Aula 9
análise das equações de
conservação
sistema físico
• modelo de camadas múltiplas
transporte em suspensão
[1]
h
La
hb
transporte por arrastamento
[2]
[ 3 ] camada de mistura
Yb
h = hs + hb: profundidade do escoamento
hs : espessura da camada de transporte em suspensão
hb : espessura da camada de transporte por arrastamento
La : espessura da camada de mistura
Yb : cota do fundo
[ 4 ] substrato
modelo conceptual
• granulometria uniforme, velocidade média, baixas
concentrações,
equilíbrio, regime permanente
massa total
d x hu   0  q  uh  cte
conservação da massa de sedimentos
t Yb  
u u  qS 

(1  p)h 1  Fr
2

 x Yb   
uu  qS 

(1  p)h 1  Fr
2

J
quantidade de movimento da mistura
 
d x hu 2 
1
2
 
gd x h2  ghd x Yb    b ( w)
variáveis dependentes:
h : profundidade do escoamento
u : velocidade média do escoamento
Yb : cota do fundo
equações de fecho:
qS
: concentração de sedimentos
J
: declive da linha de energia
análise das equações
• motivação
considere-se a equação de advecção pura de uma grandeza C:
t C    xC   G
(A)
seja, para simplificar o cálculo,  e G constantes. em
particular, seja:
  1
G0
considere-se o problema de valores iniciais e de fronteira
representado por (A) e pelas condições de fronteira e iniciais:
C ( x  0, t )  2
C ( x, t  0)  1
C
comportamento esperado:
x
análise das equações
• motivação
discretize-se a derivada espacial por diferenças “upwind” e a derivada temporal
por diferenças de 1ª ordem:
n
n
Cin1  Cin 1 n
n Ci  Ci 1
 2 i 1  i
0
t
x

Cin1  Cin 
t
x

1
2
 in1  in Cin  Cin1 
n +1
n
i1
i
i+1
discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e
proceda-se ao cálculo numérico considerando
 t
x
1
análise das equações
• motivação
discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e
proceda-se ao cálculo numérico
C11
C21
2

t n n
i Ci  Cin1
x



8
6
n +1
4
C (-)
Cin1  Cin 


t 0 0


 2 C2  C10  1  11  1  1
x
t 0 0
C31  C30 
3 C3  C20  1  11  1  1
x
C20
C12  2




t 1 1
 2 C2  C11  1  11  2   0
x
t 1 1
C32  C31 
 2 C3  C12  1  11  1  1
x
C22  C21 
2
0
-2 0
2
4
6
8
10
n-4
-6
i1
-8
C13  2


i
x (m)


i+1
t 2 2
 2 C2  C12  0  1 0  2   2
x
t 2 2
C33  C32 
 2 C3  C22  1  11  0   2
x
C23  C22 
análise das equações
• motivação
análise:
dC
dx
 t  C    x  C   0
dt
dt
comparando com a equação (A) conclui-se
que

8
6
n +1
4
C (-)
note-se que a derivada material de uma
grandeza C se escreve, num referencial
Eulereano:
2
0
-2 0
2
4
6
8
10
n-4
-6
-8
i1
i
x (m)
i+1
dx
dt
i.e.,  tem o significado físico de uma
velocidade de propagação
conclusão: existe uma velocidade física para a propagação de informação relativa
a um fenómeno essencialmente advectivo e, também, uma velocidade numérica de
propagação; num modelo numérico, terão que ser compatíveis!
análise das equações
• motivação
direcção de propagação física: jusante para
montante
  1
n +1
direcção de propagação numérica:
montante para jusante
n
xi  xi 1
1
t
i1
i
i+1
Cin1  Cin 
C ( x  L, t )  2
C ( x, t  0)  1
t
x
1
2
 in  in1 Cin1  Cin 
C (-)
se se colocar a condição de fronteira na secção correcta (jusante) e se
discretizar o termo equação convectivo da equação (A) por diferenças
finitas de 1ª ordem “downwind” obtém-se
7
2
-3
0
2
4
6
-8
x (m)
8
10
análise das equações
• objectivos da análise matemática dos modelos de
transporte de sedimentos
- determinar as velocidades (magnitude e sentido) de propagação de
informação inerentes ao modelo conceptual
- determinar a natureza da informação propagada
• aplicações
- determinação do número e natureza das condições de fronteira e iniciais
- escolha dos esquemas numéricos em face da correcta propagação da
informação no domínio de cálculo
análise das equações
• exemplo, modelo #5
conservação da massa de sedimentos
t Yb  
u u  qS 


