Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
01
a b 
Seja A −1 = 
 . Então:
c d
A ⋅ A −1 = I2
 1 2  a b   1 0 
 −1 0  ⋅ c d = 0 1

 
 

a + 2c = 1

−a + 0 ⋅ c = 0
(I )
(II)
b + 2d = 0

−b + 0 ⋅ d = 1
(III)
(IV )
Da equação (II), vem a = 0.
Substituindo a = 0 em (I), temos:
1
c = 0 + 2c = 1 ⇒ c =
2
Da equação (IV), vem: b = –1.
Substituindo b = –1 em (III), temos:
1
−1 + 2d = 0 ⇒ 2d = 1 ⇒ d =
2
Assim:
 0 −1
A −1 =  1 1 


2 2 
 0 −1  1
 1 2 
 
A+A =
+ 1 1= 1
−
 −1 0  
2 2   2
−1
1
1 
2
Resposta: C
1
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
02
Como B = A–1, temos A • B = I2, ou seja:
0 1 
a 2 
 1 0
1 = 

⋅

 1 0   b −   0 1

2
1
a ⋅0 + 2⋅b = 1 ⇒ b =
2
Daí:
 1
a ⋅1+ 2 ⋅  −  = 0 ⇒ a = 1
 2
Assim:
a + b = 1+
1 3
=
2 2
Resposta: D
2
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
03
Para que a matriz A admita inversa, necessariamente devemos ter:
det A ≠ 0
Daí:
1 2 3
0 3 4 ≠0
m 5 7
21 + 8m − 9m − 20 ≠ 0
1− m ≠ 0
m≠1
Resposta: B
3
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
04
Sabemos que det A • det A–1 = 1.
1
Como det A −1 = − , temos:
6
m
n
2
−10
= −6
−10m − 2n = −6 ⇒ 5m + n = 3
Resposta: C
4
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
05
Do enunciado, det A ≠ 0.
Como A2 = 2A, temos:
A2 = 2A
det A2 = det 2A
det A • det A = 22 . det A
det A = 4
Resposta: E
5
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
06
Seja a seguinte matriz inversa:
a b c 


−1
A = d e f 
g h i 


Queremos calcular o valor do elemento a23, ou seja, d.
Sabemos que A • A–1 = I3, então:
 1 0 0 a b c   1 0 0

 
 

 1 0 1 ⋅  d e f  =  0 1 0 
 0 1 1  g h i   0 0 1

 
 

Observe que não é necessário efetuar inteiramente a multiplicação das
matrizes. Basta focarmos na coluna 1 da matriz A–1. Assim:
1⋅ a + 0 ⋅ d + 0 ⋅ g = 1

1⋅ a + 0 ⋅ d + 1⋅ g = 0

0 ⋅ a + 1⋅ d + 1⋅ g = 0
(I )
(II)
(III)
Da equação (I), temos:
a=1
Substituindo esse valor em (I), vem:
g = –1
Substituindo esse novo valor em (III), vem:
d–1=0 ⇒ d=1
Dessa forma, o elemento a23 da matriz inversa da matriz A é igual a 1.
Resposta: E
6
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
07
a12 
a
A =  11

 a21 a22 
a11 = sen (1 + 1) π = sen 2π = 0
a12 = cos ( 2 − 1) π = cos π = −1
a21 = cos (1 − 2 ) π = cos ( −π ) = cos π = −1
a22 = sen ( 2 + 2 ) π = sen 4π = 0
 0 −1
Assim: A = 
 .
 −1 0 
a b
Seja A −1 = 
.
 c d
Sabemos que A • A–1 = I2. Daí:
 0 −1  a b   1 0 

⋅
=

 −1 0   c d   0 1 
0 ⋅ a + ( −1) ⋅ c = 1 (I)

−1⋅ a + 0 ⋅ c = 0 (II)
0 ⋅ b + ( −1) ⋅ d = 0
(III)

(IV )
−1⋅ b + 0 ⋅ d = 1
Da equação (I), temos: c = –1
Da equação (II), temos: a = 0
Da equação (III), temos: d = 0
Da equação (IV), temos: b = –1
Dessa forma:
 0 −1
A −1 = 

 −1 0 
 0 −1
Resposta: 

