venda deverá
ser, em reais:
a) 422,80. b) 492,80. c) 500,00. d) 560,00.
12) EEAR - 1996 - (adaptada) Emprestaram-se duas quantias, R$ 600,00 e
R$ 800,00 a uma mesma taxa anual. A primeira rendeu juros simples durante 80
dias e a segunda, 90 dias. Sabendo-se que a segunda rendeu R$ 54,00 a mais que a
primeira, a taxa anual foi de:
a) 65%. b) 70%. c) 75%. d) 81%.
13) EEAR - 1997 - Os números x, y e z são, nessa ordem, inversamente
proporcionais a 4, 6 e 12. Sabendo-se que a sua soma é igual a 132, os valores de x,
y e z correspondem, respectivamente, a:
a) 24, 36 e 72. b) 60, 48 e 24. c) 22, 44 e 66. d) 66, 44 e 22.
14) EEAR - 1997 - (adaptada) Um automóvel custa, à vista, R$ 12 000,00. Em seis
prestações mensais, sem entrada, esse mesmo automóvel passa a custar
R$ 14 880,00. A taxa mensal de juros simples é:
a) 3,5%. b) 4%. c) 4,6%. d) 5%.
15) EEAR - 1998 - (adaptada) A que taxa foi aplicado um capital de R$ 2 400,00
para produzir, em 7 meses, juros simples de R$ 126,00?
a) 9% ao ano. b) 0,9% ao ano. c) 7,5% ao mês. d) 30% ao bimestre.
16) EEAR - 1998 - 624 litros de água salgada apresentavam um índice de salinidade
de 12%. Devido à evaporação, esse índice subiu para 18%. A quantidade de água, em
litros, que evaporou foi de:
a) 74,88. b) 416. c) 208. d) 104.
17) EEAR - 1998 - A diferença entre as idades de duas pessoas é 20 anos e a
razão é 4/9. Qual é a soma das idades das duas pessoas, em anos?
a) 36. b) 48. c) 52. d) 60.
18) EEAR - 1998 - A quarta proporcional dos números x, y e z, nesta ordem, é 20,4
e z está para x assim como 8,5 está para 2,5. Então, o valor de y é igual a:
a) 4. b) 5. c) 6. d) 7.
19) EEAR - 2/2000 - turma A - Um prêmio de R$ 4 000,00 deve ser dividido entre
os três primeiros colocados em um concurso, de forma proporcional à pontuação
obtida. Se o 1º colocado obteve 92 pontos, o 2º colocado 84 pontos e o 3º colocado
74 pontos, então a DIFERENÇA, em reais, entre os prêmios a que têm direito o 1º
e o 3º colocados é igual a:
a) 128. b) 160. c) 288. d) 298.
20) EEAR - 2/2000 - turma A - Um círculo tem seu raio aumentado em 100%.
Então, sua área ficou aumentada de:
a) 100%. b) 200%. c) 300%. d) 400%.
⎛2 1⎞
⎟⎟ e
Analisemos a alternativa a. Apresentemos um contra-exemplo: sejam A = ⎜⎜
⎝ 3 2⎠
⎛ − 1 − 2⎞
⎛ 1 − 1⎞
⎟⎟ . Então A + B = ⎜⎜
⎟⎟ . É fácil perceber que det A = 1; det B = –1 (isto é,
B = ⎜⎜
5 ⎠
⎝ 2
⎝5 7 ⎠
det A = –det B), porém det (A + B) = 12 ≠ 0. Afirmativa falsa portanto.
Analisemos a alternativa b. Uma afirmativa do tipo “se, e somente se” precisa ser
verdadeira na ida e na volta. Quanto à volta, tudo bem, pois realmente, se ambas as matrizes
forem singulares (tiverem determinantes nulos), então, pelo teorema de Binet, o determinante
do produto será nulo, ou melhor, o produto também será singular. O impasse está exatamente
⎛ 0 0⎞
⎛1 0⎞
⎟⎟ e B = ⎜⎜
⎟⎟ . Então
na ida. Apresentemos um contra-exemplo: sejam as matrizes A = ⎜⎜
⎝ 0 0⎠
⎝0 1⎠
⎛ 0 0⎞
⎟⎟ . É fácil perceber que det (AB) = 0 (portanto AB é uma matriz singular),
AB = ⎜⎜
⎝ 0 0⎠
entretanto det A = 0 (é uma matriz singular), mas det B = 1 ≠ 0 (não é uma matriz singular).
Afirmativa falsa portanto.
