Lista de Exercı́cios 4
Fı́sica Quântica (segunda parte)
Exercı́cios Sugeridos
A numeração corresponde ao Livro Texto.
E.1 A seguinte equação representa as series das linhas espectrais do Hidrogênio:
1
1
1
−
.
= RH
λ
n20 n2
Nestas expressões, RH = 1,0973732×107 m−1 é a constante de Rydberg. O parâmetro n0 assume os valores 1,2,3, e 4, respectivamente para as séries de Lyman, Balmer, Paschen e Brackett.
Para cada série n pode ser qualquer inteiro n > n0 (n = n0 + 1,n0 + 2,n0 + 3, etc.)
a) Calcular o comprimento de onda mais curto em cada uma das séries espectrais.
b) Calcular a energia (em eV) do fóton de maior energia emitido em cada uma destas séries.
c) Qual o valor de n associado à raia da série de Lyman do hidrogênio que tem comprimento
de onda de 94,96 nm? Este comprimento de onda poderia ser associado à serie de Paschen
ou à série de Brackett?
E.2 Mostre que no modelo atômico de Bohr do átomo de hidrogênio, as órbitas estacionárias do
elétron possuem raios dados pela expressão:
rn = a0 n2 ,
n = 1,2,3,4, . . .
sendo
a0 =
~
= 0,529 Å
me ke2
o raio de Bohr.
E.3 Use o modelo de Bohr para calcular no estado fundamental do átomo de hidrogênio:
a) a velocidade orbital do elétron;
b) a energia cinética (em eV) do elétron;
c) a energia potencial (em eV) do átomo.
E.4 Considere os ı́ons He+ e Li2+ . Utilize o modelo atômico de Bohr para:
a) construir os diagramas de nı́veis de energia;
b) obter as energias de ionização;
c) calcular o raio da primeira órbita, para cada ı́on.
E.5 Um átomo de hidrogênio está no seu primeiro estado excitado (n=2). Use o modelo de Bohr
para calcular: (a) o raio da órbita; (b) o momento linear do elétron; (c) o momento angular do
elétron; (d) a energia cinética; (e) a energia potencial; (f) a energia total.
28.17 Calcule o comprimento de onda de de Broglie para um próton se deslocando com uma velocidade de 1,00×106 m/s.
1
28.18 (a) Um elétron tem energia cinética de 3,00 eV. Encontre seu comprimento de onda. (b) Um
fóton tem energia cinética de 3,00 eV. Encontre seu comprimento de onda.
28.20 Após aprender sobre a hipótese de de Broglie de que as partı́culas de momento p têm caracterı́sticas ondulatórias com comprimento de onda λ = h/p, um estudante de 80,0 kg fica preocupado sobre ser difratado ao atravessar uma entrada de porta que tem 75,0 cm de largura.
Suponha que difração significativa ocorra quando a largura da abertura de difração é menor
que 10 vezes o comprimento de onda da onda sendo difratada.
a) Determine a velocidade máxima com que o estudante pode atravessar a entrada de forma
a ser significativamente difratado.
b) Com tal velocidade, quanto tempo o estudante levará para atravessar a entrada se ela tem
15,0 cm de espessura? Compara o resultado com a idade do universo aceita atualmente
que é de 4×1017 s.
c) Esse estudante deve preocupar-se quanto a ser difratado?
28.25 Nêutrons deslocando-se a 0,400 m/s são direcionados através de uma fenda dupla com uma
separação de 1,00 mm. Um conjunto de detectores está colocado a 10,0 m da fenda.
a) Qual é o comprimento de onda de de Broglie dos nêutrons?
b) A que distância do eixo está o primeiro ponto de intensidade nula sobre o conjunto de
detectores?
c) Quando um nêutron alcança um detector, podemos dizer por que fenda ele passou? Explique.
28.26 O poder de resolução de um microscópio depende do comprimento de onda de luz utilizado. Se desejássemos “ver” um átomo, seria necessária uma resolução de aproximadamente
10−11 m.
a) Se são usados elétrons (num microscópio eletrônico), qual é a energia cinética mı́nima
necessária para os elétrons?
b) Se são usados fótons, qual é a energia mı́nima dos fótons necessária para se obter a
resolução requerida?
