FNC375N: Soluções da Lista 6 - Primeira Parte
11 de novembro de 2004
Propriedades ondulatórias das partı́culas
A hipótese de de Broglie
1. Qual é o comprimento de onda de um corpo de 1 g que se move com uma velocidade
de 1 mm/ano? Qual deveria ser sua velocidade para que o comprimento de onda fosse
1 cm?
Resp.:
h
p
1 ano ∼
= 3,16×107 s ⇒ v ∼
= 3,2×10−11 m/s
p∼
= 3,2×10−14 kg · m/s, h ∼
= 6,63×10−34 J · s
λ∼
= 2,1×10−20 m
λ=
Para um comprimento de onda λ = 2 cm,
v=
h
⇒v∼
= 6,63×10−29 m/s.
mλ
Note que a energia cinética neste caso seria K ∼
= 2,2×10−60 J ∼
= 1,4×10−41 eV. Compare este resultado com a energia térmica a uma temperatura T = 1 K, kB ∼
= 8,6×10−5 eV.
2. Se a energia cinética de uma partı́cula é muito maior que a energia de repouso, podemos
usar a aproximação relativı́stica E ≈ pc. Use esta aproximação para computar o
comprimento de onda de um elétron com uma energia de 100 MeV.
Resp.:
h ∼ hc
=
p
E
hc ∼
= 1,24×10−6 eV · m
λ∼
= 1,24×10−14 m = 12,4 pm.
λ=
Com
3. Os elétrons de um microscópio eletrônico são acelerados por uma diferença de potencial
V0 que faz com que seu comprimento de onda seja 0,04 nm. Qual é o valor de V0 ?
1
Resp.: Para um elétron não relativı́stico com a energia cinética K o comprimento de onda de
de Broglie é dado por
h
hc
.
λ= √
=√
2mK
2mc2 K
Como a K = eV0 , a energia cinética em eV é numericamente igual ao potencial acelerador V0 em volts.
hc
1,226
∼
λ= √
= √ nm.
2
V0
2mc eV0
O fator numérico vem de hc = 1,24×103 eV · nm e mc2 = 0,511 MeV. Assim
2
1,226
V0 ∼
V = 939V.
=
0,04
Como para o elétron mc2 ∼
= 0,511 MeV, e neste caso K ∼
= 1 keV, o uso da fórmula não
relativı́stica para a energia cinética se justifica.
4. Calcule o comprimento de onda de uma partı́cula com energia de 4,5 keV supondo que
se trata (a) de um elétron; (b) de um próton; (c) de uma partı́cula alfa.
Resp.: a) Para um elétron, temos
λ= √
1,226
1,226
h
∼
nm ∼
= √ nm = p
= 1,83×10−2 nm.
3
2me K
K
4,5×10
b) Para uma partı́cula qualquer de massa m com a mesma energia cinética podemos
escrever
r
λ
me
=
.
λe
m
p
Assim, para o próton, mp c2 ∼
= 938 MeV, e me /mp ∼
= 2,33×10−2 , resultando
λp ∼
= 4,27× =10−4 nm.
p
c) Para uma partı́cula alfa, mα ∼
= 4mp e mp /mα ∼
= 21 , resultando
λα ∼
= 2,14× =10−4 nm.
5. De acordo com a mecânica estatı́stica, a energia cinética média de uma partı́cula a
uma temperatura T é 3kB T /2 (kB é a constante de Boltzmann). Qual o comprimento
de onda médio das moléculas de nitrogênio à temperatura ambiente?
Resp.: Tomando K = 3kB T /2 a expressão para o comprimento de onda de de Broglie de uma
partı́cula de massa m fica
λ= √
h
h
=√
.
3mkB T
2mK
Sendo M o número de massa (de um átomo ou molécula) a massa de uma molécula
pode ser escrita como m = M u, onde u ∼
= 1,66×10−27 kg é a unidade unificada de
massa atômica. Assim
h
1
√
λ= √
.
3ukB M T
2
Com os valores de h ∼
= 6,63×10−34 J · s e kB ∼
= 1,38×10−23 J/K a constante nesta
expressão fica
h
∼
√
= 2,53 nm · K1/2 .
