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9a Lista de Exercı́cios de SMA300 - Geometria Analı́tica
Fevereiro de 2014
Para os Exercı́cios de 1 à 11, fixaremos um sistema de coordenadas ortogonal Γ = (O, G) no plano.
Exercı́cio 1 Encontre, em relação ao sistema de coordenadas Γ no plano, a equação reduzida das
seguintes elipses, dados:
.
.
a) os focos ocorrem nos pontos F± = (±5 , 0)Γ e os vértices ocorrem nos pontos V± = (±13 , 0)Γ .
3
.
b) os vértices ocorrem nos pontosV± = (±5 , 0)Γ e a excentricidade é igual a
5
e os focos pertencem ao eixo Ox .
.
c) os focos ocorrem nos pontos F± = (0 , ±6)Γ e o semi-eixo menor mede 17 u.c. .
√
.
d) os focos ocorrem nos pontos F± = (±1 , 0)Γ e o semi-eixo maior mede 2 u.c. .
Exercı́cio 2 Em cada um dos itens abaixo, encontre os vértices, os focos e a excentricidade das elipses
dadas, em relação ao sistema de coordenadas Γ no plano, por:
a) 16 x2 + 25 y 2 = 400 .
b) x2 + 9 y 2 = 9 .
c) 3 x2 + 4 y 2 = 12 .
Exercı́cio 3
a) Encontre a equação reduzida da elipse, em relação ao sistema de coordenadas Γ no plano, que tem
.
.
centro na origem, foco num dos eixos coordenados e contém os pontos A = (3 , 2)Γ e B = (1 , 4)Γ
b) Obtenha a equação reduzida da elipse, em relação ao sistema de coordenadas Γ no plano, que tem
.
.
focos nos pontos F1 = (−3 , 2)Γ , F2 = (−3 , 6)Γ e medida do semi-eixo maior igual a = 4 u.c. .
Exercı́cio 4 Em cada um dos itens abaixo, encontre os vértices, os focos, excentricidade e as assı́ntotas
das hipérboles dadas, em relação ao sistema de coordenadas Γ no plano, por:
a) 25 x2 − 144 y 2 = 3600 .
b) 16 x2 − 25 y 2 = 400 .
c) 3 x2 − y 2 = 3 .
Exercı́cio 5 Em cada um dos itens abaixo, encontre a equação reduzida das seguintes hipérboles, em
relação ao sistema de coordenadas Γ no plano, onde
.
.
a) os focos ocorrem nos pontos F± = (±3 , 0)Γ e os vértices o ocorrem nos pontos V± = (±2 , 0)Γ .
.
b) os vértices ocorrem nos pontos V± = (±15 , 0)Γ e as assı́ntotas ocorrem nas retas r± : [5y − ±4x = 0]Γ .
.
c) os focos ocorrem nos pontos F± = (±5 , 0)Γ e as assı́ntotas nas retas r± : [2y − ±x = 0]Γ .
d) b = 4 e as assı́ntotas são as retas r± : [2y − ±3x = 0]Γ e os focos pertencem ao eixo Oy .
Exercı́cio 6 Em cada um dos itens abaixo, encontre os vértices, os focos e as diretrizes das parábolas,
dadas, em relação ao sistema de coordenadas Γ no plano, por:
a) y 2 = 16 x .
b) y 2 = 28 x .
c) x+ 40 y = 0 .
Exercı́cio 7 Em cada um dos itens abaixo, encontre a equação reduzida das parábolas, em relação ao
sistema de coordenadas Γ no plano, com vértice na origem, onde:
.
a) o foco ocorre no ponto F = (8 , 0)Γ .
b) a diretriz é a reta r : [y − 2 = 0]Γ .
.
c) eixo de simetria é o eixo Ox e um ponto da parábola é o ponto P = (5 , 10)Γ .
.
.
d) dois pontos da parábola são P1 = (6 , 18)Γ e P2 = (−6 , 18)Γ .
2
Exercı́cio 8 Em cada um dos itens abaixo, encontre a equação na forma reduzida da parábola, em
relação ao sistema de coordenadas Γ no plano, com focos e diretrizes dados por:
.
a) F = (2 , 3)Γ e diretriz a reta r : [x = 0]Γ .
.
b) F = (3 , 1)Γ e diretriz a reta r : [y + 3 = 0]Γ .
.
c) F = (−4 , −2)Γ e diretriz a reta r : [2 x + y = 3]Γ .
Exercı́cio 9 Em cada um dos itens abaixo, classificar e esboçar o gráfico da cônica representada, em
relação ao sistema de coordenadas Γ no plano, por:
√
√
√
a) 3 x2 + 3 y 2 + 2 xy + 6 2 x + 2 2 y + 2 = 0 .
b) x2 + 4 y 2 + 3 3 xy − 1 = 0 .
c) x2 + 4 y 2 + 4 xy − 1 = 0 .
d) 16 x2 − 108 xy − 29 y 2 + 260 = 0 .
Exercı́cio 10 Em cada um dos itens abaixo:
(i) Reduza as equações das cônicas abaixo dadas, em relação ao sistema de coordenadas Γ no plano,
a uma forma mais simples, através de translações e/ou rotações (ou seja, mudança do sistema de
coordenadas Γ).
(ii) No caso de usar uma rotação, dê o ângulo em radianos.
(iii) Descreva geometricamente, em relação ao novo sistema de coordenadas obtido, a canônica dada.