28.27 Um elétron (me = 9,11×10−31 kg) e um projétil (m = 0,0200 kg) têm cada um uma velocidade de magnitude de 500 m/s com incerteza de 0,0100%. Dentro de que limites poderı́amos
determinar a posição desses corpos ao longo da direção da velocidade?
28.31 Uma mulher sobre uma escada lança bolinhas em direção a um alvo no chão.
a) Mostre que, de acordo com o princı́pio da incerteza, o afastamento médio em relação ao
alvo tem de ser de pelo menos
∆xf = (2~/m)1/2 (2H/g)1/4
onde H é a altura inicial de cada bolinha acima do solo e m a massa de cada bolinha.
Suponha que o espalhamento do ponto de impacto é dado por ∆xf = ∆xi + (∆vx )t.
b) Se H = 2,00 m e m = 0,500 g, qual é o valor mı́nimo de ∆xf ?
28.32 A função de onda para uma partı́cula é
r
ψ(x) =
π(x2
a
,
+ a2 )
com a > 0. Determine a probabilidade de que a partı́cula seja localizada em algum lugar entre
x = −a e x = +a.
2
28.33 Um elétron livre tem uma função de onda
ψ(x) = A sen 5,00×1010 x ,
onde x está em metros. Encontre,
a) o comprimento de onda de de Broglie,
b) o momento linear, e
c) a energia cinética em elétron-volts.
28.34 Um elétron que tem uma energia de aproximadamente 6 eV desloca-se entre paredes rı́gidas
separadas por 1,00 nm. Encontre
a) o número quântico n para o estado de energia que o elétron ocupa e
b) o valor preciso da energia do elétron.
28.37 Uma partı́cula em um poço quadrado infinitamente profundo tem uma função de onda que é
dada por
r
2
2πx
ψ2 (x) =
sen
L
L
para 0 ≤ x ≤ L e é nula nas outras regiões.
a) Determine o valor esperado de x.
b) Determine a probabilidade de encontrar a partı́cula próxima de L/2, calculando a probabilidade de que a partı́cula esteja no intervalo 0,490L ≤ x ≤ 0,510L.
c) Determine a probabilidade de encontrar a partı́cula próxima de L/4, calculando a probabilidade de que a partı́cula esteja no intervalo 0,240L ≤ x ≤ 0,260L.
d) Mostre que não há contradição entre o resultado do ı́tem a) e os resultados dos ı́tens b) e
c).
28.40 A função de onda de uma partı́cula é dada por
ψ(x) = A cos(kx) + B sen(kx),
onde A, B e k são constantes. Mostre que ψ é uma solução da equação de Schrödinger para
uma partı́cula livre (U = 0) e encontre a energia correspondente, E, da partı́cula.
28.44 Um elétron que tem uma energia total E = 4,50 eV se aproxima de uma barreira de energia
retangular com U = 5,00 eV e L = 950 pm, como na figura abaixo. Classicamente, o elétron não
pode ultrapassar a barreira porque E < U . Contudo, a probabilidade quântica de tunelamento
não é nula. Calcule essa probabilidade que é o coeficiente de transmissão.
Figura P28.44
Serway/Jewett; Principles of Physics, 3/e
Harcourt, Inc. items and derived items copyright
c
2002
by Harcourt, Inc.
3
28.55 Um elétron é representado pela função de onda independente do tempo
Ae−αx para x > 0
ψ(x) =
Ae+αx para x < 0.
a)
b)
c)
d)
e)
Faça o gráfico da função de onda em função de x.
Ache a probabilidade de o elétron ser encontrado entre x e x + dx.
Mostre que esta pode ser uma função de onda fisicamente razoável.
Normalize a função de onda.
Determine a probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar no intervalo de
x1 = −
1
2α
a x2 = +
1
.
2α
28.56 Partı́culas incidentes da esquerda encontram um degrau na energia potencial, como mostrado
na figura. O degrau tem uma altura U e as partı́culas tem energia E > U . Classicamente,
esperarı́amos que todas as partı́culas passassem o degrau, embora com velocidade reduzida.
