Pesquisa Operacional
7º Período de Administração
FAMA – Faculdade de Mantena
Prof. Rubens Francisco Gomes
Kit Aluno
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Apostila de Matemática – revisão de álgebra linear
Apostila de Matrizes – revisão de matrizes
Apostila de P.O. UERJ www.mpsantos.com.br
Apostila de P.O. www.ericolisboa.eng.br
Software PO da UERJ
Software Excel – com função Solver instalada.
• Obs: O professor disponibilizará o material para o aluno.
Plano de curso
• 1. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
1.1 O Desenvolvimento da Pesquisa Operacional
1.2 Modelagem
1.3 Estrutura de Modelos Matemáticos
1.4 Técnicas Matemáticas em Pesquisa Operacional
1.5 Fases do Estudo de Pesquisa Operacional
1.6 Exercícios
Plano de curso
• 2. ÁLGEBRA LINEAR
2.1 Vetores
2.2 Matrizes
2.3 Sistemas de Equações Lineares
2.4 Exercícios
Plano de curso
• 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
3.1 Definição
3.2 Formulação de Modelos
3.3 Exercícios
3.3.1 Solução Gráfica
3.3.2 Solução com o software PO da UERJ
3.6.3 Solução com o Excel – função Solver
Plano de curso
• 4. O PROBLEMA DE TRANSPORTE
4.1 Um Exemplo de Problema de Transporte
4.2 Problema Clássico de Transporte
4.3 Método de Stepping-Stone
4.4 Dificuldades do Problema de Transporte
4.5 Solução usando o software PO da UERJ
Plano de curso
• 5 INTRODUÇÃO À SIMULAÇÃO
5.1 Vantagens e Desvantagens da
Simulação
5.2 Áreas de aplicação
5.3 Tipos de Modelos
5.4 Modelos Discretos e Contínuos
Plano de curso
5 INTRODUÇÃO À SIMULAÇÃO
5.5 Exemplos de modelos de Simulação
5.5.1 Quebra de rolamentos
5.5.2 Fila com uma estação de serviço
5.5.3 Exercícios no Software PO – UERJ
5.5.3.1 Um software para simular filas de espera
5.5.3.2 Alguns exemplos usando o programa
“Simulação”
Plano de curso
• 6. ANÁLISE DE REDES
6.1 Conceitos Básicos em Teoria dos Grafos
6.2 Problemas de Fluxo Máximo e Problema
de Caminho Mínimo
6.2. Redes - PERT/CPM
Plano de curso
6.2. REDES - PERT/CPM
6.2.1
O problema do Fluxo Máximo
6.2.2
Formulação como um modelo clássico de P.Linear
6.2.3
Técnica da Rotulação
6.2.4
Fluxo máximo em redes com arcos não direcionados
6.2.4.1 Adaptação para uso da Técnica de Rotulação
6.2.5
O problema do caminho mínimo
6.2.5.1 Formulação como um modelo clássico de P.Linear
6.2.6
Etapas do algorítimo de Dijkstra
6.2.7
Árvore de Tamanho Mínimo
6.2.7.1 Etapas do algorítimo para encontrar a árvore do tamanho
mínimo
6.2.8 Exercícios
Plano de curso
6.3 PERT/CPM
6.3.1Construção da Rede
6.3.1.1 Representação gráfica da Rede
6.3.1.2 Representação das Atividades
6.3.1.3 Complicação na Construção da Rede
6.4 Determinação do Caminho Crítico
6.5 O Modelo PERT
6.5.1 Problemas do modelo PERT
6.6 O Modelo CPM
6.6.1 Relação entre Durações/Custos Normal e
Acelerado
6.6.2 Compressão da Rede
6.6.3 Duração ótima para o projeto
6.6.4 Resolvendo por Programação Linear
6.7 Exercícios
Plano de curso
• Bibliografia
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Luiz J. Corrar e Carlos Renato Theóphilo, PESQUISA OPERACIONAL para Decisão
em Contabilidade e Administração. Contabilometria, Editora Atlas 1ª Edição (2004) - 3ª Tiragem.