A afirmativa c é uma conseqüência do teorema de Binet. Sabemos, pelo referido
teorema, que det (AB) = det A . det B. Sendo AB singular, seu determinante é nulo, isto é,
podemos concluir que det A . det B = 0. Para que o produto de dois números reais seja nulo é
necessário que pelo menos um deles (det A ou det B) seja nulo. Afirmativa verdadeira portanto.
Quanto à afirmativa d, sabemos que uma matriz cujo determinante é nulo não possui
inversa. É uma afirmativa falsa, portanto.
Quanto à afirmativa e, sabemos também que o determinante de uma matriz é igual ao
determinante de sua transposta, portanto, se uma matriz é singular, sua transposta também é.
RESPOSTA: alternativa c.
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (ITA – 1982) Sejam A, B e P matrizes reais quadradas de ordem
n, tais que B = Pt . A . P. Sendo P inversível, dentre as afirmações abaixo, qual é a falsa?
a) se B é simétrica, então A é simétrica.
b) se A é simétrica, então B é simétrica.
c) se A é inversível, então B é inversível.
d) se B é inversível, então A é inversível.
e) det A = det B.
RESOLUÇÃO:
Sendo B = Pt . A . P, então temos: Bt = (Pt . A . P)t ⇒ Bt = Pt . At . P.Como B =Bt, então
temos: Pt . A . P = Pt . At . P, isto é, A = At, portanto A é simétrica também. A afirmação da
alternativa a é verdadeira.
Sendo B = Pt . A . P, então temos: Bt = (Pt . A . P)t ⇒ Bt = Pt . At . P = Pt . A . P = B.
sendo Bt = B, B é simétrica também. A afirmação da alternativa b é verdadeira.
Sendo B = Pt . A . P, então temos: det B = detPt . det A . det P
Se A é inversível, então det A ≠ 0. Mas det Pt = det P ≠ 0 (P é inversível), então,
det A ≠ 0 ⇒ det B ≠ 0, portanto B é inversível também. A afirmação da alternativa c é
igualmente verdadeira.
Mais uma vez, sendo B = Pt . A . P, então temos: det B = detPt . det A . det P
Se B é inversível, então det B ≠ 0. Mas det Pt = det P ≠ 0 (P é inversível), então,
det B ≠ 0 ⇒ det A ≠ 0, portanto A é inversível também. A afirmação da alternativa d é também
verdadeira.
c) apenas (I) é falsa.
d) apenas (II) é falsa.
e) apenas (III) é verdadeira.
17) ITA – 2003 - Sejam a, b, c
⎡ bcd 1
⎢
acd 1
determinante da matriz ⎢
⎢abd 1
⎢
⎣ abc 1
reais.
e d números reais não-nulos. Exprima o valor do
a a2 ⎤
⎥
b b2 ⎥
na forma de um produto de números
c c2 ⎥
⎥
d d2⎦
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – ESCOLA NAVAL:
⎛ 1 1⎞
⎟⎟ então, sendo At a transposta de A, temos:
1) E.N. – 1989 – Se A = ⎜⎜
⎝ 1 1⎠
a) A2 = A. b) A2 = 2A. c) A é invertível. d) A + At = 0. e) det A = 1.
⎡ 1 0 2⎤
⎡2 1⎤
⎡0 − 1 1 ⎤
⎢
⎥
2) E.N. – 1993 – Se A = ⎢− 1 1 0⎥ , B = ⎢⎢1 1⎥⎥ e C = ⎢
, o determinante da
2 − 1 0⎥⎦
⎣
⎢⎣ 0 1 0⎥⎦
⎢⎣0 1⎥⎦
transposta da matriz 2A - BC vale:
a) –4. b) –2. c) 0. d) 2. e) 4.
RESPOSTAS:
QUESTÕES DE VESTIBULARES:
1) a 2) a 3) c 4) a 5) d 6) e 7) c 8) e 9) 42 10) d 11) d 12) d 13) b
14) c 15) d 16) c 17) c 18) b 19) d 20) d 21) b 22) d 23) b 24) d 25) d
26) c 27) a 28) d 29) d 30) e
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES:
CFT: 1) b 2) a
EEAR: 1) c 2) c 3) b 4) d 5) b 6) b 7) d 8) a 9) c 10) d
EPCAR: 1) c 2) b 3) a
ESFAO: 1) e 2) a 3) b 4) c 5) c 6) c 7) b 8) c
AMAN: 1) e 2) d 3) e 4) a 5) b
ESPCEX: 1) c 2) d 3) a 4) a 5) c 6) a 7) d
AFA: 1) a 2) c 3) b 4) a 5) a 6) b 7) b 8) b 9) c 10) a 11) a 12) b
EFOMM: 1) b 2) c 3) a 4) a 5) d 6) d 7) e 8) d 9) b 10) b 11) b
IME: 1) 4a2 2) zero 3) zero 4) S = {–2, 0, 4/7} 5) 46 080
ITA: 1) a 2) d 3) c 4) e 5) b 6) d 7) d 8) c 9) e 10) e 11) d 12) b 13)
c 14) e 15) b 16) e 17) (d – c)(d – b)(d – a)(c – b)(c – a)( b – a)
E.N.: 1) b 2) b
a) –29. b) –73. c) –85. d) –98. e) –135.