De acordo com a mecânica quântica, um fração das partı́culas é refletida na barreira.
Figura P28.56
Serway/Jewett; Principles of Physics, 3/e
Harcourt, Inc. items and derived items copyright
c
2002
by Harcourt, Inc.
a) Prove que o coeficiente de reflexão R para este caso é
R=
(k1 − k2 )2
(k1 + k2 )2
onde k1 = 2π/λ1 e k2 = 2π/λ2 são os vetores de onda para as partı́culas incidente e
transmitida. Proceda como segue: Mostre que a função de onda ψI (x) = Ae+ik1 x +Be−ik1 x
satisfaz a equação de Schrödinger na região I, onde x < 0. Aqui Ae+ik1 x representa o
feixe incidente e Be−ik1 x representa as partı́culas refletidas. Mostre que ψII (x) = Ce+ik2 x
satisfaz a equação de Schrödinger na região II onde x > 0. Imponha as condições de
continuidade ψI = ψII e dψI /dx = dψII /dx em x = 0 para encontrar a relação entre B e
A. Então calcule R = |B/A|2 .
b) Uma partı́cula que tem energia cinética E = 7,00 eV incide de uma região onde a energia
potencial é nula sobre uma região na qual U = 5,00 eV. Encontre sua probabilidade de
de ser refletida e sua probabilidade de ser transmitida.
28.58 Para uma partı́cula descrita por uma função de onda ψ(x) o valor esperado de uma grandeza
fı́sica f (x) associada com a partı́cula é definido por
Z
+∞
f (x)|ψ(x)|2 dx.
hf (x)i =
−∞
Para uma partı́cula em uma caixa unidimensional que vai de x = 0 até x = L, mostre que
L2
L2
x2 =
− 2 2.
3
2n π
4
P2.1 Considere um ı́on mono-eletrônico cujo núcleo tem número atômico Z.
a) (1,0) Utilize o modelo de Bohr para deduzir a energia do ı́on num estado estacionário
caracterizado pelo número quântico n.
Átomos de hidrogênio no estado fundamental absorvem fótons e são excitados para o
nı́vel n=4.
b) (0,5) Quais são a energia e o comprimento de onda dos fótons absorvidos?
c) (1,0) Depois de um certo tempo, todos os átomos estão de volta ao estado fundamental.
Faça uma lista de todos os comprimentos de onda de fótons emitidos no processo de
decaimento do gás, indicando as transições envolvidas.
P2.2 Um fonte produz nêutrons com energia cinética K=0,04 eV (nêutrons térmicos). Os nêutrons
passam por um filtro que seleciona velocidades com incerteza relativa de 0,01%. Num determinado instante, t=0, a função de onda, unidimensional, de um nêutron é descrita por um pacote
de onda dado por:
Ψ(x,0) = Ae−x
2 /4(∆x)2
eik0 x .
Nesta expressão, A é uma constante, ∆x é a incerteza padrão na posição, e ~k0 é o momento
linear médio.
a) (0,5) Determine o comprimento de onda de de Broglie no nêutron.
b) (1,0) Com um pacote de onda deste tipo, o produto das incertezas na posição e no momento é o mı́nimo permitido pelo princı́pio da incerteza. Determine ∆x neste caso.
c) (1,0) Determine a constante A, expressando-a em termos de ∆x.
P2.3 Um elétron com energia cinética E=8 eV se move no eixo x desde a esquerda como mostra a
figura. Em x=0 há uma barreira de energia potencial de altura U0 =10 eV e largura L=0,2 nm.
Depois da barreira, a energia potencial permanece constante no valor U0 /2.
a) (1,0) Calcule os comprimentos de onda do
elétron antes da barreira (região I, λ1 ) e depois da barreira (região III, λ3 ).
b) (1,0) Calcule as probabilidades do elétron
ser refletido pela barreira e do elétron ser
transmitido através da barreira.
c) (0,5) Esboce as funções de onda do elétron
nas três regiões da energia potencial indicadas no gráfico.
5
U(x)
U0
E
U0/2
I
II
0
III
L
x