Pontos em
2
R
e
3
R
Pontos em R2
Admita dois eixos, x e y, ortogonais
(perpendiculares entre si) em O. Esses dois
eixos dividem o plano em quatro regiões,
denominadas quadrantes. Em cada uma
dessas regiões, podemos representar infinitos
pontos, expressos por meio de pares
ordenados (xp , yp), em que xp é a abscissa do
ponto e yp é sua ordenada.
Pontos em R2
Marcar no
plano
cartesiano:
A(7, 5)
B(–7, 5)
C(–3, –5)
D(6, –2)
E(8, 0)
F(–5, 0)
G(0, 3)
H(0,-2)
Distância entre dois pontos
Definição: Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se
distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois
pontos por extremidades.
Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos
A e B.
YB
YA
C
XA
XB
Considerando dois pontos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos:
2
AB
d
d
2
AC
d
2
BC
 dAB 
x
 x A    yB  y A 
2
B
2
II. Distância de ponto a ponto
Coordenadas do ponto médio de um segmento
As coordenadas xM e yM do ponto
médio do segmentoAB são,
respectivamente, as médias
aritméticas das coordenadas
dos pontos A e B.
As coordenadas do ponto médio
M do segmento AB são:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
Pontos em R3
O espaço tridimensional
Assim como usamos um sistema de eixos coordenados para
realizar representações no plano, também o fazemos para
representar sólidos e objetos.
Definição:
O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais
é chamado de espaço tridimensional, sendo denotado por
R3 . Cada tripla ordenada (x, y, z) é chamada de um ponto no espaço
tridimensional.
Máquinas operatrizes, sistemas
automatizados e sistemas de
robótica utilizam, na sua grande
maioria, um sistema de 3 eixos
cartesianos, como no exemplo
da fresadora ao lado:
Visualização:
Região
Descrição
Plano xy
(x, y, 0)
Plano xz
(x, 0, z)
Plano yz
(0, y, z)
Eixo x
(x, 0, 0)
Eixo y
(0, y, 0)
Eixo z
(0, 0, z)
z
A (2, 0, 0)
B (2, 4, 0)
C (0, 4, 0)
D (0, 4, 3)
y
x
E (0, 0, 3)
F (2, 0, 3)
G (2, 4, 3)
H (0, 0, 0)
A (0, 1, 0)
B (4, 1, 0)
C (4, 6, 0)
D (0, 6, 0)
E (4, 1, -2)
F (4, 6, -2)
G (0, 6, -2)
H (0, 1, -2)
z
x
y
• Determine as coordenadas dos pontos:
Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de
cada ponto indicado.
A(40, 0, 0),
C(0, 25, 0),
E(10, 25, 25),
G(30, 0, 25),
I(30, 10, 25)
B(40, 25, 0),
D(0, 25, 25),
F(0, 0, 25),
H(40, 0, 25),
J(40, 25, 10)
Distância entre dois pontos no espaço
• Para o cálculo da distância entre dois pontos
no espaço, o procedimento é o mesmo já
utilizado no plano, apenas com o acréscimo da
variável z, referente ao eixo das cotas no
estudo.
dAB 
x
 x A    y B  y A    zB  z A 
2
B
2
2