⎧2 x − y + z = 0
⎪
11) EFOMM – 2002 – O sistema ⎨ x − 2 y + 3z = 0 :
⎪3 x − z = 0
⎩
a) apresenta uma única solução não-nula.
b) possui três soluções distintas.
c) possui infinitas soluções.
d) não apresenta solução.
e) possui uma única solução nula.
12) EFOMM - 2003 – Em um navio transportador de petróleo, um oficial de
náutica colheu 3 amostras de soluções resultantes da lavagem dos tanques e
constatou 3 produtos diferentes x, y, z que podem ser relacionados pelo
⎧ x − 2 y + mz = 0
⎪
⎨mx + 2 y + z = 0 . Para que valores de m o sistema é possível e determinado?
⎪2 x + 4 y − 2 z = 0
⎩
a) m = 1 e m = 6.
b) m ≠ 5 e m ≠ -3.
c) m = 4 e m = 5.
d) m = 3 e m ≠ -2.
e) m ≠ 3 e m ≠ -1.
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – IME:
1) IME – Determine o valor de a para que o sistema abaixo tenha mais de uma
solução e resolva-o neste caso.
⎧x + y − z = 1
⎪
⎨2 x + 3 y + az = 3
⎪ x + ay + 3 z = 2
⎩
2) IME – 1998 – Resolva e interprete geometricamente o sistema matricial abaixo,
em função de α e β.
⎡1 − 2 3 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ − 4 ⎤
⎢5 − 6 7 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ − 8 ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎢⎣6 8 α ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ β ⎥⎦
3) IME – 1999 – Determine α para que seja impossível o sistema:
⎧ x + 2 y − 3z = 4
⎪
⎨3x − y + 5 z = 2
⎪4 x + y + (α 2 − 14 )z = α + 2
⎩
DICA: Poderíamos aplicar um “golpe baixo” nesta questão, que apenas serve para apontar a
resposta certa, não se tratando de uma resolução de verdade. Fazendo “testes” para n = 9, 8,
7, 6 ou 5, o valor que “funcionar” (tornar a igualdade verdadeira) é a resposta procurada.
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (FMU-FIAM-FAAM-SP) Os valores de x que verificam a
⎛ 10 ⎞ ⎛ 10 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ são:
identidade ⎜⎜
⎝ x + 2 ⎠ ⎝ 2 x + 1⎠
a) x = 0 ou x = 10.
b) x = –2 ou x = –1/2.
c) x = –2 ou x = 10/3.
d) x = 1.
e) x = 1 ou x = 13/3.
RESOLUÇÃO:
Para que dois binomiais sejam iguais (tenham o mesmo valor), devem ter mesmos
numerador e denominador ou ser complementares. Então:
• x + 2 = 2x + 1 ⇒ x = 1; ou
• x + 2 + 2x + 1 = 10 ⇒ 3x = 7 ⇒ x = 7/3
Mas, se x = 7/3, teremos binomiais com denominadores fracionários, portanto, x = 7/3
não serve em nosso universo de estudo, logo, x = 1 apenas.
RESPOSTA: alternativa d.
⎛5⎞
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFSE) A soma ⎜⎜ ⎟⎟ +
⎝ 2⎠
⎛8⎞
⎛8⎞
⎛8⎞
⎛7⎞
⎛ 6⎞
a) ⎜⎜ ⎟⎟ . b) ⎜⎜ ⎟⎟ . c) ⎜⎜ ⎟⎟ . d) ⎜⎜ ⎟⎟ . e) ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ 5⎠
⎝ 4⎠
⎝7⎠
⎝ 6⎠
⎝5⎠
RESOLUÇÃO:
Aplicando sucessivamente a relação de Stifel:
⎛ 5 ⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ 7 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 5 ⎠
⎛ 5⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ 7 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ é igual a:
⎝ 3⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 5 ⎠
⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ 7⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠
⎛ 7⎞ ⎛ 7⎞ ⎛8⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
RESPOSTA: alternativa e.