 −1 0 
7
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
08
Como B–1 = 2A, então det B–1 = det 2A:
1
= 23 ⋅ det A
det B
(I )
Vamos calcular det A:
1 2 3
det A = 0 −1 1 = 3
1
0
2
Substituindo det A = 3 em (I), temos:
1
= 8⋅3
det B
det B =
1
24
Resposta: E
8
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
09
Para que A não admita inversa, devemos ter det A = 0.
Daí:
1 0 1
det A = k 1 3 = 0
1 k 3
k 2 − 3k + 2 = 0
Resolvendo esta equação, obtemos k = 1 ou k = 2.
Resposta: C
9
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
10
 1 1  1 3   1 7 
A ⋅B = 
⋅
=

0 2 0 4 0 8
 1 3   1 1  1 7 
B⋅A = 
⋅
=

0 4 0 2 0 8
Dessa forma, A • B = B • A.
Resposta: C
10
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
11
a) A • X = B
A −1 ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B
I ⋅ X = A −1 ⋅ B
X = A −1 ⋅ B
b) B • A • X = A
B −1 ⋅ B ⋅ A ⋅ X = B −1 ⋅ A
I ⋅ A ⋅ X = B −1 ⋅ A
A ⋅ X = B −1 ⋅ A
A −1 ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B−1 ⋅ A
I ⋅ X = A −1 ⋅ B −1 ⋅ A
X = A −1 ⋅ B −1 ⋅ A
Respostas:
a) X = A −1 ⋅ B
b) X = A −1 ⋅ B −1 ⋅ A
11
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
12
a b 
Seja A = 
.
 c d
Do enunciado, temos:
 3 −1 a b   1 0 
 −5 2  ⋅ c d = 0 1

 
 

3a + ( −1) ⋅ c = 1 (I)

(II)
−5a + 2c = 0
Da equação (I), vem:
c = 3a – 1
Substituindo c = 3a – 1 em (II), temos:
−5a + 2 ⋅ ( 3a − 1) = 0 ⇒ a = 2
Substituindo a = 2 em (III), temos:
c = 3 ⋅ 2 −1 ⇒ c = 5
Ainda:
3b + ( −1) ⋅ d = 0

−5b + 2d = 1
(III)
(IV )
Da equação (III), vem:
d = 3b (VI)
Substituindo d = 3b em (IV), temos:
−5b + 2 ⋅ 3b = 1 ⇒ b = 1
Substituindo b = 1 na equação d = 3b, temos:
d=3•1 ⇒ d=3
Assim:
2 1
A=

5 3 
X 1× 2 ⋅ A 2 × 2 = B 1× 2
X = [y
[y
z]
2 1
z] ⋅ 
 = [8
5 3 
3]
Daí:
12
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
(V)
 y ⋅ 2 + z ⋅ 5 = 8

( VI)
 y ⋅ 1 + z ⋅ 3 = 3
Da equação (VI), vem:
y = 3 − 3z
Substituindo y = 3 − 3z na equação (V), temos:
2 ⋅ ( 3 − 3z ) + 5z = 8 ⇒ z = −2
Substituindo z = −2 na equação y = 3 − 3z , vem:
y = 3 − 3 ⋅ ( −2 ) ⇒ y = 9
Dessa forma:
y + z = 9 + ( −2 ) = 7
Resposta: A
13
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
13
2 1   x y   1 0 
0 −1 ⋅  z w  = 0 1

 
 

2x + z = 1

0 ⋅ x − z = 0
(I )
(II)
Da equação (II), vem:
z=0
Substituindo z = 0 em (I), temos:
1
2x + 0 = 1 ⇒ x =
2
Ainda:
2y + w = 0
(III)

0 ⋅ y + ( −1) ⋅ w = 1 (IV )
Da equação (IV), vem:
–w = 1 ⇒ w = –1
Substituindo w = –1 na equação (III), temos:
1
2y − 1 = 0 ⇒ y =
2
Assim:
x+y+z+w =
1 1
+ + 0 + ( −1) = 0
2 2
Resposta: A
14
Matemática 2 • Unidade I • Álgebra • Série 3 - Matriz inversa
14
A + B ⋅ X = X + 2C
− X + A + B ⋅ X = − X + X + 2C
− A − X + A + B ⋅ X = − A + 2C
− X + B ⋅ X = − A + 2C
− X ⋅ I + B ⋅ X = − A + 2C
X ⋅ (B − I) = − A + 2C
Para que a equação X ⋅ (B − I) = − A + 2C tenha solução, a condição
necessária e suficiente é que (B – I) seja uma matriz invertível.
Resposta: D
15