Multifractais
José Garcia Vivas Miranda
 Que são multifractais;
 Métodos de caracterização;
autosimilaridade;
autoafinidade.
Transformada Wavelets
 Aplicações;
Porosimetria;
Catalizadores;
T. Wavelets generalizada
Multifractais
Conceitos
Se pensava que os fractais dariam
conta da heterogeneidade na natureza.
180
150
Altura
120
90
Substrato
Partículas depositadas
60
30
0
200
400
600
Largura
800
1000
Multifractais
Conceitos
Os multifractais são fractais cujas partes são
outros fractais.
OU
Os multifractais são fractais que exibem
diferentes dimensões a diferentes escalas.
Multifractais
Como caracterizá-lo (Autosimilaridares)
Consideremos um conjunto de dados cuja a medida sobre eles englobe o intervalo de
escalas J=[a,a+L].
1) Se divide o intervalo em sucessivos subintervalos de tamanho definido por:
=1/2k, onde k=1,2,3,... (ex. =1/2,1/4,1/8...)
2) Para cada escala  teremos um conjunto de medidas i(), onde o índice i
representa a i-ésima partição de tamnaho .
3) O número de partições de tamanho  será N()= 2k = -1. Ou seja, para uma escala
=1/2 teremos 2 partições, para =1/4 teremos 4 e assim sucessivamente.
4) Se define o expoente de singularidade ou de Hölder para cada partição i como:
i()= i
i = log[i()]/ log()
Multifractais
Como caracterizá-lo (Autosimilaridares)
5) O expoente  representa a concentração da medida . Quanto maior  menor a
concentração da medida.
6) No caso da medida  sobre o sistema apresentar heterogenidade, para cada
partição i teremos um i diferente.
7) Se define o número de partições, para uma ecala , cujos respectivos i entejam
em um intervalo entre  e +d como N().
8) A medida  terá um comportamento multifractal se no limite de 0 o scaling seja
do tipo:
N()   -f().
onde f() representa a abumdância de partições com expoentes . Para um sistema
monofractal teremos sempre o mesmo  para todas as partições, ou seja, N()=
N()= -1, e assim f()=1.
Multifractais
Exemplos de espectros f()
1.0
0.8
f()
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6

0.8
1.0
Multifractais
O método de Chhabra e Jensen (1989)
9) Os valores de f() e  podem ser computados parametricamente atravéz do
parâmetro q:
(q)  [i=1N() i(q,) log(i())]/log()
f((q))  [i=1N() i(q,) log(i(q,))]/log()
(1)
(2)
onde i(q,) = i()q/i=1N i()q, representando a probabilidade de que determinada
medida , em uma escala  e para um determinado q, ocorra no conjunto de N
partições.
O parâmetro q funciona como um filtro que selecionas regiões mais o menos
"densas" de medida. Para valores de q >> 1 as medidas com maior magnitude
serão ampliadas, e para q<<-1 serão ampliadas as grandezas menores.
O algoritmo consiste em, para cada valor de q, ajustar gráficos (1) e (2) onde
Assim temos para cada valor de q um  e um f().
Relacionando o f() e o  para um mesmo q, PARABIN PARABUM !!! temos o
espectro de singularidade.
Multifractais
Dimensões generalizadas.
ln i p
1
Dq  
lim
1  q  0 ln 
q
i
pi é a probabilidade de encontrar um ponto na i-ésima caixa.
q=0  Dimensão de contagem de caixas
q=1  Dimensão de informação
q=2  Dimensão de correlação
q pode variar entre + e – infinito,
continuamente.
Multifractais
Como caracterizá-lo
quando q +infinito, apenas o subconjunto de maior probabilidade
é levado em conta
quando q -infinito, o subconjunto de menor probabilidade.
1,0
0,8
Y
0,6
0,4
0,2
0,0
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000
X
0,6
Y
0,4
0,2
0,0
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000
X
Multifractais
Como caracterizá-lo (Multiafinidade)
A soma dos momentos M
M (q,  )   ( ) .
q
Sendo o sistema multifractal
M (q,  ) ~ 
 (q )
.
 (q) 
ln  
i
ln 
q
i
Multifractais
Como caracterizá-lo (Multiafinidade)
Comparando com o obtido anteriormente.
 (q) 
ln  
q
i
i
ln 
1
Dq  
lim
1  q  0
ln i piq
ln 
Nos leva a:
 (q)  (1  q) Dq
Multifractais
Transformada ondaletas (TO)
Primeira referência no apêndice da tese de
A.Haar (1909) .
 Primeira aplicação a processamento de
sinais Stephane Mallat (1985).
 Primeira aplicação a fractais A. Arneodo
(1995).
Multifractais
Transformada ondaletas
O que é a TO?

1
x b
Tg (a, b) f   g (
) f ( x)dx,
a 
a
Multifractais
Transformada ondaletas
...sim mais... o que é a TO?
Transformada
ondaleta.
Multifractais
Transformada ondaletas
TO e Fractais o MMTO
Módulo Máximo da Transformada de Ondaletas (MMTO)
ln (T) x ln(a)   local
Multifractais
Transformada ondaletas
Relação entre a TO e as dimensões
generalizadas.
M (q,  )   ( ) .
q

q
M (q, a)    sup | Tg (bl (a), a)[ f ( x)] | 

lL ( a )  ( x , a ')l
Transformada ondaletas
Transformada
ondaleta.
q=0.6
WTMM
z ´=log(abs(Wt)+1)
1.2
d=1/3
2.0
1.0
0.8
1.2
1.5
0.4
0.2
Sc ale a
0.6
log10a
f()
Multifractais
1.0
0.0
-0.2
0.6
0.5
-0.4
-0.6
0.4
0.6
0.8
1.0

1.2
1.4
0.0
200
220
240
260
280
300
320
b
0.0
6 00
8 00
Loc ation b
Multifractais
TO Generalizadas
q=0.6
z´=log(abs(Wt)+1)
Y Axis
1.2
0.6
0.0
600
800
Multifractal conjunto (Joint Multifractal)
(Charles et al, 1990, PRA)
ri (  ) 
Pi (  )
Pt
Ri (  )
Rt
N  (  p ,r )d p dr ~  / L f (  p ,r ) d p dr
ri (  )   r
1.20
1.0
1.15
0.90
1.10
 PH
pi (  ) 
pi (  )    p
1.05
0.80
1.00
0.70
0.95
0.60
0.90
0.50
0.85
0.80
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20
 Arcilla