Fundamentos de Matemática
Curso: Informática Biomédica
Profa. Vanessa Rolnik Artioli
Assunto: determinantes e sistemas
13 e 27/06/14
Determinantes
Def.: Seja M uma matriz quadrada de elementos reais, de ordem n,
chama-se determinante da matriz M (notação det M) o número que
obtemos da seguinte forma:
n = 1, M = [a11 ] =⇒ det M = a11 .
[
n = 2, M =
a11
a21
a12
a22
]
=⇒ det M = a11 a22 − a12 a21 .
n = 3, det M = a11 a22 a33 + a23 a31 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31
−a11 a23 a32 − a12 a21 a33 .
[
Exemplos: A = [6]
[
C=
cos x
seny
senx
cos y
B=
]

3 −1
4 2
1 3
D= 5 2
1 4
]

4
−3 
2
Determinantes - caso geral
Def. Seja M = (aij )n×n , n ≥ 2, o menor complementar do elemento
aij (notação Dij ) é o determinante da matriz que se obtém suprimindo a
linha i e a coluna j de M.
Def. Seja M = (aij )n×n , n ≥ 2, o cofator de aij (notação Aij ) é o
número (−1)i+j .Dij .
Para n ≥ 2, det M = soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

1 3
Exemplo: A =  5 2
1 4

4
−3 
2

1
 2

B =
3
4
2
1
0
3

1 1
4 3 

0 2 
2 −5
Propriedades dos determinantes
P1) Matriz transposta: det M t = det M
P2) Fila nula: se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de
uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0
P3) Multiplicação de uma fila por uma constante: se multiplicarmos uma
fila qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o
determinante da nova matriz M ′ será o produto k pelo determinante de
M, isto é, det M ′ = k. det M.
P4) Troca de filas paralelas: seja M uma matriz de ordem n ≥ 2, se
trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas)
obteremos uma nova matriz M ′ tal que det M ′ = − det M.
Propriedades dos determinantes
P5) Filas paralelas iguais: se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tiver duas
filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos
respectivamente iguais, então det M = 0.
P6) Filas paralelas proporcionais: se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tiver
duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos
respectivamente proporcionais, então det M = 0.
P7) Combinação linear de filas paralelas: se uma matriz quadrada
M = (aij )n×n tiver uma linha (ou coluna) que é combinação linear de
outras linhas (ou colunas) então detM = 0.
P8) Adicionando-se a uma fila de uma matriz M de ordem n, uma outra
fila paralela previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma
nova matriz M ′ tal que det M ′ = det M
Propriedades dos determinantes
P9) Adição de determinantes: seja M uma matriz de ordem n, onde os
elementos da j-ésima coluna são tais que aij = bij + cij , então teremos
det M = det M ′ + det M ′′ ,
onde M ′ é a matriz que se obtém de M substituindo os elementos aij da
j-ésima coluna pelos elementos bij e M ′′ é a matriz que se obtém de M
substituindo os elementos aij da j-ésima coluna pelos elementos cij .
P10) Multiplicação de determinantes: se A e B são matrizes quadradas
de ordem n então
det(A.B) = det A . det B
. Decorre dessa propriedade que:
det(A−1 ) =
1
det A
Exercícios
1) Calcular o
ax 2a
4
a) x
3x 6
determinante
utilizando
2 as propriedades:
x
a2 xy 2 x 1 b) xy y 3 y x2 y2 x 2
bc
2) Sem desenvolver provar que: ac
ab
a
b
c
a2
b2
c2
1
= 1
1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
3)
o determinante que:
Demonstrar sem desenvolver
a−b m−n x −y b−c n−p y −z =0
c −a p−m z −x 4) Provar que
o
1
sendo D = 1
1
determinante
D é múltiplo de 17, sem desenvolvê-lo,
1 9 8 7 5 3 Equações Lineares
Chamamos de equação linear nas incógnitas x1 , x2 , ..., xn , toda equação
do tipo
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
Os números a11 , a12 , a13 , ..., a1n , todos reais, são chamados coeficientes
e b1 , também real, é o termo indetependente da equação.
Exemplos:
a) 3x1 + 4x2 − 5x3 − x4 = 5 é linear
b) 0x1 + 0x2 + 0x3 = 4 é linear
c) 2x12 + 4x2 + x3 = 0 não é linear
d) 2x1 x2 + x3 + x4 = 3 não é linear
e) x1 +
√
x2 − x3 = 4 não é linear
Solução: sequência (ou n-upla) ordenada de número reais
(α1 , α2 , α3 , ..., αn ) se a11 α1 + a12 α2 + a13 α3 + ... + a1n αn = b1 for uma
sentença verdadeira.
Sistema Linear
Sistema linear é um conjunto de
incógnitas x1 , x2 , ..., xn .