√
a) 32 x2 + 52 xy − 7 y 2 + 180 = 0 .
b) 7 x2 − 6 3 xy + 13 y 2 − 16 = 0 .
√
√
c) 4 x2 − 5 xy − 11 y 2 − x + 37 y + 52 = 0 .
d) 4 x2 − 4 xy + y 2 − 8 5 x − 16 5 y = 0 .
√
√
e) x2 + y 2 − 2 xy − 8 2 x − 8 2 y = 0 .
f ) 17 x2 − 12 xy + 8 y 2 = 0 .
Exercı́cio 11 Em cada um dos itens abaixo, aplique mundanças do sistema de coordeandas para
reconher e representar geometricamente a cônica dada, em relação ao sistema de coordenadas Γ no
plano, por
a) 3 x2 + 4 xy + y 2 − 2 x − 1 = 0 .
b) x2 − 6 xy − 7 y 2 + 10 x − 30 y + 23 = 0 .
c) 5 x2 + 4 xy + y 2 − 6 x − 2 y + 2 = 0 .
d) 2 x2 + 3 y 2 − 8 x + 6 y − 7 = 0 .
e) 4 x2 − 4 xy + y 2 − 6 x + 3 y + 2 = 0 .
f ) x2 + 4 y 2 + 4 xy + 2 x + 4 y + 1 = 0 .
Para os Exercı́cios de 12 à 22, fixaremos um sistema de coordenadas ortogonal Σ = (O, E) no
espaço.
Exercı́cio 12 Determinar a equação da superfı́cie do espaço, em relação ao sistema de coordenadas
Σ, obtida da rotação da reta r : [(x , y , z)Σ = (0 , 1 , 0)Σ + λ · (−1 , 0 , 1)E , para λ ∈ R, em torno do
eixo Oz.
Exercı́cio 13 Encontrar uma equação do lugar geométrico dos pontos
em relação ao sis( do espaço,
)
1
tema de coordenadas Σ, equidistantes das retas r : [(x , y , z)Σ = 0 , 0 , −
+ λ · (0 , 1 , 0)E , para
4 Σ
λ ∈ R.
Exercı́cio 14 Encontrar uma equação do lugar geométrico dos pontos P do espaço, em relação ao
d(P, F )
.
sistema de coordenadas Σ, de modo que
= 2, onde F = (1 , 0 , 0)Σ e π : [x = −1]Σ .
d(P, π)
Exercı́cio 15 A parábola y = x2 do plano x = 0 é rotacionada em torno do eixo Oz. Encontre
a equação do lugar geométrico do espaço, em relação ao sistema de coordenadas Σ, descrito pela
superfı́cie de revolução obtida.
3
Exercı́cio 16 Ache uma equação para o cone, em relação ao sistema de coordenadas Σ, gerado pela
rotação da reta r : (x , y , z)Σ = λ · (1 , 0 , 0)E , para λ ∈ R, em torno da reta s : (x , y , z)Σ =
λ · (1 , 1 , 0)E , para λ ∈ R. Represente geometricamente o cone.
Exercı́cio 17 Ache a equação do lugar geométrico dos pontos espaço, em relação ao sistema de coordenadas Σ, tais que o quadrado da distância destes ao eixo Ox seja igual ao triplo de sua distância
ao plano yOz. Trata-se de uma quádrica?
Exercı́cio 18 Mostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço, em relação ao sistema de coorde.
.
nadas Σ, cuja distância ao ponto A = (2 , −1 , 3)Σ é dobro da sua distância ao ponto B = (−4 , 2 , 1)Σ
é uma superfı́cie esférica. Ache seu centro, em relação ao sistema de coordenadas Σ, e seu raio.
{
z = (y − 2)2
Exercı́cio 19 A parábola dada, , em relação ao sistema de coordenadas Σ, por
,
x=0
quando rotacionada em torno da reta r : (x , y , z)Σ = (0 , 2 , 0)Σ + λ · (0 , 0 , 1)E , para λ ∈ R, nos dá
uma superfı́cie. Ache uma equação para tal superfı́cie, em relação ao sistema de coordenadas Σ, e
faça uma representação geométrica do seu gráfico.
Exercı́cio 20 Por uma translação conveniente de eixos (isto é, uma mudança do sistema de coordenadas Σ, do tipo translação) reduza cada uma das quádricas abaixo à sua forma reduzida. Identifique
e faça uma representação geométrica do gráfico das mesmas.
a) x2 + 2 y 2 + 4 z 2 − 2 x − 8 y + 16 z + 9 = 0 .
b) x2 + y 2 − 2 x − 2 y + 4 z − 2 = 0 .
Exercı́cio 21 Mostre que a superfı́cie que tem equação z = xy, em relação ao sistema de coordenadas
Σ, é um parabóloide hiperbólico, fazendo uma rotação conveniente dos eixos Ox e Oy (isto é, uma
mudança do sistema de coordenadas Σ, do tipo rotação em cada um dos eixos )x e Oy).
Exercı́cio 22 Determine a equação da superfı́cie, em relação ao sistema de coordenadas Σ, gerada
.
por uma reta que contém o ponto P = (3 , 0 , 0)Σ , que
{ se apoia na circunferência C de equações dadas,
y2 + z2 = 1
em relação ao sistema de coordenadas Σ, por C :
. Dê uma representação geométrica
x=0
para o gráfico da mesma.