3ukB
Tomando
T = 300 K e M = 28 (número de massa da molécula de N2 ), obtemos
√
M T ≈ 92 e
λ∼
= 2,75×10−2 nm.
6. Determine o comprimento de onda de um nêutron com uma energia cinética de 0,02 eV
(o valor aproximado de kB T à temperatura ambiente).
p
Resp.: Como mn c2 = 939 MeVe me /mn ∼
= 2,33×10−2 , obtemos com K = 0,02 eV,
λ=
p
1,226
me /mn √ nm ∼
= 0,2 nm = 2 Å.
K
Nêutrons com esta ordem de grandeza de energia são chamados de nêutrons térmicos.
Note que λ é comparável ao espaçamento interatômico nos sólidos, e, assim esses
nêutrons podem sofrer difração apreciável por cristais.
7. Um próton se move livremente entre duas paredes rı́gidas separadas por uma distância
L = 0,01 nm.
(a) Se o próton é representado por uma onda estacionária unidimensional com um nó
em cada parede, mostre que os valores permitidos do comprimento de onda são
dados por λ = 2L/n, onde n é um inteiro positivo.
Resp.: Como uma onda senoidal se anula a intervalos de meio comprimento de onda, as
paredes devem acomodar um número inteiro de meios comprimentos de onda, ou
seja
2L
λ
.
L=n ⇒λ=
2
n
(b) Encontre uma expressão geral para a energia cinética do próton e determine os
seus valores para n = 1 e n = 2.
Resp.:
K=
p2
h2
h2
=
=
n2 .
2mp
2mp λ2
8mp L2
Com hc = 1,24×103 eV · nm e mp c2 = 939 MeV, obtemos para L = 10−2 nm
K∼
= n2 × 2 eV.
8. Qual deve ser a energia cinética de um elétron para que a razão entre o seu comprimento
de onda de de Broglie e seu comprimento de onda Compton seja (a) 102 , (b) 0,2, (c)
10−3 ?
Resp.: O comprimento de onda Compton de uma partı́cula é dado por
λC =
3
h
.
mc
Na aproximação não relativı́stica, o comprimento de onda de de Broglie é
λ= √
Assim
λ
=
λc
r
h
.
2mK
mc2
mc2
⇒K=
.
2K
2(λ/λC )2
Vemos que para λ da ordem ou menor que λC esta expressão resulta numa energia
cinética comparável à energia de repouso da partı́cula, o que significa que a aproximação
não relativı́stica não é apropriada.
Com as expressões relativı́sticas,
K = E − mc2 , E 2 = (pc)2 + (mc2 )2 ⇒ (pc)2 = K 2 + 2Kmc2
λC mc2
hc
=p
λ=
pc
K(K + 2mc2 )
Resolvendo para K, obtemos
p
K
1 + (λC /λ)2 − 1.
=
mc2
Para λ/λC = 102 obtemos K ∼
= 25 eV. Este resultado é muito próximo
= 5×10−5 mc2 ∼
do obtido pela fórmula não relativı́stica. Para λ/λC = 0,2 (ou λC /λ = 5), resulta
K ∼
= 4,1mc2 . Para λ/λC = 10−3 (ou λC /λ = 103 ) vem K ∼
= 103 mc2 , ou seja, já
estamos no limite ultra-relativı́stico.
9. Calcule o comprimento de onda de um próton proveniente do espaço sideral cuja energia
é (a) 2 GeV, (b) 200 GeV.
Resp.: Como a energia de repouso do próton é mp c2 ∼
= 939 MeV ∼
= 1 GeV, devemos utilizar as
expressões relativı́sticas para a relação energia, momento. Assim,
λ = λC
K
m p c2
−1/2
K
+2
,
mp c2
onde o comprimento de onda Compton do próton vale
λC =
hc ∼
= 1,32×10−15 m = 1,32 pm.
mp c2
Para K = 2 GeV ∼
= 2,13mp c2 , resulta λ ∼
= 0,337λC ∼
= 0,45 pm.
2
∼
∼
Para K = 100 GeV = 106mp c , resulta λ = 9,3×10−3 λC ∼
= 1,23×10−3 pm.
4