Lista de Exercı́cios 5
Fı́sica Quântica: mecânica qüântica
Exercı́cios Sugeridos (30 de setembro de 2008)
A numeração corresponde ao Livro Texto.
28.32 A função de onda para uma partı́cula é
r
ψ(x) =
a
,
π(x2 + a2 )
com a > 0. Determine a probabilidade de que a partı́cula seja localizada em algum lugar entre
x = −a e x = +a.
28.33 Um elétron livre tem uma função de onda
ψ(x) = A sen 5,00×1010 x ,
onde x está em metros. Encontre,
a) o comprimento de onda de de Broglie,
b) o momento linear, e
c) a energia cinética em elétron-volts.
28.34 Um elétron que tem uma energia de aproximadamente 6 eV desloca-se entre paredes rı́gidas
separadas por 1,00 nm. Encontre
a) o número quântico n para o estado de energia que o elétron ocupa e
b) o valor preciso da energia do elétron.
28.37 Uma partı́cula em um poço quadrado infinitamente profundo tem uma função de onda que é
dada por
r
2πx
2
ψ2 (x) =
sen
L
L
para 0 ≤ x ≤ L e é nula nas outras regiões.
a) Determine o valor esperado de x.
b) Determine a probabilidade de encontrar a partı́cula próxima de L/2, calculando a probabilidade de que a partı́cula esteja no intervalo 0,490L ≤ x ≤ 0,510L.
c) Determine a probabilidade de encontrar a partı́cula próxima de L/4, calculando a probabilidade de que a partı́cula esteja no intervalo 0,240L ≤ x ≤ 0,260L.
d) Mostre que não há contradição entre o resultado do ı́tem a) e os resultados dos ı́tens b) e
c).
28.40 A função de onda de uma partı́cula é dada por
ψ(x) = A cos(kx) + B sen(kx),
onde A, B e k são constantes. Mostre que ψ é uma solução da equação de Schrödinger para
uma partı́cula livre (U = 0) e encontre a energia correspondente, E, da partı́cula.
1
28.44 Um elétron que tem uma energia total E = 4,50 eV se aproxima de uma barreira de energia
retangular com U = 5,00 eV e L = 950 pm, como na figura abaixo. Classicamente, o elétron não
pode ultrapassar a barreira porque E < U . Contudo, a probabilidade quântica de tunelamento
não é nula. Calcule essa probabilidade que é o coeficiente de transmissão.
Figura P28.44
Serway/Jewett; Principles of Physics, 3/e
Harcourt, Inc. items and derived items copyright
c
2002
by Harcourt, Inc.
28.55 Um elétron é representado pela função de onda independente do tempo
Ae−αx para x > 0
ψ(x) =
Ae+αx para x < 0.
a)
b)
c)
d)
e)
Faça o gráfico da função de onda em função de x.
Ache a probabilidade de o elétron ser encontrado entre x e x + dx.
Mostre que esta pode ser uma função de onda fisicamente razoável.
Normalize a função de onda.
Determine a probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar no intervalo de
x1 = −
1
2α
a x2 = +
1
.
2α
28.56 Partı́culas incidentes da esquerda encontram um degrau na energia potencial, como mostrado
na figura. O degrau tem uma altura U e as partı́culas tem energia E > U . Classicamente,
esperarı́amos que todas as partı́culas passassem o degrau, embora com velocidade reduzida.
De acordo com a mecânica quântica, um fração das partı́culas é refletida na barreira.
Figura P28.56
Serway/Jewett; Principles of Physics, 3/e
Harcourt, Inc. items and derived items copyright
c
2002
by Harcourt, Inc.
a) Prove que o coeficiente de reflexão R para este caso é
R=
(k1 − k2 )2
(k1 + k2 )2
onde k1 = 2π/λ1 e k2 = 2π/λ2 são os vetores de onda para as partı́culas incidente e
transmitida. Proceda como segue: Mostre que a função de onda ψI (x) = Ae+ik1 x +Be−ik1 x
satisfaz a equação de Schrödinger na região I, onde x < 0. Aqui Ae+ik1 x representa o
feixe incidente e Be−ik1 x representa as partı́culas refletidas. Mostre que ψII (x) = Ce+ik2 x
satisfaz a equação de Schrödinger na região II onde x > 0. Imponha as condições de
continuidade ψI = ψII e dψI /dx = dψII /dx em x = 0 para encontrar a relação entre B e
A. Então calcule R = |B/A|2 .
b) Uma partı́cula que tem energia cinética E = 7,00 eV incide de uma região onde a energia
potencial é nula sobre uma região na qual U = 5,00 eV. Encontre sua probabilidade de
de ser refletida e sua probabilidade de ser transmitida.