⎛17 ⎞ ⎛17 ⎞ ⎛18 ⎞
EXERCÍCIO RESOLVIDO: A soma ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ é igual a:
⎝13 ⎠ ⎝14 ⎠ ⎝15 ⎠
⎛18 ⎞
⎛19 ⎞
⎛19 ⎞
⎛19 ⎞
⎛19 ⎞
a) ⎜⎜ ⎟⎟ . b) ⎜⎜ ⎟⎟ . c) ⎜⎜ ⎟⎟ . d) ⎜⎜ ⎟⎟ . e) ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝16 ⎠
⎝4⎠
⎝10 ⎠
⎝16 ⎠
⎝3⎠
RESOLUÇÃO:
Aplicando Stifel sucessivamente, vem:
⎛17 ⎞ ⎛17 ⎞ ⎛18 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝13 ⎠ ⎝14 ⎠ ⎝15 ⎠
⎛18 ⎞ ⎛18 ⎞ ⎛19 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝14 ⎠ ⎝15 ⎠ ⎝15 ⎠
Mas, nas opções, figura apenas o seu complementar (cujo valor é idêntico), então, como
⎛19 ⎞ ⎛19 ⎞
⎛19 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , a resposta é ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝15 ⎠ ⎝ 4 ⎠
⎝4⎠
RESPOSTA: alternativa b.
⎛5⎞
⎛ 6⎞
⎛7⎞
⎛8⎞
⎛ 30 ⎞
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UNIFOR-CE) A soma ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ... + ⎜⎜ ⎟⎟ é
⎝ 0⎠
⎝1⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ 25 ⎠
igual a:
⎛ 31 ⎞
⎛ 30 ⎞
⎛ 31 ⎞
⎛ 30 ⎞
⎛ 31 ⎞
a) ⎜⎜ ⎟⎟ . b) ⎜⎜ ⎟⎟ . c) ⎜⎜ ⎟⎟ . d) ⎜⎜ ⎟⎟ . e) ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ 25 ⎠
⎝ 26 ⎠
⎝ 26 ⎠
⎝ 25 ⎠
⎝ 27 ⎠
RESOLUÇÃO:
Aplicando a propriedade P5, percebe-se facilmente que a soma dos binomiais da
questão, todos localizados em uma diagonal do triângulo aritmético, é igual ao binomial
localizado, no triângulo aritmético, logo abaixo do último binomial parcela, isto é, está uma
⎛ 30 ⎞
⎛ 31 ⎞
linha abaixo e na mesma coluna de ⎜⎜ ⎟⎟ . O binomial procurado é ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ 25 ⎠
⎝ 25 ⎠
RESPOSTA: alternativa a.
⎛n⎞
⎛ n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (ITA) A soma ⎜⎜ ⎟⎟ + 2.⎜⎜ ⎟⎟ + 3.⎜⎜ ⎟⎟ + ... + n.⎜⎜ ⎟⎟ é igual a:
⎝n⎠
⎝3 ⎠
⎝ 2⎠
⎝1⎠
n–1
n
n
n+1
n+1
a) n . 2 . b) 2 . c) n . 2 . d) (n + 1).2 . e) n . 2 .
RESOLUÇÃO:
Vamos escrever a soma em uma forma mais interessante:
⎛n⎞
⎛ n ⎞
⎛ n ⎞
⎛ n ⎞
⎛n⎞
⎛ n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
⎟⎟ + n.⎜⎜ ⎟⎟
⎟⎟ + (n − 1).⎜⎜
⎟⎟ + (n − 2 ).⎜⎜
0.⎜⎜ ⎟⎟ + 1.⎜⎜ ⎟⎟ + 2.⎜⎜ ⎟⎟ + 3.⎜⎜ ⎟⎟ + ... + (n − 3).⎜⎜
⎝n⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n − 2⎠
⎝ n − 3⎠
⎝3 ⎠
⎝ 2⎠
⎝1⎠
⎝0⎠
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟ . Desenvolvendo o
=
S
p
.
Ou melhor ainda: a soma S pedida é dada por
∑
p =o
⎝ p⎠
n
n
n
n!
n!
n(n − 1)!
S
=
p
.
=
p
.
=
binomial, temos:
.