velocidade de propagação
(1  p)h 1  Fr
2
t Yb   s  x Yb   s
derivada temporal
 x Yb   

(1  p)h 1  Fr
2

J
termos de fonte
forma canónica não-conservativa de uma pde (equação diferencial parcial)
J
gradiente
velocidade de propagação:
s 
uu  qS 
u u  qS 

(1  p)h 1  Fr
2

grandeza transportada: Yb
Fr  1  S  0
t
P
s
x
(perturbações na cota do fundo)
Fr  1  S  0
t
P
s
x
análise das equações
• exemplo, modelo #5
condições no contorno:
Fr  1
Fr  1
t
t
J
M
CF
CF
I
CI
x
x
CI
1 condição de fronteira a montante
1 condição de fronteira a jusante
1 condição inicial
1 condição inicial
análise das equações
• problema unidimensional, caso geral: sistema de n
pdes de 1ª ordem
At  V   B x  V   G
forma canónica não-conservativa de um sistema de n pdes
V: vector das variáveis dependentes primitivas
G: vector dos termos de fonte (irrelevante para as velocidades de propagação)
A e B : por analogia com a equação diferencial única do exemplo anterior, as
matrizes A e B dão conta das direcções e velocidades de propagação de
informação física
quanto à determinação das velocidades de propagação, os conceitos
fundamentais são:
linearidade/não linearidade
hiperbolicidade
análise das equações
• problema unidimensional, caso geral: sistema de n
pdes de 1ª ordem
At  V   B x  V   G
linearidade/não linearidade
os sistemas de equações de conservação associados a processos fluviais são sistemas de
pdes de 1ª ordem quasi-lineares, i.e., as matrizes A e B são função das variáveis
dependentes primitivas mas não das suas derivadas.
exemplo:
t Y    x  hu   0
 
t  hu    x hu 2 
1
2
 
g  x h2  gh x Yb    b ( w)
(1  p)t Yb    x Cuh  0
V  h 
u 
 
Yb 
A  1 0
1 
u h
0 

 0 0 1  p 
B  (TPC )
G V  
0

   ( w ) 
 b



0
análise das equações
• hiperbolicidade do sistema
At  V  B x V   0
(ver acetato para a noção de fase, velocidades de fase = características do sistema)
definição:
. o sistema é hiperbólico se tiver n direcções de propagação independentes
. o sistema é hiperbólico se o polinómio característico
B  A  0
(ex: 3  a1 2  a2   a3  0
) tiver n raízes reais distintas
. o sistema é hiperbólico se a matriz A-1B admitir n vectores próprios
independentes
nota: as características do sistema permitem conhecer a velocidade e
a direcção de propagação da informação no domínio; falta conhecer
as grandezas efectivamente propagadas!
análise das equações
• hiperbolicidade do sistema
At  V  B x V   0
exemplo: equações de Saint-Venant
forma conservativa t  U(V)    x  F(V)   G
t  h   x  q   0

U  h
q 
 

t  q    x q2 h  12 gh2  gh  i  J 
forma não-conservativa (TPC)
t  h  u x h  h x u   0
t u   g x  h  u x u   g i  J 
polinómio característico
A  1 0 
0 1 


