Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Departamento de Matemática
4a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear
2015/I
1. Quais as coordenadas do vetor v = (1, 0, 0) em relação à base β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0, −1)}.
2. Determine as coordenadas do vetor u = (4, 5, 3) de IR3 em relação às seguintes bases:
(a) Canônica;
(b) {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 1, 0)};
(c) {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}.
3. Quais as coordenadas do vetor p(t) = t3 − 2t2 + 1 em relação à base β = {t3 + 1, t2 − 1, t, 2}.
4. Considere a base ordenada γ = {v1 , v2 , v3 } do IR3 onde
v1 = (1, 0, −1),
v2 = (1, 1, 1),
v3 = (1, 0, 0).
Encontre as coordenadas do vetor u = (a, b, c) ∈ IR3 com relação à base ordenada γ.
5. Considere o espaço vetorial real IR2 . A matriz da mudança da base ordenada γ = {(1, 1), (−2, 2)},
para a base ordenada α = {v1 , v2 } é dada por
"
#
1 0
.
4 −2
"
Detremine a base ordenada α. Determine o elemento u ∈ IR2 tal que [u]α =
1
2
#
.
6. Considere as bases β = {u1 , u2 , u3 } e γ = {w1 , w2 , w3 } de IR3 , relacionadas da seguinte forma:


 w1 = u1 − u2 − u3
w2 =
2u2 + 3u3 .


w3 = 3u1
+ u3
Pede-se:
(a) Determine as matrizes de mudança de base [I]βγ e [I]γβ .
(b) Sabendo que


1
 
[u]β =  2  ,
3
determine o vetor u com relação à base γ.
1
7. Considere a seguinte matriz de mudança de base


1 1
0


[I]ββ 0 =  0 −1 1  .
1 0 −1
Encontre:

−1


(a) [v]β , onde [v]β 0 =  2  .
3


−1


(b) [v]β 0 , onde [v]β =  2  .

3
8. Mostre que γ = { (1, 1, 1), (1, 0, −1), (1, −2, 1) } é uma base ortogonal de IR 3 . γ é uma base
ortonormal? Caso negativo, obtenha uma base ortogonal de IR 3 a partir de γ.
9. Dada a base γ = { (1, 0), (1, 1) } de IR 2 , utilize o processo de Gram-Schmidt para obter uma
base ortonormal de IR 2 em relação ao produto interno usual.
10. Dada a base α = { (1, 1, 1), (−1, 0, −1), (−1, 2, 3) } de IR 3 , utilize o processo de Gram-Schmidt
para obter uma base ortonormal de IR 3 em relação ao produto interno usual.
11. Considerando o produto interno usual de IR 3 , determine uma base ortonormal para o subespaço W = { (x, y, z) ∈ IR 3 / x − y + z = 0 } de IR 3 .
12. Considere o subconjunto de vetores β = { (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) }.
(a) Mostre que β é uma base para IR 3 .
(b) Encontre a matriz de mudança de coordenadas, A = [I]Cβ , da base canônica C = { e1 , e2 , e3 }
de IR 3 para a base β. Qual é a matriz de mudança de coordenadas, A0 = [I]βC , da base β para
a base canônica?
(c) Quais são as coordenadas dos vetores canônicos e1 , e2 e e3 em relação à base β?
(d) Quais são as coordenadas do vetor v = (1, −2, 5) em relação à base β?
13. Considere o subconjunto de vetores β = { (1, 1, −2), (1, −1, 0), (1, 1, 1) }.
(a) Mostre que β é uma base para IR 3 .
(b) Encontre a matriz de mudança de coordenadas, A = [I]Cβ , da base canônica C = { e1 , e2 , e3 }
de IR 3 para a base β. Qual é a matriz de mudança de coordenadas, A0 = [I]βC , da base β para
a base canônica?
(c) Quais são as coordenadas dos vetores canônicos e1 , e2 e e3 em relação à base β?
2
(d) Quais são as coordenadas do vetor v = (1, −2, 5) em relação à base β?
14. Encontre as coordenadas do ponto P = (4, 3, −1) em relação ao novo sistema de coordenadas
cuja origem
coincide
com a origem
(0, 0,
é dada pelos vetores ortonormais
√
√0)e cuja base
√
√ √
√ √ √ 2
2
6 6
6
3 3 3
u1 =
,−
, 0 , u2 =
,
,−
e u3 =
,
,
.
2
2
6 6
3
3 3 3
15. Seja {v1 , v2 , · · · , vn } um conjunto ortogonal de vetores não nulos em um espaço vetorial V
com produto interno. Seja v ∈ V um vetor qualquer.
(a) Prove a desigualdade de Bessel:
n
X
|hv, vk i|2
2
k=1
kvk k
≤ kvk2 .
(b) Mostre que a igualdade vale se, e somente se,
v=
n
X
hv, vk i
k=1
kvk k2
vk .
16. Sejam A e B matrizes 2 × 2. Define-se
hA, Bi = T r B T A
1
(a) Verifique que hA, Bi é um produto interno.
(b) Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base
!
!
!
1 1
1 0
1 1
,
e
.
0 0
1 1
1 1
1 Seja
A = (aij )n×n . Definimos o traço de A, T r(A), por
Pn
i=1
3
aii .
1 0
0 1
!
,