∑
∑
∑
p!(n − p )! p =o p.( p − 1)!(n − p )! p =o ( p − 1)!(n − p )!
p =o
(n − 1)! = ⎛⎜ n − 1 ⎞⎟
Mas
( p − 1)!(n − p )! ⎜⎝ p − 1⎟⎠ , então, extraindo n do somatório, podemos dizer:
n
0 e 1 ou ainda 4, 0 e 0 (e suas respectivas permutações). Vamos representar o número 4 por
||||. Os exemplos de somas com as parcelas acima poderiam ser representados simbolicamente
por:
• + || + ||
• | + | + ||
• ||| + + |
• |||| + +
Note-se que, na verdade, estamos fazendo as permutações com elementos repetidos de
seis símbolos (quatro símbolos | e dois símbolos +), dos quais um deles aparece 4 vezes e o
outro, duas vezes. Por isso, o problema pode ser resolvido calculando-se
P64 , 2 =
6!
6 × 5 × 4! 30
=
=
= 15 .
4!2!
4!× 2
2
RESPOSTA: alternativa d.
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UNICAMP) De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolas
iguais entre 3 crianças de modo que cada uma delas receba, pelo menos, 5 bolas?
RESOLUÇÃO:
A situação corresponde à equação x + y + z = 20, onde cada uma das incógnitas
assume, no mínimo, o valor 5.
Para este caso, para podermos utilizar o truque da questão anterior, onde as variáveis
eram não negativas, faremos as seguintes substituições de variáveis: x = α + 5; y = β + 5 e
z = γ + 5, ficando com a seguinte equação: α + 5 + β + 5 + γ + 5 = 20 ⇒ α + β + γ = 5,
equação em que se pode utilizar o truque da questão anterior, porque α, β e γ podem ser nulas.
5, 2
Então: P7
=
7! 7 × 6 × 5! 42
=
=
= 21 .
5!2!
5!×2
2
RESPOSTA: Podemos distribuir as 20 bolas de 21 maneiras.
OBS.: Este tipo de questão também pode ser resolvido por meio de fórmulas de combinação, o
que será mostrado dentro do item combinações completas.
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFF) Percorrendo-se uma unidade de comprimento por vez, em
movimentos paralelos aos eixos coordenados e no sentido positivo dos mesmos, deseja-se
caminhar da origem até o ponto (3, 3), conforme o exemplificado na figura. Determine de
quantas maneiras isto pode ser feito.
+
(3, 3)
O
+
•
Histograma: formado por retângulos justapostos, sendo a largura de cada retângulo igual
à amplitude de cada respectiva classe e a altura igual à freqüência da classe representada. A área
do histograma é proporcional à soma das freqüências.
A título de exemplo, vamos agrupar as notas da turma T em intervalos de classe com
amplitude 2.
classes
fi
1
3
2
3
5
2
5
7
9
7 9
7
total
20
freqüências
10
8
6
4
2
1
3 5 7
9
notas
OBS.: Unindo os pontos médios das classes, incluindo os pontos médios das classes anterior à
primeira e posterior à última, obtemos um gráfico de linha chamado polígono de freqüências.
Registrando as freqüências acumuladas sob forma de gráfico de linhas, obtemos o que
chamamos de ogiva. Para a construção de uma ogiva, adotamos como zero a freqüência do
limite inferior da primeira classe.
freqüências
10
20
8
16
6
12
4
8
2
4
2 4
6 8 10 12
notas
2
4
6
8
10
classes
polígono de freqüências
ogiva
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UNEB) O gráfico a seguir representa o resultado de uma
pesquisa feita em um município, no mês de junho de 2001, a fim de analisar a redução do
consumo de energia em residências, tendo em vista a meta fixada pelo governo, e com base na
seguinte pergunta: “Qual a redução conseguida em relação à meta?” A partir dessa
informação e sabendo que o percentual para cada resposta é proporcional à área do setor que
o representa, o ângulo do setor correspondente à resposta “menor” é igual a:
a) 108,3º.
b) 118,8º.
c) 142º.
sabem*.
d) 151,2º.
e) 160º.
42 – menor
5
–
não
20 – igual
33 – maior
*
responderam
RESOLUÇÃO:
Como as áreas são proporcionais às taxas, basta utilizarmos uma regra de três:
Ângulo:
360º
não
taxa:
100%
x
42%
100x = 42 . 360 ⇒ x = 151,2º.
RESPOSTA: alternativa d.
MEDIDAS DE CENTRALIDADE:
São parâmetros que representam com precisão as propriedades da distribuição de
freqüências. Voltaremos a utilizar a tabela de notas da turma T:
Notas (xi)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nossas medidas de centralidade são:
quantidade de alunos
(freqüência absoluta)
0
1
1
1
1
3
6
4
2
1
0