B   u h
g u


B  A  0
 u  
h 
det  
0 

u   
 g
 u   2  gh  0 
q  uh
  u  gh
análise das equações
• hiperbolicidade do sistema
At  V  B x V   0
exemplo: equações de Saint-Venant
características do sistema:
(1)  u  gh
propagação da informação para jusante (cheias)
(2)  u  gh
propagação da informação para montante ou jusante (efeitos
de regolfo)

Fr  1  (2)  0
(1)
t
P

Fr  1  (2)  0
t
P
 (1)
(1)
 (2)
 (2)
 (2)
x
escoamento lento
x
escoamento rápido
análise das equações
At  V  B x V   0
• hiperbolicidade do sistema
exemplo: equações de Saint-Venant
que informação é propagada ao longo das linhas características? ou...
pode um sistema t  V   M x  V   0 ser escrito na forma
t  W  Λ x W  0
variáveis características: informação
propagada ao longo das linhas características
Λ    (1)

 0
0 

 ( 2) 
?
sim, pode, desde que, sendo S uma matriz de mudança de base, seja possível proceder à
transformação
dW  SdV

t  W  St  V   x W  S x V
nesse caso
t  V 
 x V 
S1 t  W   MS1 x  W   0  SS1 t  W   SMS 1 x  W   0

t  W  Λ x W  0
com
Λ  SMS1
análise das equações
• hiperbolicidade do sistema
At  V  B x V   0
exemplo: equações de Saint-Venant
a matriz de mudança de base é, por definição composta pelos vectores próprios
de M. em rigor, as linhas de S são os vectores próprios esquerdos de M.
S   l (1)    l1(1)
 ( 2)  l ( 2)
l   1
l2(1) 

l2( 2) 
para as equações de Saint-Venant, B = M e os vectores próprios são:
l1(1)
l1(1)
l2(1)  u   (1)

 g


l2(1)  u  u  gh

g


 0

u   (1) 
h

 0
u  u  gh 

h


l1(2)
l1(2)
l2(2)  u   (2)

 g

 0

u   (2) 
h

l2(2)  u  u  gh

g



 0
u  u  gh 

h


análise das equações
• hiperbolicidade do sistema
At  V  B x V   0
exemplo: equações de Saint-Venant
l1(1)
l2(1)    gh

 g
h  0

 gh 
l1(2)
g
h
l1(2)   l2(2)
l2(1)  1
l
(1)
 g

 h
g
h
l2(2)  1

1

h  0

2 gh 
l1(2) h  l2(2) gh  0
l1(1) h  l2(1) gh  0
l1(1)  l2(1)
l2(2)   gh

 g

S 




g
h
g
h
 g
l ( 2)   
 h

1


1


1

análise das equações
• hiperbolicidade do sistema
At  V  B x V   0
exemplo: equações de Saint-Venant
dW  SdV

 h W1   S11 
 h W2   S21  

S 




V W  S
u W1   S12  1
g
h
g
h
g
h
g
h

1


1

u W2   S22  1
W1  u  2 gh
informação propagada ao longo de  (1)
W2  u  2 gh
informação propagada ao longo de 
(2)
t  W  Λ x W  0
análise das equações
At  V  B x V   0
• hiperbolicidade do sistema
exemplo: equações de Saint-Venant
t  W  Λ x W  0





dW1
0 
dt
d
u  2 gh  0
dt
dW2
0 
dt
d
u  2 gh  0
dt
exemplo: escoamento lento
t
Fr  1  (2)  0
P
2

gh
2

u
 (1)
u
gh
te
c

cte
 (2)
x
ao longo de  (1)
(2)
ao longo de 
análise das equações
At  V  B x V   0
exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme,
velocidade média
• hiperbolicidade do sistema
massa total
t  h  t Yb    x  hu   0
conservação da massa de sedimentos
(1  p)t Yb   t  hC    xCuh  0
quantidade de movimento da mistura
 