2
28.58 Para uma partı́cula descrita por uma função de onda ψ(x) o valor esperado de uma grandeza
fı́sica f (x) associada com a partı́cula é definido por
Z
+∞
f (x)|ψ(x)|2 dx.
hf (x)i =
−∞
Para uma partı́cula em uma caixa unidimensional que vai de x = 0 até x = L, mostre que
L2
L2
x2 =
− 2 2.
3
2n π
P2.5.1 Considere um ı́on mono-eletrônico cujo núcleo tem número atômico Z.
a) Utilize o modelo de Bohr para deduzir a energia do ı́on num estado estacionário caracterizado pelo número quântico n.
Átomos de hidrogênio no estado fundamental absorvem fótons e são excitados para o
nı́vel n=4.
b) Quais são a energia e o comprimento de onda dos fótons absorvidos?
c) Depois de um certo tempo, todos os átomos estão de volta ao estado fundamental. Faça
uma lista de todos os comprimentos de onda de fótons emitidos no processo de decaimento do gás, indicando as transições envolvidas.
P2.5.2 Um fonte produz nêutrons com energia cinética K=0,04 eV (nêutrons térmicos). Os nêutrons
passam por um filtro que seleciona velocidades com incerteza relativa de 0,01%. Num determinado instante, t=0, a função de onda, unidimensional, de um nêutron é descrita por um pacote
de onda dado por:
ψ(x,0) = Ae−x
2 /4(∆x)2
eik0 x .
Nesta expressão, A é uma constante, ∆x é a incerteza padrão na posição, e ~k0 é o momento
linear médio.
a) Determine o comprimento de onda de de Broglie no nêutron.
b) Com um pacote de onda deste tipo, o produto das incertezas na posição e no momento é
o mı́nimo permitido pelo princı́pio da incerteza. Determine ∆x neste caso.
c) Determine a constante A, expressando-a em termos de ∆x.
P2.5.3 Um elétron com energia cinética E=8 eV se move no eixo x desde a esquerda como mostra a
figura. Em x=0 há uma barreira de energia potencial de altura U0 =10 eV e largura L=0,2 nm.
Depois da barreira, a energia potencial permanece constante no valor U0 /2.
a) Calcule os comprimentos de onda do
elétron antes da barreira (região I, λ1 )
e depois da barreira (região III, λ3 ).
b) Calcule as probabilidades do elétron
ser refletido pela barreira e do elétron
ser transmitido através da barreira.
c) Esboce as funções de onda do elétron
nas três regiões da energia potencial indicadas no gráfico.
U(x)
U0
E
U0/2
I
II
0
3
III
L
x
P2.6.1 Uma partı́cula de massa m viaja da esquerda
para a direita, com momento linear inicial p0
como mostra a figura, numa região onde a
energia potencial V (x) é nula para x ≤ 0, e
V (x) = −U0 para x > 0 (U0 é uma constante
positiva).
V (x)
p~0 = ~k0êx
x
−U0
a) Calcule a energia da partı́cula.
b) Calcule o comprimento de onda da partı́cula na região x > 0.
c) Na situação mostrada na figura, pode a partı́cula ser refletida pelo degrau? Caso sua
resposta seja afirmativa, calcule a probabilidade disso acontecer.
d) Se, em lugar da partı́cula vir desde a esquerda, ela viesse desde o lado direito com a
mesma energia, poderia ser refletida pelo degrau? Caso sua resposta seja afirmativa,
calcule a probabilidade disso acontecer.
e) Esboce as funções de onda da partı́cula em cada região.
1
mω 2 x2 , sendo ω
2
sua freqüência angular de oscilação. A partı́cula se encontra no estado fundamental, de forma
que a função de onda é:
1
2
ψ0 (x) = A0 e− 2 αx ,
α 1/4
mω
são constantes.
eα=
onde A0 =
π
~
a) Qual é a energia da partı́cula neste estado?
b) Determine a função distribuição de probabilidade da partı́cula e faça um gráfico da função.
c) Qual é a posição mais provável onde a partı́cula pode ser achada neste estado? Justifique
sua resposta.
d) Qual é o valor esperado de energia potencial hV (x)i neste estado? Expresse seu resultado
em termos de ~ω.
P2.6.2 Uma partı́cula de massa m oscila na direção x sujeita ao potencial V (x) =
P2.6.3 Um elétron está confinado a uma caixa unidimensional de largura L = 0,100 nm e paredes perfeitamente rı́gidas, localizada no intervalo 0 ≤ x ≤ L. Dentro da caixa a sua energia potencial
V (x) é nula.
a) (0,5) Explique porque sua energia cinética não pode ser nula.
b) (0,5) Determine os quatro menores valores das auto-energias dos estados estacionários.
Expresse seus resultados em eV (elétron-volt).
c) (1,0) Suponha que o elétron se encontra no quarto nı́vel de energia. Determine todos
os comprimentos de onda dos fótons que ele pode emitir no decaimento para o estado
fundamental.
d) (0,5) Determine a auto-função normalizada do estado fundamental.
4