Afrânio Carlos Murolo, Ermes Medeiros da Silva, Elio Medeiros da Silva e Valter
Gonçalves, PESQUISA OPERACIONAL PARA OS CURSOS DE: ECONOMIA,
ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS, Editora Atlas 3ª Edição (1998) - 10ª Tiragem.
Mauricio Pereira dos Santos, Pesquisa Operacional, Departamento de Matemática
Aplicada - Instituto de Matemática e Estatística – UERJ, Copyrightc°2.003 por Mauricio
Pereira dos Santos, versão digital http://www.mpsantos.com.br/
Prof. Erico Fagundes Anicet Lisboa, M. Sc. [email protected], Versão digital disponível na
internet http://www.ericolisboa.eng.br
Ellenrider, Alberto Von, Pesquisa Operacional, Departamento de Organização Instituto Tecnológico
de Aeronáutica – ITA, 1971, Almeida Neves – Editores Ltda Rio de Janeiro
Shamblin, James E., G.T. Steves Jr., Pesquisa Operacional : uma abordagem básica; tradução de
Carlos Roberto Vieira de Araújo. – São Paulo: Atlas, 1979.
PESQUISA OPERACIONAL para Decisão em
Contabilidade e Administração.
Contabilometria
Luiz J. Corrar e Carlos Renato Theóphilo
1ª Edição (2004) - 3ª Tiragem
R$ 68,00
PESQUISA OPERACIONAL PARA OS CURSOS
DE: ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS
CONTÁBEIS
Afrânio Carlos Murolo, Ermes Medeiros da
Silva, Elio Medeiros da Silva e Valter Gonçalves
3ª Edição (1998) - 10ª Tiragem
R$ 40,00
Função Linear
• Função do 1° Grau
• Denominamos função do primeiro grau a
qualquer função f: RR, tal que:
• f(x) = ax + b (com a 0)
• O gráfico de uma função do 1° grau é
sempre uma reta inclinada que encontra o
eixo vertical quando y = b.
Função Linear
• O valor constante b da expressão ax + b é
chamado coeficiente linear.
– O coeficiente a da expressão ax + b é chamado
coeficiente angular e está associado ao grau
de inclinação que a reta do gráfico terá (na
verdade o valor de a é igual à tangente de um
certo ângulo que a reta do gráfico forma com o
eixo horizontal).
Função Linear
• Se a > 0 a função será crescente,
ou seja, quanto maior for o valor
de x, maior será também o valor
correspondente de y e o gráfico vai
ficando mais alto para a direita.
Função Linear
Função Linear
Se a < 0 a função será
decrescente, o u seja, quanto
maior for o valor de x, menor
será o valor correspondente de
y e o gráfico vai ficando mais
baixo para a direita.
Função Linear
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
• Um sistema de equações com duas
variáveis, x e y, é um conjunto de quações
do tipo:
• ax + by = c (a, b, c R)
• ou de equações redutíveis a esta forma.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
• Exemplo:
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
• Resolver um sistema significa
encontrar todos os pares
ordenados (x; y) onde os valores
de x e de y satisfazem a todas as
equações do sistema ao mesmo
tempo.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
• Exemplo:
No sistema indicado no exemplo anterior, o
único par ordenado capaz de satisfazer às
duas equações simultaneamente é:
(x; y) = (2; 1)
Ou seja, x = 2 e y = 1
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
Resolução algébrica
Dentre os vários métodos de resolução algébrica
aplicáveis aos sistemas do 1° grau, destacamos
dois:
• método da adição
• método da substituição
Para exemplifica-los, resolveremos o sistema
seguinte pelos dois métodos:
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
Resolução algébrica
Para exemplifica-los, resolveremos o sistema
seguinte pelos dois métodos:
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
Resolução gráfica
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
Resolução gráfica
Se as retas forem concorrentes o sistema terá uma única
solução. Será um sistema possível e determinado.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
2°) Retas Paralelas Coincidentes
Se as retas forem coincidentes o sistema terá infinitas
soluções. Será um sistema possível mas indeterminado.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
3°) Retas Paralelas Distintas
Se as retas forem paralelas e distintas o sistema não terá
qualquer solução. Será um sistema impossível.