 
t  hu    x hu 2  12 g  x h2  gh x Yb    b ( w)
o polinómio característico, B  A  0, é 3  a1 2  a2   a3  0 .
tem três raízes reais distintas (três vectores próprios independentes).
é portanto um sistema hiperbólico!
análise das equações
At  V   B x  V   G
exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme,
velocidade média
• hiperbolicidade do sistema
linhas características, comparação com as
equações de Saint-Venant para água limpa

concentrações calculadas por: linha vermelha
(
) fórmula de Meyer-Peter & Muller;
linha azul (
) fórmula de Bagnold.
(1)
 (3)
 (2)
notas:
- (1) é, fundamentalmente, idêntica à
água limpa;
- (2) e (3) são afectadas pelo transporte
de sedimentos;
- se Fr < 0.7 o sistema exibe duas escalas
distintas.
análise das equações
At  V   B x  V   G
exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme,
velocidade média
• hiperbolicidade do sistema
aspecto das linhas características (notar que as características não
mudam de sinal com Fr... como se define o regime crítico?)
Fr < 0.7
t
 (1)
P
 (1)
Fr > 1.0
t
P
 (3)

 (2)
(2)
x
 (3)
x
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
separação de escalas: se Fr < 0.7, (2) é aproximadamente igual a
u  gh e (3) é aproximadamente igual a s (justifica o modelo #5)
{
d x hu   0  q  uh  cte
t Yb  
u u  qS 

(1  p)h 1  Fr
2

massa total
 x Yb   
uu  qS 

(1  p)h 1  Fr
massa de sedimentos
 
 
d x hu 2  12 gd x h2  ghd x Yb    b ( w)
quantidade de movimento da
mistura
2

J
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa
aproximação.
resolução desacoplada (I) do sistema de equações porque
(1)  (2)
s
- propagação na fase líquida resolvida como uma sucessão de regimes permanentes; velocidades
de propagação (1) e (2) infinitas ((2) determina o sinal, consoante o número de Froude);
- num dado t, a equação da fase líquida é resolvida antes da equação relativa à evolução
morfológica (problemas: ver acetatos).
Fr  1
t
 (2)
Fr  1
t
P
P
 (2)
s
s
x
x
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa
aproximação.
resolução desacoplada (II) do sistema de equações porque
(1)  (2)
s
- num dado t, as equações (dinâmicas completas, ie. com termos de inércia local) da fase líquida
são resolvidas antes das equações relativas à conservação da massa de sedimentos e do leito
(problemas: ver acetatos).
t
- localmente:
 (1)
M
 (3)
s  0
x
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte
em equilíbrio:
jusante: curva de vazão
t
CFM 1
M
QNnt  Q(hNnt ) (Fr < 1)
ou evolução temporal da cota
do fundo
J
 (2)
 (1)
 (3)
CFM 2
montante: hidrograma de
caudais sólidos e líquidos
Qs 0nt  Qs 0 ( x  0, t )
Q0nt
 Q( x  0, t )
ou hidrograma de caudais sólidos
e alturas do escoamento
Y0nt  Y ( x  0, t )
CFJ
I
x
CIs
iniciais: h, u e Yb
nt
YbN
 Yb ( x  L, t )
(Fr > 1)
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte
em equilíbrio:
montante: notar que a variável
dependente é a cota do fundo, Yb, mas a
condição de fronteira relativa a s = (2)
é expressa em termos de Qs.
t
M
CFM 1
J
 (3)
 (1)

CFM 2
(2)
CFJ
há que converter, na vizinhança da
fronteira, o caudal sólido em equilíbrio
em cotas do fundo;
Yb0  F Qs (t ), Qs (t  t ) 
I
x
CIs
em modelos desacoplados este
procedimento pode levar ao maucondicionamento do problema
(oscilações que crescem a partir da
fronteira).
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte
em desequilíbrio (Cb é variável dependente):
notas: i) Qs é facilmente introduzido na equação de conservação da massa de
sedimentos na camada de transporte; ii) não se pode prescrever a cota do fundo
nas fronteiras sob pena de provocar o mau condicionamento do problema.
t
P
 (1)
M