a11 x1 + a12 x2 +





 a21 x1 + a22 x2 +
a31 x1 + a32 x2 +
S:

..


.



am1 x1 + am2 x2 +
ou, na forma matricial:

a11 a12
 a21 a22


S :  a31 a32
 ..
 .
am1
ou ainda, Ax = b.
am2
m (m ≥ 1) equações lineares, nas n
a13 x3
a23 x3
a33 x3
+ ... +
+ ... +
+ ... +
a1n xn
a2n xn
a3n xn
=
=
=
b1
b2
b3
am3 x3
+ ... +
amn xn
=
bm
a13
a23
a33
...
...
...
a1n
a2n
a3n
am3
...
amn







x1
x2
x3
..
.
xn


 
 
 
=
 
 
b1
b2
b3
..
.
bn







Solução de um sistema linear
sequência (ou n-upla) ordenada de número reais (α1 , α2 , α3 , ..., αn ) se for
solução de todas as equações de S, isto é, se ao substituirmos
x1 = α1 , x2 = α2 , x3 = α3 , ..., xn = αn ) em S, todas as sentenças se
tormam verdadeiras.
Exemplos:

 x + y + z = 6
2x + y − z = 1 S = (1, 2, 3) é solução
a) S :

3x − y + z = 4

 x
x
b) S :

0x
S = ∅, pois a
(α1 , α2 , α3 )
+ 2y + 3z =
− y + 4z =
+ 0y + 0z =
última equação não é
5
1
6
satisfeirta para nenhum tripla
Classificação dos sistemas lineares
Seja det A ̸= 0, então o sistema Ax = b será possível e determinado,
isto é, admite solução única.
Seja det A = 0, então o sistema Ax = b será possível e indeterminado,
isto é, adimite infinitas soluções, ou impossível, isto é, não admite
solução.
Regra de Cramer
Seja D = det A ̸= 0, então a solução única do sistema será dada por:
Di
, i = 1, 2, ..., n
D
onde Di é o determinante da matriz A obtido substituindo a i-ésima
coluna pela coluna dos termos independentes da equação.
αi =
Exemplo:

 x
x

2x
+ y
− y
− y
+ z
− z
+ z
= 6
= −4
= 1
Sistemas escalonados
Exemplos
1) sistema n × n

x



+ 2y
y



− z
+ 3z
5z
+ 3t
− t
+ 7t
2t
= 6
= −5
= 21
= 6
2) sistema m × n, m < n (sistemas com número de equações menor que
o número de incognitas)
{
x
− y
y
+ z
− z
=
=
4
2
Escalonamento
Dois sistemas lineares S1 e S2 são equivalentes quando o conjunto de
soluções de S1 e S2 forem iguais.
Operações que transformam um sistema linear qualquer num outro
equivalente, mas na forma escalonada:
1) multiplicar uma equação do sistema por uma constante k ̸= 0;
2) substituição de uma equação pela soma, membro a membro, dela com
outra equação do sistema multiplicada por uma constante;
3) permutação de equações.
Observações: se no processo de escalonamento ocorrer uma equação do
tipo 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0, esta deverá ser suprimida do sistema, e se
ocorrer uma equação do tipo 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b, b ̸= 0, o sistema
é impossível.
Exemplos

 x
2x
a)

3x
+ 2y
+ y
− y
+ z
− z
− 2z
= 9
= 3
= −4

 x
3x
b)

2x
+ y
+ 3y
+ y
− 3z
+ z
+ z
+ t
+ 2t
− 2t

 x
3x
c)

5x
−
+
+
+ z
+ z
+ z

 x
3x
d)

10x
y
2y
5y
+ 4y
− y
− 12y
= 4
= 0
= −4
= −8
= 15
= 7
= 1
= 0
= 4