CFM 1
CFM 2

(4)
(3)
 (3)
J
 (2)

(4)
 (1)
0
 (2)
0
I
CFJ
(4)  0
x
CIs
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
condições iniciais e de fronteira:
- em geral, o número de condições independentes a especificar
numa dada superfície de contorno é igual ao número de linhas
características que “entram” por essa superfíce;
- simbolicamente:
C( k ) n  0
em que C(k) é a expressão vectorial da linha caracterísitca cuja
velocidade de fase é (k).
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
problemas descontínuos, soluções fracas.
0.50
forma conservativa:
t u   x f (u)  0
t (T)
0.40
forma não-conservativa:
0.30
t u   x u  0
0.20
com:
0.10
0.00
2.5
d 2 f (u )
0
wu(1)1 (-)
2.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
x ( L)
t = 0.10
1
1.1 1.2 1.3
t = 0.40
d u2
0 
d(u )
0
du
 (u) é monotona crescente
1.5
1.0
o aparecimento de soluções descontínuas é
inevitável!
0.5
0.0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
x (L)
1
1.1 1.2 1.3
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
problemas descontínuos, soluções fracas.
t  U(V)    x  F(V)   0
x1  dx
t1+dt
x1
U+
dt
caminho
do choque
U
t1
 


x1
 t  U    x  F  dtdx  0
t1
x1 dx
U(t1  dt )  U(t1 )dx 
x1
t1 dt
x1+dx
dx
t1  dt
F( x1  dx)  F( x1 )dt  0
t1
 U(t1  dt)  U(t1) dx  F( x1  dx)  F( x1)  dt  0

U  U



dx
 F  F )  0
dt

 U  U  S  F   F 
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
soluções fracas – solução descontínua num número contável de pontos.
exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.
U  UL
U  UR
teorema de Lax (1957): se i) o sistema de equações é estritamente hiperbólico, se os
fluxos são funções contínuas e diferenciáveis e iii) se a amplitude da descontinuidade
inicial é finita, então a solução do problema de Riemann consiste em n ondas (choques
ou ondas de expansão), em que n é a dimensão da matriz jacobiana do sistema,
mediados por n+1 estados constantes.
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos.
exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.
onda de expansão
associada a  t
através do choque - condições de
Rankine-Hugoniot:
U*
S
S
choque
UR
associado
a 
UL
 uh *   uh R
h*  hR
u 2 h  12 gh2    u 2 h  12 gh2 

*
R
S
 uh *  uh R
x
através da onda de expansão – quasi-invariantes de Riemann:
dh
r 1

du
r

2

dh
du

1  g/h

du
g

dh
h
 u  2 gh  cte
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos.
exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.
solução para a onda de expansão:
{
uL  2 ghL  u  2 gh
dx x
 
  u  gh
dt t

{
x
 2 ghL  3 gh
t
{
2
x
u   ghL  
3
t
2
1
gh   ghL 
3
2
solução para o estado constante e para o choque:
 h*  hR  S  uh *  uh R
uh*  uhR  S  u2h  12 gh2 *  u2h  12 gh2 R
incógnitas:
u*  2 gh*  uL  2 ghL
h*, u* e S
x

t
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos.
exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallowwater equations.
stoker's solution,  = 0.00
0.20
0.05
1.2
hR 0
1.8
1
hR 0
h*  hR
1.6
1.2
0.6
1
0.8
0.4
0.6
0.4
0.2
u /(9.8h L)0.5
1.4
0.8
h /h L
lim S  lim
2
 uh *   uh R
 u*max  2 ghL
lim u* 
h* 0
0.2
0
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
0.5
x /t /(9.8h L)
1
1.5
2
lim 2
hR 0


ghL  gh*  2 ghL